Đạo Hàm Hàm Số ẩn | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu $\forall x \in E$ thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có: $F(x,f(x)) = 0 , \forall x \in E$

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình $x^2 + y^2 = 1 (1)$ xác định 2 hàm số $y = \sqrt{1-x^2} , y = -{\sqrt{1-x^2}}$ nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó $F: U \subset R^2 \to R$ là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử $\mathop (x_0;y_0) \in U : F(x_0;y_0) = 0$ , nếu $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$ thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của $x_0$ một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng $y_0$ khi $x = x_0$ , liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$

3. $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$

Ví dụ: Phương trình $y^x = x^y$ xác định 1 hàm số ẩn vì xét: $F(x,y) = y^x - x^y$ xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 , $F_y^{'} = xy^{x-1} - x^{y}lnx$ $\Rightarrow F_y^{'}(1;1) = 1 \ne 0$

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0$

Mà ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} \ne 0$ nên suy ra: ${ \dfrac{dy}{dx}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}} (2.1)$

Ví dụ: Cho $x^2 + siny - 2y = 0$ Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}}$ ?

Xét $F(x;y) = x^2 + siny - 2y$ . Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} = 2x ; { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} = cosy - 2 \ne 0 , \forall y$

Do đó: ${ \dfrac{dy}{dx}} = - { \dfrac{2x}{cosy-2}}$

Lưu ý: Việc tìm $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$ là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: $x^2 + y^2 = -1$ ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

– Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}} , { \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ nếu $x - y + arctgy = 0$

Xét $F(x;y) = x - y + arctgy$ (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có: $y_x^{'} = - { \dfrac{1}{-1 + { \dfrac{1}{1+y^2}}}} = { \dfrac{y^2+1}{y^2}} = 1 + { \dfrac{1}{y^2}} (*)$

Để tìm đạo hàm cấp 2 ${ \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ , ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

${ \dfrac{d^2y}{dx^2}} = - { \dfrac{2y.y_x^{'}}{y^4}} = - { \dfrac{2(1+y^2)}{y^5}}$

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = 0$

Nếu ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}} \ne 0$ thì suy ra: ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.2)$

Tương tự: ${ \dfrac{\partial z}{\partial y}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.3)$

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0:

${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}dy + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}dz = 0$

Sau đó, tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Khi đó $A = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , B = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}$

(Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các ví dụ)

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

30 bình luận về “Đạo hàm hàm số ẩn”

Tính đạo hàm y’= dy/dx của hàm số ẩn xác định bởi pt 3x^2*y^3+y^2-4x=0

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi Doàn Quang Thái | 03/04/2017, 21:02 Reply to this comment
thầy có thể nêu vd về hàm ẩn đc k? em ms lên. đọc sách k có ghi nên k rõ lắm

ThíchThích
Được đăng bởi toàn | 22/09/2015, 21:20 Reply to this comment
thầy ơi,chứngminh giùm e dx/dy = 1/(dy/dx)

ThíchThích
Được đăng bởi Khoa | 08/01/2015, 13:47 Reply to this comment
thầy ơi một hàm f(x,y) có đạo hầm cấp riêng 2 tại thì có chắc chắn luôn tồn tại đạo hàm cấp 1 không ạ

ThíchThích
Được đăng bởi mnghia | 26/12/2014, 08:59 Reply to this comment
thầy ơi bài tập sử dụng đạo hàm hàm ẩn để viêt pt tiếp tuyến và xét tính lồi lóm ntn ạ f(x)=x(lnx)^2+x(y+1)^2+(y+1)^2/2−7

với x>0,y>-1 a) Viết biểu thức vi phân toàn phần của f(x,y) b) Với g(x) là hàm số xác định bởi f(x,y)=0. Viết phương trinh tiếp tuyến của y=g(x) tại tiếp điểm có hoành độ x =1. c) Xét tính lồi lõm tại lân cận của x=1

ThíchThích
Được đăng bởi hiền | 10/05/2013, 17:42 Reply to this comment
tìm đạo hàm y'(0) của hàm số ẩn y=y(x) được cho bởi phương trình x^3+lny-(x^2).(e^y)=0

ThíchThích
Được đăng bởi linh | 24/01/2013, 21:03 Reply to this comment
anh có thể cho em biết ý nghĩa đạo hàm hàm ẩn không. vẽ hình minh họa thì như thế nào.

ThíchThích
Được đăng bởi Hoàng Minh | 19/05/2012, 10:53 Reply to this comment
thầy ơi giải giúp em bài này em giải nhiều lần mà không ra tìm các đạo hàm riêng của hàm ẩn Z=(x;Y) xác định từ phương trình e ^ (XYZ) = f (sin xy ) biết f là hàm khả vi

ThíchThích
Được đăng bởi bùi nhất quốc | 17/05/2012, 08:11 Reply to this comment
thưa thầy em kô hiểu ở chỗ đạo hàm riêng cấp 2 sao lại nhân thêm y’

ThíchThích
Được đăng bởi kien | 20/12/2011, 23:00 Reply to this comment
xin hướng dẫn dùm em bài này tìm z”xx nếu z = x^2 + y^2 ở đó y = y(x) đc xđ bới pt x^2 – xy + y^2 =1

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi 2907 | 07/05/2011, 16:12 Reply to this comment