Giải Phương Trình Bằng Định Lý Bezout. Định Lý Bezout Và Hệ Quả ...

Định lý Bezout, mặc dù tính đơn giản và rõ ràng của nó, là một trong những định lý cơ bản của lý thuyết đa thức. Trong định lý này, các đặc điểm đại số của đa thức (chúng cho phép người ta làm việc với đa thức dưới dạng số nguyên) được liên kết với các đặc tính hàm của chúng (cho phép người ta coi đa thức là hàm).

Định lý Bezout phát biểu rằng phần dư của phép chia một đa thức cho một đa thức là.

Các hệ số của đa thức nằm trong một vành giao hoán nào đó với sự thống nhất (ví dụ, trong trường số thực hoặc số phức).

Định lý Bezout - chứng minh.

Chia đa thức với phần dư P (x) thành một đa thức (x-a):

Dựa trên thực tế rằng degR (x)< deg (x-a) = 1 là một đa thức bậc không lớn hơn không. Chúng tôi thay thế, vì, chúng tôi nhận được .

Nhưng nó không phải là định lý quan trọng nhất, mà là hệ quả của định lý Bezout:

1. Số là căn của đa thức P (x) nếu và chỉ nếu P (x) chia không dư thành một nhị thức x-a.

Dựa trên điều này - tập hợp các căn của đa thức P (x) giống với tập nghiệm của phương trình tương ứng x-a.

2. Số hạng tự do của đa thức chia hết cho bất kỳ căn nguyên nào của đa thức với hệ số nguyên (khi hệ số đứng đầu bằng một thì tất cả các nghiệm nguyên đều là số nguyên).

3. Giả sử đó là căn nguyên của đa thức rút gọn P (x) với hệ số nguyên. Vì vậy, với bất kỳ số nguyên nào, số đó chia hết cho.

Định lý Bezout làm cho nó có thể, sau khi tìm thấy một căn của một đa thức, để tìm kiếm thêm các căn của một đa thức có bậc đã nhỏ hơn 1: nếu, thì đa thức này P (x) sẽ trông như thế này:

Các ví dụ về định lý Bezout:

Tìm phần dư của phép chia một đa thức cho một nhị thức.

Các ví dụ về giải pháp định lý Bezout:

Dựa trên định lý Bezout, phần dư mong muốn tương ứng với giá trị của đa thức tại điểm. Sau đó, chúng tôi tìm thấy, đối với điều này, chúng tôi thay thế giá trị trong biểu thức cho đa thức thay vì. Chúng tôi nhận được:

Trả lời: Phần dư = 5.

Kế hoạch của Horner.

Kế hoạch của Horner- đây là một thuật toán chia (chia theo sơ đồ của Horner) các đa thức, được viết cho một trường hợp đặc biệt, nếu thương bằng một nhị thức.

Hãy xây dựng thuật toán này:

Hãy giả sử rằng - có thể chia được

thương số (mức độ của nó có thể nhỏ hơn một), r- phần dư (vì phép chia được thực hiện bởi một đa thức Ngày 1độ, thì độ của phần còn lại sẽ nhỏ hơn một, tức là 0, vì vậy phần dư là một hằng số).

Theo định nghĩa của phép chia có phần dư P (x) = Q (x) (x-a) + r. Sau khi thay các biểu thức đa thức, ta được:

Chúng ta mở dấu ngoặc và tính bằng các hệ số ở cùng một lũy thừa, sau đó chúng ta biểu thị hệ số của thương thông qua các hệ số của số bị chia và số chia:

Thật thuận tiện để tóm tắt các phép tính trong bảng sau:

Nó làm nổi bật những ô có nội dung liên quan đến các phép tính ở bước tiếp theo.

Các ví dụ về lược đồ của Horner:

Để cần chia đa thức cho nhị thức x-2.

Tạo một bảng có hai hàng. Trong 1 dòng, chúng tôi viết ra các hệ số của đa thức của chúng tôi. Ở dòng thứ hai, chúng ta sẽ nhận được các hệ số của thương chưa hoàn chỉnh theo sơ đồ sau: trước hết, chúng ta viết lại hệ số cao nhất của đa thức này, sau đó, để có hệ số tiếp theo, chúng ta nhân số cuối cùng tìm được với a = 2 và cộng với hệ số tương ứng của đa thức F (x). Hệ số gần đây nhất sẽ là phần còn lại và tất cả các hệ số trước đó sẽ là hệ số của thương số không đầy đủ.

Trước đây, khái niệm đa thức được định nghĩa là tổng đại số của các đơn thức. Nếu tất cả các đơn thức tương tự của một đa thức được cho và sắp xếp theo thứ tự giảm dần bậc của biến thì ký hiệu kết quả được gọi là ký hiệu kinh điểnđa thức.

Sự định nghĩa. Biểu thức của biểu mẫu

ở đâu x là một số biến, số thực và, được gọi là đa thức bậc N từ một biến x . Bằng một đa thức là bậc lớn nhất của một biến trong ký hiệu chính tắc của nó. Nếu biến không xảy ra trong ký hiệu đa thức, tức là đa thức bằng một hằng số thì bậc của nó được coi là bằng 0. Trường hợp khi xét riêng thì đa thức đã cho. Trong trường hợp này, nó được coi là mức độ của nó không được xác định.

Các ví dụ.đa thức bậc hai,

đa thức bậc năm.

Sự định nghĩa. Hai đa thức bình đẳng nếu và chỉ khi chúng có cùng hệ số ở dạng chính tắc với cùng lũy ​​thừa.

Sự định nghĩa. Số được gọi là gốc đa thức, nếu khi đặt số này thay vì xđa thức nhận giá trị 0, tức là Nói cách khác, sẽ là gốc của phương trình

Do đó, nhiệm vụ tìm tất cả các nghiệm nguyên của đa thức và nghiệm nguyên của một phương trình hữu tỉ là một nhiệm vụ giống nhau.

Các phương trình hữu tỉ bậc nhất và bậc hai được giải bằng các thuật toán đã biết. Ngoài ra còn có các công thức tìm nghiệm nguyên của đa thức bậc 3 và bậc 4 (công thức của Cardano và Ferrari), tuy nhiên, do rườm rà nên chúng không được đưa vào môn toán sơ cấp.

Ý tưởng chung của việc tìm nghiệm nguyên của đa thức bậc cao là biến đa thức thành nhân tử và thay thế phương trình bằng một tập phương trình bậc thấp hơn tương đương.

Trong các chủ đề trước đã lưu ý các cách tính nhân tử chính của đa thức: lấy nhân tử chung; phân nhóm; các công thức nhân chia viết tắt.

Tuy nhiên, phương pháp phân nhóm không mang tính chất thuật toán nên khó áp dụng cho đa thức bậc lớn. Chúng ta hãy xem xét một số định lý và phương pháp bổ sung để có thể phân tích các đa thức bậc cao hơn.

Định lý chia với phần dư. Cho đa thức đã cho, bậc khác 0 và bậc lớn hơn bậc. Khi đó, có những đa thức sao cho đẳng thức

Hơn nữa, bậc nhỏ hơn bậc Đa thức được gọi là chia được, đa thức dải phân cách,đa thức tư nhân không hoàn chỉnh, và đa thức phần còn lại .

Nếu phần còn lại của phép chia là 0, thì chúng ta nói rằng được chia trên hoàn toàn, trong khi đẳng thức có dạng:

Thuật toán chia một đa thức cho một đa thức tương tự như thuật toán chia một số cho một số theo cột hoặc một góc. Hãy để chúng tôi mô tả các bước của thuật toán.

Viết số bị chia thành một dòng, bao gồm tất cả các lũy thừa của biến số (những số bị thiếu thì viết với hệ số là 0).

Viết vào "góc" số bị chia, bao gồm tất cả các lũy thừa của biến.

Để tìm số hạng đầu tiên (đơn thức) trong một thương không đầy đủ, bạn cần chia đơn thức đứng đầu của số bị chia cho đơn thức đứng đầu của số chia.

Nhân số hạng đầu tiên kết quả của thương với toàn bộ số chia và viết kết quả dưới số bị chia, và viết cùng bậc của biến số dưới nhau.

Trừ sản phẩm thu được khỏi cổ tức.

Áp dụng thuật toán cho phần dư kết quả, bắt đầu từ điểm 1).

Thuật toán được kết thúc khi kết quả chênh lệch có bậc nhỏ hơn bậc của ước số. Đây là phần còn lại.

Ví dụ. Chia đa thức cho.

Viết số bị chia và số bị chia

Chúng tôi lặp lại quy trình

Bậc nhỏ hơn bậc của số chia. Vì vậy, đây là phần còn lại. Kết quả của phép chia được viết như sau:

Kế hoạch của Horner. Nếu số chia là đa thức bậc nhất thì quy trình chia có thể được đơn giản hóa. Xét thuật toán chia một đa thức cho một nhị thức.

Ví dụ. Chia đa thức theo lược đồ của Horner. Trong trường hợp này một= 2. Hãy để chúng tôi viết ra kết quả của việc thực hiện thuật toán từng bước.

Bước một. bước hai Bước thứ ba Bước bốn

Do đó, chúng ta viết kết quả của phép chia như sau

Nhận xét. Nếu bạn cần chia cho một nhị thức

Sau đó, nó được chuyển thành dạng sau đó. Điều này cho thấy rằng bằng cách chia theo lược đồ Horner cho chúng ta sẽ tìm thấy Sau đó, thương số mong muốn sẽ nhận được bằng cách chia thương số tìm được cho một. Phần còn lại vẫn giữ nguyên.

Định lý Bezout. Phần dư của phép chia đa thức cho bằng giá trị của đa thức tại điểm x = một, I E. . Đa thức chia hết cho không dư nếu và chỉ khi x = một là căn của đa thức.

Do đó, việc tìm một căn của đa thức một , chúng ta có thể phân tích nó bằng cách chọn một hệ số có bậc nhỏ hơn bậc một. Bạn có thể tìm hệ số này theo sơ đồ Horner hoặc bằng cách chia cho một "góc".

Câu hỏi tìm căn được giải bằng cách chọn hoặc bằng cách sử dụng định lý về căn hữu tỉ của một đa thức.

Định lý. Cho đa thức có hệ số nguyên. Nếu một phân số bất khả quy là một căn của một đa thức, thì tử số của nó P là ước số của số hạng tự do và là mẫu số q là ước của hệ số đứng đầu.

