Định Lý Cơ Bản Công Thức Newton-Leibniz Khái Niệm Về Diện Tích ...

1. Trang chủ >
2. Giáo Dục - Đào Tạo >
3. Cao đẳng - Đại học >

Định lý cơ bản Công thức Newton-Leibniz Khái niệm về diện tích của miền mặt phẳng ý nghĩa hình học của tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.79 MB, 239 trang )

15=x adt tf xF .Hàm này xác định với mọi Ux vì f là liên tục.

9.4.1. Định lý cơ bản

Định lýHàm số xF là khả vi trênU và xf xF = .Chứng minh Ta cÇn chØ ra r»ngU xo∈ ∀limo oo xxx fx xx Fx Fo= −−→. §Ĩ ý r»ng:= −− −= −− −∫ ∫| || |o ox ax ao oox fx xdt tf dtt fx fx xx Fx Fo∫ ∫∫− −= −− =x xo ox xo xx oo oodt xf tf xx dtx fdt tf xx ][ 1| || |1 vµmax |max || ][ |] ,[ ], [o xx ox xo xx xx ox ff xx dtx ff dtx ft fo oo o− −= −≤ −∈ ∈∫ ∫ζ ζζ ζCho nªn suplim maxlim lim] [= −= −ζ =− −−→ −∈ ζ→ →o xx ox xx xo oo xxx fx fx ff xf xx xF xFo oo odo f là hàm liên tục. Định lý đã đợc chứng minh xong.Hệ quảNếu f là hàm liên tục trên một khoảng thì tồn tại hàm F xác định trên khoảng đó và có đạo hàm là f .Chứng minh Suy ra ngay từ định lý trên.

9.4.2. Công thức Newton-Leibniz

Định lýNewton-Leibniz Nếu F là hàm số xác định trên khoảng RU và có đạo hàm là fth×∫− =b aa Fb Fdx xf .Chøng minh Ta cã15 1= −= −∫x fx fdt tf xF dxdx a. nªnc dtt fx Fx a= −∫. Thay ax = ta cãa Fc =cho nªn∫+ =x aa Fdt tf xF .Từ đây, ta có ngay điều cần chứng minh.

9.4.3. Công thức đổi biến

Mệnh đềCho VU, là các khoảng bất kỳ trong, VU : là hàm khả vi liên tục, Vf : là hàm liên tục. Khi đó,U ba ∈∀ , ,∫ ∫= ′b ab adv vf duu uf ][ . Chứng minh ĐặtV ydv vf yFy a =,. Rõ ràng F là hàm khả vi và fF = .Hàm=x adv vf xG là hợp của 2 hàm khả vi liên tục F và , cho nên cũng làkhả vi liên tục. Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp ta cã: Ux xx fx xF xG ∈∀ ′= ′′ =′ ,] [] [ϕ ϕϕ ϕ. Nh− vËy∫+ ′=x ac duu uf xG ][ ϕϕ ,víi c lµ mét h»ng số nào đó. Cho ax = ta có= =a Gc , và chob x= ta có điều cần chứng minh.

9.5. ý nghĩa hình học và

____________________________ứng dụng của tích phân xác định

9.5.1. Khái niệm về diện tích của miền mặt phẳng

Ta đã từng biết về định nghĩa và cách tính diện tích của hình vuông và hình chữ nhật. Trên cơ sở đó ta tính đợc diện tích của một hình tam giác bất kỳ bằng cách tách nóthành 2 tam giác vuông nửa của hình chữ nhật. Diện tích của đa giác bất kỳ lại đợc tính nh tổng của các tam giác hợp thành. Xa hơn nữa, ta đã biết định nghĩa và tínhdiện tích của một hình tròn nh giới hạn của diện tích các đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp hình tròn đó khi số cạnh tiến ra vô cùng. Tuy nhiên, các phơng pháp nàykhông cho phép ta xác định diện tích của một miền giới hạn bởi một đờng cong liên tục bất kỳ thí dụ nh mặt nớc hồ Hoàn Kiếm. Bây giờ ta có thể sử dụng tích phânxác định để làm điều đó.15 2

9.5.2. ý nghĩa hình học của tích phân

Trớc hết, ta xác định diƯn tÝch cđa mét h×nh thang cong D giới hạn bởi đồ thị của một hàm liên tục xf, và các đờng thẳng, ,= == yb xa x. Lấy một phân hoạch bất kỳ P:,...1x xao =b xN= , và các điểm] ,[ ,1 ii iix x ηζ sao cho]} ,[ max{]} ,[ min{1 1i ii ii ix xx xf fx xx xf f− −∈ =∈ =η Từ mệnh đề về tính bị chặn của tích phân định lý trung bình, xem hình vẽ minh họa 9.2, ta thÊy r»ng∑= −− =N ii iix xf PS1 1minζ là tổng diện tích của các hình chữ nhậtnằm gọn trong miỊn D vµ∑= −− =N ii iix xf PS1 1max là tổng diện tích các hình chữnhật phủ kín miền D. Nghĩa là, nếu nh miền D đợc gán một giá trị diện tích là SD nào đó thì.max minP SD SP S Khi phân hoạch càng mịn thì SminP càng lớn dần lên và SmaxP càng nhỏ dần đi. Vì hàm số liên tục nên nó là khả tích, suy ra SminP và SmaxP sẽ cùng nhau tiến dần đến giá trị tích phân của hàm này vì chúng cùng là những tổng Riemann. Từ biểu thứcta suy ra giá trị tích phân của hàm phải trùng với SD. Nh vậy, sẽ là hợp lý nếu ta định nghĩa diện tích của miền D là=b adx xf DS .Đây là công thức tích diện tích của miền D có dạng hìmh thang cong nh trong Hình vẽ 9.4. Từ đây dễdàng tính đợc diện tích một miền E giới hạn bởi 2 đờng cong nh trong Hình 9.5bằng cách lấy hiệu của 2 tích phân các hàm2f và1f , tøc lµ ta cã∫ ∫∫− =− =b ab ab adx xf xf dxx fdx xf ES .] [1 21 2Víi cách chia một hình thành những phần có dạng đơn giản hơn nh D hoăc E ta có thể tính đợc diện tích của hầu hết các hình gặp trong thùc tÕ.

9.5.3. TÝnh thĨ tÝch c¸c vËt thĨ 3 chiÒu

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• Giải tích b1
  • 239
  • 3,465
  • 14

Tải bản đầy đủ (.pdf) (239 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(4.79 MB) - Giải tích b1-239 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×