Đa Tạp Quán Tính Xấp Xỉ Và ưng Dụng - 123doc

Khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng là một trong các nội dung quan trọng cần được nghiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM MẠNH HÙNG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM MẠNH HÙNG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CUNG THẾ ANH

Hà Nội - Năm 2014

Mục lục

1.1 Phát biểu bài toán biên ban đầu đối với hệ Navier-Stokes 6

1.2 Các không gian hàm và các toán tử 6

1.2.1 Các không gian hàm 6

1.2.2 Các toán tử 7

1.3 Một số kết quả về hệ phương trình Navier-Stokes 11

1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 11

1.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục 14

1.3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng 16

1.3.4 Đánh giá số chiều của tập hút toàn cục 18

2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng 24 2.1 Đặt vấn đề 24

2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm 25

2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 28

2.3.1 Phương trình của đa tạp 28

2.3.2 Các đánh giá về khoảng cách của quỹ đạo tới M0 30

2.3.3 Ví dụ minh họa 31

MỤC LỤC

2

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS TS Cung Thế Anh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người

đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014

Học viên

Phạm Mạnh Hùng

Lời nói đầu

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát Một trong những lớp hệ phương trình

cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ phương trình Navier-Stokes

Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:







∂u

∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t) x ∈ Ω, t > 0,

(1)

ở đó, u = u(x, t); p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, hằng số ν > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực

Khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng là một trong các nội dung quan trọng cần được nghiên cứu vì nó cho phép dự đoán xu hướng phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn

Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường được nghiên cứu bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút hoặc trong tình huống đơn giản hơn là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng (xem [10]) Tuy nhiên, tập hút toàn cục thường có cấu trúc hình học rất phức tạp và không ổn định đối với nhiễu; vì vậy nó không thật phù hợp cho các vấn đề xấp xỉ số dáng điệu của nghiệm khi thời gian lớn Bên cạnh

đó, lí thuyết đa tạp quán tính (là một đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến

và hút mũ các quỹ đạo) cũng là công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]) Đa tạp quán tính, nếu tồn tại, sẽ chứa tập hút toàn cục và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét; nói riêng là có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của

hệ rút gọn trên đa tạp quán tính, là hệ hữu hạn chiều Tuy nhiên, các phương

4

Lời nói đầu

pháp kiến thiết đa tạp quán tính đã biết đều yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn, tức là khoảng cách giữa hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn Mặc dù chỉ là điều kiện đủ, nhưng đây là điều kiện rất ngặt và nhiều phương trình quan trọng trong vật lí toán không thỏa mãn

Cho đến nay, sự tồn tại đa tạp quán tính đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều vẫn là câu hỏi mở Tuy nhiên, dựa trên lí thuyết đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam đã xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M0 cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều Đa tạp quán tính này xấp xỉ tập hút toàn cục tốt hơn so với sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ thông thường Hm (là

đa tạp tuyến tính), nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển

Luận văn này trình bày các kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính xấp xỉ M0

đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều và ứng dụng trong vấn đề xấp

xỉ nghiệm Nội dung chính của luận văn dựa trên các bài báo [2, 11] trong Danh mục tài liệu tham khảo Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Navier-Stokes

Ta biết rằng sự tồn tại tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn là điều kiện cần để tồn tại đa tạp quán tính

Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes và ứng dụng

Trong chương này, trước hết dựa trên phương pháp Galerkin cổ điển, chúng tôi trình bày dáng điệu của các dòng xoáy nhỏ của hệ phương trình Navier-Stokes bằng cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ H m Tiếp theo, chúng tôi trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M0 và đưa ra ước lượng về khoảng cách của quỹ đạo đến đa tạp này Cuối cùng chúng tôi trình bày một ví dụ minh họa cho tính ưu việt của đa tạp M0 so với đa tạp Hm

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả cổ điển về sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn Các kết quả trong chương này dựa theo [9, 10]

Giả sử Ω là miền bị chặn trong R2 với biên ∂Ω trơn Xét bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:















∂u

∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x) x ∈ Ω,

(1.1)

trong đó u = (u1, u2)T là hàm vectơ vận tốc, p : Ω → R là hàm áp suất, hằng số

ν > 0 là hệ số nhớt

Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm và các toán tử thường dùng khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes

1.2.1 Các không gian hàm.

Kí hiệu:

V = {u ∈ (C0∞(Ω))2: ∇ · u = 0}.

