Xemtailieu Tải về Đa tạp cát tuyến của đa tạp veronese và đa tạp segre
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS. TS. Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Trung Cường. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh 2 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS. TS. Đoàn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thời gian dài. Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số, Viện Toán học vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn. Ngoài ra, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tôi còn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị và bạn bè trong Viện Toán học Việt Nam. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục các hình vẽ và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản 22 2.1 Đa tạp nối của các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Đa tạp Veronese và Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 3 4 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Đường cong X = V (x3 − y 2 ) 16 1.2 Đường cong Y = V (x3 −x2 −x−1−y) 17 2.1 Hợp nối của một điểm và một đường 23 thẳng trong P2 2.2 Đường cát tuyến của một đường tròn 29 2.3 Đường thẳng cắt đường conic tại hai 30 điểm 3.1 Giuseppe Veronese (1854-1917) 40 3.2 Đường cubic xoắn 43 4.1 Corrado Segre (1863-1924) 59 4.2 Hyperbolic paraboloid 62 5 MỞ ĐẦU Đa tạp cát tuyến là một chủ đề được các nhà hình học đại số trường phái Ý nghiên cứu từ thế kỉ 19. Gần đây những quan tâm của các nhà hình học đại số đối với đa tạp cát tuyến tăng khá nhanh. Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một số chuyên ngành toán học như thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinh học. . . Thông thường việc tính toán với đa tạp cát tuyến rất khó. Do đó, đối với nhiều bài toán thay cho việc xét đa tạp cát tuyến của một đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến của một số đa tạp đặc biệt như đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese ... Đa tạp cát tuyến thứ s của một đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariski của hợp tất cả các không gian tuyến tính đi qua s điểm trên X và được kí hiệu là σs (X). Tính toán số chiều của σs (X) là một trong những câu hỏi cơ bản đầu tiên trong việc nghiên cứu các đa tạp cát tuyến. Bằng việc xem σs (X) như hợp nối của X với σs−1 (X), ta có thể chứng minh được rằng dim σs (X) ≤ min (s dim X + s − 1, N ), và giá trị min (s dim X + s − 1, N ) được gọi là chiều kì vọng của σs (X). Ta nói đa tạp X là s- khuyết nếu số chiều của σs (X) khác với số chiều kì vọng của đa tạp đó. Đối với các đa tạp Veronese, Alexander và Hirschowitz đã đưa ra phân loại các đa tạp khuyết. Trong khi đó, kết quả về tính toán số chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre và đa tạp Segre-Veronese chỉ đạt được trong một số trường hợp đặc biệt. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre, đồng thời tính toán một số ví dụ minh hoạ. Luận văn được chia làm ba chương như sau: Chương 1: Chương này được dành để nêu tóm tắt một số khái niệm và tính chất của đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh và không gian tiếp xúc để phục vụ cho việc trình bày trong các chương sau. 6 Chương 2: Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của hợp nối của các đa tạp xạ ảnh. Trong đó, tính chất liên quan đến không gian tiếp xúc của đa tạp hợp nối ở Định lý 2.1.10 có thể xem như là tính chất quan trọng nhất. Trong tiết 2 của chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp cát tuyến, là một trường hợp đặc biệt của đa tạp hợp nối. Đồng thời, ở cuối chương, chúng tôi phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11). Đây là một kết quả nổi tiếng trong việc nghiên cứu số chiều của đa tạp cát tuyến. Từ Bổ đề Terracini, ta có thể dẫn đến các hệ quả quan trọng như Mệnh đề 3.2.4 và Định lý 4.2.5, cho ta mối quan hệ giữa số chiều của đa tạp cát tuyến của các đa tạp Veronese và đa tạp Segre với giá trị hàm Hilbert của một lược đồ điểm kép. Chương 3: Trong chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp Veronese. Trong đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh của không gian tiếp xúc của đa tạp Veronese. Trong tiết hai, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Alexander - Hirschowitz phân loại các đa tạp cát tuyến là khuyết (Định lý 3.2.8 và Định lý 3.2.9). Chương 4: Chương 4 được dành để trình bày về đa tạp cát tuyến của đa tạp Serge. Kết quả chính của chương là kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13). Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta luôn ký hiệu k là một trường đóng đại số. Với mỗi n ≥ 0, ta ký hiệu An , Pn là các không gian afin, không gian xạ ảnh trên k . CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái niệm này bằng một số ví dụ. Tài liệu tham khảo chính của chương này là các quyển sách [1] và [2]. 1.1 Đa tạp đại số Tập không điểm của mỗi đa thức f ∈ A := k[x1 , . . . , xn ] là V (f ) = {P ∈ An |f (P ) = 0} ⊆ An . Nếu T là một tập con của A, ta định nghĩa tập không điểm của T là V (T ) = {P ∈ An |f (P ) = 0 với mọi f ∈ T }. Một tập con Y của An được gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập con T ⊆ A sao cho Y = V (T ). Những tập đại số thoả mãn các tính chất sau - Nếu X, Y là hai tập đại số thì X ∪ Y cũng là một tập đại số. - Nếu {Xα }α∈∧ là một họ các tập đại số bất kì thì - Tập ∅ và An cũng là các tập đại số. 7 T α∈∧ Xα cũng là tập đại số. 8 Với các tính chất này, lớp các tập đại số thoả mãn các tiên đề về tập đóng của một tô pô trên không gian afin An , được gọi là tô pô Zariski. Tập mở đối với tô pô này là phần bù của các tập đại số. Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) là một tập đóng bất khả quy của An , nghĩa là, tập đó không là hợp của hai tập con đóng thực sự. Với mỗi tập các đa thức T ⊆ A, ký hiệu I là iđêan sinh bởi T . Khi đó V (T ) = V (I). Ngược lại, với bất kì một tập con Y ⊆ An , ta định nghĩa iđêan của Y trong A bởi I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = 0 với mọi P ∈ Y }. Mối quan hệ giữa iđêan và tập không điểm được mô tả trong Định lý không điểm Hilbert như sau. Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert). [1, Định lý 4.6] Cho một iđêan I ⊂ A. Nếu một đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I), thì f r ∈ I với một số nguyên r > 0 nào đó. Định lý không điểm Hilbert cho ta một mối quan hệ quan trọng giữa các đa tạp afin trong An với các iđêan nguyên tố của vành đa thức A. Ta sẽ thấy rõ điều đó thông qua hệ quả sau đây. Hệ quả 1.1.3. Nếu J là một iđêan căn trong A, thì I(V (J)) = J . Khi đó có một tương ứng 1-1 giữa các iđêan căn và các tập đại số. Qua tương ứng này các đa tạp afin tương ứng với các iđêan nguyên tố. Hơn nữa, các iđêan cực đại tương ứng với các điểm đóng. Dưới đây là một số ví dụ về tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin). Ví dụ 1.1.4. (a) Tập An là bất khả quy vì nó tương ứng với iđêan 0, là nguyên tố trong A. 9 (b) Nếu f là một đa thức bất khả quy trong k[x, y] thì V (f ) là bất khả quy. Ta gọi đa tạp afin Y := V (f ) là một đường cong phẳng. Nếu f có bậc d thì ta nói Y là đường cong bậc d. Tổng quát hơn, nếu f là một đa thức bất khả quy trong A = k[x1 , . . . , xn ] thì ta cũng nhận được một đa tạp afin Y = V (f ), được gọi là một siêu mặt. (c) Xét X là tập các ma trận cỡ 3 × 3 hạng 1 trên trường k . Khi đó, X sẽ là một đa tạp afin trong A9 . Thật vậy, một ma trận P bất kì thuộc X sẽ có dạng x1 x2 x3 P = x4 x5 x6 . x7 x8 x9 Vì hạng của P bằng 1 nên mọi định thức con cấp 2 của P đều bằng 0, tức xi xj − xk xl = 0 với i + j = k + l, i, j, k, l = 1, . . . , 9. Do đó X = V ({xi xj − xk xl |i + j = k + l}) là một tập đại số. Để chứng minh X là bất khả quy, ta xét ánh xạ sau θ : A3 × A3 → X, a1 ((a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 )) 7→ a2 . b1 b2 b3 . a3 Vì mỗi ma trận hạng 1 bất kì đều có thể viết được thành tích của hai véctơ trong không gian véctơ k 3 nên ánh xạ θ là một toàn cấu, hay X = θ(A3 × A3 ). Vì A3 × A3 ∼ = A6 là tập bất khả quy với tô pô Zariski nên X cũng sẽ là tập bất khả quy. Vì vậy X là một đa tạp. Định nghĩa 1.1.5. Số chiều của một tập đại số X , kí hiệu dim(X), là dim(X) := sup{n| tồn tại một dãy Z0 ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Zn các tập con đóng bất khả quy của X}. 10 Định nghĩa 1.1.6. Nếu X ⊆ An là một đa tạp đại số thì vành k[X] = A/I(X) được gọi là vành tọa độ của X . Mệnh đề 1.1.7. [2, Proposition 1.7] Chiều của một tập đại số X ⊆ An bằng số chiều Krull của vành tọa độ k[X]. Đa tạp xạ ảnh là tập con của không gian xạ ảnh, được định nghĩa tương tự như đa tạp afin. Định nghĩa 1.1.8. Một điểm P = (a0 : . . . : an ) ∈ Pn được gọi là một không điểm của một đa thức thuần nhất f ∈ S := k[x0 , . . . , xn ] nếu f (a0 , . . . , an ) = 0. Khi đó ta cũng viết f (P ) = 0. Đặt V (f ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0}. Với mỗi tập con T ⊂ S gồm các đa thức thuần nhất, đặt V (T ) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0 với mọi f ∈ T }. Các tập V (T ) ⊆ Pn như vậy được gọi là các tập đại số (xạ ảnh). Tương tự như các tập đại số trong không gian afin, các tập đại số xạ ảnh thoả mãn các tiên đề của tập đóng của một tô pô. Tô pô này trên Pn được gọi là tô pô Zariski, trong đó các tập mở là phần bù của các tập đại số. Định nghĩa 1.1.9. Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) là một tập đại số bất khả quy của Pn . Tương tự như với trường hợp afin, số chiều của một tập đại số xạ ảnh là độ dài lớn nhất các dãy tập đóng bất khả quy lồng nhau trong tập đại số đó. Với mỗi tập con X ⊂ Pn , xét iđêan I(X) sinh bởi các đa thức thuần nhất {f ∈ S|f là thuần nhất và f (P ) = 0 với mọi P ∈ Y }. 