Exercices Math Sup : Polynômes - BibM@th

$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$ AccueilLycéeSupérieurBibliothèquesRéférencesThèmesForumMon compteFaire un donCollègeSecondeGrand OralMath SupMath SpéCapesAgreg interneBTSBibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmesAutomatismesDictionnaireBiographiesFormulaireLexique français / anglaisCryptographie et codes secretsJeux et énigmesMathématiques au quotidienDossiersAccueilLycéeCollègeSecondeGrand OralSupérieurMath SupMath SpéCapesAgreg interneBTSBibliothèquesBibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmesAutomatismesRéférencesDictionnaireBiographiesFormulaireLexique français / anglaisThèmesCryptographie et codes secretsJeux et énigmesMathématiques au quotidienDossiersForumMon compteFaire un donRessources mathématiques > Documents pour la math sup > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices math sup : PolynômesOpérations sur les polynômes - Formule de Taylor Exercice 1 - Carrés ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$?Indication Procéder par identification.Corrigé Si $P=Q^2$ est le carré d'un polynôme, alors $Q$ est nécessairement de degré 2, et son coefficient dominant est égal à $1$ ou est égal à $-1$. Dans le premier cas, on peut donc écrire $Q(X)=X^2+cX+d$. On a alors $$Q^2(X)=X^4+2cX^3+(2d+c^2)X^2+2cdX+d^2.$$ Par identification, on doit avoir $2c=2a$, $2d+c^2=b$, $2cd=2$ et $d^2=1$. On trouve donc $c=a$ et $d=\pm 1$. Si $d=1$, alors $c=1$, et donc $a=1$ et $b=3$. Si $d=-1$, alors $c=-1$, $a=-1$ et $b=-1$. Les deux solutions sont donc \begin{eqnarray*} P_1(X)&=&X^4+2X^3+3X^2+2X+1=(X^2+X+1)^2\\ P_2(X)&=&X^4-2X^3-X^2+2X+1=(X^2-X-1)^2. \end{eqnarray*} Dans le deuxième cas, on écrit $Q(X)=-R(X)$ avec $R(X)=X^2+cX+d$, de sorte que $Q^2(X)=R^2(X)$ et on retrouve en réalité le cas précédent. Exercice 2 - Quelques équations ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\mathbb R[X]$ : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ P(X^2 ) = (X^2 + 1)P(X)&\quad&\mathbf{2.}\ P'^2=4P\\ \mathbf{3.}\ P\circ P=P. \end{array}$$Indication Déterminer d'abord le degré éventuel d'une solution.Corrigé

1. Le polynôme nul est évidemment solution. Sinon, si $P$ est solution, alors on a $$2\deg(P)=\deg(P)+2$$ ce qui prouve que $\deg(P)$ doit être égal à 2. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors \begin{eqnarray*} P(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\ (X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c. \end{eqnarray*} On en déduit que $b=0$, puis que $a+c=0$. Les solutions sont donc les polynômes qui s'écrivent $P(X)=a(X^2-1)$, $a\in\mathbb R$.
2. Là encore, le polynôme nul est solution, et c'est la seule solution constante. Par ailleurs, si $P$ est une solution non constante, alors son degré vérifie l'équation $$2(\deg(P)-1)=\deg(P)$$ ce qui entraîne que $\deg(P)=2$. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors \begin{eqnarray*} P'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\ 4P&=&4aX^2+4bX+4c. \end{eqnarray*} Ceci entraîne $a^2=a$, donc $a=1$ (le polynôme est de degré $2$, $a\neq 0$), puis $c=b^2/4$. Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes $P(X)=X^2+bX+b^2/4$, avec $b\in\mathbb R$.
3. Si $P$ est une solution qui n'est pas le polynôme nul, alors le degré de $P\circ P$ vaut $\deg(P)^2$, et donc on a l'équation $$\deg(P)^2=\deg(P).$$ et donc $\deg(P)=1$ ou $\deg(P)=0$. Maintenant, si $P(X)=aX+b$, alors \begin{eqnarray*} P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b=a^2X+(ab+b)\\ P(X)&=&aX+b. \end{eqnarray*} On doit donc avoir $a^2=a$, soit $a=1$ ou $a=0$, et $ab=0$. Si $a=1$, alors $b=0$ et si $a=0$, alors $b$ peut être quelconque dans $\mathbb R$. Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme $P(X)=X$.

Exercice 3 - Le polynôme dérivé divise le polynôme ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$.Indication Remarquer que $P$ s'écrit $\lambda(X-\alpha)P'$, puis appliquer la formule de Taylor en $\alpha$.Corrigé Puisque $P'|P$, $P=QP'$, et les considérations de degré font que $Q$ est de degré 1. On peut donc écrire : $$P=\lambda(X-\alpha)P'.$$ On applique ensuite la formule de Taylor à $P$ en $\alpha$ : $$P(X)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k,$$ $$P'(X)=\sum_{k=1}^n \frac{k P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k-1},$$ $$\lambda(X-\alpha)P'(X)=\sum_{k=1}^n\frac{\lambda k P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}.$$ Par identification, on obtient, pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$ : $$\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(\lambda k-1)=0.$$ Maintenant, $P^{(n)}(\alpha)\neq 0$, et donc $\lambda=1/n$. Ceci entraîne par suite que, pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n-1\}$, on a : $$P^{(k)}(\alpha)=0.$$ Ainsi, $$P(X)=\frac{P^{(n)}(\alpha)}{n!}(X-\alpha)^n,$$ ce qui prouve que $P(X)=K(X-\alpha)^n$, où $K$ est une constante. La réciproque se vérifie aisément. Division euclidienne Exercice 4 - En pratique! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de

1. $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;
2. $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;
3. $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.

Corrigé On trouve les résultats suivants :

1. Le quotient est $X^2+2X+7$, le reste est nul;
2. Le quotient est $X^2-3X-5$, le reste est $X+3$;
3. Le quotient est $X^3-X-1$, le reste est $X+3$.

Exercice 5 - Expression du reste ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a,b\in\mathbb K$ avec $a\neq b$.

1. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.
2. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.

Indication

1. $R$ est de degré au plus 1. Évaluer en $a$, et en $b$.
2. $R$ est de degré au plus 1. Évaluer en $a$, puis dériver...

Corrigé Dans les deux cas, on remarquera que $R$ est de degré au plus $1$ et s'écrit donc $R(X)=\alpha X+\beta$.

1. Évaluons la relation $$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta$$ en $a$ et en $b$. On trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha a +\beta &=&P(a)\\ \alpha b +\beta &=&P(b). \end{array}\right.$$ On en déduit alors facilement que $$\alpha=\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\textrm{ et }\beta=\frac{aP(b)-bP(a)}{a-b}.$$
2. Évaluons la relation $$P(X)=(X-a)^2Q(X)+\alpha X+\beta$$ au point $a$. On trouve $P(a)=a\alpha+\beta$. Dérivons maintenant la relation précédente : $$P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)+\alpha.$$ On évalue à nouveau en $a$ et on trouve que $$\alpha=P'(a).$$ En revenant à la première équation, on en déduit que $\beta=P(a)-aP'(a).$

Exercice 6 - Reste par un produit ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\in\mathbb R[X]$, $a,b\in\mathbb R$, $a\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?Indication Que vaut $P(a)$? $P(b)$? Comment en déduire le reste?Corrigé On sait que $P(X)=(X-a)Q_1(x)+1$, et donc $P(a)=1$. De même, on a $P(b)=-1$. La division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ s'écrit $$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta.$$ On évalue cette relation en $a$ et en $b$, et on trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha a+\beta&=&1\\ \alpha b+\beta&=&-1. \end{array}\right. $$ La résolution de ce système ne pose pas de difficultés et donne comme unique solution $$\alpha=\frac{2}{a-b}\textrm{ et }\beta=\frac{-a-b}{a-b}.$$ Le reste recherché est donc $$\frac{2}{a-b}X+\frac{-a-b}{a-b}.$$ Exercice 7 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par $$ \mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1? $$ Indication Écrire a priori la division euclidienne, et tester la relation pour les racines du polynôme $X^2-3X+2$,...Corrigé On rappelle qu'on note $j$ le nombre complexe $j=-\frac12+i\frac{\sqrt 3}2$.

