Dạng 3: Thay đổi Một Trong Các đại Lượng để Pmax

* Thay đổi L, C, \(\omega\) để Pmax

Ta có: \(P = RI^2 = R. \frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2}\) Khi L, C, \(\omega\) thay đổi ⇒ \((Z_L - Z_C)^2\) thay đổi \(\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow Z_L - Z_C = 0 \Leftrightarrow Z_L = Z_C\): Xảy ra cộng hưởng điện Lúc này: \(\left\{\begin{matrix} P_{max} = UI_{max} = RI_{max}^{2} = \frac{U^2}{R}\\ (\cos \varphi )_{max} = 1 \hspace{2,6cm} \end{matrix}\right.\)

* Thay đổi R để Pmax Ta có: \(P = R.\frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2} = \frac{U^2}{\frac{R^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}}\) \(\Leftrightarrow P = \frac{U^2}{R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R}}\) Do U không đổi \(\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \right ]_{min}\) Mà: \(R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \geq 2|Z_L - Z_C|\) Dấu "=" xảy ra khi \(R = \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \Rightarrow R = |Z_L - Z_C|\) Vậy thay đổi R để Pmax thì: \(\left\{\begin{matrix} R = |Z_L - Z_C| \hspace{3,8cm} \\ P_{max} = \frac{U^2}{2R} = \frac{U^2}{R}\cos ^2 \varphi \Rightarrow \cos ^2 \varphi = \frac{1}{2}\\ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707 \hspace{3cm} \end{matrix}\right.\)

* Cuộn dây có điện trở r \(\\ \cdot \ Z_d = \sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}} \Rightarrow U_d= \sqrt{U_{r}^{2} + U_{L}^{2}} \\ \cdot \tan \varphi _d = \frac{Z_L}{r}'\ \cos \varphi _d = \frac{r}{Z_d} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}}} \\ \cdot P_{cd} = rI^2 = r\frac{U^2}{(R + r)^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)

* Thay đổi R để (Pmạch)max Ta có \(P_{mach} = R_b.\frac{U^2}{R_{b}^{2} + (Z_L - Z_C)^2},\ R_b = R + r\) ⇒​ (Pmạch)max khi \(\left\{\begin{matrix} R_b= |Z_L - Z_C| \ \ \\ (P_{mach})_{max} = \frac{U^2}{2R_b} \end{matrix}\right.\) Nếu \(r \geq |Z_L - Z_C| \Rightarrow R_b = r\) (Lúc này R = 0)

* Thay đổi R để (PR)max Ta có: \(P_R = R.I^2 = R.\frac{U^2}{(R+r)^2 + (Z_L - Z_C)^2} = \frac{U^2}{R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}+2r}\) Do U không đổi \(\Rightarrow (P_R)_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R} \right ]_{min}\) Mà: \(R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}\geq 2.\sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(R = \sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\) Lúc này: \((P_R)_{max} = \frac{U^2}{2(R+r)}\)

VD1: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số góc thay đổi được vào hai đầu mạch RLC ghép nối tiếp khi f = f1 thì Pmax = 200 W. Khi f = f2 thì điện áp hai đầu đoạn mạch lệch pha nhau \(\frac{\pi }{6}\) so với điện áp hai đầu tụ C. Tìm P lúc này? Giải: \(f = f_1 \Rightarrow P_{max} = 200 = \frac{U^2}{R}\) (CHĐ) f = f2 ⇒ u lệch pha \(\frac{\pi }{6}\) so với uC \(\Rightarrow P = P_{max}.\cos ^2 \varphi\) Vậy: \(P = 200.\cos ^2 \left ( -\frac{\pi }{3} \right ) = 50\ V\)

VD2: Đặ điện áp \(u = 200\sqrt{2}\cos (100 \pi t - \frac{\pi }{4})\) (V) vào hai đầu đoạn mạch RLC ghép nối tiếp gồm \(R = 60 \ \Omega,\ L = \frac{6}{5 \pi } \ H,\ C = \frac{10^{-4}}{2 \pi }F\) thì công suất tiêu thụ của mạch là P1. Thay R bằng R' thì công suất tiêu thụ mạch cực đại và bằng P2. Tìm \(\frac{P_2}{P_1}\)? Giải: \(Z_L = L\omega = 120\ \Omega ; \ Z_C = \frac{1}{C\omega } = 200 \ \Omega\) Ta có: \(P_1 = R.\frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2} = 60.\frac{200^2}{60^2 + (120 - 200)^2} = 240\ (W)\) Thay R = R' thì \(P_{max} = \left\{\begin{matrix} R' = |Z_L - Z_C| = 80\ \Omega \\ P_{max} = P_2 = \frac{U^2}{2R'} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P_2 = \frac{200^2}{2.80} = \frac{200^2}{160} = 250\ (W)\) \(\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{250}{240} = \frac{25}{24}\)

VD3: Cho mạch điện \(u_{AB} = 100\sqrt{2}\cos 100 \pi t \ (V);\ r = 30\ \Omega ;\ L = 318\ mH;\ C = \frac{10^{-3}}{6 \pi }F\). Khi R = R1 thì (PR)max. Khi R = R2 thì (PAB)max. Tìm tỉ số R1 và R2? Giải: \(\\Z_L = L\omega = 318.10^{-3}.100\pi = 100\ \Omega \\ Z_C = \frac{1}{C\omega } = \frac{1}{\frac{10^{-3}}{6\pi }.100 \pi } = 60\ \Omega \\ \cdot \ R = R_1 \Rightarrow (P_R)_{max} \Rightarrow R_1 = \sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\\ \Rightarrow R_1 = \sqrt{30^2 + (100-60)^2} = 50\ \Omega \\ \cdot \ R = R_2 \Rightarrow (P_{AB})_{max} \Rightarrow R_2 + r = |Z_L - Z_C| \\ \Rightarrow R_2 + 30 = |100-60| = 40 \Rightarrow R_2 = 10\ \Omega\) Vậy: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{50}{10}= 5\)