DÃY Số - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (23 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Tư liệu khác

DÃY số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.31 MB, 23 trang )

Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]LỜI NĨI ĐẦUCác Thầy Cơ và các bạn độc giả thân mến!Nhằm cung cấp thêm tư liệu cho Giáo viên và giúp các bạn, các em học sinhTHPT có điều kiện hệ thống lại kiến thức đã học, ôn tập kiểm tra chương "Dãysố", tôi biên soạn tài liệu "Dãy số" với mục đích giúp nâng cao và vững chắcphần nào kiến thức về dãy số.Dãy số, tuy là một chương "khó nhằn", là "nỗi ám ảnh" của biết bao họcsinh, thường thấy trong các kì thi tuyển chọn HSG, ít khi có trong các kì thi phổthơng. Tuy nhiên, gần đây, theo hướng trắc nghiệm hóa, các bài toán dãy số dễdàng đi vào trong các bài thi THPT, đặc biệt là kì thi THPTQG của Bộ GD ĐT.Trong tài liệu này tôi đã hệ thống lại tương đối đầy đủ lí thuyết của chươngdãy số, các dạng bài tập điển hình, các cách tư duy mới mẻ có chọn lọc và logiccùng các bài luyện tập nhằm cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bàithi.Cảm ơn những nguồn tài liệu hay về dãy số: Toanmath, toanhoc247, cơPhạm Thị Thu Huyền đã góp phần làm cho tài liệu trở nên hoàn chỉnh hơnTrong q trình biên soạn, tơi đã có nhiều cố gắng. Rất mong nhận đượcnhững đóng góp q báu và chân thành từ q Thầy Cơ và các bạn độc giả để tàiliệu trở nên hoàn chỉnh hơn.Mọi liên hệ xin gửi qua : Hoặc số điện thoại : 0585249685Tôi xin chân thành cảm ơn.Nguyễn Thành Nhân1|Page Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]˵DÃY SỐ˶A. Cơ sở lý thuyết1. Định nghĩaMột hàm số u xác định trên tập N* được gọi là một dãy số vô hạn, gọi tắt là dãy số.Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…., un. Trong đó, un là số hạng thứ n của dãyhoặc viết tắt là (un). Kí hiệu: un = u(n);Số hạng u1 được gọi là số hạng đầu, un được gọi là số hạng tổng quát ( thứ n ) của dãy số.*** Các cách thành lập một dãy số:-Cách 1: Cho bằng phép khai triển (rất hiếm gặp)Dãy số xác định với mọi n---*N {Cách 2: Cho dãy số bằng công thức tổng quát:n*Dãy số xác định với mọi n N thỏa mãn xn= 3n+1Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả:Cho dãy (un) gồm các số nguyên tố.Cách 4: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = 7un-2, n 1.Hay : Cho dãy số (bn) xác định bởi {TIPS:I“Với cách này, ta có thể xác định ngay được những mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các sốhạng của dãy số thơng qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kì của dãy số tacần phải tính và biết được các số hạng liền trước nó hoặc thơng qua