Định lý này làm cơ sở thuật toán tìm nghiệm nguyênđa thức (nếu có).

Phép chia một phân số đại số thành tổng các phân số đơn giản

Sự định nghĩa Một phân số có tử số và mẫu số là đa thức được gọi là phân số đại số .

Xét các phân số đại số trong một biến. Nói chung, chúng có thể được viết như sau:, trong đó tử số là một đa thức bậc N, mẫu số là một đa thức bậc k. Nếu, thì phân số được gọi là sửa .

Đến các phân số đại số đơn giản nhất Có hai loại phân số thích hợp:

Định lý. Bất kỳ phân số đại số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đại số đơn giản.

Thuật toán khai triển một phân số đại số thành tổng các phân số đơn giản.

Quy đồng mẫu số.

Xác định số phân số thích hợp và quy đồng mẫu số của chúng.

Viết lại phương trình, bên trái là phân số ban đầu, bên phải là tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định.

Đưa các phân số ở vế phải về một mẫu số chung.

Lập phương trình đa thức ở tử số của phân số. Sử dụng định nghĩa đẳng thức của đa thức, lập một hệ phương trình tuyến tính và giải nó bằng cách tìm các hệ số không xác định.

Etienne Bezu–

Nhà toán học Pháp, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Paris (từ năm 1758), sinh tại Nemours ngày 31 tháng 3 năm 1730 và mất ngày 27 tháng 9 năm 1783.

Từ năm 1763, Bezout dạy toán tại trường trung học và từ năm 1768 tại quân đoàn pháo binh hoàng gia.

Các công trình chính của Etienne Bezout liên quan đến đại số bậc cao, chúng được dành cho việc tạo ra một lý thuyết để giải các phương trình đại số. Trong lý thuyết giải hệ phương trình tuyến tính, ông đã góp phần làm xuất hiện lý thuyết định thức, phát triển lý thuyết loại bỏ ẩn số khỏi hệ phương trình bậc cao, chứng minh định lý (công thức đầu tiên của C.Maclaurin) rằng hai đường cong của thứ tự m và n cắt nhau tại không quá mn điểm. Ở Pháp và ở nước ngoài, cho đến năm 1848, cuốn “Khóa học Toán học” sáu tập do ông viết năm 1764-69 đã rất nổi tiếng. Bezout đã phát triển phương pháp thừa số vô định; trong đại số sơ cấp, một phương pháp giải hệ phương trình dựa trên phương pháp này được đặt theo tên của ông. Một phần công việc của Bezout được dành cho đạn đạo bên ngoài. Một trong những định lý chính của đại số được đặt theo tên của nhà khoa học.

Định lý Bezout.

Phần dư của phép chia đa thức P N ( x )

thành một nhị thức ( x - một ) bằng với giá trị

đa thức này tại x = một .

PN(x) là một đa thức bậc nhất định N ,

nhị thức (x- một) - ước số của nó,

QN-1 (x) - thương số của phép chia PN(x) trên x- một(đa thức bậc n-1),

R- phần còn lại của phép chia ( R không chứa một biến x như một ước số của mức độ đầu tiên đối với x).

Bằng chứng:

Theo quy tắc chia đa thức có dư, ta có thể viết:

PN(x) = (x-a) Qn-1(x) + R .

Từ đây tại x = một :

PN(a) = (a-a) Qn-1(a) + R = 0 * Qn-1(a) + R =

=0+ R= R .

Có nghĩa, R = PN(một) , I E. phần còn lại sau khi chia đa thức cho (x- một) bằng với giá trị của cái này

đa thức tại x= một, đã được chứng minh.

Hệ quả của định lý .

Với hệ quả 1 :

Phần dư của phép chia đa thức P N ( x )

thành một nhị thức cây rìu + b bằng giá trị

đa thức này tại x = - b / một ,

t . e . R = P N (-ba) .

Bằng chứng:

Theo quy tắc chia đa thức:

PN(x) = (ax + b)* Qn-1(x) + R.

Pn (-b / a) = (a (-b / a) + b) Qn-1 (-b / a) + R = R. Do đó, R = Pn (-b / a), đã được chứng minh .

Hệ quả 2 :

Nếu số một là gốc

đa thức P ( x ) , sau đó cái này

đa thức chia hết cho ( x - một ) không có

phần còn lại.

Bằng chứng:

Theo định lý Bezout, phần còn lại của phép chia của một đa thức P (x) trên x- một bằng P (một) , và theo điều kiện một là gốc P (x) , có nghĩa là P (một) = 0 , điều này đã được chứng minh .

Từ hệ quả này của định lý Bezout, có thể thấy rằng bài toán giải phương trình P (x) = 0 tương đương với bài toán tìm ước của đa thức P có bậc đầu tiên (ước số tuyến tính).

Hệ quả 3 :

Nếu đa thức P ( x ) Nó có

cặp rễ riêng biệt

một 1 , một 2 , … , một N , thì nó chia hết cho

công việc ( x - một 1 ) … ( x - một N )

Không một dâu vêt .

