Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng - Giải Toán Hình Học 11

§4. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2. CÁC TÍNH CHẤT

Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.

Tức là, với d $\alpha$ thì nếu:

d // a $\subset$ $\alpha$ ⇒ d // $\alpha$.

Định lí 2:

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$ thì bất kỳ một mặt phẳng nào chứa d mà cắt $\alpha$ thì sẽ cắt mặt phẳng đó theo một giao tuyến song song với d.

Tức là:

Hệ quả:

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$. Nếu từ một điểm M của $\alpha$ dựng đường thẳng a song song với d thì đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $\alpha$.

Tức là:

Định lí 3:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là:

Định lí 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Qua đường thẳng này, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.

Tức là, với a, b chéo nhau thì:

Hệ quả: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Từ một điểm bất kỳ không thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với 2 đường thẳng đã cho.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng $\alpha$ ta chứng minh d không nằm trong $\alpha$ và song song với một đường thẳng a chứa trong $\alpha$.

Chú ý: Nếu a không có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng $\beta$ chứa d và nhận a làm giao tuyến của $\alpha$ và $\beta$.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta$ABD và $\Delta$ACD. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1:

Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD.

Trong $\Delta$ABD, ta có ngay:

Trong $\Delta$ACD, ta có ngay:

Từ đó, ta lần lượt có:

Cách 2:

Gọi E là trung điểm của AD.

Trong $\Delta$ABD, ta có ngay:

Trong $\Delta$ACD, ta có ngay:

Từ đó, ta có:

Vì BC thuộc (BCD) và (ABC) nên $G_{1}G_{2}$ // (BCD) và $G_{1}G_{2}$ // (ABC).

Ví dụ 2: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Gọi P là trung điểm của SA.

a. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b. Chứng minh rằng SB song song với (MNP).

c. Chứng minh rằng SC song song với (MNP).

d. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta$ABC và $\Delta$SBC. Chứng minh $G_{1}G_{2}$ song song với (SAD).

Giải

a. Trong hình bình hành ABCD, ta có MN là đường trung bình, do đó:

MN // BC $\subset$ (SBC) ⇒ MN // (SBC).

MN // AD $\subset$ (SAD) ⇒ MN // (SAD).

b. Trong $\Delta$SAB, ta có MP là đường trung bình, do đó:

SB // MP $\subset$ (MNP) ⇒ SB // (MNP).

c. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta có:

⇒ Kx // AD // MN.

Giả sử Px cắt SD tại Q, suy ra Q là trung điểm SD.

Trong $\Delta$SCD, ta có NQ là đường trung bình, do đó:

SC // NQ $\subset$ (MNP) ⇒ SC // (MNP).

Cách 2: Gọi O là trung điểm MN, suy ra O là trung điểm AC.

Trong $\Delta$SAC, ta có OP là đường trung bình, do đó:

SC // OP $\subset$ (MNP) ⇒ SC // (MNP).

d.

Gọi K là trung điểm SB, ta có:

⇒ $G_{1}G_{2}$ // MK. (1)

Mặt khác, trong $\Delta$SAB, ta có MK là đường trung bình, do đó:

MK // SA. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$G_{1}G_{2}$ // SA $\subset$ (SAD) ⇒ $G_{1}G_{2}$ // (SAD).

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng $\alpha$.

a. Giả sử a // b và b // $\alpha$, có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a với $\alpha$.

b. Giả sử a // $\alpha$ và b // $\alpha$, có thể kết luận gì về vị trí tương đối của a với b.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG song song với (ACD).

Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a. Gọi O và O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b. M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song với (CDEF).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD, gọi O, O' lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng:

a. Điều kiện cần và đủ để OO' song song với (BCD) là:

b. Điều kiện cần và đủ để OO' song song với 2 mặt phẳng (BCD) và (ACD) là BC = BD và AC = AD.

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Tìm phương giao tuyến bằng định lí 2 hoặc định lí 3

2. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Có thể hay không cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để:

a. Thiết diện là hình thang

b. Thiết diện là hình bình hành?

c. Thiết diện là hình thoi?

Giải

a. Thiết diện có thể là hình thang, cụ thể nếu mặt phẳng chứa MN (với M $\in$ AB và N $\in$ AC) và song song với AD.

Khi đó, thiết diện được xác định như sau:

• Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F.

• Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt BD tại F.

Từ đó, suy ra:

NE // MF ⇒ MNEF là hình thang.

b. Thiết diện có thể là hình bình hành, cụ thể nếu mặt phẳng đi M (với M $\in$ AB) song song với AD và BC.

Khi đó, thiết diện được xác định như sau:

• Trong (ABC) kẻ Mt song song với BC và cắt AC tại N.

• Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F.

• Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt CD tại E.

Khi đó, từ cách dựng ta suy ra MF // NE. (1)

Mặt khác, ba mặt phẳng (MNEF), (ABC) và (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, BC, EF và MN // BC nên MN // EF. (2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện MNEF là hình bình hành.

c. Thiết diện có thể là hình thoi, cụ thể với thiết diện được dựng như trong câu b). Khi đó, để MNEF là hình thoi điều kiện là:

MN = MF. (*)

Ta có:

Khi đó, điều kiện (*) trở thành:

Vậy, mặt phẳng (P) đi qua điểm M (với M $\in$ AB sao cho ) song song với AD và BC sẽ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình thoi.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a, b. Chứng tỏ rằng nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.

Giải

Vì a song song với b nên a và b đồng phẳng.

Giả sử:

a $\cap$ (P) = {M} ⇒ (a, b) $\cap$ (P) = Mx.

Trong mặt phẳng (a, b) vì a song song với b và a cắt Mx tại M nên b cũng sẽ cắt Mx tại N.

Vậy, ta được b $\cap$ (P) = {N}.

