Full Text Of "Chuyên Đề Đạo Hàm Nguyễn Bảo Vương"

Skip to main content

Ask the publishers to restore access to 500,000+ books.

Hamburger icon An icon used to represent a menu that can be toggled by interacting with this icon. Internet Archive logo A line drawing of the Internet Archive headquarters building façade. Web icon An illustration of a computer application window Wayback Machine Texts icon An illustration of an open book. Texts Video icon An illustration of two cells of a film strip. Video Audio icon An illustration of an audio speaker. Audio Software icon An illustration of a 3.5" floppy disk. Software Images icon An illustration of two photographs. Images Donate icon An illustration of a heart shape Donate Ellipses icon An illustration of text ellipses. More Donate icon An illustration of a heart shape "Donate to the archive" User icon An illustration of a person's head and chest. Sign up | Log in Upload icon An illustration of a horizontal line over an up pointing arrow. Upload Search icon An illustration of a magnifying glass. Search icon An illustration of a magnifying glass.

Internet Archive Audio

Live Music Archive Librivox Free Audio

Featured

• All Audio
• Grateful Dead
• Netlabels
• Old Time Radio
• 78 RPMs and Cylinder Recordings

Top

• Audio Books & Poetry
• Computers, Technology and Science
• Music, Arts & Culture
• News & Public Affairs
• Spirituality & Religion
• Podcasts
• Radio News Archive

Images

Metropolitan Museum Cleveland Museum of Art

Featured

• All Images
• Flickr Commons
• Occupy Wall Street Flickr
• Cover Art
• USGS Maps

Top

• NASA Images
• Solar System Collection
• Ames Research Center

Software

Internet Arcade Console Living Room

Featured

• All Software
• Old School Emulation
• MS-DOS Games
• Historical Software
• Classic PC Games
• Software Library

Top

• Kodi Archive and Support File
• Vintage Software
• APK
• MS-DOS
• CD-ROM Software
• CD-ROM Software Library
• Software Sites
• Tucows Software Library
• Shareware CD-ROMs
• Software Capsules Compilation
• CD-ROM Images
• ZX Spectrum
• DOOM Level CD

Texts

Open Library American Libraries

Featured

• All Texts
• Smithsonian Libraries
• FEDLINK (US)
• Genealogy
• Lincoln Collection

Top

• American Libraries
• Canadian Libraries
• Universal Library
• Project Gutenberg
• Children's Library
• Biodiversity Heritage Library
• Books by Language
• Additional Collections

Video

TV News Understanding 9/11

Featured

• All Video
• Prelinger Archives
• Democracy Now!
• Occupy Wall Street
• TV NSA Clip Library

Top

• Animation & Cartoons
• Arts & Music
• Computers & Technology
• Cultural & Academic Films
• Ephemeral Films
• Movies
• News & Public Affairs
• Spirituality & Religion
• Sports Videos
• Television
• Videogame Videos
• Vlogs
• Youth Media

Search the history of over 916 billion web pages on the Internet.

Search the Wayback Machine Search icon An illustration of a magnifying glass.

Mobile Apps

• Wayback Machine (iOS)
• Wayback Machine (Android)

Browser Extensions

• Chrome
• Firefox
• Safari
• Edge

Archive-It Subscription

• Explore the Collections
• Learn More
• Build Collections

Save Page Now

Capture a web page as it appears now for use as a trusted citation in the future.

Please enter a valid web address

• About
• Blog
• Projects
• Help
• Donate
• Contact
• Jobs
• Volunteer
• People

• Sign up for free
• Log in

Search metadata Search text contents Search TV news captions Search radio transcripts Search archived web sites Advanced Search

• About
• Blog
• Projects
• Help
• Donate Donate icon An illustration of a heart shape
• Contact
• Jobs
• Volunteer
• People

Full text of "Chuyên Đề Đạo Hàm Nguyễn Bảo Vương"

