Sử Dụng Cấp Số Cộng, Cấp Số Nhân để Tìm Số Hạng Tổng Quát Của ...

Tải bản đầy đủ (.docx) (23 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Trung học cơ sở - phổ thông

Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.26 KB, 23 trang )

1.MỤC LỤCMở đầu……………………………………………………………..21.1Lý do chọn đề tài…………………………………………………..2.1.2Mục đích nghiên cứu………………………………………………2.1.3Đối tượng ngiên cứu……………………………………………….3.1.4Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..3.2.2.1Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………33.2.2Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…..3.2.3Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………….4.2.4Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,.3.3.1với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………..Kết luận, kiến nghị………………………………………………..Kết luận……………………………………………………………192020.3.2Kiến nghị………………………………………………………….20.3.3Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN.Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại Ctrở lên……………………………………………………………..2011. Mở đầu1.1. Lí do chọn đề tài:Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPTtỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tậptrong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáokhoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề.Cụ thể:Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): chou1 = 2, u2 = 5(u)un+ 2 = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 1 .Tính giới hạnndãy sốxác định như sauu lim  n ÷.nCâu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): chou1 = 2n*un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ . .Tìm số hạng tổng quátdãy số xác định bởi2n 2 + 3n + 1lim.un và tính giới hạnunBên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏibậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trongcác đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú vớinội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viếtcho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơsở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đónhững học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ônthi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp.Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xâydựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bámsát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản.Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sátchương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồngnghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắcphục.Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm sốhạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết.21.2. Mục đích nghiên cứu:Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sauTruyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm củahọc sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tậpvề dãy số một cách logic từ dễ đến khó.Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phépbiến đổi điển hình của đại số và giải tích.Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy sốchánh sự gượng ép máy móc.1.3. Đối tượng nghiên cứu:Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân. Để qua đóhình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sửdụng cấp số cộng và cấp số nhân.1.4. Phương pháp nghiên cứu:Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạngtổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp sốnhân.2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:2.1.1.Cấp số cộng( un ) là cấp số cộng⇔ un+1 = un + d với∀n ∈ ¥ * , trong* Dãy sốd là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.