Xemtailieu Tải về Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa (tt)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------ ------ BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA Chuyên ngành: Mã số: Phương trình vi phân và tích phân 9.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy TS. Trần Thị Loan Phản biện 1: PGS.TS. Khuất Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS. Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, . . . đều có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên phù hợp. Bằng cách chọn không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phương trình đạo hàm riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong một không gian Banach. Việc xem xét các phương trình tiến hóa trong các không gian trừu tượng cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm. Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều là khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là một việc làm rất quan trọng vì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai. Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias C., Sell G.R. & Temam R. (1985) giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính năm 1985 khi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp quán tính là một đa tạp trơn (ít nhất là Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, và hút tốc độ mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian vô hạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh trên không gian hữu hạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ động lực vô hạn chiều. Nguyen T.H. (2012) đã xây dựng một điều kiện đủ về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa du + Au = f (t, u), t > s, dt (1) u(s) = us . trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A là toán tử sinh của một nửa nhóm, và f là số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz là ϕ(t) (được gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Những phân tích trên đây là lý do để tác giả chọn đề tài luận án là “Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa”. 1 2 2.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu Lịch sử nghiên cứu 1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính. Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính đối với các phương trình tiến hóa được giới thiệu lần đầu tiên năm 1985 bởi Foias C., Sell G.R. & Temam R. (1985). Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã được nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả. Chow S.N. & Lu K. (1988) đã xét các phương trình tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và thuộc lớp C 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh là đều trên các tập con bị chặn của không gian trạng thái. Mallet-Paret J. & Sell G.R. (1988) đã giới thiệu nguyên lý trung bình không gian để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình phản ứng-khuếch tán trong không gian nhiều chiều, là khi điều kiện kẽ hở phổ không được thỏa mãn. Cũng vậy, Constantin P. et al. (1988, 1989) thực hiện một chứng minh hình học cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng khái niệm chặn phổ (spectral barrier), mà khái niệm mới này là một nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ hở phổ. Demengel E. & Ghidaglia J.M (1991) thiết lập một chứng minh đầu tiên cho trường hợp toán tử tuyến tính là tự liên hợp và số hạng phi tuyến không bị chặn. Debussche A. & Temam R. (1993) thiết lập một chứng minh khác khi số hạng phi tuyến không nhất thiết bị chặn, nhưng trong một không gian Banach tổng quát, và được giả sử là thuộc lớp C 1 . Các chứng minh về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với trường hợp không tự liên hợp có thể