Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Phương Pháp Giải Các Dạng ...

Chương 5. ĐẠO HÀM

A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_{0}$ $\in$ (a ; b). Giới hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_{0}$, khi số gia của đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$. Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại $x_{0}$ được kí hiệu là y'($x_{0}$) hoặc f'($x_{0}$):

1.2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Từ định nghĩa, để tính đạo hàm y'($x_{0}$), ta cần thực hiện ba bước sau đây :

1) Cho $x_{0}$ số gia $\Delta$x và tính $\Delta$y = f($x_{0}$) + $\Delta$x) - f($x_{0}$).

2) Lập tỉ số

3) Tìm giới hạn

Ví dụ 1.

Dùng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số y = $x^{2}$ + 3x tại $x_{0}$ = 1.

Giải.

Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$ = 1, ta có

Vậy y'(1) = 5.

Ví dụ 2.

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$ = 0

Giải

Ví dụ 3.

Cho f(x) = x(x - 1)(x - 2) ... (x - 2001). Tính f'(0).

Giải.

Vậy f'(0) = -2001!.

1.3. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

Quy ước. Khi ta nói hàm số y = f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

1.4. Định lí

Đạo hàm của hàm số không đổi bằng 0.

Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1, $\forall x\in R$

Đạo hàm của hàm số y = $x^{n}$ (n $\geq$ 2, n $\in$ N) bằng n$x^{n-1}$, $\forall x\in R$.

Đạo hàm của hàm số

1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Cho một đường cong phẳng (C) và một điểm cố định $M_{0}$ trên (C). Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên (C); đường thẳng $M_{0}M$ là một cát tuyến của (C).

Nếu cát tuyến $M_{0}M$ có vị trí giới hạn $M_{0}T$ khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm $M_{0}$ thì đường thẳng $M_{0}T$ được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại $M_{0}$.

Điểm $M_{0}$ được gọi là tiếp điểm.

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm hàm tại $x_{0}$ $\in$ (a; b) ; gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ của (C) tại điểm $M_{0}$($x_{0}$; f($x_{0}$)), tức là :

f'($x_{0}$) = hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$.

c) Phương trình của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}$($x_{0}$; f($x_{0}$)) là:

y - $y_{0}$ = f'($x_{0}$)(x - $x_{0}$) (với $y_{0}$ = f($x_{0}$)).

Ví dụ 4.

Tìm hệ số góc của cát tuyến $M_{1}M_{2}$ với parabol y = 2x - $x^{2}$, biết rằng hoành độ các giao điểm là $x_{1}$ = 1; $x_{2}$ = 2.

Giải.

Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$. Ta có :

Với $x_{0}$ = 2 thì Hệ số góc của cát tuyến AA' là :

Ví dụ 5.

Cho parabol y = $x^{2}$. Tính hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ $x_{0}$ = 2 và viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Giải.

Ta có f'(2) = 4. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = $x^{2}$ tại điểm (2 ; 4) là 4. Phương trình của tiếp tuyến tại điểm $M_{0}$(2 ; 4) là y - 4 = 4(x - 2) hay y = 4x - 4.

Ví dụ 6

Cho hàm số y = $x^{2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (0;-1).

Giải.

Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm ($x_{0}$; f($x_{0}$)) là :

Ta có : y' = 2x.

Theo giả thiết, tiếp tuyến đó đi qua điểm (0;-1) nên ta có

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là

• y - 1 = 2(x - 1) ⇔ y = 2x - 1 (ứng với $x_{0}$ = 1).

• y - 1 = -2(x + 1) ⇔ y= -2x - 1 (ứng với $x_{0}$ = -1).

Cách 2.

Phương trình của tiếp tuyến phải tìm có dạng y = ax – 1. Ta phải tìm a từ hệ phương trình

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là

1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = f(t) (với f(t) là một hàm số có đạo hàm). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t_{0}$ là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại $t_{0}$:

v($t_{0}$) = s'($t_{0}$) = f'($t_{0}$).

b) Cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian t, Q = f(t) (f(t) là một hàm số có đạo hàm). Cường độ trung bình của dòng điện trong thời gian $\Delta$t là Giới hạn (nếu có) được gọi là cường độ tức thời tại thời điểm t. Vậy cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là đạo hàm của điện lượng Q tại t:

$I_{t}$ = Q'(t).

BÀI TẬP

5.1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm tại điểm đã chỉ ra của các hàm số dưới đây:

5.2. Tính của các hàm số cho trong bảng (theo x và $\Delta$x) và điền vào ô trống trong bảng sau đây:

5.3. Một vật rơi tự do theo phương trình trong đó g là gia tốc trọng trường (g $\approx$ 9,8m/$s^{2}$).

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t + $\Delta$t, ứng với mỗi trường hợp $\Delta$t cho như sau :

$\Delta$t = 0,1s; $\Delta$t = 0,05s; $\Delta$t = 0,001s.

b) Tìm vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s.

5.4. Cho hàm số y = $x^{2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp điểm là điểm (1; 1).

b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4.

c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = - x + 2.

d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = $\large \frac{1}{2}$x + 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI

5.1.

a) Cho số gia $\Delta$x tại $x_{0}$ = 2, ta có

5.2.

5.3. a) 49,49 m/s; 49,245 m/s; 49,005 m/s.

b) 49 m/s.

5.4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm ($x_{0}$; f($x_{0}$)) là :

Ta có : y' = 2x. Từ đó :

a) Phương trình của tiếp tuyến tại tiếp điểm (1; 1) là

y - 1 = 2(x - 1) ⇔ y = 2x - 1.

b) Với $y_{0}$ = 4, suy ra

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm.

• Với $x_{0}$ = 2 thì phương trình của tiếp tuyến là :

y - 4 = 4(x - 2) ⇔ y = 4(x - 1)

• Với $x_{0}$ = -2 thì phương trình của tiếp tuyến là

y - 4 = - 4(x + 2) ⇔ y = - 4(x + 1).

c) Hai đường thẳng song song với nhau (trừ trường hợp song song với trục tung) thì hệ số góc của chúng bằng nhau. Vì vậy ta có 2$x_{0}$ = -1 hay Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là :

d) Hai đường thẳng vuông góc với nhau (trừ trường hợp một trong hai đường thẳng đó vuông góc với trục hoành) khi và chỉ khi tích các hệ số góc của chúng bằng -1. Vì vậy ta có 2$x_{0}$.$\large \frac{1}{2}$ = -1 hay $x_{0}$ = -1 và $y_{0}$ = 1. Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là

y - 1 = -2(x + 1) ⇔ y = -2x - 1.