việc lập cơng thức tổng qt củadãy” .2. Tính tăng giảmDãy un được gọi là dãy số tăng nếu n N* ta có un+1 > unDãy un được gọi là dãy số giảm nếu n N* ta có un+1 < unDãy un được gọi là dãy số hằng nếu n N* ta có un+1 = unPhương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm2|Page Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Cách 1: Lập hiệu T=un+1 - un rồi so sánh với 0;*** Nếu T>0, n N => dãy tăng;*** Nếu T<0, n N => dãy giảm;un+1 Cách 2: Lập thương T= u rồi so sánh với 1;n***Nếu T>1, n N => dãy tăng;***Nếu T<1, n N => dãy giảm;Vd1: Chứng minh rằng, dãy (un) với un=n2-2n+3 là một dãy số tăng.22Ta có un+1= (n+1) - 2(n+1)+3 = n +222Ta có un+1-un= (n +2) - (n -2n+3) = 2n-1Vì n>1 => 2n-1>2-1=1>0(đpcm)n+2Vd2: Chứng minh rằng: Dãy số (yn) với yn= 5n là một dãy số giảmn+3 n+2 n+3-5n-10 -4n-7n+1C1: Lập hiệu: T= yn+1-yn= 5n+1 – 5n == 5n+15Vì 5n+1>0, n>0 nên T<0, n >0Vậy dãy giảmn+3n+1yn+1 5C2: Lập thương: T= y = n+2nn5n+3=5n+101=5 1, cần chứng minh: ak+4=ak+1-352Ta có: ak+4= 2 ak+3 + 2 ak+3+1 (1)Theo giả thuyết quy nạp, ta có: ak+3=ak (2)-3 2 5(1),(2) => ak+4= 2 ak + 2 ak+1=ak+1(đpcm)Suy ra: a2018=a2015=a2012=…=a2=2.35Vd2. Cho dãy số (an) xác định bởi a1=1, an= -2 an2+2 an+1, n N* . Tổng bình phương của 2018 số hạng đầutiên của dãy số (an) (Ngọc Huyền LB)222222222222222Ta có : a1 + a2 + a3 +….+ a2018 = 1 +2 +0 +…+1 +2 (2018 số) =1 +2 +0 +…+1 +2 +0 ( cộng thêm22u2019 =0 đáp án khơng thay đổi, có 2019 số, chia 2019 số thành 673 cặp, mỗi cặp 3 số có tổng bình222phương là 1 +2 +0 =5)Suy ra: Tổng bình phương của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số (an) bằng: 673.5=3365Hay một câu toán hay khác, ta xét các hướng khai thác từ VD3 đến VD5 (Ngọc Huyền LB, có chỉnh sửa)Vd3. Cho dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1= √ 𝟏 an2), n N*. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (an)*Ta có: a1=1, a2= √ , a3= √ ,…. => dự đoán số hạng tổng quát của dãy là an=√ , n N .4|Page Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]CM bằng quy nạp toán học: ta có: a1=1=√ (đúng)Giả sử đẳng thức đúng với mọi n=k>1, cần chứng minh: ak+1=√(k+1) với ak=√2Ta có: ak+1=√(1+ak )= √(1+k) (đpcm)*“Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: an=√n, n N .”111Dựavàokếtsốquảcó:aan=1=√n.Vd4.Chodãy(ancủa) xácVd3,địnhtabởivà an+1= √ 𝟏 an2), n N*. Tính: Sn=a +a +a +a +…+a +a , n>111223n-1nSn=11+√+ Sn= √ -√1+…+2 3√1n 1  n√√√ Sn=√ -1Vd5. Cho dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1= √ 𝟏 an2), n N*. Tính Sn= a12+ a22+ a32+ …+an2222Ta có, theo điều đã chứng minh ở các ví dụ 3, ta có Sn= (√ ) +(√ ) +(√ ) +….