Dùng Phương Pháp ABC để Chứng Minh Bất đẳng Thức - Toán Cấp 3

Hôm nay Toán cấp 3 giới thiệu với bạn đọc phương pháp ABC để chứng minh bất đẳng thức. Đây là phương pháp chứng minh bất đẳng thức có thể lạ so với nhiều người.

Đây là lời giới thiệu của tác giả Nguyễn Anh Cường:

“Một lần nữa tôi lại có dịp gặp lại các bạn với một phương pháp chứng minh bất đẳng thức mới. Nếu như phương pháp chính phương hoá đã khơi dậy trong ta bao nhiêu sự thích thú và thỏa thuê khi hàng trăm bài bất đẳng thức khó đã ngã rạp trước sức mạnh của nó thì tôi tin chắc các bạn sẽ còn hạnh phúc hơn với phương pháp này. Các bạn có thể tin được không, khi trước đây chúng ta phải cực khổ lấy giấy nháp ra và biến đối thì bây giờ chúng ta sẽ có thể giải bài toán chỉ với cái lướt nhìn đầu tiên. Nào chúng ta hãy cùng nhau thưởng thức viên kim cương này sẽ cắt bánh chưng ra sao nhé”

Tác giả đã xét một số bài toán với hướng giải và rút ra nhận xét sau đó đưa ra các định lý về việc áp dụng phương pháp ABC để chứng minh bất đẳng thức:

1. Định lý 1: Nếu f (abc,ab + bc + ca,a + b + c) là hàm đơn điệu trên R theo abc thì cực đại và cực tiểu xảy ra khi trong ba số a,b,c có hai số bằng nhau, còn trong tập R + thì xảy ra khi có một số bằng 0 hay có hai số bằng nhau. 2. Định lý 2: Nếu f (abc,ab + bc + ca,a + b + c) là hàm lồi trên R theo abc cực đại xảy ra khi trong ba số a,b,c có hai số bằng nhau, còn trong tập R + thì xảy ra khi có một số bằng 0 hay có hai số bằng nhau. 3. Định lý 3: Nếu f (abc,ab + bc + ca,a + b + c) là hàm lõm trên R theo abc cực tiểu xảy ra khi trong ba số a,b,c có hai số bằng nhau, còn trong tập R + thì xảy ra khi có một số bằng 0 hay có hai số bằng nhau

Và các hệ quả sau:

1. Hệ quả 1: Hàm số f (a + b + c, ab + bc + ca,abc) là một đa thức bậc nhất theo abc đạt cực đại và cực tiểu trong tập R khi có hai biến bằng nhau, trong tập R + khi có hai biến bằng nhau hay một số bằng 0 . 2. Hệ quả 2: Hàm số f (a + b + c, ab + bc + ca,abc) là một tam thức bậc hai theo abc và hệ số bậc cao nhất dương đạt cực đại trong tập R khi có hai biến bằng nhau, trong tập R + khi có hai biến bằng nhau hay một số bằng 0 . 3. Hệ quả 3: Mọi đa thức đối xứng ba biến a,b,c bậc bé hơn hay bằng 5 đạt cực đại và cực tiểu trong tập R khi có hai biến bằng nhau, trong tập R + khi có hai biến bằng nhau hay một số bằng 0 . 4. Hệ quả 4: Mọi đa thức đối xứng ba biến a,b,c bậc bé hơn hay bằng 8 có hệ số của a 2b 2c 2 trong biểu diễn qua dạng f (abc,ab + bc + ca,a + b + c) không âm đạt cực đại trong tập R khi có hai biến bằng nhau, trong tập R + khi có hai biến bằng nhau hay một số bằng 0.

Chi tiết của phương pháp ABC để chứng minh bất đẳng thức các bạn đọc tài liệu dưới đây:

Tags:bất đẳng thức, phương pháp ABC