1. La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même. On commence par écrire a priori le résultat de la division euclidienne, par exemple pour le premier polynôme : $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-3X+2)+aX+b,$$ où $a$ et $b$ sont deux réels. On évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici $1$ et $2$. On trouve alors $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2^n-2&=&a+b\\ 3^{n}-2^n-1&=&2a+b. \end{array}\right.$$ Et finalement on résout le système pour trouver $a$ et $b$, qui sont ici égaux à : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&3^n-2^{n+1}+1\\ b&=&-3^n+2^{n+1}+2^n-3. \end{array}\right.$$
2. On peut toujours écrire que, par division euclidienne, il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b,$$ et on utilise cette fois que les racines de $X^2+X+1$ sont $j$ et $j^2$. Il suffit ici en réalité d'utiliser l'évaluation en $j$, sachant que tout nombre complexe s'écrit de façon unique sous la forme $x+jy$, avec $x,y\in\mathbb R$. On trouve : $$(1+j)^n-j^n-1=Q(j)\times 0+aj+b.$$ On distingue ensuite suivant la valeur de $n$ modulo $3,$ utilisant que $1+j+j^2=0$ qui donne $$(1+j)^n-j^n-1=(-1)^nj^{2n}-j^n-1.$$
   • Si $n\equiv 0\ [3]$, alors $j^{2n}=j^n=1$, et donc on a $$(-1)^n-2=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=0$ et $b=(-1)^n-2.$ Ainsi le reste est $(-1)^n-2$.
   • Si $n\equiv 1\ [3]$, alors $j^{n}=j$ et donc $j^{2n}=j^2=-1-j$, $j^n=j$, ce qui donne $$\big((-1)^{n+1}-1\big)j+\big( (-1)^{n+1}-1\big)=aj+b.$$ On identifie les coefficients et on trouve $$a=b=(-1)^{n+1}-1.$$ Le reste est donc $\big((-1)^{n+1}-1\big)(X+1).$
   • Si $n\equiv 2\ [3]$, alors $j^{2n}=j$ et $j^{n}=j^2=-1-j$. On trouve $$\big( (-1)^n +1\big)j=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=(-1)^n +1$ et $b=0.$ Le reste est alors $\big( (-1)^n +1\big)X.$
3. On recommence en écrivant $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-2X+1)+aX+b,$$ avec $a$ et $b$ deux réels, et on remarque que $X^2-2X+1$ a pour racine double $1.$ Si on évalue en $1,$ on obtient une seule relation, à savoir $$2^n-2=a+b.$$ Pour obtenir une seconde relation, il faut dériver la relation issue de la division euclidienne et l'évaluer à nouveau en 1 (c'est toujours cette méthode qui fonctionne pour une racine double). On trouve : $$n(X+1)^{n-1}-nX^{n-1}=Q'(X)(X^2-2X+1)+2Q(X)(X-1)+a,$$ ce qui donne la relation $$n2^{n-1}-n=a.$$ On retrouve alors sans problèmes $b$, qui est égal à : $$b=(2-n)2^{n-1} +n-2.$$

Exercice 8 - Ils divisent! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que

1. $X^{n+1}\cos\big((n-1)\theta\big)-X^n\cos(n\theta)-X\cos\theta+1$ est divisible par $X^2-2X\cos\theta+1$;
2. $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ est divisible par $(X-1)^2$.

Indication Utiliser les racines de $X^2-2X\cos\theta+1$ et $(X-1)^2$.Corrigé

1. Pour prouver que $X^2-2X\cos\theta+1$ divise $X^{n+1}\cos\big((n-1)\theta\big)-X^n\cos(n\theta)-X\cos\theta+1$, il suffit de prouver que ce dernier polynôme s'annule en les deux racines (complexes) de $X^2-2X\cos\theta+1$, à savoir $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. Il suffit de prouver le résultat pour $e^{i\theta}$ car, le polynôme étant réel, si $z$ est racine, son conjugué $\bar z$ est racine. On trouve \begin{eqnarray*} &e^{i(n+1)\theta}\cos\big((n-1)\theta\big)-e^{in\theta}\cos(n\theta)-e^{i\theta}\cos\theta+1=\\ &\Big(\cos\big((n+1)\theta\big)\cos\big((n-1)\theta\big)-\cos^2(n\theta)-\cos^2\theta+1\Big)+\\ &i\Big(\sin\big((n+1)\theta\big)\cos\big((n-1)\theta\big)-\sin(n\theta)\cos(n\theta) -\sin\theta\cos\theta\Big). \end{eqnarray*} Le reste n'est plus qu'une affaire de formules de trigonométrie : \begin{eqnarray*} \cos\big((n+1)\theta\big)\cos\big((n-1)\theta\big)&=&\frac12\Big(\cos(2n\theta)+\cos(2\theta)\Big)\\ \cos^2(n\theta)&=&\frac12\Big(\cos(2n\theta)+1\Big)\\ \cos^2\theta&=&\frac12\Big(\cos(2\theta)+1\Big)\\ \sin\big((n+1)\theta\big)\cos\big((n-1)\theta\big)&=&\frac12\Big(\sin(2n\theta)+\sin(2\theta)\Big)\\ \sin(n\theta)\cos(n\theta)&=&\frac12\sin(2n\theta)\\ \sin\theta\cos\theta&=&\frac12\sin(2\theta). \end{eqnarray*} En faisant les bonnes sommes et différences des relations précédentes, on trouve bien que $$e^{i(n+1)\theta}\cos\big((n-1)\theta\big)-e^{in\theta}\cos(n\theta)-e^{i\theta}\cos\theta+1=0.$$
2. Cette fois, on a affaire à une racine d'ordre $2$, et il suffit de prouver que $1$ est racine de $P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ et de $P'(X)=n(n+1)X^{n}-n(n+1)X^{n-1}$, ce qui est évident... Pour justifier cela, on peut faire appel à la partie du cours consacrée aux racines, ou partir de la division euclidienne $$nX^{n+1}-(n+1)X^n+1=Q(X)(X-1)^2+aX+b.$$ Faire $X=1$ dans la relation précédente donne $a+b=0$. De plus, si on dérive la relation précédente et qu'on fait à nouveau $X=1$, on obtient $a=0$.

Exercice 9 - Divisibilité et composition ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $A,B,P\in\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\circ P|B\circ P$. Démontrer que $A|B$.Indication Écrire à priori la division euclidienne de $B$ par $A$, puis composer par $P$.Corrigé On écrit la division euclidienne de $B$ par $A$, $B=AQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(A)$. On compose alors par $P$, et on obtient $B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$. Or, le polynôme $A\circ P$ a pour degré $\deg(A)\times\deg(P)$. Le polynôme $R\circ P$ a pour degré $\deg(R)\times\deg(P)$. On en déduit que $\deg(R\circ P)<\deg(A\circ P)$ et donc que $B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$ est la division euclidienne de $B\circ P$ par $A\circ P$. Mais on sait que $A\circ P|B\circ P$ et donc on en déduit que $R\circ P$ est égal à 0. Ceci n'est possible que si $R=0$, et donc $A|B$. Exercice 10 - Un reste ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n$, $p$ deux entiers naturels non nuls et soit $P(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ un polynôme de $\mathbb C[X]$. Pour chaque $k\in\{0,\dots,n\}$, on note $r_k$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $p$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$ est le polynôme $R(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^{r_k}$.Indication Démontrer que $X^p-1$ divise $P-R$.Corrigé On va démontrer que $X^p-1$ divise $P-R$. En effet, le degré de $R$ est inférieur strict à $p$, et $R$ sera bien le reste dans la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$. On écrit alors que $$P-R=\sum_{k=0}^n a_k (X^k-X^{r_k}),$$ et il suffit de prouver que $X^p-1$ divise chaque $X^k-X^{r_k}$. Si $k<p$, alors $r_k=k$ et donc $X^p-1$ divise $X^k-X^{r_k}=0.$ Sinon, écrivons $k=mp+r_k$, avec $m\geq 1,$ d'où l'on tire $$X^k-X^{r_k}=X^{r_k}(X^{mp}-1)=X^{r_k}(X^p-1)(1+X^p+\dots+X^{(m-1)p}).$$ $X^p-1$ divise bien $P-R$! Arithmétique Exercice 11 - Calculs de pgcd ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les pgcd suivants :

1. $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;
2. $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;
3. $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\geq 1$.