đóun = u1 + ( n − 1) d .( un ) là cấp số cộng thì* Nếu dãy số* Nếu dãy số( un )là cấp số cộng thì tổngnSn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) .22.1.2.Cấp số nhân( un ) là cấp số nhân⇔ un+1 = un .q với* Dãy sốq là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.* Nếu dãy số( un )( un )là cấp số nhân thì∀n ∈ ¥ * , trong đóun = u1.q n−1q ≠ 1, q ≠ 0 thì tổng1 − qnSn = u1 + u2 + ... + un = u1..1− q2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế nhưsau:* Nếu dãy sốlà cấp số nhân vơi3Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức làkhi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đạisố và giải tích 11 chương trình cơ bản. Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21.Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)1Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6)Sơn (6,5)H.Phương (5,8)2Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)Với đề kiểm tra như sau:Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:u1 = 1u1 = 2a) b) un+1 = un + 2; n ≥ 1.un+1 = 3un ; n ≥ 1.(Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy sốu1 = 2u = 2a)  1b) nun+1 = un + n; n ≥ 1un+1 = un + 3 ; n ≥ 1 .bởi:un ) xác định( un )Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy sốu = 1a)  1un+1 = 2un + 5n; n ≥ 1.xác định bởi:u1 = 1b) nun+1 = 2un + (n − 1).3 ; n ≥ 1.Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)ĐiểmLớpNhóm 1 (số hs)Nhóm 2 (số hs)0–3113,5 – 5215,5 – 7,0 7,5 – 8,523009-10002.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩavà tính chất của cấp số cộng và cấp số nhânu1 = 1u()un = un −1 + 2; n ≥ 2nBài 1. Cho dãy sốxác định bởi công thức:Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy sốGiải4( un ) là một cấp số cộng cóTừ công thức truy hồi đã cho suy rad = 2 nên số hạng tổng quát làvà công saiun = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = 2n − 1. Vậyun = 2n − 1.Kết luận.Để xác định số hạng tổng quát của dãy sốu1 = aun = un −1 + b; n ≥ 2.Ta làm như sausố hạng thứ nhất(u )nu1 = 1thỏa mãnun +1 − un = b nên dãy số( un ) là cấp số cộng vớiu1 = a và công sai b nênun = a + (n − 1)b.u1 = 41un+1 = 2 un ; n ≥ 1.( un ) xác định bởi công thức:Bài 2. Cho dãy sốHãy tìm số hạng tổng quát của dãy sốGiải( un ) là một cấp số nhân cóTừ công thức truy hồi đã cho suy rau1 = 4và côngbội1q=2 nên số hạng tổng quát làun = 23−n.n −1un = u1.qn −11⇒ un = 4. ÷ = 23−n.2VậyKết luận.( un ) thỏa mãnĐể xác định số hạng tổng quát của dãy sốu1 = a.u=bu;n≥2 nn −1( un ) là cấp số cộng với số hạng thứ nhấtu1 = a và côngTa thấy dãy sốbội b nênun = a.b n −1.Bài 3. Cho dãy sốTìm số hạng tổng quátGiải( u ) cónu1 = 2.u=u+n,∀n≥2n −1 nun của dãy số.Theo đề bài suy rau1 = 2.u2 = u1 + 2.u3 = u2 + 3....5un = un−1 + n.n đẳng thức trên theo vế suy raCộngun = 1 + [ 1 + 2 + 3 + ... + n ] .n ( n + 1).2Trong đón(n + 1) n 2 + n + 1un = 1 +=.22Vậy:1 + 2 + 3 + ... + n =( un ) xác định bởi công thức:Bài 4. Cho dãy sốHãy tìm số hạng tổng quát của dãy sốGiảiTheo đề bài suy rau1 = 1.u2 = u1 + 31.u3 = u2 + 32....un +1 = un + 3n.n đẳng thức trên theo vế suy raCộngun = 1 − 31 + 31 + 32 + ... + 3n  .3n − 13un = −2 + 3= −2 + ( 3n − 1) .3 −12u n = −2 +u1 = 1nun +1 = un + 3 ; n ≥ 1 .3 n( 3 − 1) .2Vậy số hạng tổng quát của dãy số là( un ) xác định bởi công thức:Bài 5. Cho dãy sốu1 = 1nun+1 = un + 3n − 1 − 2.5 ; n ≥ 1.Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy sốGiảiTheo đề bài suy rau1 = 1.u2 = u1 + 3.1 − 1 − 2.51.u3 = u2 + 3.2 − 1 − 2.52....un = un −1 + 3.