11 Iđêan I(X) là thuần nhất và được gọi là iđêan định nghĩa của X . Ta định nghĩa vành tọa độ thuần nhất của X là A(X) = S/I(X). Tương tự trường hợp afin, ta có định lý không điểm xạ ảnh như sau. Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh). Cho một iđêan thuần nhất I ⊆ S := k[x0 , . . . , xn ]. Nếu một đa thức thuần nhất f ∈ S thỏa mãn f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I) trong Pn , thì f r ∈ I với một số nguyên r > 0 nào đó. Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là một đa tạp trong Pn . Xét ánh xạ θ : An+1 \ {(0, . . . , 0)} → Pn , (a0 , . . . , an ) 7→ [a0 : . . . : an ]. Khi đó ta định nghĩa nón afin của X là C(X) = θ−1 (X) ∪ {(0, . . . , 0)}. Nón afin C(X) là tập không điểm trong không gian afin An+1 của iđêan I(X), do đó là một đa tạp afin. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm chính quy trên một đa tạp và ánh xạ chính quy (cấu xạ) giữa các đa tạp. Giả sử X là một đa tạp afin hoặc xạ ảnh. Chú ý rằng trên X cũng có tô pô Zariski cảm sinh từ không gian afin hoặc không gian xạ ảnh chứa X . Định nghĩa 1.1.12. Một hàm f : X → k là chính quy tại điểm P ∈ X nếu tồn tại một lân cận mở U của điểm P và các đa thức thuần nhất g, h ∈ S = k[x0 , . . . , xn ], có cùng bậc, sao cho với mọi điểm Q = (a0 : . . . : an ) ∈ U , h(a0 , . . . , an ) 6= 0 và f (a0 , . . . , an ) = g(a0 , . . . , an )/h(a0 , . . . , an ). Ta nói f là chính quy trên X nếu nó chính quy tại mọi điểm thuộc X . Nếu hàm f : X → k là chính quy tại Q = (a0 : . . . : an ) ∈ X thì giá trị f (a0 , . . . , an ) = g(a0 , . . . , an )/h(a0 , . . . , an ) như trong định nghĩa trên không 12 phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : . . . : an ) của Q, do đó ta ký hiệu f (Q) := f (a0 , . . . , an ). Ký hiệu O(X) là tập hợp tất cả các hàm chính quy trên X . Với phép cộng và nhân thông thường, O(X) là một vành. Nếu P là một điểm của X , ta định nghĩa vành địa phương của P trên X , kí hiệu là OX,P , là tập hợp gồm các mầm hàm của các vành chính quy trên X tại điểm P . Nói cách khác, một phần tử của OX,P là một bộ < U, f > trong đó U là một tập con mở của X chứa P , f là một hàm chính quy trên U và ta đồng nhất hai cặp < U, f > và < V, g > nếu f = g trên giao U ∩ V . Tập hợp OX,P thực sự là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất gồm các hàm triệt tiêu tại P . Tập hợp K(X) = ∪P ∈X OX,P trong đó ta đồng nhất < U, f >=< V, g > nếu f = g trên giao U ∩ V . Với phép cộng và nhân của các mầm hàm, tập K(X) là một trường và được gọi là trường hàm của đa tạp X . Các phần tử của K(X) được gọi là các hàm hữu tỷ trên X . Định nghĩa 1.1.13. Cho X, Y là hai đa tạp xạ ảnh (hoặc X, Y là hai đa tạp afin). Một cấu xạ ϕ : X → Y là một ánh xạ liên tục đối với tô pô Zariski sao cho với mỗi tập mở V ⊆ Y và với mỗi hàm chính quy f : V → k , hàm f ◦ ϕ : ϕ−1 (V ) → k là chính quy. Hợp của hai cấu xạ cũng là một cấu xạ. Đặc biệt, một cấu xạ ϕ : X → Y là một đẳng cấu giữa hai đa tạp nếu nó có cấu xạ ngược ψ : Y → X với ψ ◦ ϕ = idX và ϕ ◦ ψ = idY . Định nghĩa 1.1.14. Cho X, Y là các đa tạp xạ ảnh hoặc đa tạp afin. Một ánh xạ hữu tỷ ϕ từ X vào Y là một lớp tương đương gồm các cặp < U, ϕU >, với U là một tập mở khác rỗng của X và ϕU là một cấu xạ từ U vào Y , và hai cặp < U, ϕU > và < V, ϕV > là tương đương nếu ϕU = ϕV trên U ∩ V , khi đó ta kí hiệu ϕ : X 99K Y . Hơn nữa ánh xạ hữu tỷ ϕ được gọi là trội nếu với mỗi cặp < U, ϕU > thì ảnh của ϕU là trù mật trong Y . 