Dựng Hình Ngũ Giác đều - Vườn Toán

Trang chủ » Cách Vẽ Hình Bát Giác đều Bằng Compa » Dựng Hình Ngũ Giác đều - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Dựng hình ngũ giác đều

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một cách dựng hình ngũ giác đều bằng thước và compa dựa vào công thức lượng giác sau đây $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$ Chúng ta có thể dễ dàng dựng được hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều (6 cạnh) và hình bát giác đều (8 cạnh). Vậy hình ngũ giác đều (5 cạnh), hình thất giác đều (7 cạnh) và hình cửu giác đều (9 cạnh) thì sao? Hoá ra, dùng thước và compa, chúng ta có thể dựng được hình ngũ giác đều. Nhưng thất giác đều và cửu giác đều thì câu trả lời là không thể! Hôm nay chúng ta sẽ xem xét cách dựng ngũ giác đều, còn thất giác đều và cửu giác đều thì chúng ta để dành cho các kỳ sau. Bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích. Ở hình vẽ sau đây, chúng ta thấy rằng nếu chúng ta dựng được điểm $H$, thì từ điểm $H$, chúng ta có thể dựng được đỉnh $N_3$ và $N_4$, và từ đó chúng ta dễ dàng dựng được hình ngũ giác đều $N_1 N_2 N_3 N_4 N_5$. Vì $$\angle N_3 O H = \frac{1}{2} \angle N_3 O N_4 = \frac{\pi}{5}$$ nên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}}$$ trong đó $r$ là bán kính của đường tròn tâm $O$. Vậy để dựng điểm $H$, chúng ta cần tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$. Tính $\cos{\frac{\pi}{5}}$ Góc $\frac{\pi}{5}$ có tính chất sau đây $$2 \frac{\pi}{5} + 3 \frac{\pi}{5} = \pi$$ cho nên, nếu chúng ta đặt $x = \frac{\pi}{5}$ thì $2 x + 3 x =\pi$, tức là $2x$ và $3x$ là hai góc bù nhau, và chúng ta suy ra $$\cos{2x} = - \cos{3x}.$$ Áp dụng công thức lượng giác cho góc gấp đôi và góc gấp ba chúng ta có $$\cos{2 x} = 2 \cos^2{x} - 1,$$ $$\cos{3 x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x},$$ Từ đây chúng ta lập được phương trình $$2 \cos^2{x} - 1= -(4 \cos^3{x} - 3 \cos{x})$$ $$4 \cos^3{x} + 2 \cos^2{x} - 3 \cos{x} - 1=0$$ Đặt $t = \cos{x}$, chúng ta có phương trình bậc ba $$4 t^3 + 2 t^2 - 3 t - 1=0$$ Chúng ta dễ dàng thấy được $t=-1$ là một nghiệm của phương trình, nên chúng ta phân tích đa thức trên thành thừa số $$4 t^3 + 2 t^2 - 3 t - 1 = (t+1)(4t^2 - 2t-1)=0$$ Giải phương trình bậc hai $$4t^2 - 2t-1=0$$ chúng ta có hai nghiệm trái dấu $$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$$ Vậy $\cos{\frac{\pi}{5}}$ chính là nghiệm số dương, và chúng ta rút ra được công thức cần tìm $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}.$$ Sử dụng định lý Pitago Trở lại với hình vẽ trên $$OH = r \cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5}) r}{4}$$ Để dựng được đoạn $OH$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $(1 + \sqrt{5}) r$ rồi chia nó ra làm 4 phần bằng nhau. Để dựng được đoạn thẳng có độ dài $(1 + \sqrt{5}) r$ thì chúng ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{5} r$. Nói đến số $\sqrt{5}$, chúng ta sực nhớ ra định lý Pitago vì $5 = 1^2 + 2^2$.
Định lý Pitago: $c^2 = a^2 + b^2$.
Định lý Pitago nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Cho nên nếu chúng ta dựng một hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $r$ và $2r$ thì cạnh huyền sẽ bằng $\sqrt{5} r$
$$(r)^2 + (2r)^2 = (\sqrt{5} r)^2$$
Dựng ngũ giác đều Từ sự phân tích ở trên, chúng ta có cách dựng hình ngũ giác đều như sau:
  • Dựng trục tọa độ vuông góc $x'Ox$, $y'Oy$;
  • Lấy $O$ làm tâm dựng đường tròn bất kỳ cắt $Ox$, $Ox'$, $Oy$ lần lượt tại các điểm $X$, $N_1$, $Y$;
  • Dựng điểm $A$ trên tia $Oy$ sao cho $YA=YO$;
  • Dựng điểm $B$ trên tia $Ox$ sao cho $XB=XA$;
  • Dựng trung điểm $C$ của $OB$ và trung điểm $H$ của $OC$;
  • Dựng đường thẳng qua $H$ vuông góc với $Ox$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N_3$, $N_4$;
  • Lấy $N_1$ làm tâm dựng đường tròn bán kính bằng $N_3N_4$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N_2$, $N_5$;
  • Vậy $N_1N_2N_3N_4N_5$ là một ngũ giác đều.
Nếu $r$ ký hiệu bán kính của đường tròn thì ở cách dựng trên chúng ta có $$OA = 2r, ~~XA = \sqrt{5}r, ~~XB = \sqrt{5} r, ~~OB=(1+\sqrt{5})r, ~~OH=(1+\sqrt{5})r/4$$ Như vậy chúng ta đã trình bày xong cách dựng ngũ giác đều. Câu hỏi tổng quát được đặt ra là, với giá trị nào của $n$ thì bằng thước và compa chúng ta có thể dựng được một đa giác đều $n$ cạnh? Phát biểu có vẻ đơn giản vậy nhưng đây thực ra là một bài toán rất khó. Trãi qua hơn ngàn năm, người tìm được bước đột phá đầu tiên cho bài toán là nhà toán học Gauss. Chúng ta sẽ tiếp tục câu chuyện hấp dẫn này ở kỳ sau. Xin hẹn gặp lại các bạn. Labels: dựng hình, định lý Pitago, hình học, lượng giác Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2014 (12)
    • ▼  tháng 2 (2)
      • Công thức lượng giác cho góc bội
      • Dựng hình ngũ giác đều

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Cách Vẽ Hình Bát Giác đều Bằng Compa