( n − 1) − 1 − 2.5n−1.n đẳng thức trên theo vế suy raCộngun = 1 + 3 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1)  − ( n − 1) − 2 51 + 52 + 53 + ... + 5n −1  .6Trong đóVà tổng1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) =( n − 1) n .A = 51 + 52 + ... + 5n−1 là tổnga1 = 5 , công bộicó số hạng thứ nhất2n − 1 số hạng đầu của cấp số nhânq =51 − q n−11 − 5n−15 5n⇒ A = S n −1 = a1⇒ A = 5.=− + .1− q−44 4n( n − 1) n − 2  − 5 + 5  = 1 3n 2 − 5n + 9 − 5n .un = 2 − n + 3) 4 4  2(21un = ( 3n 2 − 5n + 9 − 5n ) .2Vậy số hạng tổng quát của dãy số làTrên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bàitrên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bảnthân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhânu1 = 2.u=5u+6;n≥2u()nn−1n xác định bởi công thức:Bài 6. Cho dãy sốHãy tìm số hạng tổng quát của dãy sốGiảiun + a = 5 ( un −1 + a ) ⇔ un = 5un −1 + 4a.Ta xét3⇒ 4a = 6 ⇔ a = .2Kết hợp với đề bài33un = 5un −1 + 6 ⇔ un + = 5  un −1 + ÷.22VậyĐặtvn = un +33 7⇒ v1 = u1 + =22 2 vàvn = 5vn−1.7q = 5.n2 , công bộiSuy ra dãy số73 73⇒ vn = v1.q n −1 ⇒ vn = .5n −1 ⇒ un = vn − = .5n−1 − .22 2273un = .5n−1 − .22Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làKết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quátcủa các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:u1 = αun+1 = qun + f ( n ) ; n ≥ 1.f ( n ) là đa thức theo biến số nα , q là các hằng số đã cho,Trong đóq = 1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I* Nếu( v ) là cấp số nhân cóv1 =7g ( n ) có bậc bằng bậc củaq ≠ 1 ta phải tìm một đa thức* Nếuf ( n ) sao cho phương trìnhun +1 = qun + f ( n ) ⇔ un+1 + g ( n + 1) = q un + g ( n )  .Khi đó việc tìmcấp số nhânun sẽ trở thành tìmBài 7. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốu1 = 32un = un −1 + 6n − 2n; n ≥ 2.a)b)vn trong đó dãy số(v )nlà một( u ) cho bởi công thức truy hồinu1 = 1un+1 = 3un + 4n − 2; n ≥ 1.u1 = 52un+1 = 9un + 8n + 14n + 1; n ≥ 1.c)Giảia) Theo đề bài suy rau1 = 3.u2 = u1 + 6.22 − 2.2.u3 = u2 + 6.32 − 2.3.u4 = u3 + 6.42 − 2.4.…un = un−1 + 6.n 2 − 2.n.n đẳng thức trên theo vế ta đượcCộngun = 3 + 6  22 + 32 + ... + n 2  − 2 [ 2 + 3 + ... + n ] .⇒ un = 3 + 6 12 + 22 + 32 + ... + n 2  − 2 [ 1 + 2 + 3 + ... + n ] − 4.⇒ un = −1 + n ( n + 1) ( 2n + 1) − n ( n + 1) = 2n3 + 2n 2 − 1.un = 2n 3 + 2n 2 − 1.Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làf ( n ) = 4n − 2. là đa thức bậc nhất ẩnn nên ta xétb) Từ đề bài suy raun+1 + g ( n + 1) = 3 un + g ( n )  .g ( n ) = an + b sao chođa thức⇒ un+1 + a ( n + 1) + b = 3[ un + an + b ] .⇒ un+1 = 3un + 2an + 2b − a.un +1 = 3un + 4n − 2 nên ta phải cóMà 2a = 4a = 22an + 2b − a = 4n − 2 ⇒ ⇔2b − a = −2b = 0.8Do đóĐặtSuy raun+1 + 2 ( n + 1) = 3[ un + 2n ] .vn = un + 2n ⇒ v1 = u1 + 2 = 3 vàvn +1 = 3vn .( vn ) là cấp số nhân cóv1 = 3 , công bội⇒ vn = v1 .q n −1 ⇒ vn = 3.3n −1 = 3n màq = 3.vn = un + 2n ⇒ un = 3n − 2n.un = 3n − 2n.Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làf ( n ) = 8n 2 + 14n + 1 là đa thức bậc hai ẩnc) Từ đề bài suy ran nên ta2un +1 + g ( n + 1) = 9 un + g ( n )  .gn=an+ bn + c sao cho()xét đa thức2⇒ un+1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 9 un + an 2 + bn + c  .⇒ un+1 = 9un + 8an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a.un+1 = 9un + 8n 2 + 14n + 1 nên ta phải cóMà8an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n 2 + 14n + 1.8a = 88an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n 2 + 14n + 1 ⇒ 8b − 2a = 148c − b − a = 1.11⇔ a = 1; b = 2; c =g ( n ) = n 2 + 2n +2 suy ra2112⇒ un +1 + ( n + 1) + 2 ( n + 1) + = 9 un + n 2 + 2n + 22Do đó17 17vn = un + n 2 + 2n + ⇒ v1 = u1 + =vn +1 = 9vn .22 2 vàĐặt17v=1( vn ) là cấp số nhân cóq =92 , công bộiSuy ra1717⇒ vn = v1.q n−1 ⇒ vn = .9n −1 = .32 n− 2.2211  171vn = un + n 2 + 2n + ⇒ un = vn −  n 2 + 2n + ÷ = .32 n−2 − n 2 − 2n − .22 22MàVậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là171un = .32 n− 2 − n 2 − 2n − .22Bài tập tương tự:( un ) cho bởi công thức truy hồiTìm số hạng tổng quát của các dãy sốa)u1 = 13un = un −1 + 4n − 6n; n ≥ 2.9b)u1 = 4un +1 = 5un − 8n + 3; n ≥ 1.c)u1 = 32un+1 = 2un + 3n − 4n − 1; n ≥ 1.Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốu1 = 1nun = un−1 + ( n − 3) 2 ; n ≥ 2.( u ) cho bới công thức truy hồinGiảiCách 1. Theo đề bài suy rau1 = 1.u2 = u1 + ( 2 − 3) .22.u3 = u2 + ( 3 − 3) .23.u4 = u3 + ( 4 − 3) .24.…un = un−1 + ( n − 3) 2n.n đẳng thức trên theo vế ta đượcCộngun = 1 + 2.22 + 3.33 + ... + n.3n − 3  2 2 + 23 + ... + 2 n  .A = 22 + 23 + ... + 2n là tổngn − 1 số hạng đầu của mộtq = 2.a1 = 22 = 4 , công bộicấp số nhân có phần tử thứ nhấtTrong đó tổng1 − q n −11 − 2n −1⇒ A = a1.⇒ A = 4.= 2n +1 − 4.1− q−1234B = 2.2 + 3.2 + 4.2 + ... + n.2 n.Xét⇒ 2 B = 2.23 + 3.24 + 4.25 + ... + n.2 n +1Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy raB − 2 B = 2.22 + 23 + 24 + ... + 2 n − n.2n +1.⇒ − B = A + 22 − n.2n+1 = 2n+1 − n.2n +1 ⇒ B = ( n − 1) 2n+1.⇒ un = 1 + B − 3 A = 1 + ( n − 1) 2 n+1 − 3 ( 2 n+1 − 4 ) = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.un = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên làg ( n ) = ( an + b ) .2n+1. sao choCách 2. Xét hàm sốun + g ( n ) = un −1 + g ( n − 1) .⇒ un + ( an + b ) 2n+1 = un−1 +  a ( n − 1) + b  2n.⇒ un = un−1 +  a ( − n − 1) − b  2 n.10Màun = un−1 + ( n − 3) 2n nên ta phải có− a = 1 a = −1a ( − n − 1) − b = n − 3 ⇒ ⇔−a − b = −3 b = 4⇒Do đoĐặtg ( n ) = ( −n + 4 ) .2n +1.un + ( −n + 4 ) 2n+1 = un−1 +  − ( n − 1) + 4  2 n.vn = un + ( − n + 4 ) 2n+1 ⇒ v1 = u1 + ( −1 + 4 ) 22 = 13 vàvn = vn −1.( vn ) là cấp số nhân cóq = 1.v1 = 13 , công bộiSuy ra⇒ vn = v1.q n−1 ⇒ vn = 13 màvn = un + ( − n + 4 ) 2n+1 ⇒ un = 13 + ( n − 4 ) 2n+1.un = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là( n ) thỏa mãnChú ý: Dãy sốu1 = 1u1 = 1⇔nn +1un = un−1 + ( n − 3) 2 ; n ≥ 2 un+1 = un + ( n − 2 ) 2 ; n ≥ 1.uTương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quátcủa các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:u1 = αnun+1 = qun + f ( n ) .β ; n ≥ 1.Trong đósố nα , q, β là các hằng số đã cho,f ( n ) là một đa thức theo biếnKết luận:g ( n ) có bậc bằng bậc củaq = β = 1 ta sẽ tìm đa thức* Nếuf ( n ) cộng với 1 sao choun+1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) . Khi đó ta sẽ đưavề bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân.q ≠ 1 , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.β = 1 và* Nếug ( n ) có bậc bằng bậc củaq ≠ β , ta sẽ tìm đa thứcβ ≠1 ,* Nếuun+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  .f ( n ) sao chog ( n ) có bậc bằng bậc củaq = β ≠ 1 , ta sẽ tìm đa thức* Nếuun+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  .f ( n ) cộng với 1 sao choVấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tựtương ứng.11( un ) cho bởi công thức truy hồiBài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốu1 = 12un+1 = un + 2n − n; n ≥ 1.Giảig ( n)f ( n ) bằng 2⇒ q = β = 1 , bậc⇒ bậcTheo đề bàibằng 332gn=an+bn+ cn + d sao cho()Xétun +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) .⇒ un +1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c ( n + 1) + d = u n + an 3 + bn 2 + cn + d .32⇒ un +1 = un − 3an 2 − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c )un+1 = un + 2n 2 − n nên ta phải cóMà−3a = 2−3an 2 − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c ) = 2n 2 − n ⇒ 3a + 2b = 1a + b + c = 0235235⇔ a = − ;b = ;c = −⇒ g ( n ) = − n3 + n 2 − n.326326un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) .Do đóĐặt2 3 5+ − =1vn +1 = vn3 2 6vàq =1v1 = 1 , công bộivn = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = 1 −( vn ) là cấp số nhân cóSuy ra⇒ vn = v1.q n−1 = 1235vn = un + g ( n ) ⇒ un = vn − g ( n ) = n 3 − n 2 + n + 1326mà235un = n3 − n 2 + n + 1.326Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên làChú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.