ĐS-Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-ml

Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

A. Kiến thức cần nhớ

Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.

• Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có:

hoặc

Dấu bằng chỉ xảy ra khi

Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai)

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải.

Trình bày lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:

Đẳng thức xảy ra khi

Ví dụ 2: Cho So sánh S với

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S, thì và bằng Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si dạng

Trình bày lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Suy ra

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:

Giải

Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứa mẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn: và

chọn

Trình bày lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô-si; ta có:

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:

Điều phải chứng minh

Đằng thức xảy ra khi

Ví dụ 4: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải

Tìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có chứa căn. Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng và

Trình bày lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi

Ví dụ 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải

Tìm cách giải.Quan sát cả giả thiết và kết luận, hiển nhiên chúng ta cần tách phần biểu thức B có xuất hiện bộ phận của giả thiết để khai thác. Phần còn lại cứ cùng biến ta nhóm với nhau để vận dụng bất đẳng thức Cô-si.

Trình bày lời giải

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

Mặt khác từ giả thiết ta có

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi

Ví dụ 6: Chứng minh rằng: với

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải

Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua, chúng ta nghĩ ngay tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Tuy nhiên sẽ là sai lầm nếu chúng ta nhóm và dùng bất đẳng thức Cô-si như sau:

Sai lầm thứ nhất là sai lầm thứ hai là không đúng với điều kiện

Do vậy chúng ta cần tách và chọn các hạng tử thích hợp. Trước hết dự đoán dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức khi và Sau đó chọn điểm rơi để khử mẫu ở vế trái như sau:

• xác định m bằng cách cho và suy ra Từ đó ta có cách tách

• xác định n bằng cách cho và suy ra Từ đó ta có cách tách

Trình bày lời giải

Ta có vế trái

Áp dụng bất đẳng thức Cô -si, ta có:

Mà nên

Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 7: Cho x; y; z là các số dương

Chứng minh rằng

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

Tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế, ta được

Đẳng thức xảy ra khi cộng lại ta có

Điều này không xảy ra vì

Ví dụ 8: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2005 – 2006)

Giải

Tìm cách giải.Bài toán không có bóng dáng của bất đẳng thức hay cực trị đại số. Tuy nhiên quan sát kỹ phần kết luận (các phần biến có mũ 2), phần giả thiết có căn bậc hai và chỉ cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si một lần cho mỗi hạng tử cũng xuất hiện phần biến mũ 2. Với suy luận tự nhiên như vậy bất đẳng thức Cô-si cho lời giải đẹp.

Trình bày lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ (1) và (2), (3) cộng vế với vế ta được:

Đẳng thức xảy ra khi

Từ (4), (5) và (6) cộng vế với vế ta được:

Điều phải chứng minh

Ví dụ 9: Cho x; y; z là những số dương thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Giải

Tìm cách giải.Quan sát điều kiện của biến x, y, z rất tự nhiên chúng ta thấy cần đổi biến bằng cách đặt Khi đó bất đẳng thức có dạng Nhận thấy vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức là như nhau. Mặt khác là lệch bậc, do vậy sử dụng dụng điều kiện để đưa vô cùng bậc (gọi là cân bằng bậc). Sau đó dùng bất đẳng thức Cô-si đê đánh giá đưa về hằng đẳng thức.

Trình bày cách giải

Chia hai vế của bất đẳng thức cho khi đó bất đẳng thức tương đương với:

Đặt

Khi đó bất đẳng thức có dạng:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

hay

Tượng tự ta có:

Từ (1); (2) và (3) cộng vế với vế ta có:

Hay

Dấu bằng khi

C. Bài tập vận dụng

5.1. Cho a; b; c; d là các số không âm. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ các bất đẳng thức (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng khi

5.2. Cho a; b là các số không âm. Chứng minh rằng:

(Thi học sinh giỏi Toán, lớp 9, tỉnh Quãng Ngãi, năm học 2011- 2012)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Suy ra

Hay

Dấu bằng khi

5.3. Chứng minh rằng: với a, b là các số dương.

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ (1), (2) cộng vế với vế, ta được:

Suy ra

Dấu bằng khi

5.4. Cho

Hãy so sánh S và

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với ta có:

Từ đó suy ra

Hay Điều phải chứng minh

5.5. Cho a, b, c, d dương. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự ta có:

Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi công lại ta có

Điều này không xảy ra vì

5.6. Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất là khi

5.7. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT TP. Hà Nội. năm học 2014-2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Suy ra

Chứng minh tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (2) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của Q khi

5.8. Cho các số a, b, c đều lớn hơn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 khi

5.9. Cho x; y là các số dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ đó suy ra:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 11 khi

5.10. Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1.

Chứng minh:

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2007-2008)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự, ta có:

Từ (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

5.11. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn

Chứng minh rằng:

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2013-2014)

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết suy ra:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Kết hợp với (1) suy ra:

Điều phải chứng minh

5.12. Cho

So sánh P với

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số ta có:

Vậy

5.13. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Cạnh a, b, c thỏa mãn:

Chứng minh tam giác ABC đều.

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2012- 2013)

Hướng dẫn giải – đáp số

Theo giả thiết

Do a, b, c là ba cạnh của tam giác có chi vi bằng 1 nên

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự ta có

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy tam giác ABC là tam giác đều

5.14. Cho x; y; z là các số không âm. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số

Biến đổi vế phải, ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự ta có:

Từ đó suy ra:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Từ đó suy ra

Dấu bằng xảy ra khi

5.15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của

(thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2014-2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

Tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

Từ (4) và (5) suy ra

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 khi

5.16. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có (*)

Từ và

Suy ra hay

Ta có:

Tương tự:

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

5.17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải – đáp số

Vì x, y, z dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Tương tự

Lại có

Từ (3) và (4) có

Điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

5.18. Cho chứng minh rằng:

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Từ ta có

Từ (3) và (4) suy ra (Điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi

5.19. Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn

Chứng minh:

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

(Điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi

5.20. Cho x, y là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. Hồ Chí Minh. năm học 2014-2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có

Ta có và áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 khi

5.21. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn Chứng minh:

(Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên, Tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2013- 2014)

Hướng dẫn giải – đáp số

Do nên ta có

Áp dụng bất đẳng thức

Tương tự

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi

5.22. Giả sử x, y, z là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, ĐHKHTN, Đại học Quốc Gia Hà Nội,năm học 2015- 2016)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự ta có:

Do đó

Mà

Suy ra Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 khi

5.23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi nào?

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Trần Hưng Đạo , tình Bình Thuận, năm học 2015-2016)

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Tương tự a có:

Do đó

Áp dụng bất đẳng thức với ta có

Từ (1), (2) suy ra

Dấu bằng xảy ra khi

5.24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2014-2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Suy ra:

Tương tự

Từ (1), (2) và (3) cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

Vì nên:

Do đó Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của P là khi

5.25. Cho 5 số thực không âm a, b, c, d,e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2014-2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Giả sử Ta xếp 5 số như hình vẽ

V ì nên ta chỉ cần chứng minh

Thật vậy ta có

Vậy luôn luôn tồn tại một cách xếp thỏa mãn đầu bài