Định Lý Lagrange (lý Thuyết Số) – Wikipedia Tiếng Việt

Trong Lý thuyết số, định lý Lagrange khẳng định:

Nếu p là số nguyên tố và f(x) là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} có bậc là n và không đồng nhất với không (nghĩa là có ít nhất một hệ số không chia hết cho p), thì phương trình f ( x ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}} có không quá n nghiệm trong trường Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} .

Nếu p không phải là số nguyên tố thì có thể có nhiều hơn n nghiệm.

Định lý được đặt theo tên của Joseph-Louis Lagrange.

Một chứng minh của định lý Lagrange

[sửa | sửa mã nguồn]

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Định lý hiển nhiên đúng với n=0.

Giả sử định lý đúng với n=k, xét đa thức không đồng nhất với không f ( x ) = ∑ i = 0 k + 1 a i x i {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k+1}{a_{i}x^{i}}} , deg(f) = k + 1, với m nghiệm.

Không mất tính tổng quát giả sử m>0, vậy tồn tại r sao cho f ( r ) = 0 {\displaystyle f(r)=0} .

Khi đó, f ( x ) = f ( x ) − f ( r ) = ∑ i = 0 k + 1 a i ( x i − r i ) = ( x − r ) g ( x ) {\displaystyle f(x)=f(x)-f(r)=\sum _{i=0}^{k+1}{a_{i}\left(x^{i}-r^{i}\right)}=(x-r)g(x)} , với g là đa thức có bậc nhỏ thua k+1. Rõ ràng, g ( x ) {\displaystyle g(x)} không đồng nhất với không, do đó g ( x ) {\displaystyle g(x)} có không quá k nghiệm. Kết hợp với ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} có đúng một nghiệm, suy ra f ( x ) {\displaystyle f(x)} có không quá k+1 nghiệm.

Suy ra điều phải chứng minh.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s