6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét các không gian hàm sau:

V = V(H

1 (Ω)) 2

= {u ∈ (H01(Ω))2 : ∇ · u = 0} là bao đóng của V trong (H01(Ω))2,

H = V(L

2

(Ω))2

là bao đóng của V trong (L2(Ω))2.

Khi đó H và V là các không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là:

(u, v) = (u, v)H =

Z Ω

u · vdx =

Z Ω

2 X i=1

uividx,

((u, v)) = (u, v)V =

Z Ω

2 X i=1

∇u i · ∇v i dx =

Z Ω

2 X i,j=1

∂ui

∂xj

∂vi

∂xjdx,

trong đó u = (u1, u2)T, v = (v1, v2)T.

Gọi H⊥ là phần bù trực giao của H trong (L2(Ω))2 Từ kết quả trong Temam [8], ta có

H⊥ = {u ∈ (L2(Ω))2 : u =gradp, p ∈ H1(Ω)}.

Gọi V0 là không gian đối ngẫu của V Ta kí hiệu |.|, k.k lần lượt là chuẩn trong

H và trong V, k.k∗ là chuẩn trong V0

1.2.2 Các toán tử

∗ Toán tử A:

Giả sử A : V → V0 là toán tử xác định bởi

hAu, vi = ((u, v)), ∀u, v ∈ V.

Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có:

D(A) = {u ∈ H : Au ∈ H} = (H2(Ω))2∩ V.

Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương

và có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H01(Ω) ,→ L2(Ω) là compact Do đó, phổ của A gồm toàn giá trị riêng {λ i }∞i=1 với

0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n ≤ , λ n → +∞khin → +∞,

và các hàm riêng tương ứng {w j }∞j=1 ⊂ D(A) lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H

Ta có:

|Aφ| 2 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

∗ Toán tử B:

Đặt

b(u, v, w) =

2 X i,j=1 Z Ω

ui∂vj

∂xiwjdx.

Khi đó, b(., , ) là một dạng 3-tuyến tính liên tục trên (H01(Ω))2, hay nói riêng trên V

Chứng minh

|b(u, v, w)| =

Z Ω

2 X i,j=1

ui∂vj

∂x i

wjdx

≤

2 X i,j=1

Z Ω

|ui|4dx

1

4Z Ω

∂vj

∂x i

|2dx

1

2Z Ω

|wj|4dx

1 4

≤ CkukL4 kvkH1 kwkL4 ≤ CkukH1 kvkH1 kwkH1 ,

ở đó ta đã sử dụng phép nhúng H1(Ω) ,→ L4(Ω)

Ngoài ra, ta có

b(u, v, w) = −b(u, w, v) ∀u, v, w ∈ V.

Nói riêng

b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V.

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya khi n = 2) Với bất kì tập mở

Ω ⊂ R2, ta có:

kνkL4 (Ω) ≤ 214 kνk

1 2

L 2 (Ω) k∇νk

1 2

L 2 (Ω) , ∀ν ∈ H01(Ω). (1.3) Chứng minh Vì C0∞(Ω) trù mật trong H01(Ω) nên ta chỉ cần chứng minh (1.3) đúng với mọi ν ∈ C0∞(Ω) Với ν ∈ C0∞(Ω), ta có

ν2(x) = 2

x 1

Z

−∞

ν(ξ1, x2) ∂ν

∂x 1

(ξ2, x2)dξ1.

Suy ra ν2(x) ≤ 2ν1(x2), ở đây

ν1(x2) =

+∞

Z

−∞

|ν(ξ1, x2)|

∂ν

∂x1(ξ1, x2)

dξ1.

Tương tự, ta cũng có ν2(x) ≤ 2ν2(x1), với

ν2(x1) =

+∞

Z

−∞

|ν(x1, ξ2)|

∂ν

∂x1(x1, ξ2)

dξ2.

8

Tài liệu tham khảo

[1] P Constantin, C Foias, B Nicolaenko and R Temam (1988), Integral Man-ifolds and Inertial ManMan-ifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York

[2] C Foias, O Manley and R Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél Math Anal Numér 22, 93-118

[3] C Foias, G R Sell and R Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J Differential Equations, 309-353

[4] B García-Archilla, J Novo and E Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the Navier-Stokes equations, Math Comp 68, 893-911

[5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N-sphere and in the plane, and some applications, Proc Lond Math Soc 67, 159-182

[6] L.G Margolin, E Titi and S Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view, SIAM

J Numer Anal 41, 695-714

[7] G Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J Math Pures Appl 57, 133-156 [8] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations Theory and Numerical Analy-sis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland

[9] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Anal-ysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia

[10] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag

[11] E Titi (1990), On approximate inertial manifolds to the Navier-Stokes