Đường Trung Tuyến Là Gì? Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập

Có thể bạn quan tâm

Đường trung tuyến là một trong những phần kiến thức rất quan trọng trong toán học. Dưới đây là toàn bộ kiến thức bao gồm cả lý thuyết và bài tập về nội dung này. Các bạn hãy theo dõi kỹ phần công thức và định nghĩa rồi sau đó áp dụng làm các bài tập bên dưới.

Các Nội Dung Chính

Đường trung tuyến là gì ?
Công thức tính đường trung tuyến:
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Bài tập về đường trung tuyến

Đường trung tuyến là gì ?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

+ Đường trung tuyến trong một tam giác được định nghĩa như sau: Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

+ Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác ABC có I là trung điểm của cạnh BC thì AI là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu I,M,N lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB. Thì AI,CN,BM là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Công thức tính đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó cách tính độ tài đường trung tuyến sẽ như sau

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường

Bao gồm 3 tính chất sau đây

Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm.
Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau. Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

Xem thêm video bên dưới để hiểu rõ hơn

Xem thêm: 11 Cách Chứng Minh Hai Đường Thẳng Vuông Góc và Bài Tập Áp Dụng

Bài tập về đường trung tuyến

Dưới đây là những bài tập tham khảo về phần kiến thức này cho các em học sinh luyện tập

Bài tập 1

Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?

c) DE = DF = 13cm, EF = 10cm. tính DI.

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Tính số đo góc ABD

b) Chứng minh : ABC = BAD.

c) So sánh độ dài AM và BC.

Bài tập 3

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.

b) Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.

c) Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G, I là trung điểm của AF. Chứng minh : 3 điểm K, G và I thẳng hàng.

Bài tập 4

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8cm, BC = 10cm.trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G.

Tính AC, AE.
Tính BE, BG.

Bài tập 5

Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.

Tam giác BGC là tam giác gì ?
So sánh tam giác BCD và tam giác CBE.
Tam giác ABC là tam giác gì ?

Bài tập 6

Cho tam giác ABC có BC = 2BA. BD là đường phân giác. Chứng minh : CD = 2DA.

Bài tập 7

Hai đường tr.ung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI.

Bài tập 8

Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.
CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE.

Bài tập 9

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

Tính AD.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.

Bài tập 10