Indication On applique l'algorithme d'Euclide pour les deux premiers. Pour le troisième, commencer par déterminer les diviseurs de $Q$.Corrigé

1. On applique l'algorithme d'Euclide. Le dernier reste non-nul donne un pgcd des deux polynômes. On a successivement : \begin{eqnarray*} X^4-3X^3+X^2+4&=&(X^3-3X^2+3X-2)X+(-2X^2+2X+4)\\ X^3-3X^2+3X-2&=&(-2X^2+2X+4)\left(\frac{-X}2+1\right)+3X-6\\ (-2X^2+2X+4)&=&(3X-6)\times\left(\frac{-2X}{3}-\frac 23\right). \end{eqnarray*} Un pgcd est donc $3X-6$ (ou $X-2$).
2. On répète le même procédé : \begin{eqnarray*} X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1&=&(X^5-X^4+2X^2-2X+1)1+2X^3-4X^2+4X-2\\ X^5-X^4+2X^2-2X+1&=&(2X^3-4X^2+4X-2)((X^2)/2+X/2)+X^2-X+1\\ 2X^3-4X^2+4X-2&=&(X^2-X+1)(2X-2)+0\\ \end{eqnarray*} Un pgcd des deux polynômes est donc $X^2-X+1$.
3. Les diviseurs non-constants de $Q$ sont les polynômes du type $c(X-1)^p$, avec $1\leq p\leq n$. Parmi ces diviseurs, seuls ceux de la forme $c(X-1)$ divisent aussi $P$ (par exemple, car $1$ est racine simple et non double de $P$, ou bien parce qu'on sait comment décomposer $P$ en produits d'irréductibles...). Ainsi, $P\wedge Q=X-1$.

Exercice 12 - Équation de Bezout ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et $B(X)=X^5-1$.Indication Utiliser l'algorithme d'Euclide.Corrigé On utilise l'algorithme d'Euclide. On a \begin{eqnarray*} X^7-X-1&=&(X^5-1)X^2+X^2-X-1\\ X^5-1&=&(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)+5X+2\\ X^2-X-1&=&(5X+2)(X/5-7/25)-11/25. \end{eqnarray*} On remonte ensuite les calculs. On va partir plutôt de $$11=-25(X^2-X-1)+(5X-7)(5X+2)$$ pour éviter de trainer des fractions. On trouve alors successivement : \begin{eqnarray*} 11&=&-25(X^2-X-1)+(5X-7)\big((X^5-1)-(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)\big)\\ &=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^2-X-1)+(5X-7)(X^5-1)\\ &=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^7-X-1)+(5X^6-2X^5+3X^4+X^3+4X^2+5X-7)(X^5-1). \end{eqnarray*} Il suffit de diviser par 11 pour obtenir les polynômes $U$ et $V$. Exercice 13 - Polynômes ayant un facteur commun ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\mtc[X]$ non constants. Montrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\in\mtc[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\deg(A)<\deg(Q)$, $\deg(B)<\deg(P)$.Indication Utiliser le théorème de Gauss.Corrigé Supposons que $P$ et $Q$ ont un facteur commun $D$. On factorise $P=DB$ et $Q=DA$, $A$ et $B$ vérifient les conditions voulues. Réciproquement, si $P\wedge Q=1$ et $AP=BQ$, alors $P|BQ$ et par le théorème de Gauss $P|B$. Ceci contredit les contraintes imposées à $B$. Exercice 14 - Pgcd de deux polynômes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n,m\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.Indication Effectuer la division euclidienne de $X^n-1$ par $X^m-1$. On pourra écrire $n=mq+r$.Corrigé Une idée possible est d'appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de ces deux polynômes. On suppose par exemple $n>m$, et on écrit $n=mp+r$, avec $0\leq r<m$. Alors on a : $$X^n-1=X^{mp+r}-1=X^r(X^{mp}-1)+X^r-1.$$ Le point crucial est que $X^{mp}-1$ est divisible par $X^m-1$. En effet, $$X^{mp}-1=(X^m-1)(X^{m(p-1)}+X^{m\big((p-1)-1\big)}+\dots+X^m+1).$$ Ainsi, $\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=\textrm{pgcd}(X^m-1,X^r-1)$. Mais puisque $\textrm{pgcd}(n,m)=\textrm{pgcd}(m,r)$, on en déduit finalement que $$\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\textrm{pgcd}(n,m)}-1.$$ Racines Exercice 15 - Ordre de multiplicité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est, pour $n\geq 1$, l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine du polynôme $$P_n(X)=nX^{n+2}-(4n+1)X^{n+1}+4(n+1)X^n-4X^{n-1}?$$Indication Dériver!Corrigé On vérifie d'abord que $P_n(2)=0$ et donc que $2$ est racine de $P_n$. Ensuite, on calcule la dérivée : $$P_n'(X)=n(n+2)X^{n+1}-(4n+1)(n+1)X^n +4n(n+1)X^{n-1}-4(n-1)X^{n-2}$$ (si $n=1$, le dernier terme est interprété comme le polynôme nul). En particulier, on a \begin{eqnarray*} P_n'(2)&=&n(n+2)2^{n+1}-(4n+1)(n+1)2^n +4n(n+1)2^{n-1}-4(n-1)2^{n-2}\\ &=&2^{n-2}\big( 8n(n+2)-4(4n+1)(n+1)+8n(n+1)-4(n-1)\big)\\ &=&0 \end{eqnarray*} On dérive une fois encore : $$P_n''(X)=n(n+1)(n+2)X^n-(4n+1)n(n+1)X^{n-1}+4n(n+1)(n-1)X^{n-2}-4(n-1)(n-2)X^{n-3},$$ d'où l'on tire \begin{eqnarray*} P_n''(2)&=&2^{n-3}\big(8n(n+1)(n+2)-4(4n+1)n(n+1)+8n(n+1)(n-1)-4(n-1)(n-2)\big)\\ &=&2^n(2n-1) \end{eqnarray*} Puisque $2n-1$ ne s'annule pas quand $n$ est un entier, on a $P_n(2)=P_n'(2)=0$ et $P_n''(2)\neq 0$. $2$ est racine de multiplicité 2 de $P_n$. On aurait aussi factoriser $P$ sous la forme $P(X)=X^{n-1}Q(X)$ et étudier (par la même méthode) la multiplicité de $2$ comme racine de $Q.$ Exercice 16 - Racines rationnelles ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$, avec $a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$ avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$ admet-il des racines dans $\mathbb Q$?Indication Mettre tout au même dénominateur.Corrigé On écrit que $P(p/q)=0$ et on met tout au même dénominateur en multipliant par $q^n$. On trouve $$a_np^n +a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.$$ On commence par isoler $a_0q^n$ et on trouve que $$p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\dots+a_1q^{n-1})=-a_0q^n.$$ En particulier, $p|a_0q^n$. Puisque $p\wedge q=1$, on en déduit que $p|a_0$. De même, en isolant $a_np^n$, on trouve $$q(a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_0q^{n-1})=-a_np^n,$$ soit $q|a_n p^n$, soit, puisque $p\wedge q=1$, $q|a_n$. Par conséquent, si le polynôme $X^5-X^2+1$ admet une racine rationnelle $p/q$, alors $p|1$ et $q|1$, et donc $p=\pm 1$ et $q=\pm 1$. Autrement dit, les seules racines rationnelles possibles sont $1$ et $-1$. Or, elles ne sont pas racines de $P$. Donc $P$ n'admet pas de racines rationnelles. Exercice 17 - Polynômes définis par certaines valeurs ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé

1. Déterminer un polynôme de degré $2$ tel que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$. Ce polynôme est -il unique?
2. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$.