+(√n(n+1)22= 1+2+3+…+n=TIPS:I“Như vậy, chỉ từ một dữ kiện đơn giản ta có thể khai thác được rất nhiều dạng tốn, hơn thế nữa ta cóthể khai thác thêm việc chứng minh rằng: dãy số tăng, bị chặn dưới, tìm giá trị nhỏ nhất,…. hay một sốdạng khác!!!”3Vd6. Cho dãy số : (an) có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn= n . Chứng minh rằng: (an) là dãy2tăng và an=3n -3n+13Ta có Sn= a1+a2+…+an=n Sn-1= a1+a2+…+an=1=(n-1)33 an = Sn-Sn-1=n -(n-1) =33n2-3n+12Ta có: an= 3n -3n+1 (1)22 an-1=3(n-1) -3(n-1)+1=3n -9n+7 (2)Lấy (1)-(2) theo từng vế: an-an-1= 6n-6=6(n-1),.Vậy dãy số tăng.Vd7. Cho dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1=3an+10, n N*. Tìm số hạng thứ 15 của dãy sốTa có: a1=1, a2=13, a3=49, a4=157,….5|Page Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Nhận xét rằng: dãy trên khơng có quy luật dễ thấy, ta chứng minh số hạng tổng qt;Ta có: an+1=3an+10 an+1+5=3an+15=3(an+5) an+1+5=3(an+5) (*)Đặt bn=an+5, thì bn+1=an+1+5.Ta có: b1=a1+5=1+5=623n(*)  bn+1=3bn=3 .bn-1=3 .bn-2=…=3 .b1n-1=> bn=3 .b11414Vậy b15=3 .b1=3 .614a15+5=3 .6 a15= 2869780911 11Vd8. Cho dãy số un= 1.2 +2.3 +3.4 +…+n.(n+1) . Tìm lim un11 1Ta có: n.(n+1) =n -n+11 1 1 11 11Áp dụng công thức trên, ta có: un= 1 -2 +2 -3 +…+n -n+1 =1-n+11Lim un=1 vì khi n -> +∞, thì n+1 ->012008Vd9. (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình). Cho u1=2008 và un+1 = 2008 (2007.un+ u 2007 ) (nn𝟏 .Tìm giới hạn của dãy số.***Áp dụng định lý Cauchy cho 2007 số không âm để tìm min và chứng minh dãy giảmTa có: un+1 =2008.20081200812008(2007.un+ 2007 ) =( un+ un+ un+….+un + 2007 )2008un2008un2008=un2007√Suy ra un6|Page√√ Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]200812008120081 2008-unMặt khác: un+1-un= 2008 (2007.un+ u 2007 ) – un = 2008 (u 2007 -un) = 2008 ( u 2007n2008√2008nên unVậy: lim un =n=> 2008 - unn) < 0 (vì un=> dãy số giảm và bị chặn dưới≤√Vd10. Chứng minh rằng: Tn = 𝟐√𝟐√𝟐𝟐√𝟐√𝟐𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 (n dấu căn) có limTn=2.2x2xTa có: 2cos 2 = 1+cosx  4cos 2 = 2+ 2cosx;s = √4 sNên √Và √=√√xx= 2cos2 = 2cos21 (Nhận thấy có 1 dấu căn thì số mũ của 2 là 1)sxx= 2cos4 =2cos22 (Nhận thấy có 2 dấu căn thì số mũ của 2 là 2)xLập luận tương tự ta có, Tn=2cos2nnKhi n->+=> 2 -> +xxnên 2n -> 0 nên cos2n ->1 =>Tn->2 vậy limTn=2.Ta xét thêm một số bài tập trắc nghiệm về dãy số𝟏 𝟐 𝟑Vd1. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; 𝟐; 𝟑; 𝟒;..... Số hạng tổng quát của dãy số này là:A. un=𝒏 𝟏B. un= 𝒏𝒏𝟏Chọn B.