Diện Tích Hình Thang Có 2 đường Chéo Vuông Góc - Blog Của Thư

Hình thang là hình ta gặp rất nhiều trong đời sống hàng ngày. Đây cũng là hình được nhắc đến rất nhiều trong toán học do đó kiến thức về hình thang sẽ là kiến thức cơ bản mà các em cần nắm. Hình thang còn có các dạng đặc biệt như hình thang cân, hình thang vuông… Trong bài dưới đây ta sẽ cùng tìm hiểu về một trong những dạng đặc biệt của hình thang đó là hình thang vuông.

Nội dung chính Show

• Khái niệm về hình thang vuông
• Công thức tính diện tích của hình thang vuông
• Ví dụ minh họa
• Hình thang là gì?
• Các tính chất của hình thang
• Hình thang vuông
• Hình thang cân
• Hình thang vuông cân
• Cách tính diện tính hình thang
• Cách tính diện tích hình thang vuông
• Cách tính diện tích hình thang cân
• Video liên quan

Khái niệm về hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang vuông nằm trong các trường hợp đặc biệt của hình thang.

Dấu hiệu nhận biết: hình thang có một góc vuông thì đó là hình thang vuông.

Hình thang vuông

Công thức tính diện tích của hình thang vuông

Diện tích hình thang vuông bằng một nửa tích của tổng 2 đáy và chiều cao ứng với 2 cạnh đáy, đơn vị diện tích là mét vuông hoặc diện tích hình thang vuông bằng tích của đường cao và trung bình cộng của 2 đáy

S = 1⁄2 h (a + b)

Trong đó:

• S: Diện tích hình thang
• a, b: Độ dài 2 đáy của hình thang
• h: Độ dài đường cao (chính là cạnh vuông góc với 2 cạnh đáy)

Ví dụ minh họa

Cho hình thang ABCD vuông tại D với cạnh AD dài 10 cm, AB dài 12 cm, DC dài 15 cm. Tính diện tích hình thang.

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

AB = 12 cm

AD = 10 cm

DC = 15 cm. Đây là cạnh bên đồng thời là chiều cao của hình thang.

Áp dụng ngay công thức tính diện tích hình thang vuông:

S = 1⁄2 h (a + b) = 1⁄2 x AD x (AB+DC) = 1⁄2 x 10 x (12+15) = 135 cm2

Đáp số: 135 cm2

Bài 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hai đường chéo AC và BD vuong góc với nhau. Biết AB = 18 cm và CD = 32 cm. Khi đó BD và đường cao hình thang bằng bao nhiêu cm ?

Giải:

Theo bài ra ta có: tam giác BAD đồng dạng với tam giác ADC  (đồng dạng theo trường hợp góc – góc) => AD2 = AB. DC = 18. 32 => AD = 24 cm

Theo định lý py–ta go trong tam giác vuông ABD suy ra BD2 = 182 + 242 = 900 => BD = 30 cm

Vậy đáp án tìm được là 24 cm và  30 cm

Bài tập 2: Cho một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Biết đáy nhỏ dài 14 cm; đáy lớn dài 50 cm. Tính diện tích hình thang đó.

Giải:

Giả sử ABCD là hình thang cân thỏa mãn theo yêu cầu đề bài. Hạ đường cao AH, BK xuống BC

Ta tính được DH = (CD – AB) / 2 = 18 cm

HC = CD – DH = 32 cm

Xét tam giác vông ADC ta thấy có :

AH2 = DH. HC = 576 => AH = 24 cm

Như vậy thì diện tích hình thang ABCD là

SABCD = 768 cm2

Bài tập 3 : Cho hình thang vuông ABCD (góc A, D là góc vuông) có AB = 4 cm, DC = 5cm, AD = 3 cm. Nối D với B được hai hình tam giác ABD và BDC

a) Tính diện tích hình tam giác đó

b)Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tam giác BDC

Bài tập 4: Cho hinhft hang vuông ABCD có AD = 6 cm ; DC = 12 cm ; AB = 2/3DC

a) Tính diện tích hình thang ABCD

b) Khi kéo dài cạnh bên AD và CB thì 2 cạnh bên này cắt nhau tại M. Tính độ dài cạnh AM

Giải:

a) Độ dài cạnh AB là:

AB = 2/3 DC = 12 . (2/3) = 8 cm

Diện tích ABCD : (8 + 12) / 2 . 6 = 60 cm

b) Xét tam giác ABC đáy AB và DBC đáy CD có chiều cao bằng nhau và bằng 6 cm, đáy AB = 2/3 CD => SABC = 2/3SDBC