được trích dẫn trong Debussche A. & Temam R. (1991) hay Sell G.R. & You Y. (1992). Một nghiên cứu đẹp đẽ về sự tồn tại đa tạp quán tính qua tính chất nón là thuộc về Robinson J.C. (1993). Mora X. (1993). đã nghiên cứu đa tạp quán tính đối với các phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần. Khái niệm đa tạp quán tính cũng được mở rộng và chứng minh tồn tại cho nhiều lớp phương trình tiến hóa trong ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên Bensoussan A. & Landoli F. (1995) sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm Koksch N. & Siegmund S. (2011), hay các phương trình đạo hàm riêng có trễ (1998, 2001). Trong tất cả các công trình kể trên, số hạng phi tuyến được giả thiết là liên tục Lipschitz. Tuy nhiên, như đã nói, rất nhiều quá trình tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống phức tạp, điều này có thể không đúng. Trong hướng nghiên cứu về sự tồn tại đa tạp, đa tạp quán tính đối với các phương trình tiến hóa trong không gian hàm chấp nhận được là một hướng nghiên cứu nhằm mở rộng các điều kiện áp đặt lên số hạng phi tuyến. Năm 2012, sau công trình về tính chấp nhận được của không gian hàm (xem Nguyen T.H. (2006)) (xem thêm tổng quan trong Nguyen T.H. (2016)), Nguyen T.H. (2012) đưa nhánh nghiên cứu về đa tạp quán tính lên một bước tiến mới. Như đã nói, sự tồn tại đa tạp quán tính đã được chứng minh cho bài toán du + Au = f (u) với số hạng phi tuyến chỉ phụ thuộc vào trạng thái và thỏa mãn điều kiện dt liên tục Lipschitz đều. Nguyen T.H. (2012) đã chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính khi số hạng phi tuyến là hàm ϕ-Lipschitz. 2 – Mở rộng khái niệm đa tạp quán tính. Người ta đã mở rộng khái niệm đa tạp quán tính của Foias C., Sell G.R. & Temam R. (1985) thành một số loại đa tạp quán tính khác, chẳng hạn như đa tạp quán tính xấp xỉ, đa tạp quán tính có trễ và đa tạp bất biến đa trị. Theo dòng thời gian, có một khái niệm đa tạp quán tính kiểu mới trong Nguyen T.H. (2013) mà chúng tôi muốn nhấn mạnh, đó là đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp. Đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp được cấu thành bởi các quỹ đạo nghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. 3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính. Bên cạnh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các 2 phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đa tạp quán tính đã tìm thấy các vai trò hữu ích của mình cho các ứng dụng trong các phân ngành khác của toán học. Có thể kể đến những kết nối của đa tạp quán tính với phương pháp đa lưới của Giải tích số Temam R. (1990) hay một cố gắng của đa tạp quán tính để mô tả hiện tượng cuộn xoáy của cơ học chất lỏng Temam R. (1989). Luận án này muốn nhấn mạnh đến các ứng dụng của đa tạp quán tính trong lý thuyết điều khiển toán học. 2.2 Các lớp phương trình tiến hóa trong luận án A. Phương trình parabolic du(t) + Au(t) = f (t, u(t)). dt (2) B. Phương trình đạo hàm riêng hàm (có trễ hữu hạn) du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ). dt (3) C. Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính ∂ F ut + AF ut = Φ(t, ut ). ∂t 3 (4) Mục đích - Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính và bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà nó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Đối tượng. Đa tạp quán tính và điều khiển phản hồi hữu hạn chiều đối với các lớp phương trình tiến hóa (3), (2) và (4) trong không gian hàm chấp nhận được. Phạm vi nghiên cứu. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau ◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)) với −A là toán tử quạt có dt kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, và số hạng phi tuyến f (t, u) là hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp nhận được. ◦ Nội dung 2. Nghiên cứu tính chính quy của đa tạp quán tính và áp dụng lý thuyết đa tạp quán tính vào bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình phản ứng-khuếch tán. ◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ) với −A là toán dt tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, L(t) là một toán tử tuyến tính bị chặn, và số hạng phi tuyến g(t, ut ) là hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp nhận được. Sau đó kết quả này được áp dụng nghiên cứu dáng điệu của mô hình Hutchinson với khuếch tán. 3 ◦ Nội dung 4. Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng ∂(F∂tut ) + A(F ut ) = Φ(t, ut ) trong đó phần tuyến tính là một toán tử xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact, toán tử sai phân F là một toán tử tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz. 4 Phương pháp nghiên cứu • Các đánh giá về toán tử tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết số mũ phân thứ của toán tử tuyến tính đóng (xác định) dương, lý thuyết nhiễu của hệ động lực vô hạn chiều. • Các đánh giá về số hạng phi tuyến: Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được. • Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính/đa tạp quán tính chấp nhận được: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron. • Nghiên cứu bài toán điều khiển phản hồi: Sử dụng giải tích hàm, phương pháp điểm bất động, và lý thuyết điều khiển toán học. 5 Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic và ứng dụng. Chương 3. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn. Chương 4. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Đầu tiên là một số kết quả cơ bản về nửa nhóm toán tử cùng toán tử sinh của chúng. Tiếp đến chúng tôi trình bày về các toán tử tuyến tính xác định dương có phổ rời rạc và toán tử quạt, đặc biệt các kết quả về đánh giá nhị phân đối với các nửa nhóm đó sinh bởi chúng sẽ được nhấn mạnh. Các kết quả về tính hyperbolic của nửa nhóm, Định lí Ánh xạ phổ, Định lí Nhiễu bị chặn và dáng điệu của phổ và giải thức dưới tác động của nhiễu nhỏ cũng được liệt kê. Phần cuối chương là những kiến thức cơ bản về không gian hàm chấp nhận được. 1.1 Nửa nhóm toán tử Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh của chúng. Tài liệu tham khảo chính là Engel K.J. & Nagel R. (2000) (xem thêm C.T. Anh & T.Đ. Kế (2016)). 1.2 1.2.1 Toán tử tuyến tính Toán tử xác định dương có phổ rời rạc GIẢ THIẾT A. Cho X là một không gian Hilbert tách được và giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên X. Giả sử A là một toán tử tự liên hợp với phổ rời rạc trong X thỏa mãn 0 < λ1 6 λ2 6 . . . 6 λk 6 . . . trong đó mỗi λj có bội hữu hạn, và lim λk = ∞. (1.1) (1.2) k→∞ Giả sử {ek }k là một cơ sở trực chuẩn trong X tương ứng với các giá trị riêng của toán tử A, nghĩa là Aek = λk ek . Giả sử λn và λn+1 là hai giá trị riêng liên tiếp khác nhau và thỏa mãn λn < λn+1 . Gọi P là phép chiếu trực giao lên không gian vector con span{e1 , e2 , . . . , en } sinh ra bởi n vector riêng đầu tiên của toán tử A. 1.2.2 Toán tử quạt và Nửa nhóm giải tích Toán tử quạt và nửa nhóm giải tích là các công cụ quan trọng trong nghiên cứu các bài toán parabolic trừu tượng. Phần này được dành để nhắc lại một số khái niệm cơ bản nhất về toán tử quạt và nửa nhóm giải tích. Trong các Chương 2 và Chương 3 của luận án này, chúng tôi xét một số lớp các phương trình tiến hóa có phần tuyến tính là toán tử quạt theo định nghĩa sau đây. 5 Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian Banach. Một toán tử tuyến tính B : X ⊃ D(B) → X được gọi là một toán tử quạt nếu (1) B là một toán tử tuyến tính đóng và có tập xác định trù mật trong X; (2) Tồn tại các số thực ω ∈ R, σ ∈ 0, π2 và M > 1 sao cho o n π π ρ(B) ⊃ Σσ+ 2 ,ω := z ∈ C : | arg(z − ω)| < σ + , z 6= ω 2 (tập hợp Σσ+ π2 ,ω được gọi là quạt) và giải thức của toán tử B thỏa mãn kR(λ, B)k 6 M |λ − ω| với mọi λ ∈ Σσ+ π2 ,ω . (1.3) Trong luận án này, khi chứng minh sự tồn tại của các đa tạp quán tính, chúng tôi sẽ sử dụng một lớp cụ thể các toán tử quạt và đặt giả thiết như sau đây: GIẢ THIẾT B. Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trên một không gian Banach X thỏa π mãn −A là toán tử quạt kiểu (σ, ω) với σ ∈ 0, 2 và ω < 0. Giả sử rằng phổ σ(−A) thỏa mãn σ(−A) = σu (−A) ∪ σc (−A) ⊂ C− với ωu < ωc < ω < 0, trong đó ωu := sup{Re λ : λ ∈ σu (−A)}, ωc := inf{Re λ : λ ∈ σc (−A)} (1.4) và σc (−A) là một tập hợp compact. Dưới Giả thiết B ta có thể chọn các số κ và µ thỏa mãn ωu < κ < µ < ωc < 0. Gọi P là phép chiếu Riesz liên quan đến tập hợp σc (−A) được xác định bởi Z 1 R(λ, −A)dλ, P = 2πi `+ (1.5) (1.6) trong đó `+ là một đường cong chính quy đóng chứa trong ρ(−A), bao quanh phần phổ σc (−A) và định hướng ngược chiều kim đồng hồ. Bây giờ, ta sẽ phát biểu và chứng minh một số tính chất, được gọi là đánh giá nhị phân −tA . của nửa nhóm giải tích e t>0 Mệnh đề 1.2. Giả sử κ < µ < 0 là các số thực được chọn như trong (1.5). Với β > 0 ta có các đánh giá nhị phân sau đây: ke−tA P k 6 M1 e−µ|t| với mọi t ∈ R, (1.7) β −tA với mọi t ∈ R, (1.8) kA e P k 6 M2 e −µ|t| ke−tA (I − P )k 6 M eκt N kAβ e−tA (I − P )k 6 β eκt t với mọi t > 0, (1.9) với mọi t > 0. (1.10) Chúng tôi sẽ kết thúc mục này bằng việc trình bày định nghĩa của hàm Green, mà nó có vai trò rất quan trọng trong công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt ở các chương sau. Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn Giả thiết A hoặc Giả thiết B. Khi đó, ta định nghĩa hàm Green ( e−(t−τ )A (I − P ) với mọi t > τ, G(t, τ ) := (1.11) −e−(t−τ )A P với mọi t 6 τ. 6 1.2.3 Kết quả bổ trợ Mục này dành để liệt hai kết quả bổ trợ về nhiễu của nửa nhóm và dáng điệu của phổ và giải thức của một toán tử tuyến tính dưới tác động của nhiễu nhỏ. Kết quả này sẽ được dùng trong Chương 2 khi nghiên cứu một toán tử tuyến tính trong một mô hình cạnh tranh. Định lí 1.3 (Định lí Nhiễu bị chặn). Giả sử A là toán tA tử sinh ωtcủa nửa nhóm liên tục mạnh tA e t>0 trên một không gian Banach X thỏa mãn e 6 M e với mọi t > 0, với ω ∈ R và M > 1 nào đó. Nếu B ∈ L(X) thì C := B + A với D(C) := D(A) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t>0 thỏa mãn kS(t)k 6 M e(ω+M kBk)t với mọi t > 0. Định lí 1.4. Giả sử V là một không gian Banach, A ∈ L(V ) và G là một tập mở phủ tập phổ σ(A). Khi đó tồn tại một δ-lân cận Uδ (A) của A sao cho σ(X) ⊂ G với mọi X ∈ Uδ (A). Hơn nữa, với mỗi ε > 0, tồn tại δ sao cho kR(λ, X) − R(λ, A)k < ε với X ∈ Uδ (A) và λ ∈ / G. 1.3 Không gian hàm chấp nhận được Không gian hàm chấp nhận được. Kí hiệu B và λ lần lượt là đại số Borel và độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực R. Không gian L1,loc (R) những hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương trên R (đồng nhất các hàm Rbằng nhau λ-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian Fréchet với các nửa chuẩn pn (f ) = Jn |f (t)|dt trong đó Jn = [n, n + 1] với mỗi n ∈ Z (xem Massera J.L. & Schäffer J.J. (1966)). Để tiện trình bày, nếu một ánh xạ h : J → X đi từ một khoảng J ⊆ R vào một không gian Banach X là đo được (tương ứng, đo được mạnh) thì ta sẽ viết h ∈ Mea(J, X) (tương ứng, h ∈ SMea(J, X)). Định nghĩa 1.5. Không gian vector E bao gồm các hàm thực đo được theo nghĩa Borel trên (R, B, λ) (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) được gọi là một không gian hàm Banach trên (R, B, λ) nếu (1) E là một dàn Banach với chuẩn k · kE , tức là (E, k · kE ) là một không gian Banach, và nếu ϕ ∈ E, ψ là một hàm thực đo được Borel sao cho |ψ(·)| 6 |ϕ(·)| λ-hầu khắp nơi thì ψ ∈ E và kψkE 6 kϕkE . (2) Hàm đặc trưng χA thuộc không gian E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn sup kχ[t,t+1] kE < ∞, t∈R inf kχ[t,t+1] kE > 0. t∈R (3) E ,→ L1,loc (R), tức là, với mỗi nửa chuẩn pn của L1,loc (R), tồn tại một số dương βpn sao cho pn (f ) 6 βpn kf kE với mọi f ∈ E. Tiếp theo chúng ta giới thiệu khái niệm chấp nhận được của không gian hàm như trong định nghĩa sau đây: 7 Định nghĩa 1.6. Không gian hàm Banach E được gọi là không gian hàm chấp nhận được (hoặc đầy đủ hơn là không gian hàm Banach chấp nhận được) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) Tồn tại hằng số M > 1 sao cho với mỗi tập hợp compact [a, b] ⊂ R ta có Z b |ϕ(t)|dt 6 a M (b − a) kϕkE kχ[a,b] kE với mọi ϕ ∈ E. (1.12) (2) Với ϕ ∈ E thì hàm Z t Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ (1.13) t−1 thuộc E. (3) Không gian E là Tτ+ -bất biến và Tτ− -bất biến, trong đó Tτ+ và Tτ− được định nghĩa như sau với mỗi τ ∈ R: Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với mọi t ∈ R, (1.14) Tτ− ϕ(t) với mọi t ∈ R. (1.15) := ϕ(t + τ ) Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 và N2 sao cho kTτ+ k 6 N1 và kTτ− k 6 N2 với mọi τ ∈ R. Phương trình tiến hóa với hệ số Lipschitz thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Xét bài toán Cauchy của phương trình tiến hóa dy + Ay = f (t, y), t > s, dt (1.16) y(s) = ys , s ∈ R, có phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm trên một không gian Banach hoặc Hilber (X, k · k) (tùy tình huống cụ thể trong từng chương). Giả sử (F, k · kF ) là một không gian hàm nào đó đã xác định phụ thuộc vào không gian X và lũy thừa phân thứ Aβ . Để thiết lập đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa, bên cạnh những giả thiết đối với toán tử tuyến tính A, ta cần tính chất ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến f . Trong định nghĩa sau đây chúng tôi sẽ định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz một cách tổng quát, các tình huống cụ thể sẽ được thảo luận sau. Định nghĩa 1.7. Cho E là một không gian hàm chấp nhận được trên R và ϕ là một hàm dương thuộc E. Khi đó, một hàm f : R × F → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn các tính chất: (1) kf (t, y)k 6 ϕ(t) (1 + kykF ) với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và với mọi y ∈ F, (2) kf (t, y1 ) − f (t, y2 )k 6 ϕ(t)ky1 − y2 kF với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và với mọi y1 , y2 ∈ F. Trong các mô hình ứng dụng, tính chất ϕ-Lipschitz thường chỉ xảy ra địa phương, tức là các điều kiện trong Định nghĩa 1.7 đúng trên một hình cầu BR tâm tại gốc tọa độ và bán kính R nào đó. Ta có kỹ thuật sau đây để chuyển tính chất tính chất ϕ-Lipschitz địa phương về toàn cục. Giả sử f là hàm ϕ-Lipschitz địa phương trên hình cầu BR , và χ(s) là một hàm 8 số khả vi vô hạn trên [0, ∞) sao cho χ(s) = 1 với 0 6 s 6 1; χ(s) = 0 với s > 2; 0 6 χ(s) 6 1 và |χ0 (s)| 6 2 với s ∈ [0, ∞). Ta xác định ánh xạ cắt bỏ fR bởi kykF f (t, y), với mọi y ∈ F. (1.17) fR (t, y) := χ R Khi đó, kết quả sau đây có thể nhận được bằng các tính toán sơ cấp. Mệnh đề 1.8. Xét phương trình tiến hóa (1.16) với f (t, y) là một hàm ϕ-Lipschitz địa 2 phương trên hình cầu BR . Khi đó ánh xạ cắt bỏ fR (t, y) là ϕ̃-Lipschitz với ϕ̃ := 2R +5R+2 ϕ . R Các giả thiết liên quan đến số hạng phi tuyến. Bây giờ chúng tôi sẽ đề cập đến các giả thiết liên quan đến số hạng phi tuyến của các phương trình tiến hóa trong luận án. GIẢ THIẾT C. Giả sử ϕ là một hàm dương thuộc E. Số hạng phi tuyến được giả thiết là thỏa mãn điều kiện ϕ(τ ) t−1 (t − τ ) R(ϕ, β) := sup t∈R 2β ! 