( un ) cho bởi công thức truyBài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = 02un +1 = 2un + n − 3n + 1; n ≥ 1.Giảif ( n ) bằng 2 suy ra bậc của⇒ q = 2, β = 1 , bậc củaTheo đềg ( n ) bằng 212Xétg ( n ) = an 2 + bn + c sao cho:un +1 + g ( n + 1) = 2 un + g ( n )  .⇒ un+1 + a ( n + 1) + bn + c = 2 un + an 2 + bn + c  .2⇒ un+1 = 2un + an 2 + ( b − 2a ) n + c − a.a = 1a = 1b − 2a = −3 ⇔ b = −1c − a = 1c = 2un +1 = 2un + n 2 − 3n + 1 nên ta phải cóun +1 + g ( n + 1) = 2 un + g ( n ) ⇒ g ( n ) = n 2 − n + 2 vàvn = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = 2 vàvn+1 = 2vnĐặt( vn ) là cấp số nhân có công bộiq = 2 nênDo đóvn = v1.q n −1 = 2.2n −1 = 2n⇒ un = vn − g ( n ) = 2n − n 2 + n − 2.MàVậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làun = 2n − n 2 + n − 2.( un ) cho bởi công thức truyBài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = 12nun+1 = un + ( n + 1) 3 ; n ≥ 1.Giảif ( n ) bằng 2 suy ra bậc của⇒ q = 1, β = 3 , bậc củaTheo đềg ( n ) bằng 2g ( n ) = an 2 + bn + c sao choXét hàm sốun+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n2⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  3n +1 = un +  an 2 + bn + c  3n.2⇒ un+1 = un +  −2an + ( −2b − 6a ) n + −2c − 3b − 3a  3n.Màun +1 = un + ( n 2 + 1) 3nnên ta phải có−2a = 113⇔ a = − ; b = ; c = −2.−2b − 6a = 022−2c − 3b − 3a = 113⇒ g ( n ) = − n2 + n − 2un+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n.22vàn1v=u+gn3⇒v=u+g13= −2 vàvn +1 = vn()()nn11Đặt( vn ) là cấp số nhân có công bộiq = 1 nênvn = v1 = −2Do đó1331⇒ −2 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = −2 − g ( n ) 3n = −2 +  n 2 − n + 2 ÷3n.22Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là31un = −2 +  n 2 − n + 2 ÷3n.22( un ) cho bởi công thức truyBài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = 0nun+1 = 2un + ( n + 1) 3 ; n ≥ 1.Giải⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc củaTheo đềg ( n ) là 1g ( n ) = an + b sao choXét hàm sốf ( n ) là 1 suy ra bậc củaun+1 + g ( n + 1) 3n+1 = 2 un + g ( n ) 3n  .⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  3n+1 = 2un + 2 ( an + b ) 3n.⇒ un+1 = 2un + [ − an − b − 3a ] 3n.−a = 1a = −1⇔−b − 3a = 1 b = 2un +1 = 2un + ( n + 1) 3n nên ta phải có⇒ g ( n ) = −n + 2.vn = un + g ( n ) 3n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 31 = 3 vàvn +1 = 2vn .Đặt( vn ) là cấp số nhân có công bộiq = 2 nênDo đóvn = v1.q n−1 = 3.2 n−1⇒ 3.2n −1 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = 3.2n−1 + ( n − 2 ) 3n.un = 3.2 n−1 + ( n − 2 ) 3n.Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làMàBài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = 3nun+1 = 2un + ( n + 5 ) 2 ; n ≥ 1.( u ) cho bởi công thức truynGiảif ( n ) là 1 suy ra bậc của⇒ q = β = 2 , bậc của2gn=an+ bn + c sao cho()Xét hàm sốun+1 + g ( n + 1) 2n+1 = 2 un + g ( n ) 2n  .Theo đềg ( n ) là 22⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  2 n +1 = 2 un + ( an 2 + bn + c ) 2n  .14⇒ un+1 = 2un + [ −4an − 2b − 2a ] 2n.un +1 = 2un + ( n + 5 ) 2n nên ta phải cóMà−4a = 1191 2 9⇔ a = − ;b = −⇒gn=−n − n.()44−2b − 2a = 544n +1nun +1 + g ( n + 1) 2 = 2 un + g ( n ) 2  .Vàvn = un + g ( n ) 2n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 21 = −2 vàvn+1 = 2vn .