( Ta có thể nhìn như sau:7|Page𝒏−𝟏𝒏n2-nD. un= n+1𝒏Ta nhận thấy rằng dãy số trên có quy luật như sau:0=C. un=n= n+1 Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]==....Suy ra un=)Vd2. Cho dãy các số hạng đầu: 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002……Số hạng tổng quát của dãy số trên là:A. un = 0.000…02 (n số 0 ở phần thập phân)C. un = 0,000…..02 (n-1 số 0 ở phần thập phân)B. un 2.10n+1D. un = 2. 10-n+2Ta nhận thấy rằng:Số hạng u1 có 0 số 0 ở phần thập phânSố hạng u2 có 1 số 0 ở phần thập phân…..Số hạng un có n-1 số 0 ở phần thập phânChọn CVd3. Cho dãy số (un) xác định bởi số hạng tổng quát un= 2n-2.(-1)2nA. Dãy số là một dãy xen dấuC. Dãy số trên là một cấp số nhânB. Dãy số trên là một cấp số cộngD. Dãy trên là một dãy số khơng đổi-1Ta có với, n=1 => u1=2 =0Với n=2 => u2= 2 =11Với n=3 => u3= 2 =2….Số hạng tổng quát ta có thể đơn giản hóa thành: un= 2n-2Dãy trên là một Cấp số nhân với u1= có cơng bội là q= 2Chọn C.8|Page Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Vd4. Cho dãy số (un) xác định bởi: un =𝟏𝒏A. Dãy số trên là một dãy số tăngC. Dãy số trên là một dãy số giảmB. Dãy số trên là một dãy số không đổiD. dãy số trên là một dãy đan dấuTa có: u1 =u2 = < u1u3 = < u2 < u1…..Ta thấy chỉ có ý C là hợp líChọn C.𝟏Vd5. Cho tổng Sn = 𝟏 𝟐A. S2 =𝟏𝟐𝟑𝟏𝟑𝟒𝟏𝟒𝟓𝟏𝒏 𝒏 𝟏𝟐𝟑. Lựa chọn nào sau đây là đúng.C. S3 =B. S2 = 6D. S3 =Ta có Sn= Sn==−Chọn A.un+1= un2 + 2vn2Vd6. Cho hai dãy số (un) và (vn) được xác định như sau: u1=3, v1=2 vàCông thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là :(Hocmai.vn)9|Pagevới nvn+1 = 2un.vn𝟐 Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Chọn D.Vd7. Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n.A. Dãy số trên bị chặnC. Dãy số trên bị chặn dướiB. Dãy số trên bị chặn trênD. Dãy số trên không bị chặnTa dễ thấy rằng, dãy số trên là một dãy đan dấu, các số hạn của nó tuần hồn lập lại theo quy luật:1;-1;1;-1;1;-1;1;……Ta có một nhận xét: -1≤ un ≤ 1Vì vậy dãy số bị chặn trên và bị chặn dưới  dãy số bị chặnChọn A10 TIPS:|PageI Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]"Nhiều đọc giả hiểu nhầm rằng: khi một dãy số không tăng ngặt, hoặc giảm ngặt (luôn tăng, ln giảm)thì dãy khơng bị chặn. Thế nhưng, đây là một trường hợp đặc biệt, dãy số bị cô lập lại bởi hai giá trị -1 và1 tạo thành một khoảng biến thiên và tất nhiên chỉ biến thiên trong khoảng đó. Vì vậy: dãy số bị chặn. "Vd8. Xét tính bị chặn của dãy số sau: un = 2021 - x +𝒙𝟐𝟒A. Dãy số bị chặn trên bởi số 2020C. Dãy số không bị chặnB. Dãy số bị chặn dưới bởi số 2020D. Dãy số bị chặn dưới bởi -2020 và bị chặn trên bởi 2020Ta có: un = 2021 - n += 2020 + (1 - n +) = 2020 + ( - 1)22020Dấu "=" xảy ra khi: n= 2Vậy dãy số trên bị chặn dưới bởi số 2020.Chọn B.𝟏𝟐Vd9. Cho dãy số (un) xác định bởi u1=1, un+1= un+ ( )n, n N*. Số hạng un của dãy được biểu diễn dưới dạnga.2n-bun= c.2n thì tổng a+b+c là:A. 2.C. 4.B. 3.D. 5.Ta có: un+1= un+ ( )nun= un-1+ ( )n-1un-1= un-2+ ( )n-2…………………11 | P a g e Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]u2= u1+ ( )1Cộng các đẳng thức trên vế theo vế được:un+1+ un+un-1+…+u3+u2= un+un-1+…+u2+u1+( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1 un+1 = u1 +( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1= 1 + ( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1Nhận thấy : ( )n+( )n-1+( )n-2+…+( )2+( )1 là tổng của một cấp số nhân có cơng bội q=2 và t1=( )nSn= t1.−−= ( )n.−−= ( )n.−=−a.2n-bc.2nSuy ra: a=1, b=1, c=1Vậy a+b+c= 3Chọn B.Vd10. Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 11, un+1= 10un+1-9n, n N*. Số hạng un được biễu diễn dưới dạngun = 𝒂𝒏 +b.n+c . Giá trị biểu thức a.b-c là:A. 10C. -12B. 12D. -10Ta có: un+1= 10un+1-9n1Ta có: u1= 11=10 +12u2= 102= 10 +23u3= 1003=10 +3……nDự đốn un=10 +n(Đến đây ta có thể dễ dàng suy ra: a=10, b=1, c=0 vậy a.b-c=10. Chọn A)Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:12 | P a g e [NGUYỄN THÀNH NHÂN]Sđt: 05852496851Với n=1, ta có u1=11=10 +1 (đúng)kGiả sử đúng với n=k, ta có uk= 10 +kk+1Ta cần chứng minh rằng: uk+1=10+k+1kTa có uk+1= 10uk+1-9k= 10.(10 +k)+1-9k=10k+1+k+1 (đpcm)Vậy công thức tổng quát của dãy (un) là un=10n+nLập luận tương tự ta chọn ATiếp theo, tôi xin giới thiệu với q bạn đọc một phương pháp mới đó chính là chọn hàm trongdãy số, một phương pháp rất hay có thể giúp ta giải quyết được một số bài tốn khơng thể quy vềdạng thơng thường như tơi đã trình bài ở ví dụ 9.Vd11. Cho dãy số (un) được cho bằng hệ tức truy hồi như sau: un+1= un -3n2-n-1, u1=1.Tìm cơng thức tổng qt của dãy unA. un= -2n3+n2+n+2C. un= -n3+n2-n+2B. un= -n3+n2+n+2D. un= -n3+n2+n-2Từ đáp án ta dễ dàng nhận thấy un là một hàm số bậc ba theo n.32Vì thế ta có ý tưởng đặt: un= an +bn +cn+d (1)Ta có: u1=1(2)u2 = -4(3)u3= -19(4)u4= -50(5)4Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {43442Suy ra .un= -n +n -n+2Chọn C.TIPS:I"Ta có thể dùng casio thử từng đáp án:"Ta có: u1=113 | P a g e{ Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]u2 = -4u3= -19u4= -50Câu C: với n=1 => u1=1Với n=2 => u2 = -4Với n=3 => u3= -19….. Chọn CVd12. Cho dãy số (un) được cho bằng hệ tức truy hồi như sau: 3un+1- un =2n2-4, u1=-1.Tìm cơng thức tổng qt của dãy unA. un= -n3+n+2C. un= n2-3n+1B. un= -2n3+n2+1D. un= n2+n-2TIPS:I"Ở ví dụ trước, ta dễ dàng nhận diện được "loại" hàm bị ẩn đi, nhưng với ví dụ này, ta có hai loại hàm, vìthế, ta ưu tiên đặt hàm có bậc cao nhất"32Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1)Ta có: u1= -1u2=-1(3)u3=1(4)u4=5(5)(2)4Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {4{42Vậy: un=n -3n+1Chọn C.Vd13. Cho dãy có 4 số hạng đầu tiên là: -1; 3; 19; 53. Tính u10.A. u10= 971C. u10= 197B. u10=187D. u10= 78114 | P a g e Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]TIPS:I"Đây là một bài tốn hay địi hỏi một suy luận logic của người làm, khi ta không hề biết dạng hàm đã bị ẩnđi, nhưng dựa vào dữ kiện đề bài: cho 4 số hạng, thì ta có thể suy nghĩ đến hệ phương trình 4 ẩn số =>hàm số bậc 3."32Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1)Ta có: u1= -1u2=3(2)(3)u3=19(4)u4=53(5)4Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {4{43Suy ra: un=n -3n+1Vậy: u10= 971Chọn A.*** Mạn phép xin trình bày một phương pháp rất hay của cô: Phạm Thị Thu Huyền về cơ sở chọnhàm.Ta xét lại ví dụ 13.Vd13*. Cho dãy có 4 số hạng đầu tiên là: -1; 3; 19; 53,111,199,323,489.Tính u10.A. u10= 971C. u10= 197B. u10=187D. u10= 781Ta kẻ bảng:ukuk2uk3uk-134195316123418111582466199883063323124366489166426Nhận thấy đến hàng uk thì độ chênh lệch giữa các số bằng một hằng ( số 6 )Suy ra: hàm ẩn cần tìm có dạng là phương trình bậc 3….32Ta đặt: un= an +bn +cn+d (1)15 | P a g e Sđt: 0585249685Ta có: u1= -1u2=3[NGUYỄN THÀNH NHÂN](2)(3)u3=19(4)u4=53(5)4Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {4{43Suy ra: un=n -3n+1Vậy: u10= 971***Đánh giá: "Phương pháp này rất hay để có thể tìm dạng hàm một cách rất logic, cách trình bài rất đẹp,dễ hiểu ,tuy nhiên, ta cũng nhận thấy mặt yếu của nó là ta cần phải biết một dữ liệu khá lớn ( ít nhất 3 sốhạng đầu ta mới có thể xét được hàm bậc 2, 5 số hạng đầu cho hàm bậc 3,…."Đây cũng là một hướng khai thác rất đẹp, ta có thể áp dụng trong các bài tiếp tương tự.un+1 un+1Vd14. Cho u - n2+n = 1, u1 = 2020. Tính ∑𝟐𝟎𝟏𝟗𝟏nA. B. -C. 8D.2un+1 un+1un+1 un+1+n +nTa có: u - n2+n = 1  u = n2+nnn22un+1(n +n) = un.un+1+un(n +n)2( un+1 - un)(n +n) = un.un+1un+1 - un11 1 u .u=n(n+1)  u -u =n n+1nn+1∑=∑=)= 1-1= 1u202016 | P a g e=> u2020 = -. Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Chọn AVd15. an = 𝟐√𝟐√𝟐√𝟐𝟐√𝟐(n dấu căn) . Lim an có giá trị là:A. 1,99999C. 1,5B. 2D. 5√Đặt: x =√√2x =√√−2 x -x-2=0 √√√=2+x. Vậy lim an = 2.Chọn BVd16. Cho dãy số xác định bởi: un+2 + 6un = 5un+1 và u2 = 2u1 = 2. Dãy số trên là dãy:A. Cấp số cộng có cơng sai là 2C. Cấp số nhân có cơng bội là 2B. Dãy các số ngun tốD. Có cơng thức tổng quát là: un=2nTa có: un+2 + 6un = 5un+1  un+2-2un+1=3(un+1-2un)(*)Đặt bn= un+1-2unb1= u2-2u1=2-2.1=023n(*)  bn+1=3bn=3 .bn-1=3 .bn-2=...