1+β 1+β 2β t Z 1+β 2 s, (2.1) trong đó A là một toán tử tuyến tính thỏa mãn Giả thiết A hoặc Giả thiết B và f : R × Xβ → X, với Xβ := D(Aβ ) là miền xác định của lũy thừa phân thứ Aβ , là một ánh xạ phi tuyến ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C. Trong trường hợp không gian trạng thái là vô hạn chiều, thay cho phương trình parabolic (2.1), ta xét phương trình tích phân Z t −(t−s)A u(t) = e u(s) + e−(t−ξ)A f (ξ, u(ξ))dξ, t > s hầu khắp nơi. (2.2) s 10 Một nghiệm của phương trình (2.2) là một hàm số đo được mạnh u(t) xác định trên một khoảng J nhận giá trị trong không gian Xβ thỏa mãn phương trình (2.2) với mọi t, s ∈ J. Nghiệm u của phương trình (2.2) được gọi là một nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1). Định nghĩa2.1. Một đa tạp quán tính của phương trình (2.2) là một họ những đa tạp Lipschitz M = Mt t∈R trong X thỏa mãn với mỗi Mt là đồ thị của ánh xạ Lipschitz Φt : P X → (I − P )Xβ , tức là Mt = {x + Φt x : x ∈ P X} với mọi t ∈ R và thỏa mãn các điều kiện sau đây: (1) Hằng số Lipschitz của ánh xạ Φt là độc lập với thời gian t, tức là có hằng số C không phụ thuộc thời gian t và thỏa mãn β A (Φt x1 − Φt x2 ) 6 C Aβ (x1 − x2 ) . (2.3) (2) Tồn tại một hằng số γ > 0 sao cho mỗi x0 ∈ Mt0 sẽ tồn tại duy nhất một nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn u(t0 ) = x0 và esssup e−γ(t0 −t) Aβ u(t) < ∞. (2.4) t6t0 (3) Đa tạp M = Mt t∈R là bất biến dương đối với phương trình tích phân (2.2). Tức là, nếu một nghiệm x(t) với t > s của phương trình (2.2) thỏa mãn xs ∈ Ms thì x(t) ∈ Mt với t > s. (4) Đa tạp M = Mt t∈R hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (2.2), tức là với mỗi nghiệm u(·) của phương trình (2.2) và với mỗi s ∈ R cố định, tồn tại hằng số dương H thỏa mãn distXβ (u(t), Mt ) 6 He−γ(t−s) với mọi t > s, (2.5) với γ là hằng số dương thỏa mãn (2.4) và distXβ là kí hiệu của nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn trong Xβ . Để đặt bài toán cho chương này, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc nhắc lại kết quả của Nguyen T.H. (2012) về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình parabolic (2.1) trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Kết quả này được phát biểu trong định lí dưới đây : Định lí 2.2 (xem Nguyen T.H. (2012)). Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết A và ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được E. Cho f là hàm ϕ-Lipschitz thỏa mãn Giả thiết C. Giả sử λn < λn+1 là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử A thỏa mãn k 0, j=1 , u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > 0, u(0, x) = u0 (x), 0 6 x 6 π, trong đó u = u(t, x) là biến trạng thái, với x ∈ Ω := (0, π), y là quan sát, g = (gi )i là điều khiển, f là một số hạng phi tuyến, và I, J ∈ N. Các hàm ψi được gọi là các cơ cấu chấp hành và được giả sử thuộc không gian Sobolev H01 (Ω). Dãy điểm phân biệt xj trong Ω được gọi là các điểm quan sát. Giả sử xj là một dãy tăng theo j. Trong bài toán này, xét không gian trạng thái là X = H01 (Ω) được trang bị chuẩn kuk = |Du|, với u ∈ X, trong đó | · | ký hiệu cho L2 -chuẩn trên Ω như thông thường và Du là đạo hàm của u. Ký hiệu ((·, ·)) và (·, ·) lần lượt là các tích vô hướng trong X và L2 (Ω). Xét toán tử tuyến tính A = −∆ và giả sử Z1 và Z2 là hai không gian Hilbert hữu hạn chiều. Giả sử rằng Z1 ' RI−1 và Z2 ' RJ−1 . Chúng ta định nghĩa hai toán tử tuyến tính bị chặn B : Z1 → X bởi Bg = I−1 X với g = (gi )I−1 i=1 ∈ Z1 , gi ψi (x) (2.16) i=1 C : X → Z2 J−1 bởi Cu = ((Cu)j )J−1 j=1 = (u(xj ))j=1 với u ∈ X. (2.17) Bây giờ ta có thể viết lại bài toán điều khiển (2.15) trong không gian Sobolev X = H01 (Ω) như sau: du + Au = f (u) + Bg, dt (2.18) y = Cu. Chúng ta muốn xây dựng luật điều khiển g như là một hàm của quan sát y sao cho hệ vòng kín hành xử theo một cách thức được kỳ vọng nào đó. Luận án sẽ mở rộng cho trường hợp luật điều khiển phụ thuộc vào cả thời gian và quan sát. Để làm điều đó, chúng tôi xét hệ điều khiển vô hạn chiều không ôtônôm có dạng du + Au = f (t, u) + Bg, dt (2.19) y = Cu. Giả sử có dãy số thực {x̃i }Ii=1 , với 0 = x̃0 < . . . < x̃i < x̃i+1 < . . . < x̃I = π, 14 và ψi , với i = 1, . . . , I − 1, được cho bởi công thức tường minh x−x̃i−1 x ∈ [x̃i−1 , x̃i ), h̃i , −x ψi (x) = x̃i+1 , x ∈ [x̃i , x̃i+1 ), h̃i+1 0, trong các trường hợp khác, (2.20) trong đó h̃i = x̃i − x̃i−1 . Đặt hj = xj − xj−1 , 2.5.2 h = max{hj }, j n o h̃ = max h̃i . i (2.21) Động lực mong muốn Đầu tiên, xét một ánh xạ phi tuyến W : R × Pn0 X → Pn0 X thỏa mãn kW (t, u) − W (t, v)k 6 ς1 (t)ku − vk kDW (t, u) − DW (t, v)kL(X) 6 ς2 (t)ku − vkν với mọi u, v ∈ Pn0 X, với mọi u, v ∈ Pn0 X, (2.22) (2.23) với các hàm thực dương ςi (t), với i = 1, 2, và thuộc một không gian hàm chấp nhận được, và với ν như trong (2.13). Bây giờ, chúng ta xét hệ điều khiển không ôtônôm du + Au = f (t, u) + Bg, dt (2.24) y = Cu trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều X và phương trình vi phân thường không ôtônôm hữu hạn chiều dz(t) = W (t, z(t)), (2.25) dt trong đó n0 ∈ N được cho trước. Chúng ta mong rằng động lực của hệ điều khiển vô hạn chiều (2.24) sẽ được mô tả đầy đủ bởi hệ hữu hạn chiều (2.25). 2.5.3 Các toán tử điều khiển đầu vào và đầu ra Bổ đề 2.7. Với hai số tự nhiên bất kỳ m và n, các toán tử tuyến tính B và C có các ước lượng r 2 (CPm )−1 6 , (2.26) ` L(Z2 ,X) 1 − 2h2 λm s 1 (Pn B)−1 6 . (2.27) r L(Pn X,Z1 ) 1 − 4h̃2 λn 2.5.4 Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều Xét hai số tự nhiên m và n bất kỳ m > n > n∗ , 15 (2.28) trong đó n∗ ∈ N sao cho Định lí 2.2 được thỏa mãn. Chọn các số thực xj và xi sao cho √ 3 1 h̃ 6 1/2 và h 6 1/2 , (2.29) 4λn0 2λm do đó s 1 62 1 − 4h̃λn r và 2 6 2. 1 − 2hλm Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ g : R × Z2 → Z1 bởi −1 APn0 (CPm )−1 g(t, y) = (Pn B)−1 r ` + W t, Pn0 (CPm )` y − −1 − Pn f t, (CPm )` y (2.30) (2.31) với mọi y ∈ Z2 và t ∈ R. Bởi Bổ đề 2.7, ta có g là một ánh xạ Lipschitz toàn cục với hệ số Lipschitz Lip(g) 6 ξ(t), (2.32) trong đó ξ(t) := 4 (λn0 + ς1 (t) + ϕ(t)) với mọi t ∈ R. 2.5.5 Đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín Với luật điều khiển phản hồi g được xác định bởi (2.31) ta có thể viết hệ điều khiển (2.18) dưới dạng vòng kín du + Au = f (t, u) + Bg(t, Cu). (2.33) dt Cùng với hệ vòng kín, ta xét phương trình parabolic phụ trợ dv + Av = Pm f (t, Pm v) + Pm Bg(t, CPm v). dt (2.34) Chú ý rằng số hạng phi tuyến của cả hai phương trình parabolic trên có hệ số Lipschitz nhỏ hơn hoặc bằng η(t) := ϕ(t) + ξ(t) với t ∈ R. Chúng ta mong muốn rằng dưới các điều kiện thích hợp, các phương trình parabolic (2.33) và (2.34) sẽ có các đa tạp quán tính. Áp dụng Định lí 2.2 cho cácR phương trình parabolic t (2.33) và (2.34), ta có, nếu n∗ là đủ lớn và chuẩn kΛ1 ηk∞ = supt∈R t−1 η(τ )dτ là đủ nhỏ, thì tồn tại các đa tạp quán tính M = Mt t∈R và N = Nt t∈R , tương ứng, đối với hai phương trình parabolic (2.33) và (2.34). Khi các phương trình parabolic (2.33) và (2.34) có các đa tạp quán tính, các dạng quán tính trên không gian hữu hạn chiều Pn X là dp + Ap = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p))), dt dρ + Aρ = Pn f (t, Pm (ρ + Ψt (ρ))) + Pn Bg(t, CPm (ρ + Ψt (ρ))). dt (2.35) (2.36) Do vậy, dạng quán tính đối với phương trình parabolic phụ trợ (2.34) dẫn đến dρ + A(Pn − Pn0 )ρ = W (t, Pn0 ρ), dt 16 (2.37) Liên quan dạng quán tính (2.35), ta có thể viết nó thành dp + A(Pn − Pn0 )p = W (t, Pn0 p) + ε(t, p), dt (2.38) trong đó số hạng ε(t, p) được coi như là một sai số và được cho bởi ε(t, p) = Pn f (t, p + Φt (p)) + Pn Bg(t, C(p + Φt (p))) −Pn f (t, p + Pm Ψt (p)) − Pn Bg(t, C(p + Pm Ψt (p))). Ta có Lip(ε) = ϕ(t) + ξ(t) := η(t). Bằng việc sử dụng các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận được của các không gian hàm, ta nhận được các đánh giá η(t) (c1 + c2 kpk) với mọi p ∈ Pn X, c3 c4 kDε(t, p)kL(Pn X) 6 η(t) + ν/2 với mọi p ∈ Pn X, 1/2 λm λm kε(t, p)k 6 1/2 (2.39) λm (2.40) trong đó các hằng số ci sao cho ci = ci (n0 , n, kΛ1 ϕk∞ , kΛ1 ς1 k∞ ) , với i = 1, 2, 3, c4 = c4 (n0 , n, kΛ1 ϕ2 k∞ , kΛ1 ς2 k∞ , ν) Chúng tôi sẽ tổng kết các sự kiện trên trong định lí sau đây: Định lí 2.8. Xét hệ vòng hở (2.15). Giả sử phương trình vi phân thường không ôtônôm (2.25) được cho với n0 ∈ N và hàm phi tuyến W thỏa mãn các điều kiện (2.22) và (2.23). Nếu luật phản hồi g = g(t, y) được cho bởi (2.31), thì hệ vòng kín (2.33) có một đa tạp quán tính mà (2.38) có sai số thỏa mãn đánh giá (2.39) và (2.40). Định lí 2.9. Giả sử các giả thiết trong Định lí 2.8 xảy ra. Giả sử tồn tại α > 0, r0 > 0 sao cho hàm phi tuyến W thỏa mãn điều kiện ((W (t, z), z)) 6 −αkzk với mọi kzk > r0 , và dòng cảm sinh bởi dz = W (t, z) với z được hạn chế đến hình cầu Brn00 := {z ∈ Pn0 X : kzk 6 r0 } là dt ổn định cấu trúc. Nếu luật phản hồi g = g(t, y) được cho bởi (2.31) với số tự nhiên m được chọn đủ lớn, thì động lực trong thời gian dài của dạng quán tính (2.38) của hệ vòng kín (2.33) được chứa trong hình cầu Brn0 = {p ∈ Pn X : kpk 6 r0 } và dòng tương ứng hạn chế lên hình cầu Brn0 này là tương đương tôpô với dòng cho bởi (2.37). 17 Chương 3 ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM CÓ TRỄ HỮU HẠN Trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn du + Au = L(t)ut + g(t, ut ) trong đó toán tử đạo dt hàm riêng A là dương sao cho −A là toán tử quạt với một kẽ hở đủ lớn trong tập phổ, ánh xạ t 7→ L(t) nhận giá trị toán tử, biến mỗi thời điểm thành một toán tử tuyến tính bị chặn, và g là một ánh xạ phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kg(t, ψ)k 6 ϕ(t) 1 + |ψ| Cβ và kg(t, ψ) − g(t, φ)k 6 ϕ(t)|ψ − φ| Cβ với Cβ := C [−h, 0], D(Aβ ) . Ở đây, kL(·)k và ϕ được giả thiết là thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được nào đó. Ký hiệu ut là hàm lịch sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với mọi θ ∈ [−h, 0], trong đó h > 0 là một số cố định. Phương pháp chính của chương này là dựa vào phương trình Lyapunov-Perron, lý thuyết nửa nhóm giải tích, kết hợp với tính chất chấp nhận được của không gian hàm. Nội dung của chương này được viết theo công trình [1] trong Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án. 3.1 Đặt bài toán Được gợi ý từ phương trình Hutchinson với khuếch tán, chúng tôi xét một lớp các phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng du(t) + Au(t) = L(t)u + g(t, u ), t > s, t t (3.1) dt us = φ ∈ Cβ . Thay cho phương trình đạo hàm riêng hàm (3.1) ta xét phương trình tích phân Z t −(t−s)A u(t) = e u(s) + e−(t−ξ)A [L(ξ)uξ + g(ξ, uξ )]dξ (3.2) s với t > s hầu khắp nơi. Một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hàm (3.2) là một hàm liên tục mạnh u(t) xác định trên một khoảng J với các giá trị trong Xβ := D(Aβ ) mà thỏa mãn (3.2) với t, s ∈ J. Nghiệm u của phương trình tích phân (3.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình đạo hàm riêng hàm (3.1). Giả sử rằng toán tử A thỏa mãn Giả thiết B và xét phép chiếu Riesz P được xác định bởi (1.6), xét toán tử Pe trong không gian trạng thái Cβ bởi Peφ = (Peφ)(θ) := e−θA P φ(0), trong đó θ ∈ [−h, 0] và φ = φ(θ) là một phần tử của không gian hàm Cβ . 18 (3.3) Tải về bản full