Xét tiếp hai tam giác ABC và DBC đáy BC vì SABC = 2/3SDBC => chiều cao AK = 2/3 DH

Xét tiếp tam giác AMC và tam giác DMC chung đáy MC mà chiều cao AK = 2/3 DH => SAMC = 2/3SDMC. SDMC lớn hơn SAMC (12. 6) / 2 = 36 cm2

SAMC = 36 / (3-2). 2 = 72 cm2

Xét tam giác AMC đáy AM, chiều cao CD => AM = 72 . 2 / 12 = 12 cm

Bài tập 5: Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD) vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MAD cân.

Bài tập 6: Tính diện tích mảnh đất hình thang ABCD vuông tại A, biết AB = 10 cm, CD = 12 cm và AD = 6 cm

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang vuông ta có

SABCD = (a + b). h/2 = (AB + CD). AD/2 = (10 + 12). 6/2 = 66 cm2

Bài tập 7: cho hình thang ABCD có chiều dài các cạnh là AB = 8, cạnh đáy CD = 13, cạnh đáy là 7. Hãy tính diện tích hình thang

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta được

SABCD = ((8+ 3) / 2). 7 = 73,5

Bài tập 8: Mảnh đất hình hang có đáy lớn là 38m và đáy bé là 28m. Mở rộng hai đáy về bên phải của mảnh đất với đáy lớn thêm 9m và đáy bé thêm 8m thu được mảnh đất hình thang mới có diện tích lớn hơn diện tích mảnh đất hình thang ban đầu là 107,2 m2. Hãy tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu

Giải:

Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích của hình thang có đáy lớn bằng 9m và đáy bé là 8m, chiều cao bằng với chiều cao hình thang ban đầu.

Vậy chiều cao mảnh đất này sẽ là:

h = (107,1 x 2) / (9 + 8) = 12,6m

diện tích mảnh đất hình thang ban đầu là:

S = ((38 + 28) / 2 ) x 12,6 = 415,8m

Bài tập 9: Cho hình thang vuông có khoảng cách hai đáy là 96 cm và đáy nhỏ bằng 4/7 đáy lớn. Tính độ dài hai đáy, biết diện tích hình thang là 6864 cm2

Giải:

Khoảng cách hai đáy chính là chiều cao của hình thang đó suy ra h = 96 cm

Tổng độ dài hai đáy là

(6864×2) / 96 = 143 cm

Độ dài đáy bé là

143 / (4 + 7) x 4 = 52 cm

Dộ dài đáy lớn là

143 – 52 = 91 cm

Trong các dạng toán về hình học, các bài toán về hình thang rất hay được đặt ra, đặc biệt đối với những bài toán khó nâng cao. Bài viết dưới đây tổng hợp ngắn gọn các công thức tính diện tích hình thang, hình thang vuông và hình thang cân kèm theo các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thang, giúp bạn dễ dàng ghi nhớ và làm toán hiệu quả hơn.

Hình thang là gì?

Hình thang là một tứ giác lồi với 4 cạnh trong đó có 2 cạnh đáy đối diện và song song với nhau và 2 cạnh bên. Ngoài ra, hình thang có một số tính chất như sau:

Các tính chất của hình thang

Tính diện tích hình thang là những bài toán thông dụng và không còn xa lạ đối với các bạn học sinh. Để tính được các bài toán hình thang nhanh chóng thì học cần nắm nhanh các tính chất cơ bản của hình thang sau đây:

Tính chất về góc

Đối với hình thang, hai góc kề một cạnh bên có tổng số góc bằng 180 độ (2 góc nằm ở góc trong cùng phía tạo bởi cạnh đáy song song với cạnh còn lại). Tính chất một đường trung bình của hình thang là:

• Đường trung bình là đường thẳng nối liền hay trung điểm của 2 cạnh bên (Tính chất về đường trung bình của hình thang).
• Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên và song song với 2 cạnh đáy thì đường thẳng đó là đường trung bình của hình thang và đi qua trung điểm của một cạnh còn lại.
• Đường trung bình có độ dài bằng một nửa 2 của tổng 2 cạnh đáy (½ ) và song song với cạnh đáy.

Tính chất về cạnh

• Hình thang mà có 2 cạnh đáy song song và bằng nhau thì 2 cạnh bên cũng sẽ song song và bằng nhau (trường hợp đặc biệt này hình thang còn được gọi là hình chữ nhật).
• Ngược lại, nếu như 2 cạnh bên của hình thang song song với nhau thì chúng sẽ bằng nhau và 2 cạnh đáy sẽ bằng nhau (hình chữ nhật).
• Nếu hình thang có 2 đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Ngoài ra, còn có 2 loại hình thang thường gặp đó là Hình thanh vuông và hình thang cân.

Hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông (bằng 90 độ). Chiều cao của hình thang vuông chính là cạnh bên có góc vuông.

Hình thang cân

Hình thang cân có 2 góc kề một cạnh đáy bằng nhau. Trong đó, 2 cạnh bên của hình thang cân sẽ bằng nhau nhưng không song song với nhau. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

• Hình thanh cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau
• Hai góc kề một cạnh đáy của hình thang cân bằng nhau
• Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song với nhau
• Hình thang cân là một hình thang nội tiếp đường tròn
• Hình thang cân có một trục đối xứng nhau

Hình thang vuông cân

Điều đặc biệt và thú vị đó là hình thang vuông cân trên thực tế chính là hình chữ nhật, trong đó có 2 cạnh kề bằng nhau và vuông góc với nhau.

Cách tính diện tính hình thang

Diện tích hình thang là kiến thức đã được học từ rất lâu ở chương trình Toán tiểu học. Cách tính diện tích hình thang được diễn tả bằng lời như sau:

Diện tích hình thang bằng chiều cao của nó nhân với trung bình cộng 2 cạnh đáy.

Ta có công thức:

S = ½ h*(a + b)

Trong đó:

• S là diện tích hình thang
• a và b là độ dài của 2 cạnh đáy
• h là độ dài cạnh bên vuông góc với 2 cạnh đáy

Ngoài ra, ta có thể tính diện tích hình thang khi biết độ dài của chiều cao và đường trung bình. Ta có công thức tính diện tích hình thang như sau:

S = độ dài chiều cao x độ dài của đường trung bình

S = h * MN

Trong đó:

S là diện tích hình thang

h là độ dài chiều cao

MN là độ dài đường trung bình của hình thang

Để có thể dễ dàng nhớ công thức và thực hiện tính toán dễ dàng hơn, bạn có thể tham khảo bài thơ về diện tích hình thang như sau:

“Nếu bạn muốn tính diện tích hình thang

Đáy lớn và đáy bé ta đem cộng vào

Sau đó đem nhân với chiều cao

Chia đôi lấy nửa thế là ra ngay.”

(Nguồn: Sưu tầm)

Cách tính diện tích hình thang vuông

Đối với hình thang vuông, chiều cao của hình thang chính là độ dài một cạnh bên có góc vuông bằng 90 độ. Để tính diện tích hình thang vuông, bạn cũng có thể áp dụng cách tính tương tự với diện tích của hình thang, nhưng độ dài của chiều cao sẽ là độ dài của cạnh bên vuông góc với đáy. Từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thang vuông như sau:

S = ½ h*(a + b)

Trong đó:

• S: diện tích hình thang vuông
• H: Chiều cao hình thang, đối với hình thang vuông, chiều cao của hình thang bằng cạnh bên có góc vuông (AD)
• a và b: độ dài 2 cạnh đáy song song với nhau

Cách tính diện tích hình thang cân

Công thức tính diện tích hình thang cân cũng tương tự như công thức tích diện tính hình thang. Ta có công thức tính như sau:

S = ½ h*(a + b)

Trong đó:

S là diện tích hình thang cân

h là độ dài chiều cao của hình thang cân (độ dài đường thẳng vuông góc với đáy)

a và b là độ dài của 2 cạnh đáy

Ngoài việc áp dụng công thức trên để tính được diện tích hình thang cân, chúng ta cũng có thể tách hình thang cân cần tính ra thành các hình nhỏ để tính diện tích và cộng lại với nhau.

Ta có thể tách hình thang ở hình trên thành 2 hình tam giác và 1 hình chữ nhật. Từ đó, diện tích của tổng hình thang cân sẽ bằng diện tích của hình chữ nhật cộng với diện tích 2 hình tam giác vuông 2 bên. Sau đó áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật và hình tam giác.

Vậy là bài viết đã tổng hợp hết các công thức tính diện tích hình thang cũng như tính chất và đặc điểm của hình thang cân và hình thang vuông cân. Hi vọng bài viết bày sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức hình học và tính toán diện tích hình thang nhanh hơn.