13 Khác với cấu xạ giữa hai đa tạp, hợp của hai ánh xạ hữu tỷ chưa chắc đã là một ánh xạ hữu tỷ. Tuy nhiên nếu hai ánh xạ hữu tỷ là trội thì hợp của chúng sẽ là một ánh xạ hữu tỷ. Vì vậy chúng ta thường sẽ quan tâm đến các ánh xạ hữu tỷ trội giữa hai đa tạp. Khi đó ta có khái niệm sau. Định nghĩa 1.1.15. Một ánh xạ hữu tỷ trội ϕ : X 99K Y được gọi là một ánh xạ song hữu tỷ nếu tồn tại một ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y 99K X sao cho ψ ◦ ϕ : X 99K X và ϕ ◦ ψ : Y 99K Y là các ánh xạ đồng nhất trên các tập mở, trù mật của X và Y . Nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ từ X vào Y thì ta nói hai đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỷ. 1.2 Không gian tiếp xúc Không gian tiếp xúc là một đối tượng quan trọng để tìm hiểu các tính chất hình học của một đa tạp. Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của không gian tiếp xúc của các đa tạp. Tài liệu tham khảo chính của mục này là quyển sách [3]. Trước hết ta xét X là một siêu mặt trong không gian afin An , tức X = V (f ) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ An |f (x1 , . . . , xn ) = 0}, trong đó f ∈ k[x1 , . . . , xn ] là một đa thức bất khả quy. Định nghĩa 1.2.1. Cho P = (a1 , . . . , an ) ∈ X . Không gian tiếp xúc với siêu mặt X tại điểm P được xác định bởi ( TP X = ) n X ∂f (x1 . . . , xn ) ∈ An | (P )(xi − ai ) = 0 . ∂x i i=1 Tập TP X là một tập con tuyến tính của không gian afin An và P ∈ TP X . Định nghĩa 1.2.2. Điểm P ∈ X là trơn (hay chính quy) nếu ∂f ∂xi (P ) 6= 0 với một i nào đó. Nếu trái lại, P được gọi là một điểm kì dị của X . Ta ký hiệu tập các điểm trơn trên X là Xsmooth , tập các điểm kỳ dị là Xsing . 14 Từ định nghĩa trên ta thấy ngay • P là một điểm trơn của X khi và chỉ khi TP X là một siêu phẳng afin. • P là một điểm kì dị của X khi và chỉ khi TP X = An . • Xsmooth = X \ Xsing . Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một đa tạp trong An . Ta nói một điểm tổng quát của X thỏa mãn một tính chất P nào đó nếu tập các điểm S thỏa mãn tính chất P chứa một tập mở, trù mật trong An . Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng một điểm tổng quát của một siêu mặt afin luôn là điểm trơn. Mệnh đề 1.2.4. Giả sử X = V (f ) là một siêu mặt afin trong An . Khi đó tập Xsmooth là mở và trù mật trong X . Chứng minh. Ta có tập Xsing := X \ Xsmooth được cho bởi ∂f ∂f Xsing = V f, ,..., ⊂ An . ∂x1 ∂xn Rõ ràng Xsing là một tập đóng nên Xsmooth là mở. Vì X là một tâp bất khả quy nên để chứng minh Xsmooth là trù mật, ta chỉ cần chứng minh Xsmooth 6= ∅, hay Xsing 6= X . Giả sử Xsing = X , khi đó ∂f (P ) = 0 với mọi P ∈ X và với mọi i = 1, . . . , n. ∂xi ∂f ∈ (f ) với mọi i = 1, . . . , n. Vì Theo Định lý không điểm Hilbert 1.1.2, ∂xi ∂f ∂f deg < deg(f ) nên suy ra = 0 với mọi i = 1 . . . , n. ∂xi ∂xi Nếu char(k) = 0 thì f là đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiết f là một đa ∂f thức bất khả quy. Giả sử char(k) = p > 0. Vì = 0 với i = 1 . . . , n nên f ∂x i là một đa thức theo xp1 , . . . , xpn , nói cách khác X f (x1 , . . . , xn ) = αj (xp1 )j1 . . . (xpn )jn . j=(j1 ,...,jn ) 15 Vì k là trường đóng đại số nên tồn tại các số βj ∈ k sao cho βjp = αj với mọi j = (j1 . . . , jn ). Do đó, ta có X f (x1 , . . . , xn ) = βjp (xp1 )j1 . . . (xpn )jn j=(j1 ,...,jn ) p = X βj xj11 . . . xjnn , j=(j1 ,...,jn ) nên f không là đa thức bất khả quy, trái với giả thiết ban đầu. Tóm lại, tập Xsmooth luôn không rỗng. Bây giờ ta sẽ định nghĩa không gian tiếp xúc đối với một đa tạp afin bất kỳ. Trước hết, với mỗi đa thức f ∈ k[x1 , . . . , xn ] và một điểm P = (a1 , . . . , an ) ∈ An , thành phần tuyến tính của f tại P là (1) fP n X ∂f := (P )(xi − ai ). ∂x i i=1 Định nghĩa 1.2.5. Không gian tiếp xúc của đa tạp afin X ⊆ An tại một điểm P ∈ X là tập hợp TP X := \ (1) V (fP ) ⊆ An . f ∈I(X) Ví dụ 1.2.6. Xét đường cong X = V (x3 − y 2 ) ⊂ A2 và điểm P = (1, 1) ∈ X . Ta đặt f (x, y) := x3 − y 2 ∈ k[x, y]. Ta có ∂f = 3x2 , ∂x ∂f = −2y. ∂y Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.5, ta có TP X = V (3.12 )(x − 1) + (−2.1)(y − 1) = V (3x − 2y − 1). 16 Hình 1.1: Đường cong X = V (x3 − y 2 ) Mặt khác, nếu ta xét tại gốc tọa độ O = (0, 0) thì ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0. ∂x ∂y Không gian tiếp xúc của X tại gốc O là TO X = A2 . Ví dụ 1.2.7. Xét đường cong Y = V (x3 − x2 − x − 1 − y) ⊂ A2 . Ta đặt g(x, y) := x3 − x2 − x − 1 − y ∈ k[x, y]. Ta có ∂g = 3x2 − 2x − 1, ∂x ∂g = −1. ∂y ∂g (P ) = −1 6= 0 với mọi điểm P ∈ Y . Do đó mọi điểm trong Y đều ∂y là điểm trơn. Như vậy 17 Hình 1.2: Đường cong Y = V (x3 − x2 − x − 1 − y) Ta có mối liên hệ giữa số chiều của các không gian tiếp xúc của một đa tạp affine X với chiều Krull của một đa tạp affine X như sau. Mệnh đề 1.2.8. [3, Definition 3.6, Corollary 3.24] Ta có khẳng định sau dim X = min{dim TP X|P ∈ X}. Từ mệnh đề trên, ta thấy rằng dim X ≤ dim TP X với mọi P ∈ X . Mệnh đề 1.2.9. Hàm X → N, P 7→ dim TP X là một hàm nửa liên tục trên trong tôpô Zariski, tức với mọi r ∈ N thì tập Sr (X) := {P ∈ X| dim TP X ≥ r} là đóng. Chứng minh. Giả sử I(X) = (g1 , . . . , gm ). Khi đó ta có TP X = m \ (1) V (fP ) ⊂ An . i=1 Ta có ∂gi dim TP X = n − rank (P ) , ∂xj m×n 18 và do đó ∂gi P ∈ Sr (X) nếu và chỉ nếu rank (P ) ≤ n − r. ∂xj m×n Điều này tương đương với mọi định thức con cỡ (n − r + 1) × (n − r + 1) của ∂gi ma trận ∂xj (P ) đều bằng 0. Do đó Sr (X) là tập đóng. m×n Mệnh đề 1.2.10. Cho một đa tạp afin X ⊆ An . Tồn tại một tập mở, trù mật X0 ⊆ X sao cho dim TP X = dim X với mọi P ∈ X0 . Chứng minh. Ký hiệu r = dim X . Khi đó theo Mệnh đề 1.2.8, ta có Sr (X) = X và Sr+1 (X) 6= X . Vì Sr+1 (X) là đóng nên ta lấy X0 := X \ Sr+1 (X). Ta thấy rằng X0 là mở và khác rỗng vì nếu X0 = ∅ thì dim TP X 6= r với mọi P ∈ X , điều này mâu thuẫn với giả thiết dim X = r. Tập X0 thỏa mãn yêu cầu của mệnh đề. Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa điểm trơn và điểm kì dị của một đa tạp afin X như sau. Định nghĩa 1.2.11. Một điểm P ∈ X được gọi là một điểm trơn của X nếu dim TP X = dim X . Ngược lại, P được gọi là một điểm kì dị của V . Nếu X = V (f ) là một siêu mặt trong An thì định nghĩa trên tương đương với Định nghĩa 1.2.2. Thật vậy, ta có ∂f (P ) 6= 0 với i nào đó, ∂xi tương đương với ∂f (P ) = 1. rank ∂xi 1×n Do đó ∂f (P ) = n − 1 = dim X. dim TP X = n − rank ∂xi 1×n Tải về bản full