Điều Kiện Của Giá Trị Tuyệt đối - Cùng Hỏi Đáp

Hướng dẫn Cách phá dấu giá trị tuyệt đối hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Nội dung chính Show

• 1. Phương pháp chung
• 2. Lý thuyết
• 3. Các dạng phương trình tuyệt đối
• 3.1) Giải phương trình: |A(x)|=b (b≥0), |A(x)|=B(x)
• 3.2) Cách giải phương trình: |A(x)|=B(x)
• 3.3) Giải phương trình dạng: |A(x)|=|B(x)|
• 3.4) Giải phương trình: |A(x)|+|B(x)|=b
• 4. Bài tập có lời giải
• Video liên quan

1. Phương pháp chung

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:

- Bước 1 : Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

- Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối

- Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

- Bước 4 : Kết luận nghiệm

2. Lý thuyết

Phương trình dạng |f(x)|=|g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

hoặc |f(x)| = |g(x)|⇔ f2(x) = g2(x)

- Đối với phương trình dạng |f(x)| = g(x)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

3. Các dạng phương trình tuyệt đối

3.1) Giải phương trình: |A(x)|=b (b≥0), |A(x)|=B(x)

Cách giải phương trình: |A(x)|=b (b≥0),

3.2) Cách giải phương trình: |A(x)|=B(x)

Ví dụ 1.Giải phương trình|x−2|+3x+2=0.

- Phân tích :

- Lời giải :

Ví dụ 2.Giải phương trình |x + 2| + x2 – 3x =1

Lời giải :

Ví dụ 3.Giải phương trình|x−1|+|x−2|=2x−3.

- Phân tích:Đây là bài toán có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên cần lưu ý các trường hợp sau

+ Nếux 0.

b) A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.

c) A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4

Hướng dẫn:

a) Với x > 0⇒ | 5x | = 5x

Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

Vậy A = 8x + 2.

b) Ta có: x < 0⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x

Vậy A = 12 - 6x.

c) Ta có: x < 4⇒ | x - 4 | = 4 - x

Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x.

Vậy A = 5 - 2x

Bài 2:Giải các phương trình sau:

a) | 2x | = x - 6

b) | - 5x | - 16 = 3x

c) | 4x | = 2x + 12

d) | x + 3 | = 3x - 1

Hướng dẫn:

a) Ta có: | 2x | = x - 6

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6⇔ x = - 6.

Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6⇔ x = 2.

Không thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Ta có: | - 5x | - 16 = 3x

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x⇔ 2x = 16⇔ x = 8

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x⇔ 8x = - 16⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 }

c) Ta có: | 4x | = 2x + 12

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12⇔ 2x = 12⇔ x = 6

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12⇔ - 6x = 12⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 2;6}

d) Ta có: | x + 3 | = 3x - 1

+ Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1⇔ - 2x = - 2⇔ x = 1.

Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3

+ Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1⇔ - 4x = 4⇔ x = - 1

Không thỏa mã điều kiện x < - 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

16:16:0807/07/2020

Trong bài viết này, chúng ta cùng ôn lại cách giải một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua đó vận dụng làm bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị tuyệt đối

• Với a ∈ R, ta có: 

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Định nghĩa:

- Nhị thức bậc nhất của x là biểu thức có dạng f(x) = ax + b, trong đó a,b là các số cho trước và a ≠ 0.

- Số x0 = -b/a thỏa mãn f(x0) = 0 gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x).

b) Quy tắc dấu:

- Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với a khi x > x0; và trái dấu với a khi x < x0; cụ thể:

¤ Nếu a > 0 thì f(x) > 0, ∀x > x0 và f(x) < 0,  ∀x < x0 như bảng sau:

 

¤ Nếu a < 0 thì f(x) < 0, ∀x > x0 và f(x) > 0,  ∀x < x0 như bảng sau:

 

* Cách nhớ: Để ý bên phải nghiệm x0 thì f(x) cùng dấu với a, bên trái nghiệm x0 thì f(x) khác dấu với a, nên cách nhớ là: "Phải cùng, Trái khác"

II. Các dạng toán phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

° Dạng 1: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = k, (trong đó P(x) là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước) ta làm như sau:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm).

- Nếu k = 0 thì ta có |P(x)| = 0 ⇔ P(x) = 0

- Nếu k > 0 thì ta có: 

* Ví dụ: Giải phương trình sau:

a)     b)

° Lời giải:

a)

   hoặc 

•TH1:  

•TH2:  

- Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 17/8 và x = 7/8.

b)  

 

  hoặc 

• TH1: 

• TH2: 

- Kết luận: Có 2 giá trị của x thỏa điều kiện là x = 1 hoặc x = 3/4.

* Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình |2 - 3x| = 2m - 6. (*)

° Lời giải:

- Nếu 2m - 6 < 0 ⇒ m < 3 thì pt (*) vô nghiệm

- Nếu 2m - 6 = 0 ⇒ m = 3 thì pt (*) trở thành

 |2 - 3x| = 0 ⇔ 2 - 3x = 0 ⇔ x = 2/3. (Phương trình có nghiệm duy nhất).

- Nếu 2m - 6 > 0  ⇒ m > 3 thì pt (*)

 

(Phương trình có 2 nghiệm)

• Kết luận: m = 0 pt(*) vô nghiệm

 m = 3 pt(*) có nghiệm duy nhất x =2/3

 m > 3 pt(*) có 2 nghiệm x = (8-2m)/3 và x = (2m-4)/3.

° Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = |Q(x)|

* Phương pháp giải:

• Để tìm x trong bài toán dạng dạng |P(x)| = |Q(x)|, (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta vận dụng tính chất sau:

  tức là: 

* Ví dụ: Tìm x biết:

a)|5x - 4| = |x + 4|

b)|7x - 1| - |5x + 1| = 0

* Lời giải:

a)|5x - 4| = |x + 4|

 

- Vậy x = 2 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán

b)|7x - 1| - |5x + 1| = 0 ⇔ |7x - 1| = |5x + 1|

 

- Vậy x = 1 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán.

° Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = Q(x)

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P(x)| = Q(x) (*), (trong đó P(x) và Q(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiện 1 trong 2 cách sau:

* Cách giải 1:

  hoặc  

* Cách giải 2: 

 hoặc 

* Ví dụ 1 (Bài 36 trang 51 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) |2x| = x - 6.     b) |-3x| = x - 8

c) |4x| = 2x + 12.     d) |-5x| - 16 = 3x

° Lời giải:

a) |2x| = x – 6 (1)

* Sử dụng cách giải 1:

- Ta có: |2x| = 2x khi x ≥ 0

 |2x| = -2x khi x < 0.

- Với x ≥ 0 phương trình (1) ⇔ 2x = x – 6 ⇔ x = -6

 Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của (1)

- Với x < 0 phương trình (1) ⇔ -2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.

 Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của (1).

+ Kết luận: Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Sử dụng cách giải 2:

- Ta có: x - 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6.

  hoặc 

  hoặc 

- Ta thấy x = -6 và x = 2 đều không thỏa điều kiện x ≥ 6 nên pt(1) vô nghiệm.

- Kết luận: Phương trình vô nghiệm

b) |-3x| = x – 8 (2)

- Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.

 |-3x| = -(-3x) = 3x khi -3x < 0 ⇔ x > 0.

- Với x ≤ 0 phương trình (2) ⇔ -3x = x – 8 ⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2

 Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của (2).

- Với x > 0 Phương trình (2) ⇔ 3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.

 Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của (2).

- Kết luận: Phương trình (2) vô nghiệm.

c) |4x| = 2x + 12 (3)

- Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

 |4x| = -4x khi 4x < 0 ⇔ x < 0.

- Với x ≥ 0  phương trình (3) ⇔ 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.

 Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của (3)

- Với x < 0 phương trình (3) ⇔ -4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.

 Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của (3).

- Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2.

d) |-5x| - 16 = 3x (4)

- Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.

|-5x| = -(-5x) = 5x khi -5x < 0 ⇔ x > 0.

- Với x ≤ 0 phương trình (4) ⇔ -5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16 ⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.

 Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của (4).

- Với x > 0 phương trình (4) ⇔ 5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

 Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của (4).

- Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nghiệm x = -2 và x = 8.

* Ví dụ 2 (Bài 37 trang 51 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) |x - 7| = 2x + 3.   b) |x + 4| = 2x - 5

c) |x+ 3| = 3x - 1.     d) |x - 4| + 3x = 5

° Lời giải:

a) |x – 7| = 2x + 3 (1)

- Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7.

 |x – 7| = -(x – 7) = 7 – x khi x – 7 < 0 ⇔ x < 7.

- Với  x ≥ 7 phương trình (1) ⇔ x – 7 = 2x + 3 ⇔ x = -10.

 Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của (1).

- Với x < 7 phương trình (1) ⇔ 7 – x = 2x + 3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = 4/3

 Giá trị x = 4/3 thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của (1)

- Kết luận: Phương trình (1) có một nghiệm x = 4/3.

b) |x + 4| = 2x – 5 (2)

- Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4.

 |x + 4| = -(x + 4) = -x – 4 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4.

- Với x ≥ -4 phương trình (2) ⇔ x + 4 = 2x – 5 ⇔ x = 9

 Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của (2).

- Với x < -4 phương trình (2) ⇔ –x – 4 = 2x – 5 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3

 Giá trị x = 1/3 không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của (2)

- Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 9.

c) |x + 3| = 3x – 1 (3)

- Ta có : |x + 3| = x + 3 khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3.

 |x + 3| = -(x + 3) = -x – 3 khi x + 3 < 0 ⇔ x < -3.

- Với x ≥ -3 phương trình (3) ⇔ x + 3 = 3x – 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.

 Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3 nên là nghiệm của phương trình (3).

- Với x < -3 thì phương trình (3) ⇔ -x – 3 = 3x – 1 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2.

 Giá trị x = -1/2 không thỏa mãn điều kiện x < -3 nên không phải nghiệm của (3).

- Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2.

d) |x – 4| + 3x = 5 (4)

- Ta có: |x - 4| = x – 4 nếu x ≥ 4

 |x- 4| = -(x – 4) = 4 - x nếu x - 4 < 0 ⇔ x < 4

- Với x ≥ 4 phương trình (4) ⇔ x - 4 + 3x = 5 ⇔ 4x = 9 ⇔ x = 9/4

 x = 9/4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 nên không là nghiệm của phương trình (4).

- Với x < 4 Phương trình (4) ⇔ 4 – x + 3x = 5 ⇔ 4 + 2x = 5 ⇔ 2x = 1 ⇔ x=1/2.

 x = 1/2 thỏa mãn điều kiện x < 4 nên x = 1/2 là nghiệm của (4).

- Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2.

° Dạng 4: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x)

* Phương pháp giải:

• Để giải phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = C(x) (*), (trong đó A(x), B(x) và C(x)là biểu thức chứa x) ta thực hiện như sau:

- Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối

- Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu GTTĐ

- Căn cứ bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình (sau khi giải được nghiệm đối chiếu nghiệm với điều kiện tương ứng).

* Ví dụ: Giải phương trình: |x + 1| + |x - 3| = 2x - 1

° Lời giải:

- Ta có: |x + 1| = x + 1 nếu x ≥ 1

 |x + 1| = -(x + 1) nếu x < 1

- Tương tự: |x - 3| = x - 3 nếu x ≥ 3

 |x - 3| = -(x - 3) nếu x < 3

- Từ đó ta có bảng sau:

 

-TH1: Nếu x < -1 thì phương trình (2) trở thành:

 -x - 1 - x + 3 = 2x - 1 ⇔ x = 3/4 (không thỏa mãn đk x < -1)

-TH2: Nếu -1 ≤ x ≤ 3 thì phương trình (2) trở thành:

 x + 1 - x + 3 = 2x - 1 ⇔ x = 5/2 (thỏa điều kiện -1 ≤ x ≤ 3)

-TH3: Nếu x > 3 thì phương trình (2) trở thành:

 x + 1 + x - 3 = 2x - 1 ⇔ 0x = 1 (vô nghiệm)

- Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 5/2.

° Dạng 5: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)|

* Phương pháp giải:

• Để giải pt trị tuyết đối dạng |A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)| ta dựa vào tính chất:

 |A(x) + B(x)| ≤ |A(x)| + |B(x)| nên phương trình tương đương với điều kiện đẳng thức A(x).B(x) ≥ 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: |x + 5| + |3 - x| = 8

° Lời giải:

- Ta có: 8 = |x + 5 + 3 - x| ≤ |x + 5| + |3 - x|, ∀x ∈ R.

- Nên |x + 5| + |3 - x| = 8 ⇔ (x + 5)(3 - x) ≥ 0.

- Ta có bảng xét dấu sau:

 

- Từ bảng xét dấu, ta có: (x + 5)(3 - x) ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 3.

- Vậy bất pt có tập nghiệm là: S = {x ∈ R| -5 ≤ x ≤ 3} hoặc có thể viết S = [-5;3].

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: |5x + 1| + |3 - 2x| = |4 + 3x|

° Lời giải:

- Ta có: |4 + 3x| = |5x + 1 + 3 - 2x| ≤ |5x + 1| + |3 - 2x|. Nên

 |5x + 1| + |3 - 2x| = |4 + 3x| ⇔ (5x + 1)(3 - 2x) ≥ 0.

- Ta có bảng xét dấu:

 

- Từ bảng xét dấu, ta có: (5x + 1)(3 - 2x) ≥ 0 

- Vậy tập nghiệm của bất pt là: .

III. Một số bài tập về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:

1) |-4x| = x + 2

2) |2 - x| = 2 - 3x

3) 2x - |6x - 7| = -x + 8

4) 

5) |x2 - 2x| = x

6) |x2 + 4x - 5| = x2 - 1

7) 

8) 

9) 

10) |2x + 1| = |x - 1|

11) |1 + 4x| - |7x - 2| = 0

12) |2x2 + 5x - 10| = 2x2 + 1

13) |x - 2| + |x - 3| = 1

14) |2x + 3| - |x| + x - 1 = 0

15) |x + 1| - 2|x - 1| = x

* Đáp số:

1) S = {-2/5;2/3};

2) S = {0};

3) S = ∅;

4) S = {1/8};

5) S = {0; 1; 3};

6) S = {-3; 1};

7) S = {2};

8) S = {-4/3;4};

9) S = {-4};

10) S = {-2; 0}

11) S = {1/11; 1};

12) S = {-9/4; 1; 11/5};

13) S = [2;3];

14) S = {-1/2};

15) S = {1/2;3/2}.

Hy vọng với bài viết Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.