Cực Trị Hàm Số Trùng Phương

Có thể bạn quan tâm

Cực trị hàm số trùng phương $\88dpi y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

$\88dpi y'=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right)$ , $\88dpi y'=0\Leftrightarrow x=0,{{x}^{2}}=-\frac{b}{2a}$

$\88dpi \bullet$ Hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow -\frac{b}{2a}0$ .

$\88dpi \bullet$ Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A\left( 0;c \right)$ , $\88dpi B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right),\text{ }C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right)$

tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng

$\88dpi \bullet$ Tam giác ABC vuông $\88dpi \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\88dpi \bullet$ Tam giác ABC đều $\88dpi \Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\88dpi \bullet$ Diện tích tam giác ABC: $\88dpi S=\frac{1}{2}AH.BC$ với $\88dpi H\left( 0;\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right)$ nên $\88dpi AH=\left| \frac{{{b}^{2}}}{4a} \right|$ .

Ví dụ 1. Tìm $\88dpi m$ để đồ thị hàm số : $\88dpi y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1$ $\88dpi ({{C}_{m}})$

1) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

2) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.

Lời giải.

TXĐ: $\88dpi D=\mathbb{R}$

Ta có $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m0$ .

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A(0;m+1),\text{ }B(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m+1),\text{ }C(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m+1)$

1) Ta có tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC đều khi và chỏ khi $\88dpi A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\88dpi \Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4m\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}$ (do $\88dpi m0$ )

Vậy $\88dpi m=\sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.

2) Gọi H là trung điểm của BC, suy ra $\88dpi H\left( 0;-{{m}^{2}}+m+1 \right)$ . Do đó $\88dpi AH={{m}^{2}}$ .

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.CB={{m}^{2}}\sqrt{m}$

Nên $\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=32\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{5}}}=32\Leftrightarrow m=4$ .

Vậy $\88dpi m=4$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m+1 \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $\88dpi m-1$ .

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là:

$\88dpi A(0;{{m}^{2}}),\text{ }B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right),\text{ }C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

Do tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi $\88dpi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow -(m+1)+{{(m+1)}^{4}}=0\Leftrightarrow m+1=1\Leftrightarrow m=0$ (do $\88dpi m-1$ )

Vậy $\88dpi m=0$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+m$ (1), m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4{{x}^{3}}4\left( m+1 \right)x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m+1 \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m+10\Leftrightarrow m-1$

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A(0;m),\text{ }B(\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1),\text{ }C(-\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1)$

Do đó $\88dpi OA=BC\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4(m+1)\Leftrightarrow m=2\pm 2\sqrt{2}$ (thỏa $\88dpi m-1$ )

Vậy $\88dpi m=2\pm 2\sqrt{2}$ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$ $\88dpi \ ({{C}_{m}})$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $\88dpi m$ để đồ thị hàm số $\88dpi ({{C}_{m}})$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính vòng tròn nội tiếp lớn hơn 1.

Lời giải.

Ta có : $\88dpi \ {y}'=4{{x}^{3}}-4mx\ ;\ {y}'=0\Leftrightarrow 4x({{x}^{2}}-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ {{x}^{2}}=m\quad (1) \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m0$

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số:

$\88dpi A(0;m)\ ;\ B(\sqrt{m};m-{{m}^{2}})\ ;\ C(-\sqrt{m};m-{{m}^{2}}).$

Gọi H là trung điểm BC, suy ra $\88dpi H(0;m-{{m}^{2}})$

Suy ra $\88dpi \ {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC={{m}^{2}}\sqrt{m}$

Mặt khác chu vi $\88dpi \ \Delta ABC$ là :

$\88dpi \ 2p=AB+BC+CA=2\left( \sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m} \right)$

$\88dpi \Rightarrow p=\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}$

Mà ta có $\88dpi \ S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}\Rightarrow \frac{{{m}^{2}}\sqrt{m}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}}1\quad (2)$

Vì $\88dpi \ m0$ ta có $\88dpi \sqrt{{{m}^{4}}+m}-\sqrt{m}\ne 0.$

Do đó ta có $\88dpi (2)$ trở thành :

$\88dpi \ \sqrt{m}\frac{{{m}^{2}}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}-\sqrt{m}}$

$\88dpi \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{5}}+{{m}^{2}}}{{m}^{2}}+m$

$\88dpi \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-20\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m -1 \\ m2 \\ \end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện $\88dpi \ m0$ ta có kết luận $\88dpi \ m2$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 5. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-(3m-1){{x}^{2}}+2m+1$ (1). Tìm $\88dpi m$ để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị $\88dpi A,\text{ }B,\text{ }C$ cùng với điểm $\88dpi D(7;3)$ nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-\frac{3m-1}{2} \right)$

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi m\le \frac{1}{3}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0$ không thỏa yêu cầu bài toán.

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi m\frac{1}{3}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0,x=\pm \sqrt{\frac{3m-1}{2}}$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:

$\88dpi A(0;2m+1)$ , $\88dpi B\left( \sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+14m+3}{4} \right),$

$\88dpi \text{ }C\left( -\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+14m+3}{4} \right)$

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên Oy, suy ra $\88dpi I(0;a)$ .

Gọi M là trung điểm của AC, suy ra

$\88dpi M(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+22m+7}{8})$ .

Ta có: $$\left\{ \begin{matrix} & I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}} \\ & \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{(a-2m-1)}^{2}}=49+{{(a-3)}^{2}}\text{ (1)} \\ & \frac{3m-1}{4}+\left( \frac{9{{m}^{2}}-22m-7}{8}+a \right)\frac{9{{m}^{2}}-6m+1}{4}=0\text{ (2)} \\ \end{matrix} \right.$$

Từ (1) $\88dpi \Rightarrow a=\frac{4{{m}^{2}}+4m-57}{4(m-1)}$ thay vào (2) ta có được: