Định Lý Bézout Về Số Dư Của Phép Chia đa Thức - Wikipedia

Đừng nhầm lẫn với Định lý Bézout.

Bài này không có nguồn tham khảo nào. Mời bạn giúp cải thiện bài bằng cách bổ sung các nguồn tham khảo đáng tin cậy. Các nội dung không nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. Nếu bài được dịch từ Wikipedia ngôn ngữ khác thì bạn có thể chép nguồn tham khảo bên đó sang đây. (tháng 10/2021) (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Định lý Bézout về số dư của phép chia đa thức (hay Định lý nhỏ Bézout, phiên âm tiếng Pháp là Bêzu), được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Étienne Bézout.

Định lý này phát biểu rằng: "Đa thức f ( x ) {\displaystyle f(x)} khi chia cho nhị thức x − a {\displaystyle x-a} được dư là R {\displaystyle R} thì R = f ( a ) {\displaystyle R=f(a)} ".

Ví dụ:

Đa thức f ( x ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1} chia cho nhị thức ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)} được số dư là 3 thì f ( 1 ) = 1 2 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=1^{2}+1+1=3}

Nói đơn giản thì ta có x - 1 thì số dư là 3 vì tách -1 ra thành -(1) thì có thể thế 1 vào biểu thức trên sẽ ra 3 nếu là x + 1 thì số dư là 1 vì tách 1 thành 1 thì có thể thế vào biểu thức trên thì được số dư là 1

Chứng minh định lý

[sửa | sửa mã nguồn]

• Cho đa thức f ( x ) {\displaystyle f(x)} ; nhị thức x − a {\displaystyle x-a} ; thương của phép chia f ( x ) {\displaystyle f(x)} cho ( x − a {\displaystyle x-a} ) là Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} được dư là R {\displaystyle R}
• Khi đó: f ( x ) = ( x − a ) . Q ( x ) + R {\displaystyle f(x)=(x-a).Q(x)+R}
• Khi đó: f ( a ) = ( a − a ) . Q ( a ) + R = 0 + R = R {\displaystyle f(a)=(a-a).Q(a)+R=0+R=R}

Hệ quả

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu f ( x ) {\displaystyle f(x)} chia hết cho ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} thì f ( a ) {\displaystyle f(a)} = 0. Nếu f ( a ) {\displaystyle f(a)} = 0 thì f ( x ) {\displaystyle f(x)} chia hết cho x − a {\displaystyle x-a} .