See other formats

NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP1. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc Liên hệ qua Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Website: http://tailieutoanhoc■ vn/ Email: baovuong7279 @ gmail.com Page Facebook: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ALBA - CHƯ SÊ- GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM TẬP 1. KHÁI NIỆM đạo" hàm và các ’ PHƯƠNG PHAP TÍNH ĐẠO HÀM NGUYỄN BẢO VƯƠNG Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM. ! . .’. .2 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa.2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.4 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.8 Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức.8 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.11 Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm đê tìm giới hạn.24 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP...25 Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân.27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ..29 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP ....33 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số y = /(%) liên tục trên (a;b), được gọi là có đạo hàm tại x 0 G (a;b) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu /'(*„)• 2. Đạo hàm bên trái, bên phải /’(*o)= lim + Hệ c\uả : Hàm f(x) có đạo hàm tại x 0 3/(^0 ) và f '( x 0 ) đồng thời f\x 0 ) = f’(x 0 ). 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn • Hàm SỐ f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b). • Hàm SỐ f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thòi tồn tại đạo hàm trái f'(b~) và đạo hàm phải f'(a 1 ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x 0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x 0 . Chẳng hạn: Xét hàm f(x) — |x| liên tục tại X = 0 nhưng không liên tục tại điểm đó. VUimMzM = 1, còn lim íMT m-m _ ỉ vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp: • /’(x 0 ) = lim /(*)-/(* o) • Hàm SỐ y = f(x) có đạo hàm tại điểm X = x 0 <=>■ f'(Xg ) = f\x 0 ) • Hàm SỐ y = f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: 1. /(x) = 2x 3 +1 tại X = 2 3. f(x) = ^x 3 +x 2 +l-l ... „ x Jstu tại X = 0 2. /(x)-ựx 2 +1 tại X = 1 0 khi x = 0 Lời giải. 1 .Ta 0 6ỊỊmM=M = x^2 X — 2 2. Ta có : /’(1) = lim ^ x \ f (1) = lim ^ x ' +1 x-l X >1 X — 1 ^TĨ-n/2 3. Ta có /(0) = 0, do đó: lim = lìm - 1 *-" 1 (x-l)(V* 2 +l+«/2) V2 /(*)-/(0) 1; „n/* 3 +* 2 +1-1 x + 1 _1 lim - -= — X^^x 3 +x 2 +l+l 2 . . . 