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi E là điểm nằm trong $\Delta$ABC. Mặt phẳng $\alpha$ qua E song song với các đường thẳng AC và BD. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng $\alpha$. Thiết diện là hình gì ?

Giải

Ta lần lượt có:

và Ex cắt AB và BC theo thứ tự tại M và Q.

Ba mặt phẳng $\alpha$, (ABC) và (ACD) cắt nhau theo ba giao tuyến MQ, AC, NP và MQ // AC nên MQ // NP

Vậy, thiết diện MNPQ là hình bình hành.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Giải

Thiết diện được xác bằng cách:

• Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Mx song song với BD, Mx cắt AC và AD theo thứ tự tại I và N.

• Trong mặt phẳng (SAB) kẻ My song song với SA, My cắt SB tại R.

• Trong mặt phẳng (SAC) kẻ Iz song song với SA, Iz cắt SC tại Q.

• Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Nt song song với SA, Nt cắt SD tại P.

Khi đó, ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB và CD. $\alpha$ là mặt phẳng qua MN và song song với SC.

a. Tìm các giao tuyến của $\alpha$ với các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SAC).

b. Xác định thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng $\alpha$.

Giải

a. Nhận xét rằng:

Gọi K là giao điểm của EN với AC, ta có:

⇒ Kz // SC và Kz cắt SA tại H.

b. Nối MH, FH ta được ngũ giác MENFH chính là thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng $\alpha$.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. $\alpha$ là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, $\alpha$ cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.

a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân.

b. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AM, (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích.

Giải

a. Ta lần lượt có:

Nhận xét rằng:

Vậy, thiết diện MNPQ là hình thang cân.

b. Giả sử AB cắt CD tại I, ta có:

⇒ AD là đường trung bình của $\Delta$IBC

do đó IA = AB = b và:

Trong $\Delta$SBC, ta có:

Trong $\Delta$SAB, ta có:

Xét hình thang cân MNPQ, hạ đường cao QH, ta có:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là 2 điểm trên AB, CD, $\alpha$ là mặt phẳng qua MN và song song với SA.

a. Tìm các giao tuyến của $\alpha$ với (SAB) và (SAC).

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\alpha$.

c. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $\alpha$ chuyển động luôn song song với BC và đồng thời đi qua trung điểm $C_{1}$ của cạnh SC.

a. Mặt phẳng $\alpha$ cắt các cạnh SA, SB, SD lần lượt tại $A_{1}$, $B_{1}$, $D_{1}$. Thiết diện $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ là hình gì ?

b. Chứng minh $\alpha$ luôn chứa một đường thẳng cố định.

c. Xác định thiết diện mà $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD. Định M để thiết diện là hình bình hành.

d. Gọi M là giao điểm của $A_{1}C_{1}$ và $B_{1}D_{1}$. Chứng minh rằng khi $\alpha$ thay đổi thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC, $\alpha$ là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

a. Chứng minh $\alpha$ luôn chứa một đường thẳng cố định.

b. Tìm các giao điểm H và K của $\alpha$ với SB, SD. Chứng minh rằng có giá trị không đổi.

c. Thiết diện của hình chóp với $\alpha$ có thể là hình thang được không?

Bài 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. M và P là 2 điểm di động trên các cạnh AD và BC, sao cho AM = CP = x, (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.

a. Chứng minh thiết diện thông thường là hình thang cân.

b. Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. M là điểm chuyển động trên cạnh SC và $\alpha$ là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.

a. Chứng minh rằng mặt phẳng $\alpha$ luôn chứa một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC.

b. Mặt phẳng $\alpha$ cắt SB, SD theo thứ tự tại E và F. Hãy trình bày cách dựng điểm E và F.

c. Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, A thẳng hàng.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang. M là điểm bất kì trên cạnh AB và c là mặt phẳng qua M song song với AD và SB.

d. Mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?

e. Chứng minh rằng $\alpha$ song song với SC.

Bài 11. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c (a > b > c). Một mặt phẳng $\alpha$ song song với AB và CD, cắt tứ diện theo một thiết diện có chu vi p và diện tích s.

a. Định $\alpha$ để p lớn nhất, nhỏ nhất.

b. Định $\alpha$ để s lớn nhất. Tính diện tích ấy.

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $\alpha$ trong 2 trường hợp sau:

a. $\alpha$ qua M và song song với SO và AD.

b. $\alpha$ qua O và song song với AM và SC.

Bài 13. Cho tứ diện đều ABCD canh a. Gọi I là trung điểm của AC, J là một điểm trên cạnh AD sao cho AJ = 2JD. M là một điểm di động trong tam giác BCD sao cho mặt phẳng (MIJ) luôn song song với AB.

a. Tìm hợp điểm M.

b. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MIJ).

Bài 14. Cho hình chóp S.ABC, O là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua O vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự tại A', B', C'.

a. Chỉ cách dựng các điểm A', B', C'.

b. Chứng minh rằng tổng có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác ABC.

c. Định O để OA'.OB'.OC' có giá trị lớn nhất.

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M và P là 2 điểm lần lượt di động trên AD và SC sao cho

a. Chứng minh rằng MP luôn luôn song song với một mặt phẳng $\alpha$ cố định.

b. Tìm giao điểm I của mặt phẳng (SBD) với MP.

c. Mặt phẳng qua M và song song với $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi.

d. Định x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích $\Delta$SAB, với k dương cho trước.

Bài 16. Cho hình hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với AD // BC. M là một điểm di động bên trong tứ giác ABCD. Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA, SB cắt các mặt phẳng (SBC) và (SAD) theo thứ tự tại N và P.

a. Nêu cách dựng các điểm N, P.

b. Chứng minh không đổi.

c. Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích tam giác MNP có giá trị lớn nhất.