Bằng chứng:

Chúng tôi thực hiện chứng minh bằng cách sử dụng quy nạp toán học về số lượng các căn. Tại N=1 khẳng định được chứng minh trong Hệ quả 2. Giả sử nó đã được chứng minh cho trường hợp số lượng gốc bằng k, nó có nghĩa là P (x) chia không có phần dư (x- một1 )(x- một2 ) … (x- mộtk) , ở đâu

một1 , một2 , … , mộtk- gốc rễ của nó.

Để cho được P(x) Nó có k+1 các gốc phân biệt theo cặp. Bằng giả thuyết quy nạp một1 , một2 , mộtk , … , mộtk+1 là các gốc của đa thức, có nghĩa là đa thức chia hết cho tích (x- một1 ) … (x- mộtk) , từ đâu mà nó phát ra

P (x) = (x-a1 )… (X-ak) Q (x).

Trong đó mộtk+1 là gốc của đa thức P(x) , I E. . P(mộtk+1 ) = 0 .

Vì vậy, thay vào đó xmộtk+1 , chúng tôi nhận được đẳng thức đúng:

P (ak + 1) = (ak + 1-một1 ) … (mộtk + 1-mộtk) Q (ak + 1) =

Nhưng mộtk+1 khác với những con số một1 , … , mộtk, và do đó không có con số nào mộtk+1 - một1 , … , mộtk+1 - mộtk không bằng 0. Do đó, số không là Q(mộtk+1 ) , I E. mộtk+1 là gốc của đa thức Q(x) . Và từ Hệ quả 2 nó theo sau đó Q(x) chia x- mộtk+ 1 mà không có một dấu vết.

Q(x) = (x- mộtk+1 ) Q1 (x) , và đó là lý do tại sao

P (x) = (x-a1)… (x-ak) Q (x) =

=(x- một1 ) … (x- mộtk)(x- mộtk+1 ) Q1 (x) .

Điều này có nghĩa rằng P(x) chia (x- một1 ) … (x- mộtk+1 ) Không một dâu vêt.

Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng định lý đúng với k =1 và từ hiệu lực của nó tại N = k nó theo sau rằng nó là sự thật và N = k+1 . Do đó, định lý đúng với bất kỳ số căn nào, những gì vàcần thiết để chứng minh .

Hệ quả 4 :

đa thức bậc N không còn nữa

N rễ khác nhau.

Bằng chứng:

Hãy để chúng tôi sử dụng phương pháp mâu thuẫn: nếu đa thức PN(x) độ N sẽ có nhiều hơn N rễ - N+ k (một1 , một2 , … , mộtN+ k- nguồn gốc của nó), thì theo Hệ quả 3 đã được chứng minh trước đó, nó sẽ

sẽ chia theo sản phẩm (x- một1 ) … (x- mộtN+ k) có bằng cấp N+ k, điều đó là không thể.

Chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả thiết của chúng ta là sai và đa thức bậc n không thể có nhiều hơn N rễ, Q.E.D.

Hệ quả 5 :

Đối với bất kỳ đa thức nào P ( x )

và số một Sự khác biệt

( P ( x )- P ( một )) được chia mà không có

phần dư cho mỗi nhị thức ( x - một ) .

Bằng chứng:

Để cho được P(x) là một đa thức bậc nhất định N , một- bất kỳ số nào.

Đa thức PN(x) có thể được biểu diễn dưới dạng: PN(x)=(x- một) QN-1 (x)+ R ,

ở đâu QN-1 (x) - đa thức, thương trong phép chia PN(x) trên (x- một) ,

R- phần còn lại của phép chia PN(x) trên (x- một) .

Và theo định lý Bezout:

R = PN(một), I E.

PN(x) = (x-a) Qn-1(x) + PN(một) .

Pn (x) - Pn (a) = (x-a) Qn-1 (x),

và điều này có nghĩa là chia hết mà không có phần dư (PN(x) – PN(một))

trên (x- một) , điều này đã được chứng minh .

Hệ quả 6 :

Con số một là gốc

đa thức P ( x ) bằng

không thấp hơn lần đầu tiên sau đó và

chỉ khi

P ( x ) chia ( x - một )

Không một dâu vêt .

Bằng chứng:

Để chứng minh định lý này, cần xem xét tính cần và đủ của điều kiện đã lập.

1. Nhu cầu .

Để cho được một là gốc của đa thức P(x) , rồi theo Hệ quả 2 P(x) chia (x- một) Không một dâu vêt.

Vì vậy, chia hết P(x) trên (x- một) là điều kiện cần thiết cho một là gốc rễ P(x) , tại vì là một hệ quả của điều này.

2. Đầy đủ .

Cho đa thức P(x) chia không có phần dư (x- một) ,

sau đó R = 0 , ở đâu R- phần còn lại của phép chia P(x) trên (x- một) , nhưng theo định lý Bezout R = P(một) , từ đâu mà nó phát ra P(một) = 0 , có nghĩa là một là gốc P(x) .

Vì vậy, chia hết P(x) trên (x- một) cũng là điều kiện đủ để một là gốc rễ P(x) .

Chia hết P(x) trên (x- một) là một cần thiết và đủ một điều kiện cho một là gốc rễ P(x) , Q.E.D.

Một đa thức không có hành động

rễ rắn, đang phân hủy

nhân với số nhân tuyến tính

không chứa.