Indication

1. Utiliser les polynômes de Lagrange.
2. Retirer le polynôme précédent!

Corrigé

1. Considérons les polynômes de Lagrange $L_{-1},\ L_0$ et $L_1$ associés au triplet $(-1,0,1)$. Ils sont donnés par $$L_{-1}(X)=\frac{X(X-1)}{(-1)(-1-1)}=\frac{X^2-X}2,$$ $$L_0(X)=\frac{(X+1)(X-1)}{(0+1)(0-1)}=-(X^2-1),$$ $$L_1(X)=\frac{(X+1)X}{(1+1)1}=\frac{X^2+X}2.$$ Alors un polynôme qui convient est le polynôme $$P_0(X)=1L_{-1}(X)-1L_0(X)-1L_1(X)=X^2-X-1.$$ C'est le seul qui convient, car si $P$ est un polynôme de degré (inférieur ou égal à) 2 qui convient, alors $P-P_0$ est de degré au plus 2 et admet au moins 3 racines : c'est donc le polynôme nul.
2. Soit $P$ un tel polynôme. Alors, utilisant le polynôme $P_0$ introduit à la question précédente, et posant $Q=P-P_0$, on a $Q(-1)=Q(0)=Q(1)=0$. Autrement dit, $Q$ est divisible par $(X+1)X(X-1)=X^3-X$, et $P$ s'écrit $$P(X)=X^2-X-1+A(X)(X^3-X)$$ avec $A\in\mathbb R[X]$. Réciproquement, tous les polynômes de cette forme conviennent.

Exercice 18 - Somme des racines ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\in\mathbb N^*$ et $P\in\mathbb C_n[X]$. On note, pour $p<n$, $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Démontrer que $u_0,\dots,u_{n-1}$ forme une progression arithmétique.Indication Retrouver la somme des racines comme coefficient du polynôme.Corrigé Écrivons $$P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0.$$ Alors, par les relations coefficients/racines, on sait que la somme des racines de $P$ vaut $u_0=-a_{n-1}/a_n$. Plus généralement, on a $$P^{(p)}(X)=n(n-1)\dots(n-p+1)a_nX^{n-p}+(n-1)\dots(n-p)a_{n-1}X^{n-p-1}+\dots+p!a_p,$$ de sorte que $$u_p=-\frac{(n-1)\dots(n-p)}{n(n-1)\dots(n-p+1)}\times\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\frac{(n-p)}{n}\times\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$ On a donc $$u_{p+1}-u_p=-\left(\frac{n-p-1}{n}-\frac{n-p}n\right)\times\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_{n-1}}{na_n}.$$ On obtient bien une progression arithmétique de raison $\frac{a_{n-1}}{na_n}$. Exercice 19 - Déterminer les racines sachant que... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans cet exercice, on souhaite déterminer toutes les racines de polynômes de degré 3 ou 4 connaissant des informations sur ces racines.

1. Soit $P(X)=X^3-8X^2+23X-28$. Déterminer les racines de $P$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
2. Soit $Q(X)=X^4+12X-5$. On note $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines de $Q$. On sait que $x_1+x_2=2$.
   1. Déterminer la valeur de $x_1x_2$, $x_3x_4$ et $x_3+x_4$.
   2. En déduire les valeurs des racines.

Indication

1. Utiliser les relations coefficients/racines pour déterminer la troisième racine, puis factoriser...
2. 1. Utiliser les relations coefficients/racines.
   2. Se ramener à un polynôme de degré 2.

Corrigé

1. Notons $x_1,\ x_2$ et $x_3$ les trois racines, avec par exemple $x_3=x_1+x_2$. Alors les relations coefficients/racines nous disent que $x_1+x_2+x_3=8$. En particulier, on trouve $x_3=4$, et donc $P$ se factorise en $P(X)=(X-4)Q(X)$. La division euclidienne donne $Q(X)=X^2-4X+7$, dont les racines sont $2+i\sqrt 3$ et $2-i\sqrt 3$.
2. 1. On va utiliser les relations coefficients/racines. Pour cela, on développe $$(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)=$$ $$X^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)X^3+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)X^2-$$ $$(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)X+x_1x_2x_3x_4.$$ On sait que $$\sigma_1=x_1+x_2+x_3+x_4=0\implies x_3+x_4=-2.$$ De plus, $$\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0.$$ On peut réécrire ceci en $$x_1x_2+x_3x_4+(x_1+x_2)(x_3+x_4)=0$$ soit $$x_1x_2+x_3x_4=4.$$ On a également $$\sigma_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-12.$$ Ceci donne $$x_1x_2(x_3+x_4)+x_3x_4(x_1+x_2)=-12\implies x_1x_2-x_3x_4=6.$$ Ceci suffit à déterminer $x_1x_2=5$ et $x_3x_4=-1$.
   2. De $x_1+x_2=2$ et $x_1x_2=5$, on tire que $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $X^2-2X+5$, ie $1\pm 2i$. De même, $x_3$ et $x_4$ sont les racines de $X^2+2X-1$, ie $-1\pm\sqrt 2$.

Exercice 20 - Informations sur les racines ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les racines du polynôme $8X^3-12X^2-2X+3$ sachant qu'elles sont en progression arithmétique.Indication Écrire que les racines sont $a-r$, $a$ et $a+r$. Trouver $a$ et $r$ à l'aide des relations coefficients-racines.Corrigé Puisque les racines sont en progression arithmétique, elles peuvent s'écrire $a-r$, $a$ et $a+r$, où $r$ est la raison de cette progression arithmétique. On obtient donc \begin{eqnarray*} 8X^3-12X^2-2X+3&=&8(X-(a-r))(X-a)(X-(a+r))\\ &=&8X^3-24aX^2+*X-8a(a-r)(a+r). \end{eqnarray*} Par identification, on trouve $24a=12$, soit $a=1/2$, puis $$-4\left(\frac14-r^2\right)=3\implies r=\pm1.$$ Les 3 racines sont donc $-1/2$, $1/2$ et $3/2$, et le polynôme se factorise en $$8X^3-12X^2-2X+3=(2X+1)(2X-1)(2X-3).$$ Exercice 21 - Avec le théorème de Rolle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P$ un polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré $n$ scindé sur $\mathbb R.$ On note $x_1,\dots,x_r$ ses racines distinctes et $m_1,\dots,m_r$ leurs multiplicité respective. On suppose de plus $x_1<\cdots<x_r.$

1. Soit $i\in\{1,\dots,r\}$. Justifier que si $m_i\geq 2,$ alors $x_i$ est racine de $P'.$ Que peut-on dire de sa multiplicité ?
2. Montrer que si $r\geq 2,$ alors tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq r-1,$ le polynôme $P'$ admet une racine dans $]x_i,x_{i+1}[.$
3. Déduire de ce qui précède que $P'$ est scindé sur $\mathbb R.$
4. En déduire que le polynôme $P^2+1$ n'admet que des racines simples (dans $\mathbb C$).

Indication

1. Utiliser la bonne caractérisation de la multiplicité.
2. Appliquer le théorème de Rolle.
4. Les racines de $P^2+1$ sont complexes!

Corrigé

1. Soit $i\in\{1,\dots,r\}$. Alors on sait que $P(x_i)=\cdots=P^{(m_i-1)}(x_i)=0$ et $P^{(m_i)}(x_i)\neq 0.$ Si on pose $Q=P',$ alors $Q(x_i)=\cdots=Q^{(m_i-2)}(x_i)=0$ et $Q^{(m_i-1)}(x_i)\neq 0.$ Ainsi, $x_i$ est racine de $P'$ de multiplicité $m_i-1.$
2. La fonction polynômiale $x\mapsto P(x)$ est continue et dérivable sur chaque $[x_i,x_{i+1}]$ et s'annule aux bornes de cet intervalle. Par le théorème de Rolle, on en déduit l'existence de $y_i\in]x_i,x_{i+1}[$ tel que $P'(y_i)=0$.
3. On a démontré que chaque $x_i$ est encore racine de $P$ de multiplicité $m_i-1$ (avec l'abus de langage qu'une racine de multiplicité 0 n'est plus une racine ...) et chaque $y_i$, $i=1,\dots,r-1$ de la question précédente est encore une racine de $P,$ de multiplicité au moins $1.$ La somme des multiplicités des racines de $P'$ que l'on a trouvé est donc : $$\sum_{i=1}^r (m_i-1)+(r-1)=n-r+r-1=n-1.$$ Puisque $P'$ est de degré $n-1$, on a trouvé toutes les racines de $P'$ qui est donc un polynôme scindé.
4. On commence par remarquer que les racines de $P^2+1$ sont nécessairement complexes, ce polynôme étant supérieur ou égal à 1 sur $\mathbb R$. De plus, sa dérivée est $2PP'$, dont les racines sont toutes réelles par hypothèse et d'après le résultat de la question précédente. Ainsi, $P^2+1$ et son polynôme dérivé n'ont pas de racines communes. Toutes les racines de $P^2+1$ sont donc simples.

Exercice 22 - Isobarycentre ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C[X]$ de degré $n\geq 2$. Soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $P$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $A_1,\dots,A_n$. Soit $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ les racines de $P'$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $B_1,\dots,B_{n-1}$.

1. Montrer que les familles de points $(A_1,\dots,A_n)$ et $(B_1,\dots,B_{n-1})$ ont même isobarycentre.
2. Quelle est l'image dans le plan complexe de la racine de $P^{(n-1)}$?

Indication

1. Relations coefficients racines.
2. Récurrence...

Corrigé

1. On peut toujours supposer que $P$ est unitaire. On l'écrit donc $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots$. Les relations coefficients/racines donnent $$-a_{n-1}=\alpha_1+\dots+\alpha_n.$$ $P'$ s'écrit $P'(X)=nX^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\dots$. Les relations coefficients/racines donnent cette fois $$\frac{-(n-1)a_{n-1}}{n}=\beta_1+\dots+\beta_{n-1}.$$ Mettant ensemble ces deux équations, on voit facilement que $$\frac{\alpha_1+\dots+\alpha_n}n=\frac{\beta_1+\dots+\beta_{n-1}}{n-1},$$ ce qui est la relation désirée.
2. Par récurrence, $P$, $P'$, $P'',\dots,P^{(n-1)}$ sont tels que la famille de leurs racines respectives ont même isobarycentre. En particulier, $P^{(n-1)}$ n'a qu'une seule racine qui est l'isobarycentre des racines de $P$.

Exercice 23 - Condition pour que... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé

1. Soit $P(X)=2X^3-X^2-7X+\lambda$, où $\lambda$ est tel que la somme de deux racines de $P$ vaut $1$. Déterminer la troisième racine. En déduire la valeur de $\lambda$.
2. Soit $Q(X)=X^3-7X+\mu$ où $\mu$ est tel que l'une des racines de $Q$ soit le double d'une autre. Déterminer les valeurs possibles des racines de $Q$, puis déterminer les valeurs de $\mu$ pour lesquelles cette condition est possible.

Indication

1. Factoriser par $2X+1$ ($-1/2$ est l'autre racine).
2. Utiliser à fond les relations coefficients/racines.

Corrigé

1. Notons $x_1,x_2$ et $x_3$ les 3 racines, avec par exemple $x_1+x_2=1$. Les relations coefficients/racines donnent $x_1+x_2+x_3=1/2$ (attention au coefficient dominant!), et donc $x_3=-1/2$. Ainsi, on sait que $-1/2$ doit être racine de $P$. Autrement dit, $P$ doit être divisible par $2X+1$ et donc $P(-1/2)=0$. Ceci implique nécessairement que $\lambda=-3$. C'est aussi suffisant, car dans ce cas les racines sont $-1/2$ et les racines de $X^2-X-3$, dont la somme fait $1$.
2. Notons $x_1,x_2$ et $x_3$ les trois racines de $Q$, avec par exemple $x_2=2x_1$. Les relations coefficients/racines donnent $x_3=-3x_1$, puis $$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-7\implies x_1^2=1.$$ On en déduit que $x_1=\pm 1$. Si $x_1=1$, on a $x_2=2$ et $x_3=-3$. On obtient alors $\mu=6$. Dans le deuxième cas, on a $x_1=-1$, $x_2=-2$, $x_3=3$ et $\mu=-6$.

Exercice 24 - Équation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=\big(P(X)\big)^2+1$Indication Calculer $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$, $P(5),\dots$.Corrigé Pour tout $x\in\mathbb R$, on a $P(x^2+1)=\big(P(x)\big)^2+1$. Pour $x=0$, on trouve $P(1)=1$. Pour $x=1$, on trouve $P(2)=2$. Pour $x=2$, on trouve $P(5)=5$. Pour $x=5$, on trouve $P(5^2+1)=5^2+1$. Ceci nous incite à considérer la suite définie par $u_{n+1}=u_n^2+1$ et $u_0=0$. Il est aisé de prouver que cette suite est strictement croissante. De plus, on prouve par récurrence sur $n$ que $P(u_n)=u_n$. En effet, la propriété est vraie pour $n=0,1,2,3$. Si elle est vraie au rang $n$, alors on a $$P(u_{n+1})=P(u_n^2+1)=\big(P(u_n))^2+1=u_n^2+1=u_{n+1}$$ ce qui prouve l'hérédité. Posons alors $Q(X)=P(X)-X$. $Q$ est un polynôme qui s'annule en chaque $u_n$. Comme les $u_n$ sont tous différents, $Q$ admet une infinité de racines. Donc $Q$ est identiquement nulle et on a $P(X)=X$. Réciproquement, $X$ convient. Exercice 25 - Équations ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé

1. Soit $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(X^2)=P(X-1)P(X+1)$.
   1. Démontrer que si $z\in\mathbb C$ est racine de $P$, il existe une racine de $P$ de module supérieur strict à $|z|$.
   2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solutions.
2. Soit $P\in\mathbb R[X]\backslash\{0\}$ vérifiant $P(X^2)=P(X)P(X-1)$.
   1. Démontrer que si $z\in\mathbb C$ est racine de $P$, alors $z=j$ ou $z=j^2$.
   2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solution.

Indication

1. 1. Démontrer que $(z+1)^2$ et $(z-1)^2$ sont aussi racines de $P$.
2. 1. Si $z$ est racine, alors $z^{2n}$ et $(z+1)^{2n}$ est racine...

Corrigé

1. 1. Soit $z$ une racine de $P$. L'équation vérifiée par $P$ s'écrit aussi $P\big((X+1)^2)=P(X)P(X+2)$, et donc $(z+1)^2$ est aussi racine de $P$. De même, $(z-1)^2$ est aussi racine de $P$. On va prouver qu'au moins un des deux nombres complexes $(z+1)^2$ ou $(z-1)^2$ est de module supérieur strict à $z$. En effet, $(z+1)^2-(z-1)^2=4z$, et donc $$4|z|\leq |z+1|^2+|z-1|^2.$$ Ainsi, l'un de ces deux nombres complexes est de module supérieur ou égal à $2|z|$. Si $|z|\neq 0$, le résultat est prouvé. Sinon, si $z=0$, le résultat est trivial.
   2. Si $P$ admet une racine (complexe), alors il en admet d'après la question précédente une infinité. C'est donc le polynôme nul. Les polynômes qui sont solutions de l'équation ne peuvent donc être que des polynômes constants, et les seuls polynômes constants solutions sont les polynômes $P(X)=0$ et $P(X)=1$.
2. 1. En raisonnant comme dans le premier cas, on voit que si $z$ est racine de $P$, alors $z^2$ et $(z+1)^2$ sont aussi des racines de $P$. Par récurrence, $z^{2^n}$ et $(z+1)^{2^n}$ seront racines pour tout entier $n$. Puisque le polynôme n'admet qu'un nombre fini de racines, les suites $(z^{2^n})_n$ et $\big((z+1)^{2^n}\big)_n$ ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs. Le premier point nous dit qu'on a nécessairement $z=0$ ou $|z|=1$. On note $\Gamma_1$ cet ensemble. Le second point nous dit que $z=-1$ ou $|z+1|=1$, ensemble que l'on note $\Gamma_2$. Il est facile de vérifier (par exemple, en dessinant ses ensembles), que les points d'intersection de $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont $0,-1,j$ et $j^2$. Mais si $z=0$ est racine, alors $(z+1)^2=1$ est aussi racine, ce qui n'est pas possible. De même, si $z=-1$ est racine, alors $(z+1)^2=0$ est racine, ce qui n'est pas (plus) possible. Donc les seules racines de $P$ sont $j$ et $j^2$.
   2. Puisque $P$ est à coefficients réels, $j$ et $j^2$, qui sont des complexes conjugués, doivent être des racines de même multiplicité. On doit donc avoir $P(X)=\lambda(X-j)^n(X-j^2)^n=\lambda(X^2+X+1)^n$. Par identification des coefficients dominants, on trouve $\lambda=1$. Réciproquement, on vérifie facilement que les polynômes $P(X)=(X^2+X+1)^n$ sont solutions de l'équation.

Exercice 26 - Exponentiel! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit, pour $n\geq 0$, $P_n(X)=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.

1. Démontrer que $P_n$ admet $n$ racines simples complexes.
2. Démontrer que, si $n$ est impair, une et une seule de ces racines est réelle, et que si $n$ est pair, aucune des racines n'est réelle.

Indication

1. Que vaut $P_n-P_n'$.
2. Procéder par récurrence!

Corrigé

1. Un polynôme de $\mathbb C[X]$ de degré $n$ admettant toujours $n$ racines complexes, lorsqu'elles sont comptées avec leur multiplicité, il suffit de prouver que $P_n$ n'admet que des racines simples, ou encore que $P_n$ et $P_n'$ n'ont pas de racines communes. Mais $P_n'=P_{n-1}$ et donc, $P_n(X)=P_{n}'(X)+\frac{X^n}{n!}$. Ainsi, si $P_n'(a)=0$, alors $P_n(a)=\frac{a^n}{n!}$, et ceci ne peut être nul que si $a=0$. Reste à voir que $P_n(0)$ n'est jamais nul. Mais c'est clair car $P_n(0)=1$.
2. On va prouver par récurrence la proposition suivante : $\mathcal P_n$ :
   • si $n$ est pair, alors $P_n$ n'admet pas de racines réelles;
   • si $n$ est impair, alors $P_n$ admet une seule racine réelle $a_n$. De plus, $P_n(x)<0$ pour $x<a_n$ et $P_n(x)>0$ pour $x>a_n$.
   La propriété $\mathcal P_0$ est vraie. Supposons $P_n$ vraie, et prouvons $\mathcal P_{n+1}$. Le point de départ est la relation $P_{n+1}'=P_n$.
   • Si $n+1$ est impair, alors $n$ est pair et $P_n$ ne s'annule jamais, et sa limite en $+\infty$ vaut $+\infty$. On en déduit que $P_n$ est toujours strictement positif. Ainsi, $P_{n+1}$ est strictement croissant. Ce polynôme ne peut s'annuler au plus qu'une fois et de plus $\lim_{-\infty}P_{n+1}(x)=-\infty$ et $\lim_{+\infty}P_{n+1}(x)=+\infty$ (n'oublions pas que $n+1$ est impair). Par le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient bien l'existence de $a_{n+1}$ tel que $P_{n+1}(a_{n+1})=0$, et la propriété $\mathcal P_{n+1}$ est vérifiée.
   • Si $n+1$ est pair, alors $n$ est impair, et $P_n(x)<0$ pour $x<a_n$ tandis que $P_n(x)>0$ pour $x>a_n$. On en déduit que $P_{n+1}$ est décroissant de $-\infty$ à $a_n$, puis croissant de $a_n$ à $+\infty$. Or, $$P_{n+1}(a_n)=P_n(a_n)+\frac{a_{n}^{n+1}}{(n+1)!}=0+\frac{a_{n}^{n+1}}{(n+1)!}.$$ Mais $a_n\neq 0$ (car $P_n(0)=1$), et $n+1$ est pair donc $a_n^{n+1}>0$. On en déduit que $P_{n+1}(a_n)>0$, puis que $P_{n+1}$ est toujours strictement positif sur $\mathbb R$, ce qui prouve la propriété $\mathcal P_{n+1}$ lorsque $n+1$ est pair.

Exercice 27 - Polynômes à valeurs réelles, complexes, rationnelles ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé

1. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb C)\subset\mathbb R$.
2. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb R)\subset\mathbb R$.
3. Soit $P\in\mathbb C[X]$. Démontrer que $P(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$ si et seulement si $P\in\mathbb Q[X]$.

Indication

1. Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss.
2. Utiliser le polynôme conjugué.
3. Utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange.

Corrigé

1. Il est clair que si $P(X)=a$, avec $a\in\mathbb R$, alors $P$ est solution. Si $P$ n'est pas constant, alors le polynôme $Q(X)=P(X)-i$ n'est pas constant lui aussi. D'après le théorème de d'Alembert-Gauss, il s'annule. En particulier, il existe $z\in\mathbb C$ tel que $P(z)=i$, et donc on n'a pas $P(\mathbb C)\subset\mathbb R$. Ainsi, les polynômes solutions sont les polynômes constants, avec une constante réelle.
2. Les polynômes à coefficients réels sont bien entendu solutions. De plus, si $x\in\mathbb R$, alors puisque $P(x)\in\mathbb R$, on a $$P(x)=\overline{P(x)}=\overline P(x).$$ Ainsi, le polynôme $P-\overline P$ admet une infinité de racine. Ce ne peut être que le polynôme nul. Mais les coefficients de $P-\overline P$ sont ($2i$-fois) les parties imaginaires des coefficients de $P$. Ainsi, tous les coefficients de $P$ ont une partie imaginaire nulle. C'est bien que $P$ est un élément de $\mathbb R[X]$.
3. Il est clair que si $P\in\mathbb Q[X]$, alors $P(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$. Réciproquement soit $P\in\mathbb C[X]$ tel que $P(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$. Soit $d$ le degré de $P$ et soit $(L_0,\dots,L_d)$ la famille des polynômes de Lagrange associée aux entiers $(0,\dots,d)$. Alors la formule donnant ces polynômes nous dit qu'ils sont à coefficients dans $\mathbb Q$. De plus, on a $$P(X)=\sum_{k=0}^d P(k)L_k(X).$$ $P$ est bien à coefficients dans $\mathbb Q$.

Décomposition en produits d'irréductibles Exercice 28 - Décomposer! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants : $$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1 \end{array}$$Indication

1. Chercher les racines complexes.
2. $a^2-b^2=...$.
3. $1=-i^2$.

Corrigé

1. On commence par chercher les racines complexes pour factoriser dans $\mathbb C[X]$, puis on regroupe les racines complexes conjuguées. \begin{eqnarray*} X^4+1&=&(X-e^{i\pi/4})(X-e^{3i\pi/4})(X-e^{5i\pi/4})(X-e^{7i\pi/4})\\ &=&\big((X-e^{i\pi/4})(X-e^{7i\pi/4})\big)\big((X-e^{3i\pi/4})(X-e^{5i\pi/4})\big)\\ &=&(X^2-\sqrt 2X+1)(X^2+\sqrt 2X+1). \end{eqnarray*} Les deux polynômes de degré 2 que l'on obtient n'ont pas de racines réelles, ils sont donc irréductibles dans $\mathbb R[X]$.
2. On commence par utiliser une identité remarquable, puis la réponse à la question précédente : \begin{eqnarray*} X^8-1&=&(X^4-1)(X^4+1)\\ &=&(X^2-1)(X^2+1)(X^2-\sqrt 2X+1)(X^2+\sqrt 2X+1)\\ &=&(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2-\sqrt 2X+1)(X^2+\sqrt 2X+1). \end{eqnarray*}
3. On commence par factoriser le polynôme dans $\mathbb C[X]$ en remarquant qu'il s'agit alors d'une différence de deux carrés : $$(X^2-X+1)^2+1=(X^2-X+1)^2-i^2=(X^2-X+1-i)(X^2-X+1+i).$$ On factorise alors chacun des polynômes de degré 2 dans $\mathbb C$, par exemple en calculant leur discriminant ou en remarquant que $i$ (resp. $-i$) sont des racines évidentes. On trouve : $$(X^2-X+1)^2+1=(X+i)(X-1-i)(X-i)(X-1+i).$$ En regroupant les termes conjugués, on trouve finalement : $$(X^2-X+1)^2+1=(X^2+1)(X^2-2X+2).$$

Exercice 29 - Décomposer! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P$ le polynôme $X^4-6X^3+9X^2+9$.

1. Décomposer $X^4-6X^3+9X^2$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb R[X]$.
2. En déduire une décomposition de $P$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb C[X]$, puis dans $\mathbb R[X]$.

Indication

1. Factoriser par $X^2$.
2. $9=-(3i)^2$.

Corrigé

1. On écrit simplement $$X^4-6X^3+9X^2=X^2(X^2-6X+9)=X^2(X-3)^2.$$
2. L'astuce(?) est d'écrire $9=-(3i)^2$, et de reconnaitre une différence de deux carrés. Donc on a : \begin{eqnarray*} X^4-6X^3+9X^2+9&=&\big(X(X-3)\big)^2-(3i)^2\\ &=&\big(X(X-3)-3i\big)\big(X(X-3)+3i\big)\\ &=&(X^2-3X-3i)(X^2-3X+3i). \end{eqnarray*} On factorise chacun de ces deux polynômes. Le discriminant du premier est $9+12i=(\sqrt 3(2+i))^2$. Ses racines sont $\alpha_1=\frac32+\sqrt 3+\frac{i\sqrt 3}2$ et $\alpha_2=\frac32-\sqrt 3-\frac{i\sqrt 3}2$. Le discriminant du second est $9-12i=(\sqrt 3(2-i))^2$, et ses racines sont $\beta_1=\frac32+\sqrt 3-\frac{i\sqrt 3}2$ et $\beta_2=\frac32-\sqrt 3+\frac{i\sqrt 3}2$. La décomposition de $P$ en produit d'irréductibles de $\mathbb C[X]$ est donc $$(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\beta_1)(X-\beta_2).$$ Pour obtenir la décomposition en produit d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, on regroupe les racines complexes conjuguées, à savoir $\alpha_1$ et $\beta_1$ d'une part et $\alpha_2$ et $\beta_2$ d'autre part. On trouve $$P=\big(X^2-(2\sqrt 3+3)X+3\sqrt 3+6\big)\big(X^2+(2\sqrt 3-3)X-3\sqrt 3+6\big).$$

Exercice 30 - Factorisation simultanée! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère les deux polynômes suivants : $$P(X)=X^3-9X^2+26X-24\textrm{ et }Q(X)=X^3-7X^2+7X+15.$$ Décomposer ces deux polynômes en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, sachant qu'ils ont une racine commune.Indication Chercher le pgcd de $P$ et $Q$.Corrigé Si $a$ est une racine commune de $P$ et $Q$, alors $X-a$ divise le pgcd de $P$ et de $Q$. On commence donc par chercher ce pgcd, par exemple en appliquant l'algorithme d'Euclide. Ici, on a \begin{eqnarray*} X^3-9X^2+26X-24&=&X^3-7X^2+7X+15+(-2X^2+19X-39)\\ X^3-7X^2+7X+15&=&(-2X^2+19X-39)(-X/2-5/4)+(45X/4-135/4)\\ -2X^2+19X-39&=&(45X/4-135/4)(-8X/45+52/45) \end{eqnarray*} Le pgcd de $P$ et $Q$ est donc $45X/4-135/4$, ou encore $X-3$. On divise alors $P$ et $Q$ par $X-3$, et on trouve : $$P(X)=(X-3)(X^2-6X+8)\textrm{ et }Q(X)=(X-3)(X^2-4X-5).$$ On factorise encore chacun des polynômes de degré 2 pour trouver finalement : $$P(X)=(X-3)(X-2)(X-4)\textrm{ et }Q(X)=(X+1)(X-3)(X-5).$$ On aurait aussi pu factoriser ces polynômes en cherchant des racines évidentes de chacun... Exercice 31 - De grand degré! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$ le polynôme $P(X)=X^9+X^6+X^3+1$.Indication Commencer par décomposer $Q(X)=X^3+X^2+X+1$.Corrigé On va commencer par décomposer $Q(X)=X^3+X^2+X+1$, dont $-1$ est racine évidente. On en déduit $$Q(X)=(X+1)(X^2+1)=(X+1)(X-i)(X+i).$$ On a $P(X)=Q(X^3)$ et il s'agit maintenant de trouver les racines $3$-ièmes de $-1$, $i$ et $-i$. On en déduit que \begin{eqnarray*} P(X)&=&(X+1)(X-e^{i\pi/3})(X-e^{-i\pi/3})(X-e^{i\pi/2})(X-e^{-i5\pi/6})(X-e^{-i\pi/6})\\ &&(X-e^{-i\pi/2})(X-e^{i5\pi/6})(X-e^{i\pi/6}). \end{eqnarray*} Exercice 32 - Racines $n$-ièmes de l'unité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé

1. Rappeler la décomposition en produits d'irréductibles de $X^n-1$.
2. En déduire la décomposition en produits d'irréductibles de $1+X+\dots+X^{n-1}$.
3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)$.
4. Pour $\theta\in\mathbb R$, calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)$.

Indication

1. Quelles sont les racines de ce polynôme?
3. Évaluer la factorisation de la question précédente en $1$;
4. Évaluer le résultat de la première question en $-2\theta$.

Corrigé

1. Les racines de ce polynôme sont les racines $n$-ièmes de l'unité. On en déduit que $$X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2ik\pi}n}\right).$$
2. On a $(1+X+\dots+X^{n-1})(X-1)=X^n-1$. On en déduit que $$1+X+\dots+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(X-e^{\frac{2ik\pi}n}\right).$$
3. On va évaluer la factorisation précédente en $1$. On trouve $$n=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{\frac{2ik\pi}n}\right).$$ Or, $$1-e^{\frac{2ik\pi}n}=-2ie^{\frac{ik\pi}n}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)=2(-1)e^{\frac{i\pi}2}e^{\frac{ik\pi}n}\sin\left(\frac{k\pi}n\right).$$ On effectue le produit et on trouve : \begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{\frac{2ik\pi}n}\right)&=&2^{n-1}(-1)^{n-1}e^{\frac{i(n-1)\pi}2} e^{\frac{i\pi}n\times\frac{n(n-1)}2}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)\\ &=&2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right) \end{eqnarray*} On en déduit que $$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$$
4. La méthode est parfaitement similaire, mais cette fois on part de la factorisation de $X^n-1$ que l'on évalue en $\exp(-2i\theta)$. On trouve d'une part $$e^{-2ni\theta}-1=(-2i)e^{-in\theta}\sin(n\theta)$$ et d'autre part \begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n-1}\left(e^{-2i\theta}-e^{\frac{2ik\pi}n}\right)&=& \prod_{k=0}^{n-1}(-2i)e^{\frac{ik\pi}n-\theta}\sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)\\ &=&(-2i)e^{-in\theta}2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right). \end{eqnarray*} On conclut finalement que $$\prod_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)=\frac{\sin(n\theta)}{2^{n-1}}.$$

Exercice 33 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\in\mathbb R[X]$ non constant tel que $P(x)\geq 0$ pour tout réel $x$.

1. Montrer que le coefficient dominant de $P$ est positif et que les racines réelles de $P$ sont de multiplicité paire.
2. Montrer qu'il existe un polynôme $C\in\mathbb C[X]$ tel que $P=C\overline{C}$.
3. En déduire qu'il existe $A$ et $B$ dans $\mathbb R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.

Indication

1. Regarder la limite de $P$ en $+\infty$ et le comportement d'un polynôme au voisinage d'une racine de multiplicité impaire.
2. Utiliser la décomposition de $P$ en facteurs irréductibles.
3. Écrire $C=A+iB$.

Corrigé

1. Notons $P(x)=a_nx^n+\cdots$. Alors $\lim_{x\to+\infty}P(x)=\lim_{x\to+\infty}a_nx^n$ et cette limite vaut $+\infty$ si $a_n>0$ et $-\infty$ si $a_n<0$. Si la limite est $-\infty$, alors on ne peut pas avoir $P(x)\geq 0$ au voisinage de $+\infty$ et donc $a_n>0$. D'autre part, soit $a$ une racine de $P$ de multiplicité $m$. On sait que $P(x)\sim_{a}\lambda (x-a)^m$. Si $m$ est impair, on en déduit que $P$ s'annule en changeant de signe en $a$. Ceci contredit que $P(x)\geq 0$ pour tout $x$ proche de $a$. Ainsi, les racines de $P$ sont de multiplicité paire.
2. On décompose $P$ en produits de facteurs d'irréductibles : on a $$P(X)=\lambda \prod_{i=1}^s (X-a_i)^{2m_i}\prod_{j=1}^t (X^2+c_j X+d_j)^{q_j}$$ où les $a_i$ sont les racines réelles de $P$ (elles sont de multiplicité paire!), où les $X^2+c_j X+d_j$ sont des polynômes du second degré à discriminant négatif. Les racines de ces polynômes sont des nombres complexes conjugués $\mu_j$, $\overline{\mu_j}$. En particulier, on a $$X^2+c_jX+d_j=(X-\mu_j)\overline{(X-\mu_j)}.$$ Posons donc $$C(X)=\sqrt{\lambda} \prod_{i=1}^s (X-a_i)^{m_i} \prod_{j=1}^t (X-\mu_j)^{q_j}.$$ On a bien $P=C\overline C$.
3. Décomposons $C$ en partie réelle et en partie imaginaire : $C(X)=A(X)+iB(X)$ avec $A,B\in\mathbb R[X]$. D'après la question précédente, on a $P=C\overline C=A^2+B^2$.

Exercice 34 - Polynôme réciproque ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On dit qu'un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ est réciproque s'il s'écrit $P=a_nX^n+\dots+a_0$ avec $a_k=a_{n-k}$ pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$.

1. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si $P(X)=X^n P\left(\frac 1X\right)$.
2. Montrer qu'un produit de polynômes réciproques est réciproque.
3. On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q|P$. Démontrer que $\frac PQ$ est réciproque.
4. Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme réciproque.
   1. Démontrer que si $\alpha$ est une racine de $P$, alors $\alpha\neq 0$ et $\alpha^{-1}$ est une racine de $P$.
   2. Démontrer que si $1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
   3. Démontrer que si le degré de $P$ est impair, alors $-1$ est racine de $P$.
   4. Démontrer que si $P$ est de degré pair et si $-1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
5. Démontrer que tout polynôme réciproque de $\mathbb C[X]$ de degré $2n$ se factorise en $$P=a_{2n}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair?Indication
   2. Utiliser la première question.
   3. Utiliser la première question.
   4. 2. Dériver la relation de la première question.
      4. Dériver la relation de la première question.
   5. Procéder par récurrence sur $n$. Dans le cas des polynômes de degré impair, commencer par factoriser par $X+1$.
   Corrigé
   1. Soit $P=a_nX^n+\dots+a_0$, alors $$X^n P\left(\frac 1X\right)=a_0X^n+\dots+a_n.$$ Ainsi, si $P$ est réciproque, on a bien $X^n P(1/X)=P(X)$. Réciproquement, si $X^nP(1/X)=P(X)$, alors on a nécessairement $a_0=a_n$, $a_1=a_{n-1}$, etc... Donc $P$ est réciproque.
   2. Soient $P$ et $Q$ réciproques, de degrés respectifs $n$ et $m$. Alors $$X^n P(1/X)=P(X)\textrm{ et }X^m Q(1/X)=Q(X).$$ On en déduit que $$X^{n+m}(PQ)(1/X)=X^n P(1/X)X^m Q(1/X)=P(X)Q(X)=(PQ)(X).$$ Ainsi, d'après la question précédente, $PQ$ est réciproque.
   3. Le raisonnement est complètement identique, en utilisant le quotient au lieu du produit!
   4. 1. Puisque $P$ est réciproque, $a_0=a_n\neq 0$ et donc $P(0)=a_0\neq 0$. D'autre part, si $\alpha$ est racine de $P$, alors la relation $P(\alpha)=\alpha^n P(\alpha^{-1})$ prouve que $\alpha^{-1}$ est aussi racine de $P$.
      2. Dérivons la relation de la première question. On trouve, pour tout $x\neq 0$, $$P'(x)=nx^{n-1}P(1/x)-x^{n-2}P'(1/x).$$ On évalue en 1, et on trouve $$P'(1)=-P'(1)$$ et donc $P'(1)=0$. On en déduit que $1$ est racine au moins double.
      3. On utilise encore le résultat de la première question, et on remarque que $P(-1)=-P(-1)$ puisque le degré de $P$ est impair. Donc $P(-1)=0$.
      4. On raisonne exactement comme deux questions plus haut.
   5. On va procéder par récurrence sur $n$, le cas $n=1$ étant trivial. Supposons donc que le résultat a été démontré pour tout polynôme réciproque de degré $2n$, et prouvons-le pour un polynôme réciproque $P$ de degré $2n+2$. Soit $\alpha$ une racine de $P$. Alors, on sait que $\alpha\neq 0$ et que $\alpha^{-1}$ est aussi racine de $P$. Si $\alpha\neq 1,-1$, $\alpha^{-1}\neq \alpha$ et on peut factoriser $P$ par $(X-\alpha)(X-\alpha^{-1})$. Or, il est facile de vérifier que $(X-\alpha)(X-\alpha^{-1})$ s'écrit $(X^2+b_{n+1}X+1)$. D'autre part, si $\alpha=1$ ou $\alpha=-1$, alors $\alpha$ est racine de multiplicité au moins deux, et on peut factoriser par $(X-\alpha)^2$. Un tel polynôme s'écrit encore $(X^2+b_{n+1}X+1)$. Donc, dans tous les cas, en notant $Q=X^2+b_{n+1}X+1$, on a $Q|P$ et $P$, $Q$ réciproques. On en déduit que $\frac PQ$ est réciproque, de degré $2n$, donc par l'hypothèse de récurrence s'écrit $$\frac PQ=a_{2n+2}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ On remultiplie par $Q$, et on a bien prouvé que le résultat est vrai au rang $n+1$. Si maintenant $P$ est réciproque de degré impair $2n+1$, alors $-1$ est racine de $P$ et $P$ se factorise par le polynôme réciproque $Q=X+1$. Donc $\frac PQ$ est réciproque de degré pair $2n$, donc s'écrit $a_{2n+1}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$ Ainsi, tout polynôme réciproque de degré impair $2n+1$ se factorise en $$P=a_{2n+1}(X+1)(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$
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