Định Lý Cơ Bản Của Các Nhóm Cyclic - Wikipedia

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Trong đại số trừu tượng, định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Chứng minh

Giả sử G = ⟨ a ⟩ {\displaystyle G=\left\langle a\right\rangle } là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử a ∈ G {\displaystyle a\in G} . Giả sử H {\displaystyle H\,} là nhóm con của G {\displaystyle G\,} . Ta sẽ chứng tỏ rằng H {\displaystyle H\,} là cyclic. Nếu H = { e } {\displaystyle H=\{e\}\,} thì H = ⟨ e ⟩ {\displaystyle H=\left\langle e\right\rangle \,} . Nếu H ≠ { e } {\displaystyle H\neq \{e\}\,} thì vì G {\displaystyle G\,} là cyclic nên mọi phần tử trong H {\displaystyle H\,} có dạng lũy thừa a t {\displaystyle a^{t}\,} , trong đó t {\displaystyle t\,} là số nguyên dương. Đặt m {\displaystyle m\,} là số nguyên dương nhỏ nhất mà a m ∈ H {\displaystyle a^{m}\in H} .

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng H = ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle \,} . Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng ⟨ a m ⟩ ⊆ H {\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H} .

Để chứng tỏ H ⊆ ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle } chúng ta giả sử b ∈ H {\displaystyle b\in H} . Vì b ∈ G {\displaystyle b\in G} ta có b = a k {\displaystyle b=a^{k}\,} với một số nguyên dương nào đó k {\displaystyle k\,} . Theo thuật toán chia, k = m q + r {\displaystyle k=mq+r\,} với 0 ≤ r < m {\displaystyle 0\leq r<m\,} , và do đó a k = a m q + r = a m q a r {\displaystyle a^{k}=a^{mq+r}=a^{mq}a^{r}\,} , từ đó a r = a − m q a k {\displaystyle a^{r}=a^{-mq}a^{k}\,} . Bây giờ vì a k ∈ H {\displaystyle a^{k}\in H} và a − m q = ( a m ) − q ∈ H {\displaystyle a^{-mq}=(a^{m})^{-q}\in H} , nên a r ∈ H {\displaystyle a^{r}\in H} . Nhưng m {\displaystyle m\,} là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a m ∈ H {\displaystyle a^{m}\in H} và 0 ≤ r < m {\displaystyle 0\leq r<m\,} , nên r = 0 {\displaystyle r=0\,} và do đó b = a k = a m q = ( a m ) q ∈ ⟨ a m ⟩ {\displaystyle b=a^{k}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in \left\langle a^{m}\right\rangle } . Như vậy H ⊆ ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle } .

Vì H ⊆ ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle } và ⟨ a m ⟩ ⊆ H {\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H} nên H = ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle } và như vậy H {\displaystyle H\,} là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của G {\displaystyle G\,} là một ước của n {\displaystyle n\,} . Giả sử H {\displaystyle H\,} là một nhóm con bất kỳ của G {\displaystyle G\,} . Ta luôn có thể viết H = ⟨ a m ⟩ {\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle } , trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a m ∈ H {\displaystyle a^{m}\in H} . Vì e = a n = a m {\displaystyle e=a^{n}=a^{m}\,} nên n = m q {\displaystyle n=mq\,} với số nguyên q {\displaystyle q\,} nào đó. Như vậy m | n {\displaystyle m|n\,} .

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử k {\displaystyle k\,} là một ước nguyên dương của n {\displaystyle n\,} . Ta sẽ chứng tỏ rằng ⟨ a n / k ⟩ {\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle } và chỉ nó là nhóm con ⟨ a ⟩ {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } cấp k {\displaystyle k\,} . Chú ý rằng ⟨ a n / k ⟩ {\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle } có cấp n g c d ( n , n k ) = n n k = k {\displaystyle {n \over {gcd(n,{n \over {k}})}}={n \over {n \over k}}=k\,} . Đặt H {\displaystyle H\,} là nhóm con bất kỳ của ⟨ a ⟩ {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } có cấp k {\displaystyle k\,} . Ta biết rằng H = ⟨ a ⟩ {\displaystyle H=\left\langle a\right\rangle } , trong đó m {\displaystyle m\,} là ước của n {\displaystyle n\,} . Như vây m = g c d ( n , m ) {\displaystyle m=gcd(n,m)\,} and k = | < a m > | = | a m | = | a g c d ( n , m ) | = n g c d ( n , m ) = n m {\displaystyle k=|<a^{m}>|=|a^{m}|=|a^{gcd(n,m)}|={n \over {gcd(n,m)}}={n \over m}\,} . Từ đó m = n k {\displaystyle m={n \over k}\,} và như vậy H = ⟨ a n k ⟩ {\displaystyle H=\left\langle a^{n \over k}\right\rangle } . Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung

Giả sử G =< a > {\displaystyle G=<a>} là một nhóm cyclic, và H {\displaystyle H} là một nhóm con của G {\displaystyle G} . Ta xác định một ánh xạ ϕ : Z → G {\displaystyle \phi :\mathbb {Z} \rightarrow G} nhờ ϕ ( n ) = a n {\displaystyle \phi (n)=a^{n}} . Vì G {\displaystyle G} là cyclic sinh bởi a {\displaystyle a} , nên ϕ {\displaystyle \phi } là toàn ánh. Đặt K = ϕ − 1 ( H ) ⊆ Z {\displaystyle K=\phi ^{-1}(H)\subseteq \mathbb {Z} } . K {\displaystyle K} là nhóm con của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Vì ϕ {\displaystyle \phi } là toán ánh, nên thu hẹp của ϕ {\displaystyle \phi } trên K {\displaystyle K} xác định một toàn cấu từ K {\displaystyle K} lên H {\displaystyle H} , và do đó H {\displaystyle H} là đẳng cấu với một nhóm thương của K {\displaystyle K} . Vì K {\displaystyle K} là một nhóm con của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , K {\displaystyle K} là n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } với số nguyên n {\displaystyle n} nào đó. Nếu n = 0 {\displaystyle n=0} , thì K = 0 {\displaystyle K={0}} , từ đó H = 0 {\displaystyle H={0}} , là nhóm cyclic. Nếu khác đi, K {\displaystyle K} đẳng cấu với Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Do đó H {\displaystyle H} là đẳng cấu với một thương của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , và chắc chắn là cyclic.

Xem thêm

• Nhóm cyclic

Tham khảo