Bằng chứng:

Chúng ta hãy sử dụng phương pháp mâu thuẫn: giả sử rằng một đa thức không có căn P(x) khi được tính toán, chứa một hệ số tuyến tính (x – một) :

P (x) = (x - a) Q (x),

sau đó nó sẽ được chia cho (x – một) , nhưng theo Hệ quả 6 một sẽ là gốc rễ P(x) , và với điều kiện nó không chứa rễ. Chúng tôi đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác và là một đa thức,

công việc khoa học

Ứng dụng của định lý

Tôi sẽ tập trung vào việc xem xét một số ví dụ về việc áp dụng định lý Bezout vào việc giải các bài toán thực tế.

Cần lưu ý rằng khi giải phương trình bằng định lý Bezout, cần:

tìm tất cả các ước số nguyên của số hạng tự do;

tìm ít nhất một nghiệm nguyên của phương trình (a) từ các ước số này;

Chia vế trái của phương trình cho (x-a);

Viết tích của số chia và thương vào vế trái của phương trình;

giải phương trình kết quả.

Tìm phần dư của phép chia đa thức x 3 -3x 2 + 6x-5

thành nhị thức x-2.

Theo định lý Bezout:

R = f (2) = 2 3 -3 * 2 2 + 6 * 2-5 = 3.

Đáp số: R = 3.

Với giá trị nào của a thì đa thức x 4 + ax 3 + 3x 2 -4x-4 chia không dư cho nhị thức x-2?

Theo định lý Bezout: R = f (2) = 16 + 8a + 12-8- 4 = 8a + 16.

Nhưng với điều kiện R = 0, có nghĩa là 8a + 16 = 0, do đó a = -2.

Đáp số: a = -2.

Với những giá trị nào của a và b thì đa thức ax 3 + bx 2 -73x + 102 chia hết cho tam thức x 2 -5x + 6 không có dư?

Hãy phân tích số chia: x 2 -5x + 6 = (x-2) (x-3).

Vì các nhị thức x-2 và x-3 là số nguyên tố nên đa thức này chia hết cho x-2 và x-3, có nghĩa là theo định lý Bezout:

R 1 = f (2) = 8a + 4b-146 + 102 = 8a + 4b-44 = 0

R 2 = f (3) = 27a + 9b-219 + 102 = 27a + 9b-117 = 0

Tôi sẽ giải hệ phương trình:

8a + 4b-44 = 0 2a + b = 11

27a + 9b-117 = 0 3a + b = 13

Từ đây ta được: a = 2, b = 7.

Đáp số: a = 2, b = 7.

Với giá trị nào của a và b thì đa thức x 4 + ax 3 -9x 2 + 11x + b

có chia hết không có dư cho tam thức x 2 -2x + 1 không?

Hãy tưởng tượng số chia như thế này: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Đa thức này chia hết cho x-1 mà không có dư nếu, theo định lý Bezout:

R 1 = f (1) = 1 + a-9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Hãy tìm thương của phép chia đa thức này cho x-1:

X 4 + ax 3 -9x 2 + 11x-a-3 x-1

x 4 -x 3 x 3 + (a + 1) x 2 + (a-8) x + (a + 3)

(a + 1) x 3 - (a + 1) x 2

(a-8) x 2 - (a-8) x

Thương x 3 + (a + 1) x 2 + (a-8) x + (a + 3) chia hết cho (x-1) mà không có dư, khi đó

R 2 = f (1) = 1 + (a + 1) * 1 + (a-8) * 1 + a + 3 = 3a-3 = 0.

Tôi sẽ giải hệ phương trình:

a + b + 3 = 0 a + b = -3

3a - 3 = 0 a = 1

Từ hệ thức: a = 1, b = -4

Đáp số: a = 1, b = -4.

Nhân tử của đa thức f (x) = x 4 + 4x 2 -5.

Trong số các ước của số hạng tự do, số 1 là căn của đa thức đã cho f (x), có nghĩa là, theo Hệ quả 2 của định lý Bezout, f (x) chia hết cho (x-1) mà không có dư:

f (x) / (x-1) = x 3 + x 2 + 5x + 5 nên f (x) = (x-1) (x 3 + x 2 + 5x + 5).

Trong số các ước của số hạng tự do của đa thức x 3 + x 2 + 5x + 5 x = -1 là gốc của nó, có nghĩa là, theo Hệ quả 2 của định lý Bezout, x 3 + x 2 + 5x + 5 là số chia hết bởi (x + 1) không có phần dư:

X 4 + 4x 2 -5 x-1 _x 3 + x 2 + 5x + 5 x + 1

x 4 -x 3 x 3 + x 2 + 5x + 5 x 3 + x 2 x 2 +5

X 3 + 4x 2 _5x + 5

(x 3 + x 2 + 5x + 5) / (x + 1) = x 2 +5, do đó x 3 + x 2 + 5x + 5 = (x + 1) (x 2 +5).

Do đó f (x) = (x-1) (x + 1) (x 2 +5).

Theo Hệ quả 7, (x 2 +5) không thể được phân tích thành nhân tử, bởi vì không có căn nguyên thực, vì vậy f (x) không được phân tích thêm nữa.

Đáp số: x 4 + 4x 2 -5 \ u003d (x-1) (x + 1) (x 2 +5).

