Đạo Hàm Của đối Số Là Gì. Đạo Hàm Là Gì? Định Nghĩa Và ...

Sự định nghĩa. Cho hàm \ (y = f (x) \) được xác định trong khoảng nào đó chứa điểm \ (x_0 \) bên trong. Hãy tăng \ (\ Delta x \) cho đối số để không rời khỏi khoảng này. Tìm số gia tương ứng của hàm \ (\ Delta y \) (khi đi từ điểm \ (x_0 \) đến điểm \ (x_0 + \ Delta x \)) và soạn quan hệ \ (\ frac (\ Delta y ) (\ Delta x) \). Nếu có giới hạn của mối quan hệ này tại \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), thì giới hạn đã chỉ định được gọi là hàm đạo hàm\ (y = f (x) \) tại điểm \ (x_0 \) và biểu thị \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

Kí hiệu y thường được dùng để biểu thị đạo hàm Lưu ý rằng y "= f (x) là một hàm mới, nhưng liên kết tự nhiên với hàm y = f (x), xác định tại mọi điểm x mà tại đó tồn tại giới hạn trên. Hàm này được gọi như thế này: đạo hàm của hàm y \ u003d f (x).

cảm giác hình học phát sinh bao gồm những điều sau đây. Nếu một tiếp tuyến không song song với trục y có thể được vẽ tới đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) tại một điểm có hoành độ x \ u003d a, thì f (a) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến: \ (k = f "(a) \)

Vì \ (k = tg (a) \) nên đẳng thức \ (f "(a) = tg (a) \) là đúng.

Và bây giờ chúng ta giải thích định nghĩa của đạo hàm dưới dạng xấp xỉ bằng nhau. Để hàm \ (y = f (x) \) có đạo hàm tại một điểm cụ thể \ (x \): $$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$ Điều này có nghĩa là gần điểm x, bình đẳng gần đúng \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ khoảng f "(x) \), tức là \ (\ Delta y \ khoảng f" (x) \ cdot \ Deltax \). Ý nghĩa có ý nghĩa của đẳng thức gần đúng thu được như sau: số gia của hàm "gần như tỷ lệ thuận" với gia số của đối số và hệ số tỷ lệ là giá trị của đạo hàm trong điểm đã cho X. Ví dụ: đối với hàm \ (y = x ^ 2 \), đẳng thức gần đúng \ (\ Delta y \ khoảng 2x \ cdot \ Delta x \) là đúng. Nếu chúng ta phân tích kỹ định nghĩa của đạo hàm, chúng ta sẽ thấy rằng nó chứa một thuật toán để tìm ra nó.

Hãy hình thành nó.

Làm thế nào để tìm đạo hàm của hàm y \ u003d f (x)?

1. Sửa giá trị \ (x \), tìm \ (f (x) \) 2. Đối số lũy thừa \ (x \) \ (\ Delta x \), đi tới điểm mới\ (x + \ Delta x \), tìm \ (f (x + \ Delta x) \) 3. Tìm gia số của hàm: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \) 4. Soạn quan hệ \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \) 5. Tính $$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$ Giới hạn này là đạo hàm của hàm số tại x.

Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x thì được gọi là vi phân tại điểm x. Quy trình tìm đạo hàm của hàm y \ u003d f (x) được gọi là sự khác biệt các hàm y = f (x).

Chúng ta hãy thảo luận câu hỏi sau: tính liên tục và tính phân biệt của một hàm tại một điểm có liên quan như thế nào?

Cho hàm số y = f (x) đồng biến tại điểm x. Khi đó, một tiếp tuyến có thể được vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm M (x; f (x)) và nhớ lại, hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(x). Một đồ thị như vậy không thể" phá vỡ "tại điểm M tức là hàm số phải liên tục tại x.

Đó là lý luận "trên đầu ngón tay". Hãy để chúng tôi trình bày một lập luận chặt chẽ hơn. Nếu hàm y = f (x) có thể phân biệt được tại điểm x, thì đẳng thức gần đúng \ (\ Delta y \ xấp xỉ f "(x) \ cdot \ Delta x \) giữ nguyên. 0, thì \ (\ Delta y \ ) cũng sẽ có xu hướng bằng không, và đây là điều kiện cho tính liên tục của hàm tại một điểm.

Cho nên, nếu một hàm có thể phân biệt được tại một điểm x, thì nó cũng liên tục tại điểm đó.

Chuyện này là không đúng sự thật. Ví dụ: hàm y = | x | liên tục ở mọi nơi, cụ thể là tại điểm x = 0, nhưng tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại “điểm chung” (0; 0) không tồn tại. Nếu đến một lúc nào đó không thể vẽ được tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì lúc này không có đạo hàm.

Thêm một ví dụ nữa. Hàm \ (y = \ sqrt (x) \) liên tục trên toàn bộ trục số, kể cả tại điểm x = 0. Và tiếp tuyến với đồ thị của hàm tồn tại tại bất kỳ điểm nào, kể cả tại điểm x = 0 Nhưng tại thời điểm này, tiếp tuyến trùng với trục y, tức là nó vuông góc với trục abscissa, phương trình của nó có dạng x \ u003d 0. Không có hệ số góc cho một đường thẳng như vậy, điều đó có nghĩa là \ ( f "(0) \) cũng không tồn tại

Vì vậy, chúng tôi đã làm quen với một thuộc tính mới của một chức năng - tính khác biệt. Làm thế nào bạn có thể biết một hàm là phân biệt với đồ thị của một hàm?

Câu trả lời thực sự đã được đưa ra ở trên. Nếu tại một thời điểm nào đó có thể vẽ được một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số không vuông góc với trục x thì lúc này hàm số đã phân biệt được. Nếu tại một thời điểm nào đó không tồn tại tiếp tuyến với đồ thị của hàm số hoặc vuông góc với trục x thì lúc này hàm số không phân biệt được.

Quy tắc phân biệt

Phép toán tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Khi thực hiện phép toán này, bạn thường phải làm việc với thương, tổng, tích của hàm, cũng như với "hàm của hàm", tức là những hàm phức tạp. Dựa vào định nghĩa của đạo hàm, chúng ta có thể rút ra các quy tắc phân biệt tạo điều kiện thuận lợi cho công việc này. Nếu C- số không đổi và f = f (x), g = g (x) là một số hàm phân biệt, thì những điều sau đây là đúng quy tắc phân biệt:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ $$ ( Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Đạo hàm hàm hợp: $$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Bảng đạo hàm của một số hàm

$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= a x ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ left (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x)" = \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

Khi một người thực hiện những bước độc lập đầu tiên trong nghiên cứu phân tích toán học và bắt đầu hỏi câu hỏi khó chịu, thì việc loại bỏ cụm từ "phép tính vi phân có trong bắp cải" không còn quá dễ dàng nữa. Vì vậy, đã đến lúc phải quyết tâm và giải đáp bí ẩn về sự ra đời của bảng dẫn xuất và quy tắc phân biệt. Bắt đầu trong bài báo về ý nghĩa của đạo hàm, mà tôi rất khuyên bạn nên nghiên cứu, vì ở đó chúng tôi chỉ xem xét khái niệm đạo hàm và bắt đầu nhấp vào các nhiệm vụ trên chủ đề. Cùng một bài học có định hướng thực tế rõ rệt, hơn nữa,

các ví dụ được xem xét dưới đây, về nguyên tắc, có thể được nắm vững một cách thuần túy về mặt hình thức (ví dụ, khi không có thời gian / mong muốn đi sâu vào bản chất của đạo hàm). Nó cũng rất mong muốn (nhưng một lần nữa không cần thiết) để có thể tìm các đạo hàm bằng phương pháp "thông thường" - ít nhất là ở cấp độ của hai lớp cơ bản: Làm thế nào để tìm đạo hàm? Và đạo hàm của một hàm số phức.

Nhưng không có cái gì đó, cái mà bây giờ chắc chắn là không thể thiếu, nó là không có giới hạn chức năng. Bạn phải HIỂU rõ giới hạn là gì và có thể giải quyết chúng, ít nhất là ở trình độ trung cấp. Và tất cả vì đạo hàm

hàm tại một điểm được xác định bởi công thức:

Tôi nhắc bạn về các chỉ định và thuật ngữ: họ gọi gia tăng đối số;

- hàm tăng;

- đây là những biểu tượng DUY NHẤT (“delta” không thể bị “tách” khỏi “X” hoặc “Y”).

Rõ ràng, là một biến "động", là một hằng số và là kết quả của việc tính toán giới hạn - con số (đôi khi - "cộng" hoặc "trừ" vô cùng).

Về điểm, bạn có thể coi BẤT KỲ giá trị nào thuộc về các miền một hàm có đạo hàm.

Lưu ý: mệnh đề "trong đó đạo hàm tồn tại" - trong trường hợp chung Thiết yếu! Vì vậy, ví dụ, điểm, mặc dù nó đi vào miền của hàm, nhưng đạo hàm

không tồn tại ở đó. Do đó công thức

không áp dụng tại điểm

và một từ rút gọn mà không có bảo lưu sẽ không chính xác. Các dữ kiện tương tự cũng có giá trị đối với các hàm khác có "dấu ngắt" trong biểu đồ, cụ thể là đối với arcsine và arccosine.

Do đó, sau khi thay thế, chúng tôi nhận được công thức làm việc thứ hai:

Hãy chú ý đến một tình huống khó hiểu có thể gây nhầm lẫn cho ấm trà: trong giới hạn này, "x", bản thân nó là một biến độc lập, đóng vai trò phụ, và "động" lại được đặt bởi số gia. Kết quả của phép tính giới hạn

là hàm đạo hàm.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, chúng tôi hình thành các điều kiện của hai vấn đề điển hình:

- Để tìm đạo hàm tại một điểm sử dụng định nghĩa của một đạo hàm.

- Để tìm hàm đạo hàm sử dụng định nghĩa của một đạo hàm. Phiên bản này, theo quan sát của tôi, xảy ra thường xuyên hơn nhiều và sẽ được chú ý chính.

Sự khác biệt cơ bản giữa các nhiệm vụ là trong trường hợp đầu tiên, nó được yêu cầu tìm số (tùy chọn vô cực), và trong lần thứ hai

hàm số . Ngoài ra, đạo hàm có thể hoàn toàn không tồn tại.

Thế nào ?

Lập tỷ lệ và tính giới hạn.

Đã làm ở đâu bảng đạo hàm và quy tắc phân biệt ? Với một giới hạn duy nhất

Có vẻ giống như ma thuật, nhưng

thực tế - tầm thường của bàn tay và không có gian lận. Vào bài học Đạo hàm là gì? Tôi bắt đầu xem xét các ví dụ cụ thể, trong đó, sử dụng định nghĩa, tôi tìm thấy các đạo hàm của tuyến tính và hàm bậc hai. Với mục đích khởi động nhận thức, chúng tôi sẽ tiếp tục làm phiền bảng dẫn xuất, mài giũa thuật toán và các giải pháp kỹ thuật:

Về cơ bản, chúng ta cần chứng minh trương hợp đặc biệt phát sinh chức năng quyền lực, thường xuất hiện trong bảng:.

