Đạo Hàm Của Các Hàm Số Lượng Giác (phương Pháp Giải Bài Tập)

§3. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

28. Tìm các giới hạn sau :

Giải

29. Tính đạo hàm của các hàm số sau :

Giải

30. Chứng minh rằng hàm số y = $sin^{6}$x + $cos^{6}$x + 3$sin^{2}$x$cos^{2}$x có đạo hàm bằng 0.

Giải

31. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

Giải

32. Chứng minh rằng :

a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y' - $y^{2}$ - 1 = 0

b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y + 2$y^{2}$ + 2 = 0

Giải

a) y' = 1 + $tan^{2}$x. Do đó y' - $y^{2}$ - 1 = (1 + $tan^{2}$x) - $tan^{2}$x - 1 = 0

b) y' = -2(1 + $cot^{2}$2x). Do đó y' + 2$y^{2}$ + 2 = - 2(1 + $cot^{2}$2x) + 2$cot^{2}$2x + 2 = 0

33. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

Giải

34. Tính f'($\pi$) nếu

Giải

Với mọi x sao cho cosx - xsinx $\neq$ 0, ta có :

35. Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a) y = sin2x - 2cosx ;

b) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x ;

c) y = $cos^{2}$x + sinx ;

d) y = tanx + cotx.

Giải

a) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 2cos2x + 2sinx = 2(1 - 2$sin^{2}$x) + 2sinx

Vậy y' = 0 ⇔ 2$sin^{2}$x - sinx - 1 = 0

b) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 6cos2x – 8sin2x + 10

Vậy y' = 0 ⇔ 4sin2x – 3cos2x = 5

Vì nên có số $\alpha$ sao cho

Thay vào (1), ta được :

c) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = - 2cosxsinx + cosx = cosx(1 - 2sinx)

y' = 0 ⇔ cosx(1 - 2sinx) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 1 - 2sinx = 0

Vậy đáp số là

36. Cho hàm số f(x) = 2$cos^{2}$(4x - 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có $\mid$ f'(x) $\mid$ $\leq$ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Giải

Với mọi x $\in$ R, ta có:

f'(x) = 2.2cos(4x - 1). [-sin(4x - 1)]4 = - 8sin2(4x - 1)

Suy ra $\mid$(f'(x)$\mid$ = 8 $\mid$sin2(4x - 1)$\mid$ $\leq$ 8.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

37. Cho mạch điện như hình vẽ. Lúc đầu tụ điện có điện tích $Q_{0}$. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây, điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = $Q_{0}$sin$\omega$t, trong đó, $\omega$ là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t).

Cho biết $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s. Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến $10^{-5}$mA).

Giải

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :

I(t) = q'(t) = $Q_{0}$$\omega$cos$\omega$t

Khi $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :

38. Cho hàm số y = $cos^{2}$x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = $\pi$ có hệ số góc bằng 1.

b) Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Giải

Đặt f(x) = $cos^{2}$x + msinx, ta có :

f'(x) = - sin2x + mcosx

a) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = $\pi$ là :

f($\pi$) = -sin2$\pi$ + mcos$\pi$ = -m.

Vậy f'($\pi$) = 1 ⇔ m = - 1

b) Điều kiện của bài toán có nghĩa là Ta có :

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số sau không phụ thuộc vào x:

Đáp số : y' = 0

2. Giải phương trình y' = 0 với y = 3cosx + 4sinx + 5x

3. Tính đạo hàm của :