Đặt( vn ) là cấp số nhân có công bộiDo đóvn = v1.q n −1 = −2.2n −1 = −2 nq = 2 nên9  1⇒ −2n = un + g ( n ) 2n ⇒ un = −2n −  − n 2 − n ÷2n = −2 n + ( n2 + 9n ) 2 n −2.4  4un = −2n + ( n 2 + 9n ) 2n−2.Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làBài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = 1nun +1 = 3un + 2n + 1 − ( n − 1) .3 ; n ≥ 1.GiảiTheo đề1Xét⇒ q = 3, β = 3 , bậc của( u ) cho bởi công thức truyn2n + 1 bằng 1 bậc củan − 1 bằngg ( n ) = an + b + n ( cn + d ) 3n sao cho:un +1 + g ( n + 1) = 3 u n + g ( n )  .un+1 + a ( n + 1) + b + ( n + 1) c ( n + 1) + d  3n+1 = 3 u n + an + b + n ( cn + d ) 3n  .⇒ un+1 = 3u n +2an + 2b − a + ( −6cn − 3d − 3c ) 3n.nu=3u+2n+1−n−1.3()n+1nMànên ta phải có : 2a = 2 2b − a = 111⇔ a = 1; b = 1; c = ; d = −62 −6c = −1 −3d − 3c = 111⇒ g ( n ) = n + 1 + n  n − ÷3nun +1 + g ( n + 1) = 3 u n + g ( n )  .2  và6vn = u n + g ( n ) ⇒ v1 = u 1 + g ( 1) = 2 vàvn +1 = 3vn .Đặt15( vn ) là cấp số nhân có công bộiq = 3 nênDo đó⇒ 2.3n−1 = u n + g ( n ) ⇒ un = 2.3n−1 − g ( n ) .Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là11u n = 2.3n −1 − n − 1 − n  n − ÷3n.26vn = v1q n −1 = 2.3n −1Bài 15. (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy sốxác định bởiGiảiu1 = 2n*un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ . .Tìm số hạng tổng quát⇒ q = β = 4 ≠ 1 , bậc củaTheo đềlà 1f ( n ) là 0 suy ra bậc củaung ( n)g ( n ) = an + b, (a ≠ 0) sao choXét hàm sốun+1 + g ( n + 1) 4n+1 = 4 un + g ( n ) 4n  .⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  4n+1 = 4 un + ( an + b ) 4n  .⇒ un+1 = 4un + ( −4a ) 4n.3a=−nun+1 = 4un + 3.4 nên ta phải có4 và b tùy ý, nên ta chọnMà3⇒ g ( n ) = − n.b=043(n + 1) n+13n un +1 −.4 = 4 un − 4 n  .44 Và3n3vn = un − .4n ⇒ v1 = u1 − .41 = −1vn +1 = 4vn .44Đặtvà( vn ) là cấp số nhân có công bộiq = 4 nênDo đóvn = v1.q n−1 = −1.4n −1 = −4n −13n3n( 3n − 1) 4 .⇒ −4 = un − .4n ⇒ un = −4n−1 + .4n =444(3n − 1).4nun =.4Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho lànn −1Bài 16. cho dãy sốun ..Tìm(un ) xác định như sauu1 = 2, u2 = 5un+ 2 = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 116GiảiTheo đề bài suy raun + 2 − 2un+1 = 3(un +1 − 2un ).vn = un +1 − 2un .Đặt⇒ v1 = u2 − 2u1 = 1.vn +1 = 3vn nên dãyVàvn = v1.q n −1 = 3n−1.(v )nlà cấp số nhân với công bộiq=31⇒ 3n−1 = un+1 − 2un ⇒ un+1 = 2un + 3n−1 = 2un + .3n.3Vậyf ( n ) là 0 suy ra bậc của⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc củaTheo đềg ( n ) là 0un+1 + g ( n + 1) 3n+1 = 2 un + g ( n ) 3n  .gn=a()Xét hàm hằngsao chon +1⇒ un+1 + a.3 = 2(un + a3n ).⇒ un+1 = 2un + (−a )3n.11−1un+1 = 2un + .3n−a = ⇔ a =3 nên ta phải có33Mà−1⇒ g ( n) = .311w n = un − .3n ⇒ w1 = u1 − 31 = 1w n+1 = 2w n .33Đặtvà( w n ) là cấp số nhân có công bộiq = 2 nênDo đów n = w 1.q n −1 = 2n−11⇒ 2n −1 = un − 3n ⇒ un = 2n−1 + 3n−1.3Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làun = 2n −1 + 3n −1.( un ) cho bởi công thức truyKết luận: Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốu1 = a1 , u2 = a2un + 2 = aun +1 + bun + c; n ≥ 1.hồi sau:un + 2 − xun +1 = y (un+1 − xun ) + cCách làm như sau: phân tích⇔ un+ 2 = ( x + y )un +1 − xyun + cx + y = a⇒ xy = −b nênx, y là hai nghiệm phương trìnhX 2 − aX − b = 0.Giả sử phương trình có hai nghiệm làα, β .17Khi đó. Đặtun + 2 − α un +1 = β (un +1 − α un ) + cvn +1 = u n+1 − α u n thìvn+1 = β vn ⇒ vn = v1β n−1 ⇒ un+1 = α un + v1β n−1.(un).Bài toán này đã được giải quyết ở trên, từ đó tìm đượcBài tập tương tự( un ) cho bởi công thức truy hồi sau:Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốa)c)e)u1 = 02un = un−1 + n − 2n; n ≥ 2.u1 = 2nun = un −1 + ( n + 1) 3 ; n ≥ 2.u1 = 102nun+1 = 3un − ( 2n + 1) 2 ; n ≥ 1.u1 = 1, u2 = 3un+ 2 = 3un +1 − 2un ; n ≥ 1.b)u1 = 3un+1 = −2un + 3n + 1; n ≥ 1.d)f)u1 = 1, u2 = 3un+ 2 = 3un+1 − 2un + 4; n ≥ 1.Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cáchquy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác.( un ) cho bởi công thức truyBài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiGiảiu1 = 1unu =; n ≥ 1.n+11+2n+3u()nTừ giả thiết suy ra1= 1.u1Do đó1 + ( 2n + 3 ) un111=⇒= + 2n + 3; n ≥ 1.un+1unun +1 un1 1= + 2.1 + 3.u2 u11 1= + 2.2 + 3.u3 u 21 1= + 2.3 + 3.u4 u3…1811=+ 2.( n − 1) + 3.un un−1n đẳng thức trên ta đượcCộng theo vế1= 1 + 2 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1)  + 3 ( n − 1) .un11⇒ = 1 + ( n − 1) n + 3 ( n − 1) = n 2 + 2n − 2 ⇒ un = 2.unn + 2n − 21un = 2.n+2n−2Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làBài 18. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = −12unu =; n ≥ 1.n+11+3n+5u()nGiảin1 + ( 3n + 5 ) un11135=⇒=+ n + ; n ≥ 1.un+12unun+1 2un 22Theo đề bài suy ra11vn = ⇒ v1 == −1.u−1nĐặtvàXét( u ) cho bới công thức truy135vn+1 = vn + n + ; n ≥ 1.2221vn +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  .2g ( n ) = an + b sao cho1⇒ vn+1 + a ( n + 1) + b = [ vn + an + b ] .2111⇒ vn+1 = vn − an − a − b.2223 1−a= 2a = −32⇔.15b=1135−a − b =vn+1 = vn + n +22222 nên ta phải cóMà1v+gn+1= vn + g ( n )  .()n+1⇒ g ( n ) = −3n + 1 và21x=xn .n+1x=v+gn⇒x=v+g1=−3( ) 1 1 ( )nn2Đặtvà1q=( xn ) là cấp số nhân có công bội2 nênDo đón −11− nxn = x1.q = −3.2 .19⇒ vn = xn − g ( n ) = −3.21−n + 3n − 1 ⇒ un =1.−3.2 + 3n − 11− n1.−3.2+3n−1Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho làTheo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạngtổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:u1 = αaunu =; n ≥ 1. n+1 b +  f ( n ) + g ( n ) .β n  unf ( n ) vàa, b,α , β là các số thực cho trước,α ≠0;Trong đóun =g ( n ) là các đa thức theo biến số tự nhiêna)n.( u ) cho bởi công thức truyVí dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồi:u1 = 2unun+1 = 1 + 2n.u ; n ≥ 1.n1− nnb)u1 = 1un−1u =; n ≥ 2. n 1 + ( n 2 − n + 3n ) un −1c)u1 = 53unu =; n ≥ 1.n +122+n−2n+3u()ne)u1 = 2un −1u =; n ≥ 2.nn3+2n−1.3.u()n−1d)Bài 19. Tìm số hạng tổng quát của các dãy sốhồiu1 = −12unu =; n ≥ 1.n+11+3n+5u()nGiảiu1 = 1unu =; n ≥ 1.n+13 + ( n + 1) 2n.un( u ) cho bởi công thức truyn201 + ( 3n + 5 ) un11135=⇒=+ n + ; n ≥ 1.un+12unun+1 2un 22Theo đề bài suy ra11vn = ⇒ v1 == −1.u−1nĐặtvàXétg ( n ) = an + b sao cho135vn+1 = vn + n + ; n ≥ 1.2221vn +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  .22.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, vớibản thân, đồng nghiệp và nhà trường:Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một sốbài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luậntoàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đã họcsong các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa được học, sauđó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùng làm bàikiểm tra 45 phút . Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quá trình triểnkhai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việc triển khaiđề tài.Nội dung đề kiểm traCâu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:u1 = 2u1 = 3a) b) un +1 = un + 1; n ≥ 1.un+1 = 2un ; n ≥ 1.