=3 .b1n-1bn=3 .b1=0 un+1-2un=0un+1=2unVậy dãy số trên là dãy cấp số nhân có công bội là 2.17 | P a g e [NGUYỄN THÀNH NHÂN]Sđt: 0585249685Chọn C.un+12020un =1+ un , 𝒙𝑵𝒏𝟏Vd17. Cho dãy số (un) được xác định như sau:u1= 1u12020 u22020 u32020un2020Tính : lim ( u+ u+ u+....+ u)234n+1A. 2C. 2021B. 2020D. 12021Ta có: un+1=un+un2021 un+1-un=un202011unu - u = unn+1n+12020u1Ta có: ( u22020u2+ u32020u3+ u42020un1 111+....+ u)= u - u + u - un+1122311+...+u - unn+1111=u - u= 1- u1n+1n+1un+12020>1, nên dãy tăngun =1+ unTa có:1nên lim u= 0;n+1Lim un+1 =+2020Vậyu1lim ( u22020u2+ u32020u3+ u42020un+....+ u)n+1=1Chọn D.Vd18. Cho dãy số (un) : un= (1-a)n + (1+a)n, trong đó a(0;1), và n là số nguyên dương. CTTQ của dãy:A. un+1 = un +a.[(1+a)n+(1-a)n]C. un+1 = un + 2a.[(1+a)n-(1-a)n]B. un+1 = 2un +a.[(1+a)n- (1-a)n]D. un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n]18 | P a g e Sđt: 0585249685n[NGUYỄN THÀNH NHÂN]nTa có: un= (1-a) + (1+a) ,Suy ra: un+1= (1-a)n+1+(1+a)n+1=> un+1-un=[ (1-a).(1-a)n + (1+a).(1+a)n ]-[ (1-a)n + (1+a)n] un+1-un= -a.(1-a)n+a.(1+a)n = a.[(1+a)n-(1-a)n]Vậy: un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n]Chọn D𝟏𝟐𝟐Vd19. Cho dãy số được xác định bởi Sn = 𝟏𝟏𝟑𝟐𝟏𝟑𝟐𝟏𝟏𝟒𝟐𝟏𝒏𝟐𝟏Tìm S2020.33A.C.B.33D.Ta có điều chứng minh sau đây:==()=() (Suy ra:) (== 1+= 1+……= 1+ Nên Sn= (1+1+1+….+1) (n số 1) + ( Sn= n +Vậy S2020 =19 | P a g e)(==Dễ dàng có được:=() ()==) (= 1+=1+ -) ()𝟏𝒏 𝟏 𝟐,n𝟐. Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Chọn C.TIPS:I" Đối với một số dạng tốn tính tổng hữu hạn như thế này, ta nên biến đổi biểu thức tổng quát (thườngđược đặt ở sau cùng) trước. Từ đó, ta dễ dàng cơ đọng hóa bài tốn, và dễ nhìn ra được quy luật. Nhưngđối với hình thức thi trắc nghiệm. Tơi có một nhận xét như sau đễ đơn giản hóa cách chứng minh:= 6 = 1+6= 1+== 1+ = 1+Từ đó đễ dàng có kết luận:Và Sn= n += 1+ -.Bảng cơng thức, "nên nhớ"Sn= 1+2+3+4+5+….+n=(Cơng thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1)Sn= 1+3+5+7+….+(2n-1) = n2 (Công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1)Sn= 12+22+32+…+n2=(Cơng thức tính tổng các số chính phương liên tiếp, bắt đầu từ 1)Sn= 13+23+33+…+n3=Sn= 15+25+35+…+n5=(Cơng thức tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1)n2(n+1)2(2n2+2n-1)(Cơng thức tính tổng mũ 5 của các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1)Sn=Sn=Sn=Sn= 1+a+a2+a3+…+an=[−−Sn=1-a+a2-a3+…-a2n-1+a2n=(a,n], a>1, n>0)(a,n, a>1, n>0)Sn= 1.4+4.7+7.10+…+(3n-2)(3n+1)=n.(n+1)2Sn=20 | P a g e Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]"Để hiểu sâu một cách thấu đáo, tôi xin bổ sung thêm vài dạng bài tập tự luyện cho quý bạn đọc nângcao kĩ năng và sáng tạo."Câu 1. Cho dãy số được xác định bởi: un= 2n+3, dãy số đã cho có quy luật nào:A. Dãy số trên là cấp số nhân có cơng bội q=2C. Dãy số trên là cấp số nhân có cơng bội q=3B. Dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai d=3D. Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d=2.Câu 2. Cho dãy số được xác định bởi: un= n2+2. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãyA. 338550C. 833550B. 383550D.558033(Hướng dẫn: ta dùng chức năng ∑của máy casio để tính nhanh)Câu 3. Cho dãy số được xác định bởi: un=( +n)n -,n là số nguyên dương. Tìm giới hạn dưới của dãysố trên.A. 0C. 2B. 1D. 3(Hướng dẫn: dùng bất đẳng thức cauchy để đánh giá +n)Câu 4. Biết (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 2020, cơng sai là 2021. Viết công thức tổng quátcủa dãy.A. un=2020n+2021C. 1010n+2021B. un= 2021n +2020D. 2021n+1010Câu 5. Dãy số :1; -1; 1; -1; 1; -1; 1;…… Có số hạng tổng quát là:A. (-1)2n-2C. (-1)nB. -1n+2D. (-1)n-1Câu 6. Viết công thức truy hồi của dãy (un), biết rằng un2= un+1.un-1 và u3=2u2=4u1=4.A. un+1=2unC. un+1=un+2B. un+1=2nD. un+1=2n+1"Hướng dẫn:Cách 1: viết các số hạng rồi tìm quy luật21 | P a g e Sđt: 0585249685[NGUYỄN THÀNH NHÂN]Cách 2: dùng hệ quả của cấp số nhân"Câu 7. Xét dãy: un+1=un+ , n*, u1=1. Xác định số hạng tổng quát của dãy.A. un= 2-( )nC. un= 1-( )nB. un= 2-( )n-1D. un= 1-( )n-1Câu 8. Cho dãy số (un) được xác định như sau: un+1=2un+6.2n, n 1 và u1=1. Công thức số hạng tổngquát của dãy là:A. un=3(n+1).2n-6.2n-1C. un=3n.2n-5.2n-1B. un=3n.2n-5.2n-2D. un=3n.2n-6.2n-1"Hướng dẫn: đặt un= 2n.vn rồi triệt tiêu 2n+1ở hai vế"Câu 9. Cho dãy số hữu hạn (un) có dạng khai triển như sau: -3;-3;-1;3;9;17;27;39;53;69. Tìm cơng thứctổng qt của dãy số:A. un=n2-3n-1C. un=n2-2n-1B. un=n2-3n-2D. un=2n2-3n-1Câu 10. Cho dãy số xác định bởi: un+1=A. B.√ −( −√ )√,n. Tính u2021 biết u1=√ .C.√1D. 3√"Hướng dẫn: đặt un= tanvnở bài này ta phải nắm vững công thức lượng giác: tan(a+b)=−và tan( 8 ) = √ -1biến đổi đến cùng, ta được: un=tan[ +(n-1). 8 ] "Câu 11. Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số sau, biết: un+1 =A. un=B. un=C. un=−22 | P a g eD. un=,n, u1=1. Sđt: 0585249685"Hướng dẫn: ta đặt: un=[NGUYỄN THÀNH NHÂN]=>vn=vn-1+1=> CSC, tìm công thức tổng quát của vn=> công thức tổng quát củaun"Câu 12. Cho dãy số có các số hạng đầu như sau:u1, u2, u3, u4, u5, u6 = 783, u7, u8, u9, u10 = 998;Biết tổng ba số hạng liên tiếp đều bằng 2020. Tính tổng 10 số hạng đầu đó.A. 7085C. 8075B. 7058D. 8057"Hướng dẫn: dựa vào 2 cặp 3 số (u6, u7, u8) và (u7, u8, u9) để suy ra lần lượt: u9, u8, u7, u5, u4, u3, u2, u1."unGiá trị199822393783499852396783799882399783Đáp án1.D6.A11.A2.A7.B12.B3.A8.C___HẾT___23 | P a g e4.B9.A5.D10.A10998