Giải pháp được chính thức hóa về mặt kỹ thuật theo hai cách. Hãy bắt đầu với cách tiếp cận đầu tiên, đã quen thuộc: bậc thang bắt đầu bằng một tấm ván và hàm đạo hàm bắt đầu với đạo hàm tại một điểm.

Xem xét một số điểm (cụ thể) thuộc về các miền một hàm có đạo hàm. Đặt mức tăng tại điểm này (tất nhiên, không ngoài o / o - z) và soạn số gia tương ứng của hàm:

Hãy tính toán giới hạn:

Sự không chắc chắn 0: 0 được loại bỏ bằng một kỹ thuật tiêu chuẩn được coi là từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. nhân

tử số và mẫu số cho mỗi biểu thức liền kề :

Kỹ thuật để giải một giới hạn như vậy được thảo luận chi tiết trong bài học giới thiệu. về giới hạn của các chức năng.

Vì BẤT KỲ điểm nào của khoảng thời gian có thể được chọn làm

Sau đó, bằng cách thay thế, chúng ta nhận được:

Một lần nữa, chúng ta hãy vui mừng với logarit:

Tìm đạo hàm của hàm bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Giải pháp: Hãy xem xét một cách tiếp cận khác để hoàn thành cùng một nhiệm vụ. Nó hoàn toàn giống nhau, nhưng hợp lý hơn về mặt thiết kế. Ý tưởng là loại bỏ

chỉ số dưới và sử dụng một chữ cái thay vì một chữ cái.

Xem xét một điểm tùy ý thuộc các miền chức năng (khoảng thời gian), và đặt gia số trong đó. Và đây, nhân tiện, như trong hầu hết các trường hợp, bạn có thể làm mà không cần đặt trước, vì hàm logarit có thể phân biệt được tại bất kỳ điểm nào của miền định nghĩa.

Khi đó, mức tăng hàm tương ứng là:

Hãy tìm đạo hàm:

Sự đơn giản của thiết kế được cân bằng bởi sự lộn xộn, điều này có thể

phát sinh ở người mới bắt đầu (và không chỉ). Sau tất cả, chúng ta đã quen với thực tế là chữ "X" thay đổi trong giới hạn! Nhưng ở đây mọi thứ lại khác: - một bức tượng cổ, và - một du khách còn sống, đang hối hả đi dọc hành lang của bảo tàng. Đó là, "x" là "giống như một hằng số".

Tôi sẽ nhận xét về việc loại bỏ sự không chắc chắn từng bước:

(1) Sử dụng thuộc tính của lôgarit.

(2) Chia tử số cho mẫu số trong ngoặc đơn.

(3) Ở mẫu số, chúng ta nhân và chia một cách giả tạo cho "x" để

tận dụng điều tuyệt vời , trong khi như vô số biểu diễn.

Trả lời: Theo định nghĩa của đạo hàm:

Hay nói ngắn gọn là:

Tôi đề xuất xây dựng độc lập hai công thức dạng bảng khác:

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

TẠI trường hợp này tổng số gia tăng ngay lập tức được giảm xuống một cách thuận tiện mẫu số chung. Một mẫu gần đúng của bài tập ở cuối bài học (phương pháp đầu tiên).

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Và ở đây mọi thứ phải được giảm đến một giới hạn đáng kể. Giải pháp được đóng khung theo cách thứ hai.

Tương tự, một số các dẫn xuất dạng bảng. Danh sách đầy đủ có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa của trường, hoặc, ví dụ, tập 1 của Fichtenholtz. Tôi không thấy nhiều điểm khi viết lại từ sách và bằng chứng về các quy tắc phân biệt - chúng cũng được tạo ra

công thức .

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ thực tế: Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số , sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Giải pháp: sử dụng kiểu đầu tiên. Hãy xem xét một số điểm thuộc về và đặt gia số của đối số trong đó. Khi đó, mức tăng hàm tương ứng là:

Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu đầy đủ về nguyên tắc mà một số gia tăng được thực hiện. Chúng tôi lấy một điểm (số) và tìm giá trị của hàm trong đó: , nghĩa là, vào hàm

thay vì "x" nên được thay thế. Bây giờ chúng tôi lấy

Gia tăng chức năng tổng hợp nó có lợi khi đơn giản hóa ngay lập tức. Để làm gì? Tạo điều kiện thuận lợi và rút ngắn các giải pháp của giới hạn hơn nữa.

Chúng tôi sử dụng công thức, mở ngoặc và giảm mọi thứ có thể giảm:

Gà tây được rút ruột, không có vấn đề gì với việc nướng:

Sau cùng:

Vì bạn có thể chọn bất kỳ số thực, sau đó chúng tôi thực hiện thay thế và nhận được .

Trả lời : a-priory.

Vì mục đích xác minh, chúng tôi tìm dẫn xuất bằng cách sử dụng các quy tắc

sự khác biệt và bảng:

Việc biết trước câu trả lời chính xác luôn hữu ích và dễ chịu, vì vậy tốt hơn là bạn nên tính nhẩm hoặc viết nháp để phân biệt chức năng được đề xuất một cách “nhanh chóng” ngay khi bắt đầu giải pháp.

Tìm đạo hàm của một hàm theo định nghĩa của đạo hàm

Đây là một ví dụ cho giải pháp độc lập. Kết quả nằm ở bề mặt:

Quay lại Kiểu # 2: Ví dụ 7

Hãy cùng tìm hiểu ngay điều gì sẽ xảy ra. Qua quy luật phân biệt của một hàm phức hợp:

Giải pháp: cân nhắc điểm tùy ý thuộc về, chúng tôi đặt gia số của đối số trong đó và làm cho gia số

Hãy tìm đạo hàm:

(1) Chúng tôi sử dụng công thức lượng giác

(2) Dưới sin, chúng ta mở ngoặc, dưới cosin, chúng ta đưa ra các thuật ngữ tương tự.

(3) Dưới sin, chúng ta rút bớt các số hạng, dưới cosin, chúng ta chia tử số cho số hạng ở mẫu số theo số hạng.

(4) Do sự kỳ lạ của sin, chúng tôi lấy ra "trừ". Theo cosine

chỉ ra rằng thuật ngữ.

(5) Chúng tôi nhân mẫu số một cách giả tạo để sử dụng Đầu tiên giới hạn tuyệt vời . Do đó, sự không chắc chắn được loại bỏ, chúng tôi lược bỏ kết quả.

Trả lời: theo định nghĩa Như bạn thấy, khó khăn chính của vấn đề đang được xem xét nằm ở

sự phức tạp của bản thân giới hạn + một chút độc đáo của bao bì. Trong thực tế, cả hai phương pháp thiết kế đều gặp phải, vì vậy tôi mô tả cả hai cách tiếp cận càng chi tiết càng tốt. Chúng tương đương nhau, nhưng vẫn theo ấn tượng chủ quan của tôi, việc hình nộm bám vào tùy chọn đầu tiên với “X zero” sẽ hợp lý hơn.

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của hàm số

Đây là một nhiệm vụ cho quyết định độc lập. Mẫu được định dạng theo tinh thần giống như ví dụ trước.

Hãy phân tích một phiên bản hiếm hơn của vấn đề:

Tìm đạo hàm của một hàm tại một điểm bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm.

Đầu tiên, điểm mấu chốt phải là gì? Số Tính toán câu trả lời theo cách tiêu chuẩn:

Quyết định: từ quan điểm rõ ràng, nhiệm vụ này đơn giản hơn nhiều, vì trong công thức thay vì

được coi là một giá trị cụ thể.

Chúng tôi đặt giá trị gia tăng tại điểm và soạn giá trị gia tăng tương ứng của hàm:

Tính đạo hàm tại điểm:

Chúng tôi sử dụng rất công thức hiếm sự khác biệt tiếp tuyến và lần thứ 13, chúng tôi giảm giải pháp xuống lần đầu tiên

giới hạn đáng kinh ngạc:

Trả lời: theo định nghĩa của đạo hàm tại một điểm.

Vấn đề không quá khó để giải quyết và nhìn chung”- chỉ cần thay đinh hoặc đơn giản là đủ, tùy thuộc vào phương pháp thiết kế. Trong trường hợp này, tất nhiên, bạn không nhận được một số, mà là một hàm đạo hàm.

Ví dụ 10 Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của một hàm số tại điểm

Đây là một ví dụ do-it-yourself.

Nhiệm vụ tiền thưởng cuối cùng chủ yếu dành cho học sinh có nghiên cứu sâu phân tích toán học, nhưng nó cũng sẽ không làm tổn thương những người khác:

Chức năng có thể phân biệt được không tại điểm?

Giải pháp: Rõ ràng là một hàm số đã cho là liên tục tại một điểm, nhưng liệu nó có thể phân biệt được ở đó không?

Thuật toán giải, và không chỉ cho các hàm mảnh, như sau:

1) Tìm đạo hàm bên trái tại một điểm cho trước:.

2) Tìm đạo hàm bên phải tại điểm đã cho:.

3) Nếu đạo hàm một phía là hữu hạn và trùng:

, thì chức năng có thể phân biệt được ở điểm và

về mặt hình học, ở đây tồn tại một tiếp tuyến chung (xem phần lý thuyết của bài Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm).

Nếu nhận được hai những nghĩa khác nhau: (một trong số đó có thể là vô hạn), thì chức năng không phân biệt được tại một điểm.

Nếu cả hai đạo hàm một phía đều bằng vô cùng

(ngay cả khi chúng có các dấu hiệu khác nhau), thì hàm không

có thể phân biệt được tại một điểm, nhưng tồn tại một đạo hàm vô hạn và một tiếp tuyến thẳng đứng chung với đồ thị (xem Ví dụ 5 của bài họcPhương trình bình thường) .

Nội dung của bài báo

PHÁT SINH-đạo hàm của hàm y = f(x) được xác định trên một số khoảng ( một, b) tại điểm x Khoảng này được gọi là giới hạn mà tỷ lệ gia tăng của hàm có xu hướng f tại thời điểm đó đến gia số tương ứng của đối số khi gia số của đối số tiến tới 0.

Đạo hàm thường được ký hiệu như sau:

Các ký hiệu khác cũng được sử dụng rộng rãi:

Tốc độ tức thì.

Hãy để ý M chuyển động trên một đường thẳng. Khoảng cách Sđiểm di chuyển, được tính từ một số vị trí ban đầu M 0, phụ thuộc vào thời gian t, I E. S là một hàm của thời gian t: S= f(t). Hãy để một lúc nào đó tđiểm di chuyển Mở một khoảng cách xa S từ vị trí bắt đầu M 0 và một lúc nào đó tiếp theo t+ D tđã ở một vị trí M 1- trên khoảng cách S+ D S từ vị trí ban đầu ( xem ảnh.).