2x 2 + |x+l| _ . .. Ví dụ 2. Chứng minh răng hàm số /(x) =-— 1 liên tục tại x = —l nhưng không có đạo hàm tí Lời giải. Vì hàm f(x) xác định tại x = —l nên nó liên tục tại đó. Ta có: /'(-1+) = lim ^ (x) ~{ ( ~ 1) = lim — = 1 J x V x + 1 x > r x-1 n-T)= lim_Mz/B) = lim 2 = 2 1 xĩ x+l xl =>■ /'(—1 + ) ^ /'(—1) => f( x ) không có đạo hàm tại X « — 1 . Ví dụ 3. Tim a để hàm số f X = X 2 -1 J X - 1 có đạo hàm tại X = 1 a khi X = 1 Lời giải. Để hàm SỐ có đạo hàm tại X = 1 thì trưóc hết /(x) phải liên tục tại X = 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. --2 Khi đó, ta có: lim = lim x ~^ — = 1. x”i x-1 £.1 x-1 Vậy a = 2 là giá trị cần tìm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra Câul. /(x) = 2x+l tại x 0 =l A.2 B.3 C.4 ísJBài làm 1. Ta có: /'(*„) = 2 x-1 A.-2 B.2 TsJBàilàm2. f\x ữ ) = -2 Câu 3. /(x) — \Ịx 2 \ -x +l tại điểm x 0 = 2 A .y/ĩ B.-% 2 47 fV) = ^ Ế±^ Ễ. = ìịm —iĩ-paa 5 ^ 2 (x-2)(Vx 2 +x+l+#) 2 # Câu 4. /(x) — sin 2 X tại X = ^ A. 0 B.l C.2 C 'S •sJBài làm 4. /'(^) = 0 D.-s/iĩ \/x 3 — 2x 2 + X + 1 -1 uu; _ Câu5. f(x)= ^ x 541 tại điểm x 0 = 1. 0 khi X = 1 A.ì B.Ỉ C.I 3 5 2 ìsJ3ài làm 5. lim = lim V* 3 -2* 2 +X + 1-1 = X - - “1 x-1 (x-1) 2 x ~*ì *Jx 3 — 2x 2 + X+1 +1 ... 1 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu 1. /(x) = sin 2% tại x 0 = 2 A.-l B. 2 c. 3 ìsJBài làm 1. Ta có: /(x) —/ộ = sin 2x — sin7T = 2cos Ị X + ^ Ị sin Ị X — ^ cos x + ^- .sin X — Vậy/' Ị =-l. Câu 2. /(x) = tanx tại x = -ị A.2 B.4 ìsJBài làm 2. Ta có /(x) —/Ị^j = tanx-tan^ = 1+tanx .tanỊx —^ /(*)-/ộ (l + tanx)tan x-^ Suy ra lim-— = lim--- - — 2 4 *~4 *' 4 * _ 4 v *y /'[ỉ)= 2 - Câu 3. f(x) = x 2 sin- khi x^o c? 3 Vậy /’(0) = 0. Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra Câu 1. /(x) — X 3 tại x 0 — 1 A. 4 B. 3 c. 5 ìsdBàilàml. Ta có: /(x)-/(l) = x 3 -l = (x-l)(x 2 +X+1) Suy ra: lim^-^—Y^ = lim X 2 + X+1 =3 Vậy/’(1) = 3. D. 4 D. 31 D. 7 D.6 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu 2. f(x) = khi X > 1 tại x 0 = 1. D. Đáp án khác ■aJ3ài làm 2. Ta có lirn f(x) = lim 2x +3 =5 r.r *- ,1 x-ĩ xT- Dẩn tới lim f(x) PẾ lim f(x) => hàm số không liên tục tại X = 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 =l. Câu 3. f(x) = khi X <0 ís.Bài làm 3. Ta có lim f(x) = lim - lim f(x) = lim x + x 2 =0 nên hàm số liên tục tại X = 0 x^o x->0~ m-m sin 2 X , lim 2-2-L — ͱ-L = lim _ = 1 và X x^0 + X 2 limMzM = l im /k = 1 * »0 X X >0 X Vậy/’(0) = 1. X + BỄ 4" 11 Câu 4. f(x) =-——i tại x 0 — —1. ía.Bài làm 4. Ta có hàm số liên tục tại x 0 = —1 và /(*)-/(-!) x 2 +x+|x+l| x + 1 x(x~ậf lim /+ 2j + 1 =0 :^ì+ x + l *-i~r x(x + l) Nên Do đó lim ; D.đáp án khác x + 1 x(x + l) U m jVl = 2 *-»~r x + l *-MTx(x + l) /(x)-/(-l) lim /(x)-/(-l) x + 1 x-í-r x+1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x 0 = —1. Nhận xét: Hàm số y = /(x) có đạo hàm tại X = x 0 thì phải liên tục tại điểm đó. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Bài 4 Câu 1. Tim a, b để hàm số f(x) = ị x x x — 1 có đạo hàm tại x = l. [ax + b khi x< 1 A>: 23 , C.Í*: 33 \b = -l \b = -n ịb = —31 ìsJBài làm 1. Ta có: lim /(x) = Ịim(x 2 +x) = 2; lim f(x) = \\m (ax + b) = a +b Hàm có đạo hàm tại X = 1 thì hàm liên tục tại X = 1 <=>-a+b = 2 (1) lim = lim Ể. + x ~ 2 = lim (x+2) =3 lim lim ax+h ~ 2 = lim a ^^ = a(Dob = 2-a) x-đr x—1 X >1 x-1 X .1 X—1 Hàm có đạo hàm tại X = 1 4^ 3 -1 Câu 2. Tim a,b để hàm sô' f(x) = \x 2 +l khi X > 0 có đạo hàm trên R . [ 2 X 2 +ax+b khi x<0 A.a = 10,b = u B.a = 0,b = -1 c.a = 0,b = l Đ.a = 20,b = l ís-Bài làm 2. Ta thây với X ^ 0 thì f(x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên R khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại X = 0 . Ta có: lim /(x) = 1; lim f(x) = b=> f(x) liêntụctạix = 0<t3-b = l. Khi dô: r«r> = x-*0 + X X—>0 _ X ^/’(0 + ) = /'(0-)oa = 0. Vậy a = 0,b = 1 là những giá trị cần tìm. Câu 3. Tim a, b để hàm sí A. fl = —ll,b = ll m= -ị-1 =-±- khiX >0 , -_ ux . ,. A ,_ n X -(. J có đạo hàm tại điểm X = 0 . ax + b khix <0 a = -10,b=10 c.a = —12,b = 12 Hàm SỐ liên tục tại x = 0 4$b =1 /(*)-/(0) x-1 , /(*)-/(0) lim ----= lim ——^ = —1, lim ----= lim a = a X X-.0+X+1 X X-»(T Hàm số có đạo hàm tại điểm X = 0 ■<=> a = — 1 Vậy a = — 1, b = 1 là giá trị cần tìm. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Quy tắc tính đạo hàm 1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thuơng của hàm số • (iqd=M 2 ±...±w n )'=íí 1 ±« 2 ±... ±íi n • {k.u(x)Ỵ = k.u\x) c umoỴ = u ' vw + uv' w + uvw' • (u n (x)Ỵ = nu' n -\x).u\x) [u(x)j u \x)v(x) — V \x)u(x) l\x) v 2 (x) u : 1.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y = f(u(x)) — f(u) với u = u(x ). Khi đó y' x =y' u -u' x . 2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Đạo hàm Hàm hợp (c)' = 0 (*)' = ! {x a Ỵ = 0 iX°‘- 1 u a ' = CM a ~ l .u' II €u ' = ^ (sinx)' = cosx (sin uỴ = u'. cos u (cosx)' = — sinx (cos«)' = — u'sinn (tanx)' = —\— tanw ’= u 2 cos X (cot xỴ = --— cotM ' u ' sin 2 X sừl 2 u Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y — x 3 —3x 2 +2x+l 3. y = y-x 2 +1 _ 2x+ĩ y x — 3 2. y = -x 3 +3x+l 4. y = -2x 4 +|x 2 +l , X 2 —2x + 2 y x+1 Lời giải. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. 1. Tacó: y'= -x 3 +3x+l =3x 2 -6x+2 2. Tacó: y'= -x 3 +3x + l = -3 x 2 +3 3. Ta có: y' = p--x 2 +l =x 3 -2x i 4 J 4. Ta có: y' = ị-2x 4 + |x 2 +1 = -8x 3 +3x 6. Ta có: y' (x-3) 2 (x-3) 2 , (x 2 -2x + 2)’(x + l)-(x 2 -2x+2)(x+l)’ (x+1) 2 (2x — 2)(x +1) — (x 2 —2x + 2) X 2 + 2x —4 (x + 1) 2 - x + l 2 Nhận xét: Với hàm số y = ta có: y' = ——. cx+d * ( cx+df Ví dụ 2. Giải bất phương trình f\x) > 0 biết: 1. f(x) — X^4—X 2 3. f(x) = Jx 2 ~x+l ±sỊx 2 +X+Ĩ 2. f(x) — X —2yx 2 +12 4. /(x) = ^x 2 +l--s/x Lời giải. 1. TXĐ: D = [-2;2| Tacó: m = JĨI7--jL r = ^= Do đó: f\x)>0 &ấ-2x 2 >0 0-42 <x <4Ĩ. 2. TXĐ: D = R - , , 2x 4 ỵ2 + 12 -2* Ta có: /’(x) = l- . =-— . — \Ịx 2 +12 yx 2 +12 Suy ra: /'(x) >flo \/x 2 +12 > 2x (1) • Với X < 0 thì (1) luôn đúng |x >0 • Với X > 0 thì (1) <x <2 |x 2 +12 > 4x 2 Vậy bất phương trình /'(x) > 0 có nghiệm X < 2 . 3. TXĐ: D = R 2x—1 , 2x+l Ta có: /’(x) = 24 x 2 'X hĩ 2^x 2 +X+1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Suy ra /'(*) = 0 ĩ-2x \Jx 2 +X+1 = l+2x \Ịx 2 -x+1 (1 — 2x)(l + 2x) > 0 lf , 3 ! (1 — 2xỴ = (l+2x) 2 4.TXĐ: D = [0;+oo Ta cỏ: f\x) = I I V' 2\j(x 2 +l) 3 2sfx f\x) >0&xsỉx>ịj(x 2 + 1) 3 &X 6 >(x 2 + 1) 3 o X 2 > X 2 +1 bất phương trình này vô nghiệm Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y — ^2x 2 +3x+l 2. y = ỵ^2x 2 +1 +3x +2 3. y = <j2sin 2 (2x-l)+cosVx 5. y = ^sin(tan x) + cos(cot x) 4. y = tan(sin 2 3x) + -^cot 2 (l—2 x 3 )+3 Lời giải. ( 2x 2 + 3x + iy 4x + 3 2^2x 2 +3x + 1 2^2x 2 +3x + 1 i^2x 2 +1+3X+2Ỵ 3). 2. Ta có y' = — ■ :N2x +1 5.%/2x 2 +l + 3x + 2) 4 __1_ 2x 5.^/2* ă + l+3x+2) 4 V2* 2 +1 _ . ,.. 1— . 2sin(4x — 2) ;= sin Jx 3. Ta có: ữp, e*-l)+<n»fiy _ * 2^2 sứi 2 (2x -1) + cos >/x 2^2 sin 2 (2x -1)+cos yfx _ 4\/x sin(4x -2)-sin Vx 4^2x sin 2 (2x - 1) + X cos \fx 4. Ta có: y' = [l + tan 2 (sin 2 3x)](sin 2 3x)'»-fisấ t 2>ựcot 2 (1—2x 3 )+3 , . 2 , . 2 - ,, . , . 6ar 2 [l+cot 2 (1—2x 3 )] cot(l —2x 3 ) = 3[1 + tan (sin 3x)]sin6x +--- M _1 - - . <ựcot 2 (l—2 x 3 ) + 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. E ... [sin(tanx) + cos(cotx)]' 3^[sin(tan x) + cos(cot x)] 2 (1 + tan 2 x) cos(tan x)+(1+cot 2 x) sin(cot x) 3^[sin(tan x) + cos(cot x)] 2 Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau : 1 ■fW = íf-f + 1 “ d ^ 1 2. fW = - |2x + 2 khi X <1 2 1 X cos — khi X ^ 0 2x 0 khix = 0 Lời giải. 1. Với X > 1 =>./(*) = X 2 -3x+l w /'(*) = 2x- 3 Với X < 1 =>- /(x) = 2x +2 =>■ / '(*) = 2 Với X = 1 ta có: lim /(x) = lim X 2 — 3x +1 = -1 ^ /(1) => hàm số không liên tục tại X = 1, suy ra hàm Ố không có đạo hàm tại X = 1 \lx — 3 khi X >1 khi X <1 Vậy /’(*)= : Với x = 0 ta có: lim ^ (0) = lim X cos = 0 =»• /''(0) = 0 X—>0 X x->ò 2x J ' Vậy f(*) = 2x —2- COS-V khix^O . 2j 2x 3 khi X = 0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm các hàm Số sau Câul. y = x 4 -3x 2 +2x—1 A. y' = 4x 3 —6x + 3 B. y' = 4x 4 -6x + 2 c.y' = 4x 3 -3x + 2 D.y' = 4x 3 -6x + 2 ìsJBài làm 1. Ta có: y' = 4x 3 -6x+2 y 3 Câu 2. y = — —|- 2x 2 + X — 1 y 3 A. y' = —2x 2 +4x+l B. y' =— 3x 2 +4x+l c. y'=-^x 2 +4x+l D. y' = —X 2 +4x+l ìs-Bài làm 2. Ta có y' = —X 2 +4x +1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu 3. y = 2x + l x + 2 3 x+2 2 x + 2 c. 3 x + 2 2 ^Bài làm 3. Ta có y' = (2»+ !)'