Công Thức Viết Phương Trình Chính Tắc Của Elip | Toán Lớp 10

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip- Toán lớp 10

I. Lý thuyết về Elip

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1và F2và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M+F2M=2a.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1(-c; 0) và F2(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) ∈(E)⇔x2a2+y2b2=1. (1)với b2=a2−c2

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: F1(-c; 0) và F2(c; 0)

+ Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)

+ Độ dài trục lớn: A1A2=2a

+ Độ dài trục nhỏ: B1B2=2b

+ Tiêu cự: F1F2=2c

+ Tâm sai của (E): e=ca<1

+ b2=a2−c2

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: x2a2+y2b2=1

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: A1A2=2a=12⇒a=6

Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2=2b=6⇒b=3

Ta có phương trình chính tắc của elip: x262+y232=1⇔x236+y29=1.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b) và B2(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: A1A2=2a=18⇒a=9

Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2=2b=10⇒b=5

Ta có phương trình chính tắc của elip:

x292+y252=1⇔x281+y225=1

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1.Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 .

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 nên ⇒ a = 3c.

Lại có trục lớn bằng 6 nên 2a= 6 ⇔ a= 3

Mà a = 3c nên c = 1 ⇒ b2 = a2 - c2 = 8

⇒ Phương trình chính tắc elip ( E) : = 1

Chọn B

Bài 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là

M( 4; 3)

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: ( a;b) ; ( a; - b); ( -a; -b) và (-a; b).

Ta có M(4; 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn .

⇒ Phương trình elip ( E) : = 1.

Chọn A

Bài 3: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

A. 9x2 + 16y2 = 144

B. = 1

C. 9x2 + 16y2 = 1

D. = 1

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).

Ta có độ dài trục lớn là 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 nên: ⇒

⇒ Phương trình elip ( E) : = 1 hay 9x2 + 16y2 = 144

Chọn A

Bài 4: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai e = là

A. = 1

B. = 1

C. = 1

D. = 1

Lời giải

+ Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13

+ Tâm sai của elip (E): e =

⇔ c = 12

⇒ b2 = a2 – c2 = 132- 122 = 25

Phương trình chính tắc của elip là: (E): = 1.

Chọn B

Bài 5: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Bài 6: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip