Định Lý Rolle – Wikipedia Tiếng Việt

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes tổng quát
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Trong vi tích phân, định lý Rolle phát biểu rằng bất cứ hàm giá trị thực nào khả vi, đạt giá trị bằng nhau tại hai điểm phân biệt phải có ít nhất một điểm dừng đâu đó giữa hai đầu mút; đó là, một điểm nơi đạo hàm cấp một (hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm) bằng 0. Định lí này được đặt tên của nhà toán học Michel Rolle.

Lịch sử

[sửa | sửa mã nguồn]

Mặc dù được đặt tên là định lí Rolle, ông chỉ chứng minh định lí này trong trường hợp hàm số là các đa thức vào năm 1691, không hề sử dụng các phương pháp của vi tích phân (điều mà ông cho là ngớ ngẩn vào thời điểm đó). Định lí này lần đầu tiên được chứng minh bởi Augustin Louis Cauchy vào năm 1823 như một hệ quả của định lí giá trị trung bình.[1]

Cái tên "định lí Rolle" được sử dụng lần đầu tiên bởi Moritz Wilhelm Drobisch tại Đức vào năm 1834, và Giusto Bellavitis tại Ý vào năm 1846.[2]

Phiên bản sơ cấp

[sửa | sửa mã nguồn]

Định lí Rolle phát biểu rằng, với hàm số thực f liên tục trên đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , khả vi trên khoảng mở ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} sao cho f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} . Khi này, tồn tại số thực c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} sao cho f ′ ( c ) = 0. {\displaystyle f'(c)=0.}

Chứng minh

[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử không tồn tại c ∈ (a; b) để f′(c) = 0, tức là f′(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a; b). Khi đó, do f′(x) liên tục trên (a; b) nên f′(x) không đổi dấu trên (a; b).

Không giảm tính tổng quát, giả sử f′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b). Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên f(x) đồng biến trên [a; b], suy ra f(a) < f(b), trái với giả thiết f(a) = f(b).

Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai. Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0. Bài toán đã được chứng minh.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Besenyei, A. (ngày 17 tháng 9 năm 2012). "A brief history of the mean value theorem" (PDF).
2. ^ See Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. American Mathematical Soc. tr. 224. ISBN 9780821821022.

• Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings
• Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplier sequences for fields", Illinois J. Math., 21 (4): 801–817
• Ballantine, C.; Roberts, J. (tháng 1 năm 2002), "A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields", The American Mathematical Monthly, 109 (1), Mathematical Association of America: 72–74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• Hazewinkel, Michiel, biên tập (2001), "Rolle theorem", Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Rolle's and Mean Value Theorems at Cut-the-knot.

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện về Định lý Rolle.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

• x
• t
• s