Nhân tử của đa thức f (x) = x 4 +324.

f (x) không có gốc, bởi vì x 4 không thể bằng -324, có nghĩa là, theo Hệ quả 7, f (x) không thể được phân tích.

Trả lời: đa thức không thể được nhân tử.

Lập một đa thức bậc ba có căn là 4 của bội 2 và căn là -2.

Theo Hệ quả 3, nếu đa thức f (x) có căn 4 là bội 2 và căn -2, thì nó chia hết mà không có dư cho (x-4) 2 (x + 2), có nghĩa là:

f (x) / (x-4) 2 (x + 2) = q (x), tức là

f (x) = (x-4) 2 (x + 2) q (x),

f (x) = (x 2 -8x + 16) (x + 2) q (x),

f (x) = (x 3 -8x 2 + 16x + 2x 2 -16x + 32) q (x),

f (x) = (x 3 -6x 2 +32) q (x).

(x 3 -6x 2 +32) là một đa thức bậc ba, nhưng với điều kiện f (x) cũng là một đa thức bậc ba, do đó, Q (x) là một số thực. Đặt Q (x) = 1 thì f (x) = x 3 -6x 2 +32.

Đáp số: x 3 -6x 2 +32.

Giải phương trình x 4 + 3x 3 -13x 2 -9x + 30 = 0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2) (x 3 + 5x 2 -3x-15) = 0

(x-2) (x + 5) (x 2 -3) = 0

X 4 + 3x 3 -13x 2 -9x + 30x-2

x 4 -2x 3 x 3 + 5x 2 -3x-15

Đáp số: x 1 \ u003d 2, x 2 \ u003d -5, x 3,4 \ u003d.

Giải phương trình x 6 + x 5 -7x 4 -5x 3 + 16x 2 + 6x-12 = 0.

Nhìn vào phương trình, chúng ta có thể nói ngay rằng, theo Hệ quả 4, nó có không quá 6 nghiệm nguyên của phương trình.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 + x 5 -7x 4 -5x 3 + 16x 2 + 6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 + 2x 4 -5x 3 -10x 2 + 6x + 12

10x 3 + 16x 2 _x 5 + 2x 4 -5x 3 -10x 2 + 6x + 12x + 2

10x 3 -10x 2x5 + 2x 4x4 -5x 2 +6

6x 2 + 6x _ -5x 3 -10x 2

6x2 -6x -5x3 -10x2

x 6 + x 5 -7x 4 -5x 3 + 16x 2 + 6x-12 = (x-1) (x 5 + 2x 4 -5x 3 -10x 2 + 6x + 12) = 0

x 6 + x 5 -7x 4 -5x 3 + 16x 2 + 6x-12 = (x-1) (x + 2) (x 4 -5x 2 +6) = 0

x 4 -5x 2 + 6 = 0 - phương trình bậc hai, x 1.2 =, x 3.4 =.

Đáp số: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 = 1, x 6 = -2.

Giải phương trình x 3 -5x 2 + 8x-6 = 0.

X3 -5x2 + 8x-6x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x + 2

x 3 -5x 2 + 8x-6 = (x 2 -2x + 2) (x-3) = 0

x 2 -2x + 2 = 0 - phương trình bậc hai, không có nghiệm nguyên, vì D 2

Khoảng trống ô

Hệ quả 1. Cho X là không gian di động và A là không gian con di động của nó. Nếu A là đồng biến của chính nó thành một điểm, thì X / A ~ X. Chứng minh. Biểu thị bằng phép chiếu X X / A. Vì A là đồng biến nên tồn tại một phép đồng vị ft: AA sao cho ...

Phân tích thừa số tối đa của các nhóm tổng hợp

Định lý Đối với bất kỳ số chẵn và bất kỳ trường nào, nhóm là số nguyên tố ngoại trừ nhóm không phải là số nguyên tố. Bằng chứng. 1) Hành vi đặc biệt của nhóm theo sau. Do đó, chúng tôi sẽ giả định rằng trong trường hợp chung và đối với ...

Thành tựu khoa học của Pythagoras

Nhiệm vụ số 1 Lời giải: D ABC - hình chữ nhật có cạnh huyền AB, theo định lý Pitago: AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 82 + 62, AB2 = 64 + 36, AB2 = 100, AB = 10. Đáp số: AB = 10 Nhiệm vụ số 2 Lời giải: D DCE - hình chữ nhật với cạnh huyền DE, theo định lý Pitago: DE2 = DC2 + CE2, DC2 = DE2 - CE2, DC2 = 52 - 32 ...

Ứng dụng của đạo hàm trong giải một số bài toán

Ví dụ 1. Chứng minh định lý: nếu phương trình (1) có một căn dương thì phương trình (2) cũng có một căn dương và hơn nữa, một nghiệm nhỏ hơn ...

Hệ thống tương đương với hệ thống có loại điểm nghỉ đã biết

Chúng tôi nhận được đâu là bất kỳ hàm liên tục lẻ nào. Cùng với hệ vi phân (1), ta xét hệ nhiễu loạn (2), đâu là hàm lẻ liên tục. Được biết đến với...

đồ thị phổ

Một số tính chất cơ bản của phổ đồ thị (hoặc trong trường hợp tổng quát hơn là đa đồ thị) có thể được thiết lập trên cơ sở một số định lý của lý thuyết ma trận. Phần này chỉ trình bày các định lý ma trận quan trọng nhất ...