Như vậy, trong một khoảng thời gian D t khoảng cách S thay đổi bởi giá trị D S. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng trong khoảng thời gian D t kích cỡ S nhận được gia số D S.

Trong mọi trường hợp, tốc độ trung bình không thể mô tả chính xác tốc độ di chuyển của một điểm. M tại thời điểm t. Ví dụ, nếu phần nội dung ở đầu khoảng D t di chuyển rất nhanh và cuối cùng rất chậm, sau đó tốc độ trung bình sẽ không thể phản ánh các đặc điểm đã chỉ ra về chuyển động của điểm và đưa ra ý tưởng về tốc độ thực sự chuyển động của nó tại thời điểm t. Để thể hiện chính xác hơn tốc độ thực bằng cách sử dụng tốc độ trung bình, bạn cần mất một khoảng thời gian nhỏ hơn D t. Nó thể hiện đầy đủ nhất tốc độ chuyển động của một điểm tại thời điểm t giới hạn mà tốc độ trung bình có xu hướng tại D t® 0. Giới hạn này được gọi là tốc độ chuyển động tại một thời điểm nhất định:

Do đó, tốc độ chuyển động tại một thời điểm nhất định là giới hạn của tỷ số giữa số gia của đường đi D S tăng thời gian D t khi khoảng tăng thời gian có xu hướng bằng không. Như

Giá trị hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị của một hàm số.

Việc xây dựng các tiếp tuyến là một trong những vấn đề dẫn đến sự ra đời của phép tính vi phân. Công trình đầu tiên được xuất bản liên quan đến phép tính vi phân và có lông Leibniz, có tên Phương pháp mới cực đại và cực tiểu, cũng như các tiếp tuyến, mà các đại lượng không phân số hay vô tỷ đều không phải là một trở ngại, và là một loại phép tính đặc biệt cho điều này.

Gọi đường cong là đồ thị của hàm số y =f(x) trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ ( cm. cơm.).

Đối với một số giá trị x vấn đề chức năng y =f(x). Những giá trị x và yđiểm trên đường cong M 0(x, y). Nếu đối số x cho gia số D x, sau đó là giá trị mới của đối số x+ D x tương ứng với giá trị mới của hàm y + D y = f(x + D x). Điểm tương ứng của đường cong sẽ là điểm M 1(x+ D x,y+ D y). Nếu chúng ta vẽ một ly khai M 0M 1 và ký hiệu là j góc được tạo bởi một mảnh với hướng trục dương Con bò, nó được nhìn trực tiếp từ con số đó.

Nếu bây giờ D x có xu hướng bằng không, sau đó là điểm M 1 di chuyển dọc theo đường cong, đến gần điểm M 0 và góc j thay đổi với thay đổi D x. Tại Dx® 0 góc j có xu hướng giới hạn a và đường thẳng đi qua điểm M 0 và thành phần có hướng dương của trục abscissa, góc a, sẽ là tiếp tuyến mong muốn. Độ dốc của nó:

Vì thế, f´( x) = tga

những thứ kia. giá trị phái sinh f´( x) tại giá trị cho trước lý lẽ x bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f(x) tại điểm tương ứng M 0(x,y) với hướng trục dương Con bò.

Tính khác biệt của các chức năng.

Sự định nghĩa. Nếu chức năng y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = x 0, thì tại thời điểm này, chức năng có thể phân biệt được.

Tính liên tục của một hàm số có đạo hàm. Định lý.

Nếu chức năng y = f(x) có thể phân biệt được ở một số điểm x = x 0, thì nó là liên tục tại thời điểm này.

Như vậy, tại các điểm gián đoạn, hàm số không thể có đạo hàm. Kết luận ngược là sai, tức là từ thực tế rằng tại một số điểm x = x 0 chức năng y = f(x) là liên tục, nó không tuân theo rằng nó có thể phân biệt được ở điểm này. Ví dụ, hàm y = |x| liên tục cho tất cả x(–Ґ x x = 0 không có đạo hàm. Không có tiếp tuyến nào của đồ thị tại điểm này. Có một tiếp tuyến bên phải và một tiếp tuyến bên trái, nhưng chúng không trùng nhau.

Một số định lý về hàm số phân biệt. Định lý về căn của đạo hàm (Định lý Roll). Nếu chức năng f(x) liên tục trên đoạn [một,b], có thể phân biệt được trong tất cả điểm nội bộ phân đoạn này và ở cuối x = một và x = b biến mất ( f(một) = f(b) = 0), thì bên trong đoạn [ một,b] có ít nhất một điểm x= với, một c b, trong đó đạo hàm fў( x) biến mất, tức là fў( c) = 0.

Định lý số gia hữu hạn (Định lý Lagrange). Nếu chức năng f(x) liên tục trên đoạn [ một, b] và có thể phân biệt được ở tất cả các điểm bên trong của phân khúc này, sau đó là bên trong phân khúc [ một, b] có ít nhất một điểm với, một c b rằng

f(b) – f(một) = fў( c)(b– một).

Định lý về tỉ số gia của hai hàm số (Định lý Cauchy). Nếu một f(x) và g(x) là hai hàm liên tục trên đoạn [một, b] và có thể phân biệt ở tất cả các điểm bên trong của phân khúc này, và gў( x) không biến mất ở bất kỳ đâu bên trong phân đoạn này, sau đó bên trong phân đoạn [ một, b] có một điểm như vậy x = với, một c b rằng

Phái sinh của các đơn đặt hàng khác nhau.

Để chức năng y =f(x) có thể phân biệt được vào một số khoảng thời gian [ một, b]. Giá trị phái sinh f ў( x), nói chung, phụ thuộc vào x, I E. phát sinh f ў( x) cũng là một chức năng của x. Khi hàm này là phân biệt, cái gọi là đạo hàm cấp hai của hàm thu được f(x), được ký hiệu là f ўў ( x).

phát sinh N- thứ tự của chức năng f(x) được gọi là đạo hàm (bậc nhất) của đạo hàm N- 1- th và được biểu thị bằng ký hiệu y(N) = (y(N- 1)) ў.

Sự khác biệt của các đơn đặt hàng khác nhau.

Hàm vi sai y = f(x), ở đâu x là một biến độc lập, là dy = f ў( x)dx, một số chức năng từ x, Nhưng từ x chỉ có yếu tố đầu tiên có thể phụ thuộc f ў( x), trong khi yếu tố thứ hai ( dx) là số gia của biến độc lập x và không phụ thuộc vào giá trị của biến này. Như dy có một chức năng từ x, sau đó chúng ta có thể xác định vi phân của hàm này. Vi phân của vi phân của một hàm được gọi là vi phân cấp hai hoặc cấp hai của hàm này và được ký hiệu là d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Khác biệt N- thứ tự được gọi là vi phân đầu tiên của vi phân N- 1- gọi món:

d n y = d(d n–1y) = f(N)(x)dx(N).

Phái sinh tư nhân.

Nếu hàm không phụ thuộc vào một mà phụ thuộc vào một số đối số x tôi(tôi thay đổi từ 1 thành N,tôi= 1, 2,… N),f(x 1,x 2,… x n), sau đó trong phép tính vi phân khái niệm đạo hàm riêng được đưa ra, đặc trưng cho tốc độ thay đổi của một hàm của một số biến khi chỉ một đối số thay đổi, ví dụ, x tôi. Đạo hàm một phần của bậc 1 đối với x tôiđược định nghĩa là đạo hàm thông thường, giả định rằng tất cả các đối số ngoại trừ x tôi, giữ giá trị không đổi. Đối với đạo hàm riêng, chúng tôi giới thiệu ký hiệu

Các đạo hàm riêng của bậc 1 được định nghĩa theo cách này (như các hàm của cùng các đối số), đến lượt nó, cũng có thể có các đạo hàm riêng, đây là các đạo hàm riêng của bậc hai, v.v. Xét theo các đối số khác nhau, các dẫn xuất như vậy được gọi là hỗn hợp. Các đạo hàm hỗn hợp liên tục cùng bậc không phụ thuộc bậc phân biệt và đồng đẳng của nhau.

Anna Chugainova

Khi giải quyết các vấn đề khác nhau của hình học, cơ học, vật lý và các nhánh kiến ​​thức khác, cần phải sử dụng cùng một quy trình phân tích từ một hàm cho trước y = f (x) nhận tính năng mới, được gọi là hàm đạo hàm(hoặc đơn giản đạo hàm) của hàm f (x) này và được ký hiệu

Quá trình mà một chức năng nhất định f (x) nhận một chức năng mới f "(x), triệu tập sự khác biệt và nó bao gồm ba bước sau: 1) chúng tôi đưa ra đối số x tăng  x và xác định mức tăng tương ứng của hàm  y = f (x + x) -f (x); 2) tạo nên mối quan hệ

3) đếm x vĩnh viễn, và  x0, chúng tôi tìm thấy , được biểu thị bằng f "(x), như thể nhấn mạnh rằng hàm kết quả chỉ phụ thuộc vào giá trị x, tại đó chúng tôi vượt qua giới hạn. Sự định nghĩa: Đạo hàm y "= f" (x) hàm đã cho y = f (x) đã cho xđược gọi là giới hạn của tỷ lệ giữa gia số của hàm với gia số của đối số, với điều kiện là gia số của đối số có xu hướng bằng không, nếu tất nhiên, giới hạn này tồn tại, tức là có hạn. Vì vậy, , hoặc

Lưu ý rằng nếu đối với một số giá trị x, ví dụ khi x = a, quan hệ tại  x0 không có xu hướng giới hạn hữu hạn, khi đó trong trường hợp này chúng ta nói rằng hàm f (x) tại x = a(hoặc tại điểm x = a) không có đạo hàm hoặc không phân biệt được tại một điểm x = a.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Xét đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) phân biệt trong vùng lân cận của điểm x 0

f (x)

Xét một đường thẳng tùy ý đi qua điểm thuộc đồ thị của hàm số - điểm A (x 0, f (x 0)) và cắt đồ thị tại điểm B (x; f (x)) nào đó. Đoạn thẳng (AB) như vậy được gọi là một đoạn thẳng. Từ ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC \ u003d ∆y; tgβ = ∆y / ∆x.

Kể từ khi AC || Ox thì ALO = BAC = β (tương ứng song song). Nhưng ALO là góc nghiêng của vật AB so với chiều dương của trục Ox. Do đó, tgβ = k là hệ số góc của đường thẳng AB.

Bây giờ chúng ta sẽ giảm ∆x, tức là ∆x → 0. Trong trường hợp này, điểm B sẽ tiếp cận điểm A theo đồ thị, và vật AB sẽ quay. Vị trí giới hạn của đoạn thẳng AB tại ∆x → 0 sẽ là đường thẳng (a), gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \ u003d f (x) tại điểm A.

Nếu chúng ta chuyển đến giới hạn là ∆х → 0 theo đẳng thức tgβ = ∆y / ∆x, thì chúng ta nhận được hoặc tg \ u003d f "(x 0), vì -góc nghiêng của tiếp tuyến theo chiều dương của trục Ox , theo định nghĩa của một đạo hàm. Nhưng tg \ u003d k là hệ số góc của tiếp tuyến, có nghĩa là k \ u003d tg \ u003d f "(x 0).

Vì vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau:

Đạo hàm của một hàm tại điểm x 0 bằng hệ số góc Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số được vẽ tại điểm có hoành độ x 0 .

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.

Xét chuyển động của một điểm dọc theo một đường thẳng. Cho tọa độ điểm tại một thời điểm bất kỳ x (t) cho trước. Người ta đã biết (từ khóa học vật lý) rằng tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian bằng tỷ số giữa quãng đường đi được trong khoảng thời gian này với thời gian, tức là

Vav = ∆x / ∆t. Giả sử chúng ta chuyển đến giới hạn trong đẳng thức cuối cùng là ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - tốc độ tức thời tại thời điểm t 0, ∆t → 0.

và lim = ∆x / ∆t = x ”(t 0) (theo định nghĩa của đạo hàm).

Vì vậy,  (t) = x ”(t).

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm như sau: đạo hàm của hàmy = f(x) tại điểmx 0 là tốc độ thay đổi của hàmf(x) tại điểmx 0

Đạo hàm được sử dụng trong vật lý để tìm tốc độ từ chức năng đã biết tọa độ theo thời gian, gia tốc từ một hàm đã biết của vận tốc theo thời gian.

 (t) \ u003d x "(t) - tốc độ,

a (f) =  "(t) - gia tốc, hoặc

Nếu biết quy luật chuyển động của chất điểm dọc theo đường tròn thì có thể tìm được vận tốc góc và gia tốc góc Xoay chuyển:

φ = φ (t) - thay đổi góc theo thời gian,

ω \ u003d φ "(t) - vận tốc góc,

ε = φ "(t) - gia tốc góc, hoặc ε = φ" (t).

Nếu biết luật phân bố khối lượng của một thanh không đồng nhất, thì mật độ tuyến tính của thanh không đồng nhất có thể được tìm thấy:

m \ u003d m (x) - khối lượng,

x , l - chiều dài thanh,

p \ u003d m "(x) - mật độ tuyến tính.

Với sự trợ giúp của đạo hàm, các bài toán từ lý thuyết đàn hồi và dao động điều hòa được giải quyết. Đúng, theo luật Hooke

F = -kx, x - tọa độ biến thiên, k - hệ số đàn hồi của lò xo. Đặt ω 2 \ u003d k / m, ta thu được phương trình vi phân của con lắc lò xo x "(t) + ω 2 x (t) \ u003d 0,

trong đó ω = √k / √m là tần số dao động (l / c), k là tốc độ lò xo (H / m).

Phương trình có dạng y "+ ω 2 y \ u003d 0 được gọi là phương trình của dao động điều hòa (cơ, điện, điện từ). Giải phương trình đó là hàm

y = Asin (ωt + φ 0) hoặc y = Acos (ωt + φ 0), trong đó

A - biên độ dao động, ω - tần số tuần hoàn,

φ 0 - pha ban đầu.

Nếu chúng ta tuân theo định nghĩa, thì đạo hàm của một hàm tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia của hàm Δ yđến gia số của đối số Δ x:

Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử tính theo công thức này, chẳng hạn, đạo hàm của hàm f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ dễ dàng chìm vào giấc ngủ. Do đó, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.

Để bắt đầu, chúng ta lưu ý rằng cái gọi là hàm cơ bản có thể được phân biệt với toàn bộ các hàm khác nhau. Nó tương đối biểu thức đơn giản, mà các dẫn xuất của nó từ lâu đã được tính toán và nhập vào bảng. Các hàm như vậy đủ dễ nhớ, cùng với các đạo hàm của chúng.

Đạo hàm của các hàm cơ bản

Các chức năng cơ bản là tất cả mọi thứ được liệt kê dưới đây. Các dẫn xuất của các chức năng này phải được biết thuộc lòng. Hơn nữa, không khó để ghi nhớ chúng - đó là lý do tại sao chúng là tiểu học.

Vì vậy, các đạo hàm của các hàm cơ bản:

Tên	Hàm số	Phát sinh
Liên tục	f(x) = C, C ∈ R	0 (vâng, vâng, không!)
Mức độ với số mũ hữu tỉ	f(x) = x N	N · x N − 1
Xoang	f(x) = tội lỗi x	cos x
Cô sin	f(x) = cos x	- tội lỗi x(trừ sin)
Đường tiếp tuyến	f(x) = tg x	1 / cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	- 1 / sin2 x
lôgarit tự nhiên	f(x) = nhật ký x	1/x
Lôgarit tùy ý	f(x) = nhật ký một x	1/(x ln một)
Hàm số mũ	f(x) = e x	e x(không có gì thay đổi)

Nếu một hàm cơ bản được nhân với một hằng số tùy ý, thì đạo hàm của hàm mới cũng được tính dễ dàng:

(C · f)’ = C · f ’.

Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:

(2x 3) '= 2 ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể được thêm vào nhau, nhân, chia, và nhiều hơn nữa. Đây là cách các chức năng mới sẽ xuất hiện, không còn sơ đẳng nữa mà còn có thể phân biệt theo các quy tắc nhất định. Những quy tắc này được thảo luận dưới đây.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Hãy để các chức năng f(x) và g(x), mà các dẫn xuất của chúng đã được biết đến. Ví dụ, bạn có thể lấy các hàm cơ bản đã thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Vậy, đạo hàm của tổng (hiệu) của hai hàm số bằng tổng (hiệu) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Nói một cách chính xác, không có khái niệm "phép trừ" trong đại số. Có một khái niệm yếu tố tiêu cực". Do đó, sự khác biệt f − g có thể được viết lại thành một tổng f+ (−1) g, và sau đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Hàm số f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:

f ’(x) = (x 2+ tội lỗi x)’ = (x 2) '+ (sin x)’ = 2x+ cosx;

Chúng ta lập luận tương tự đối với hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Trả lời: f ’(x) = 2x+ cosx; g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Phái sinh của một sản phẩm

Toán học là một môn khoa học logic, vì vậy nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của tổng bằng tổng của đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập"\ u003e bằng tích của các dẫn xuất. Nhưng phù hợp với bạn! Đạo hàm của tích được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Công thức rất đơn giản, nhưng thường bị lãng quên. Và không chỉ học sinh, sinh viên. Kết quả là các vấn đề được giải quyết không chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của các hàm số: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

Hàm số f(x) là một tích của hai hàm cơ bản, vì vậy mọi thứ đều đơn giản:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x tội x)

Hàm số g(x) số nhân đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chungđiều này không thay đổi. Rõ ràng, cấp số nhân đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức, và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng ta có:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x- 7) '· e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Trả lời: f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội x);g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Lưu ý rằng trong bước cuối cùng, đạo hàm được phân tích nhân tử. Về mặt hình thức, điều này là không cần thiết, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng của chúng, mà để khám phá hàm. Điều này có nghĩa là thêm nữa đạo hàm sẽ được cân bằng bằng 0, các dấu hiệu của nó sẽ được tìm ra, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên có một biểu thức được phân tách thành các yếu tố.

Nếu có hai chức năng f(x) và g(x), và g(x) ≠ 0 trên tập hợp chúng tôi quan tâm, chúng tôi có thể xác định một hàm mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với một hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:

Không yếu, phải không? Số trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Nhưng như thế này! Đây là một trong những công thức phức tạp Bạn không thể tìm ra nó mà không có một cái chai. Do đó, tốt hơn là bạn nên nghiên cứu nó trên ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của các hàm số:

Có các hàm cơ bản ở tử số và mẫu số của mỗi phân số, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương số:

Theo truyền thống, chúng tôi nhân tử số thành thừa số - điều này sẽ giúp đơn giản hóa câu trả lời một cách đáng kể:

Một hàm phức tạp không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, nó đủ để sử dụng chức năng f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2 + ln x. Hóa ra f(x) = sin ( x 2 + ln x) - Đó là những gì nó là chức năng phức tạp. Cô ấy cũng có một đạo hàm, nhưng sẽ không hiệu quả nếu tìm nó theo các quy tắc đã thảo luận ở trên.

Làm sao để? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế một biến và công thức cho đạo hàm của một hàm phức sẽ giúp:

f ’(x) = f ’(t) · t', nếu xđược thay thế bởi t(x).

Như một quy luật, tình huống với sự hiểu biết của công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn với đạo hàm của thương. Do đó, tốt hơn là giải thích nó bằng các ví dụ cụ thể, với miêu tả cụ thể mỗi bước.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của các hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay vì biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, sau đó nó sẽ hoạt động chức năng cơ bản f(x) = e x. Do đó, chúng tôi thực hiện một sự thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng tôi đang tìm đạo hàm của một hàm phức theo công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Và bây giờ - chú ý! Thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Chúng tôi nhận được:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Bây giờ chúng ta hãy xem xét chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải được thay thế. x 2 + ln x = t. Chúng ta có:

g ’(x) = g ’(t) · t'= (tội lỗi t)’ · t'= cos t · t ’

Thay thế ngược lại: t = x 2 + ln x. Sau đó:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '= cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Đó là tất cả! Có thể thấy ở biểu thức cuối cùng, toàn bộ bài toán đã được rút gọn về tính đạo hàm của tổng.

Trả lời: f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “phái sinh”, tôi sử dụng từ “đột quỵ”. Ví dụ, một nét từ tổng bằng tổng nét vẽ. Điều đó có rõ ràng hơn không? Ồ tốt đấy.

Vì vậy, việc tính toán đạo hàm đi xuống để loại bỏ những nét rất này theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. Như ví dụ cuối cùng Hãy trở lại đạo hàm với số mũ hữu tỉ:

(x N)’ = N · x N − 1

Ít ai biết rằng trong vai N có thể hành động tốt Số phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5. Nhưng nếu có một cái gì đó phức tạp dưới gốc rễ thì sao? Một lần nữa, một chức năng phức tạp sẽ xuất hiện - họ muốn cung cấp các cấu trúc như vậy trên Công việc kiểm soát và các kỳ thi.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của một hàm số:

Đầu tiên, hãy viết lại gốc dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỉ:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Bây giờ chúng tôi thực hiện một sự thay thế: hãy x 2 + 8x − 7 = t. Ta tìm đạo hàm theo công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) ' t'= 0,5 t−0,5 t ’.

Chúng tôi thực hiện một sự thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x- 7. Chúng tôi có:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) −0,5 ( x 2 + 8x- 7) '= 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Cuối cùng, quay trở lại gốc rễ: