Pgcd(X^m - 1,X^n - 1), Exercice De Algèbre - 835899

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Bonjour, je cherche à montrer que si m et n premiers entre eux: pgcd(X^m - 1,X^n - 1)=pgcd(X^m - X^n, X^n - 1) puis que pgcd(X^m - 1,X^n - 1)=pgcd(X^{m-n} - 1, X^n - 1) je sais que X^m - X^n=X^n(X^{m-n} - 1) et que X^n et X^n - 1 sont premiers entre eux donc pgcd(X^m - X^n, X^n - 1)=pgcd(X^{m-n} - 1, X^n - 1) mais je n'arrive pas à montrer la première égalité... je suppose qu'il faut utiliser le fait que m et n sont premiers entre eux merci d'avance

Posté par Zrunre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 12:56

La première égalité prend une ligne : pgcd(a,b)=pgcd(a-b,b) ... Le fait que m et n soient premiers entre eux permet de calculer explicitement le pcdg

Posté par Kioujre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 13:18

ok merci on pose donc m=nq+r ainsipgcd(X^{n(q-1)+r} - 1,X^n - 1)=pgcd(X^{n(q-1)}(X^r - 1)+X^{n(q-1)} - 1,X^n - 1)=pgcd(X^r - 1,X^n - 1) c'est ça?

Posté par carpediemre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 13:39

salut on peut aussi tout simplement montrer que si d divise m alors x^d - 1 divise x^m - 1 ... l'ensemble des résultats en découle alors ...

Posté par Kioujre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 14:05

en utilisant l' égalité pgcd(X^m - 1,X^n - 1)=pgcd(X^{m-n}-1, X^n - 1) ? désolé je ne vois pas

Posté par carpediemre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 14:33

Posté par Kioujre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:08

je dois me servir de pgcd(X^m - 1,X^n - 1)=pgcd(X^{m-n} - 1,X^n - 1) pour montrer que pgcd(X^m - 1,X^n - 1)=pgcd(X^r - 1,X^n - 1) sachant que m et n sont premiers entre eux et m=nq+r avec 0=<r<n

Posté par lafol Moderateurre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:12

Bonjour peut-être que si tu avais donné un énoncé COMPLET dès la première question, on te suivrait plus facilement ?

Posté par Kioujre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:20

Oui désolé, On suppose pgcd(m,n)=1 (i) Montrer que pgcd(X^m-1,X^n-1)=pgcd(X^m-X^n,X^n- 1), puis que pgcd(X^m-1,X^n-1)=pgcd(X^{m-n}-1,X^n-1) (ii) En déduire que si m=nq+r avec 0⩽r<n est la division euclidienne de m par n, alors on a : pgcd(X^m-1,X^n-1)=pgcd(X^r-1,X^n-1). (iii) En déduire que : pgcd(am−1,an−1)=a−1. et c'est le lien entre la i et la ii que je n'arrive pas à faire

Posté par lafol Moderateurre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:21

il suffit pourtant d'appliquer q fois la i) pour obtenir la ii)

Posté par Kioujre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:27

ah oui merci ! je suis vraiment nul en arithmétique alors...

Posté par lafol Moderateurre : pgcd(X^m - 1,X^n - 1) 15-12-19 à 15:30

on dirait que tu as oublié ce que tu as pu apprendre à l'école primaire sur la division, oui

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