( n ) xác địnhCâu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy sốu1 = 3u1 = 3a) b) nun +1 = un + 2n; n ≥ 1un+1 = un + 2 ; n ≥ 1 .bởi:uCâu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy sốu = 2a)  1un+1 = 3un + 4n; n ≥ 1( un )xác định bởi:u1 = 1b) nun+1 = 3un + ( n + 1).2 ; n ≥ 1Nhóm thực nghiệm: Nhóm 1 (05 học sinh)Nhóm đối chứng: Nhóm 2 (05 học sinh)Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)Điểm0–33,5 – 55,5 – 7,0 7,5 – 8,59-10LớpNhóm 1 (số hs)01121Nhóm 2 (số hs)1130021Căn cứ vào kết quả kiểm tra và đối chiếu so sánh kết quả làm bài củanhóm thực nghiệm và nhóm còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấyvới các nội dung đã trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh ở nhóm 1giải quyết được vấn đề đặt ra trong đề kiểm tra, đồng thời các học sinh nhóm 1tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.3. Kết luận, kiến nghị3.1. Kết luận:Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khátrở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướngdẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinhđã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãysố sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiếtđối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và mộtsố trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấmsáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trongngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trườngTHPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạycủa giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh.Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến nàyđược, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo. Bên cạnh đótôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn.3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồidưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường đểcác đồng nghiệp và học sinh tham khảo.3.3. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN NgànhGD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.Họ và tên tác giả: Đỗ Văn HàoChức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2TT12Tên đề tài SKKNHướng dẫn học sinh tìm tòi vàphát triển một bài toán.Hướng dẫn học sinh THPTCấp đánhgiá xếp loại(Ngành GDcấphuyện/tỉnh;Tỉnh...)Kếtquảđánhgiá xếploại(A, B,hoặc C)Ngành GDC2006-2007Ngành GDC2012-2013Nămhọcđánhgiáxếploại22Thường Xuân 2 sử dụng máytính Casio FX-570ES tronggiải toán.Hướng dẫn học sinh THPT sửdụng đường thẳng và đường3tròn trong mặt phẳng để giảivà biện luận một số hệNgành GDC2015-2016phương trình và hệ bấtphương trình đại số.Xác nhận của Hiệu trưởngThường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệmnày do tôi tự viết chứ không phải đi saochép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!Tác giảĐỗ Văn Hào23

Tài liệu liên quan

• Phương pháp tìm số hạng tổng quát của một số dãy số cơ bản
  • 4
  • 6
  • 172
• "MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ SỬ DỤNG VỐN Ở CÔNG TY TNHH NHÂN HOÀ".
  • 64
  • 317
  • 0
• Một số khó khăn trong quá trình sử dụng kỹ thuật tái cấu trúc nhận thức và hoạt hóa hành vi đối với trẻ em vị thành niên có rối loạn trầm cảm
  • 22
  • 649
  • 0
• Sử dụng các khung phân loại thư viện để tìm tài nguyên trên Internet doc
  • 7
  • 439
  • 0
• ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
  • 5
  • 3
  • 45
• Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
  • 10
  • 12
  • 13
• ột số khó khăn trong quá trình sử dụng kỹ thuật tái cấu trúc nhận thức và hoạt hóa hành vi đối với trẻ em vị thành niên có rối loạn trầm cảm
  • 142
  • 1
  • 1
• TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
  • 5
  • 869
  • 7
• so hang tong quat cua day truy hoi
  • 12
  • 457
  • 3
• Chuyên đề Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 để giải quyết một số bài toán về dãy số - Trường THPT chuyên Hưng Yên
  • 7
  • 633
  • 5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(780.38 KB - 23 trang) - Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt Tải bản đầy đủ ngay ×