Định lý Sylow

Cho G là một nhóm và P là một nhóm khác. Cho mỗi phần tử của aG được liên kết với một phần tử nào đó từ S, tức là cho trước một ánh xạ của G và S.

Lý thuyết về tích phân elliptic và hàm elliptic

Định lý 1. Đạo hàm của một hàm elliptic cũng là một hàm elliptic. Thật vậy, bằng cách phân biệt quan hệ (1), giữ cho z bất kỳ, chúng ta thu được Như vậy, đạo hàm f (z) có cùng chu kỳ 2 và 2 với hàm ban đầu ...

Phương trình và bất phương trình với một mô-đun về thử nghiệm tập trung

Chúng ta hãy xây dựng một định lý thuận tiện cho việc giải các bất phương trình về tích hoặc hiệu của các môđun: Định lý Dấu hiệu của hiệu giữa môđun của hai biểu thức trùng với dấu của hiệu bình phương của các biểu thức này ...

Biểu diễn chức năng của mạng phân bố có giới hạn

Bổ đề 1. Các kết quả tạo thành một gia đình cởi mở. Bằng chứng. Cần phải chỉ ra rằng đối với bất kỳ phần tử nào mà tập hợp được mở. Hãy để, sau đó và cho một số. Nếu là một lý tưởng nguyên tố tùy ý của, thì, và do đó ...

Chức năng hình trụ

Sử dụng định lý Cauchy về tích phân của các hàm của một biến phức, người ta có thể thu được từ tích phân Poisson một biểu diễn tích phân nữa, điều này rất quan trọng đối với lý thuyết về hàm Bessel ...

Vấn đề cực kỳ nghiêm trọng về lập chỉ mục các lớp

Trong trường hợp, khẳng định của định lý là hiển nhiên. Để cho được. Bổ đề 3. Với DF bất kỳ và điểm bất kỳ, tồn tại DF sao cho v (t) (t) (v (t) (t)) trong một vùng lân cận nào đó của điểm. Bằng chứng. Nếu không có i, 0in + 2 sao cho n-1 chẵn và Yi (0) ...

Chứng minh định lý Bezout

Gọi f (x) biểu thị một đa thức bậc n tùy ý đối với biến x và chia nó cho nhị thức (x-a) trong thương q (x) và phần dư R. Rõ ràng, q (x) sẽ là một đa thức (n-1) bậc nào đó so với x và phần còn lại R sẽ là một giá trị không đổi, tức là không phụ thuộc vào x.

Nếu phần còn lại của R là đa thức có ít nhất bậc đầu tiên so với x, thì điều này có nghĩa là phép chia không được thực hiện. Vậy R không phụ thuộc vào x.

Theo định nghĩa của phép chia (số bị chia bằng tích của số bị chia và thương cộng với phần dư), tôi nhận được danh tính

f (x) = (x-a) q (x) + R.

Đẳng thức này đúng với bất kỳ giá trị nào của x, vì vậy nó cũng đúng với x = a.

Thay số a trong phần bên trái và bên phải của đẳng thức thay vì biến x, tôi nhận được:

f (a) = (a-a) q (a) + R. (một)

Ở đây ký hiệu f (a) không còn biểu thị f (x), tức là không phải là đa thức theo x mà là giá trị của đa thức này tại x = a. q (a) là giá trị của q (x) khi x = a.

Phần còn lại của R vẫn như cũ vì R không phụ thuộc vào x.

Tích (a-a) q (a) bằng 0, vì thừa số (a-a) bằng 0 và thừa số q (a) là một số nhất định. (Đa thức q (x) không mất ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị cụ thể nào của x.)

Do đó, từ đẳng thức (1), chúng ta thu được:

Q.E.D.

Hệ quả của định lý

Hệ quả 1.

Phần còn lại sau khi chia đa thức f (x) cho nhị thức (ax + b) bằng giá trị

của đa thức này cho x = -b / a, tức là R = f (-b / a).

Bằng chứng:

Theo quy tắc chia đa thức:

f (x) = (ax + b) * q (x) + R.

f (-b / a) = (a (-b / a) + b) q (-b / a) + R = R. Vậy R = f (-b / a),

Q.E.D.

Hệ quả 2:

Nếu số a là căn của đa thức f (x) thì đa thức này chia hết cho (x-a) mà không có dư.

Bằng chứng:

Theo định lý Bezout, phần dư của phép chia đa thức f (x) cho (x-a) bằng f (a) và theo điều kiện a là căn của f (x), có nghĩa là f (a) = 0, bắt buộc phải chứng minh.

Từ hệ quả này của định lý Bezout, có thể thấy bài toán giải phương trình f (x) = 0 tương đương với bài toán chọn ước của đa thức f có bậc nhất (ước tuyến tính).

Hệ quả 3:

Nếu đa thức f (x) có các nghiệm nguyên phân biệt a 1, a 2,…, a n thì đa thức đó chia hết cho tích (x-a 1)… (x-a n) mà không có dư.

Bằng chứng:

Chúng tôi thực hiện chứng minh bằng cách sử dụng quy nạp toán học về số lượng các căn. Với n = 1, khẳng định được chứng minh trong Hệ quả 2. Hãy chứng minh nó đã được chứng minh cho trường hợp số nghiệm nguyên bằng k, nghĩa là f (x) chia hết mà không có dư bởi

(x-a 1) (x-a 2)… (x-a k), trong đó a 1, a 2,…, a k là các gốc của nó.

Cho f (x) có (k + 1) các nghiệm nguyên phân biệt. Theo giả thiết quy nạp, a 1, a 2, a k,…, (a k + 1) là nghiệm nguyên của đa thức, có nghĩa là đa thức chia hết cho tích (x-a 1)… (x-a k), có nghĩa là điều đó

f (x) = (x-a 1)… (x-a k) q (x).

Hơn nữa, (a k + 1) là căn của đa thức f (x), tức là

Vì vậy, thay x (a k + 1), chúng ta nhận được đẳng thức đúng:

f (a k + 1) = (a k + 1 -a 1)… (a k + 1 -a k) q (a k + 1) = 0.

Nhưng (a k + 1) khác với các số a 1,…, a k, và do đó không có số nào (a k + 1 -a 1),…, (a k + 1 -a k) bằng 0. Do đó, số không bằng q (a k + 1), tức là (a k + 1) là căn của đa thức q (x). Và từ Hệ quả 2 suy ra rằng q (x) chia hết cho (x-a k + 1) mà không có dư.

q (x) = (x-a k + 1) q 1 (x), và do đó

f (x) = (x-a 1)… (x-a k) q (x) = (x-a 1)… (x-a k) (x-a k + 1) q 1 (x).

Điều này có nghĩa là f (x) chia hết cho (x-a 1) ... (x-a k + 1) mà không có dư.

Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng định lý đúng với k = 1, và từ giá trị của nó đối với n = k, theo đó nó cũng đúng với n = k + 1. Do đó, định lý đúng với bất kỳ số căn nào, điều này đã được chứng minh.

Hệ quả 4:

Đa thức bậc n có nhiều nhất n căn phân biệt.

Bằng chứng:

Hãy sử dụng phương pháp ngược lại: nếu đa thức f (x) bậc n có nhiều hơn n căn - n + k (a 1, a 2, ... và n + k là căn của nó), thì bằng cách chứng minh trước đó Hệ quả 3 nó sẽ chia hết cho tích (x-a 1) ... (x-a n + k) bậc (n + k), điều này là không thể.

Chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả thiết của chúng ta là sai, và một đa thức bậc n không thể có nhiều hơn n căn, điều này cần được chứng minh.

Hệ quả 5:

Với bất kỳ đa thức f (x) và một số a, hiệu (f (x) -f (a)) chia hết mà không có dư cho nhị thức (x-a).

Bằng chứng:

Gọi f (x) là một đa thức bậc n cho trước và cho a là một số bất kỳ.

Đa thức f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng: f (x) = (x-a) q (x) + R, trong đó q (x) là thương của đa thức khi f (x) chia cho (x-a), R là thương phần dư của phép chia f (x) thành (x-a).

Và theo định lý Bezout:

f (x) = (x-a) q (x) + f (a).

f (x) -f (a) = (x-a) q (x),

và điều này có nghĩa là chia hết không có phần dư (f (x) -f (a))

trên (x-a), điều này đã được chứng minh.

Hệ quả 6:

Số a là căn bậc nhất của đa thức f (x) có bậc không thấp hơn bậc nhất chỉ khi f (x) chia hết cho (x-a) mà không có dư.

Bằng chứng:

Để chứng minh định lý này, cần xem xét tính cần và đủ của điều kiện đã lập.

1. Sự cần thiết.

Gọi a là căn của đa thức f (x) thì Hệ quả 2 f (x) chia hết cho (x-a) mà không có dư.

Do đó phép chia hết của f (x) cho (x-a) là điều kiện cần thiết để a là một nghiệm nguyên của f (x), bởi vì là một hệ quả của điều này.

2. Tính đầy đủ.

Để đa thức f (x) chia hết mà không có dư cho (x-a),

thì R = 0, trong đó R là phần dư của phép chia f (x) cho (x-a), nhưng theo định lý Bezout R = f (a), nghĩa là f (a) = 0, có nghĩa là a là căn f (x).

Như vậy, tính chất chia hết của f (x) cho (x-a) cũng là điều kiện đủ để a là một nghiệm nguyên của f (x).

Tính chất chia hết của f (x) cho (x-a) là điều kiện cần và đủ để a là một nghiệm nguyên của f (x), điều này đã được chứng minh.

Hệ quả 7:

Đa thức không có nghiệm nguyên thì không chứa nhân tử tuyến tính trong phân thức nhân tử.

Bằng chứng:

Chúng ta hãy sử dụng phương pháp mâu thuẫn: giả sử rằng đa thức f (x) không có nghiệm nguyên khi tính thừa số chứa một nhân tử tuyến tính

thì nó sẽ chia hết cho (x-a), nhưng theo Hệ quả 6 a sẽ là một căn của f (x), và theo giả thiết nó không chứa căn thực. Chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả thiết của chúng ta là không chính xác và đa thức, không có căn thực, không chứa nhân tử tuyến tính trong thừa số, điều này cần được chứng minh.