(»+2)-(» +2)'(2ac+l) = ^5 (x + 2) 2 (x+2) 2 . x 2 -x+l Câu 4. y = --——-— “ X —1 B.Ẻ+* c.Ể+1 X-l X — 1 x + 1 ,, . rp / , _ (2x—l)(x—1)—(x 2 — x+1) X 2 — 2x TsJ3ài làm 4. Ta có y = -—-—— 7 T-- = - —7 (x-1) 2 (x-1) 2 Câu 5. y = - \ a a ad—bc A. — B. — c cx+d I a bị 11 - rp / I ad-cb \c d\ ìs-Bài làm 5. Ta có y = ————- = —-" 7 " (cx+dỷ ( cx+d ) ad+bc ■ .2 cx+d D. 2 x+2 2 D. —2x —2 X — 1 2 p ad—bc cx+d , .. a#-iậfcx+e , * Câu 6. _y =-——, aa ^0. a'x + b' . aa'X 2 +2ab'x+bb'-a'c A. =- - - (fl'x + b') £ _ aa'x 2 -2 ab'X + bb'-a'c (a' x+b') 2 g _aa'X 2 +2ab'x + bb'-a'c {a'x+b'ỷ D _aa'x 2 +2ab'x-bb'-a'c (a'x + b'Ỹ , - , , (2ax + b)(a'x+b')-a\ax 2 +bx+c) ìsJ3ài làm 6. Ta có: y = -—-- ——f -- (a'x + b') 2 _ aa'x 2 +2ab' x+bb'—a' c ựx+bf Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y = x^/x 2 +ĩ GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. X +1 2sJx Ầ +l tsJBài làm 1 . Ta có: y' = x'\Ịx 2 +1+ <Jx 2 +1 'x c 4x +1 r^; + (jậ+£ J 2 V* 2 +t : 2x 2 +1 Vx 2 +1 Vx 2 +1 Câu 2. y = (2x+5) 2 A. - 12 12 c.- 2x+5 "ỉs^Bài làm 2. Ta có: y' = 2-2x + x 2 2x + 5 2x4- 3Ị(2x+5) 2 Ị _ 12(2x + 5) _ 12 (2x + 5) 4 ~~ (2x+5) 4 ~~ (2x + 5) 3 Câu 3. y = - X z -1 2x 2 +6x + 2 , T , , (2x—2)(x 2 — 1) — 2x(x 2 — 2x+2) 2x 2 -6x+2 tsJ3ài làm 3. Ta có y = - -—-^-- =- - — ' (x 2 -l) 2 (x 2 -l) 2 Câu 4. y = ự3x + 2tanx 5 + 2tan 2 x 5—2tan 2 x —5+2tan 2-v/3x + 2tanx 2^3x + 2tanx 2sị?>x + 2 tan X (3x + 2tanx) 3-1-2(1-1-tan x) 5-1-2 tan X ầkBài làm 4. Ta có: y' 2-N/3x + 2tanx 2-N/3x + 2tanx 2^3x + 2tanx ( -5-2 tan 2 X 2^/3x+2tanx Câu 5. y = sin 2 (3x+1) A. 3sin(6x+2) B. sin(6x+2) c. — 3sin(6x+2) D. 3cos(6x+2) ìsJBài làm 5. Ta có: y' = 2sin(3x + l).[sin(3x-|-l)] =2sin(3x+l).3cos(3x-|-l) = 3sin(6x-|-2). Câu 6.y = (x+l)\/x 2 +X+1. . 4x 2 —5x+3 A .— - 2'ịx 2 +X + 1 4x 2 +5x-3 2Ậ 2 +x + 1 Vx 2 +x + l 2Ậ 2 + X4 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ,>_ , rp _ r , o t í.. 1\ 2x + l 4x +5x+3 ìSkBíìi lâm 6. Ta co y = \ịx “Ị- X "Ị~ 14“(x-fKỊ|Ị|'— I — — ,1 2^x 2 +x+1 2sỊx 2 +x + 1 Bài 3. Tính đạo hàm các hàm Si 7 2 Câu 1. y = X 7 +x A. y' = (x 7 + x)(7x 6 +1) B.y' = 2(x 7 +x) c. y' = 2(7x 6 +1) D. y' = 2(x 7 + x)(7x 6 +1) ^Bàilàm 1ĐápánD Câu 2. y = X 2 +1 5-3x 2 A. y' = —X 3 +4x B. y' = —X 3 —4x c. y' = 12x 3 +4x D. ^Bài làm 2 Ta có; Đáp án D Câu 3. y = -y— X -1 . 2x 2 -2 _ —2x 2 + 343 A. 7 7 7 7 (x 2 -l) 2 (* 2 -l) 2 _2x 2 -2 c. f ; D. (x 2 +l) 2 , 2(x 2 — 1)—2x.2x —2x 2 —2 >sJBài làm y' = —-" — = —4-- (x 2 -l) 2 (x 2 -l) 2 Câu4. y = x 2 2x+l 5x-3 A. y' = 40x 2 —3x 2 —6x B. y' = 40x 3 -3x 2 -6x c. y' = 40x 3 +3x 2 —6x D. ìsJ3ài làmy = 10x 4 -X 3 -3x 2 =4y’ = 40x 3 -3x 2 -6x Câu 5. y = Ị4X + —Jj A.y’ = 3Ị4 + -ỉ^|Ị4x + ^-| Cy, = h + Ặ) "a43ài làm y' = 3Ị4-^|4x + -|-Ị D .y’ = -12x 3 + 4x (x z -lf Câu 6. y = (x+2) 3 (x+3) 2 A. y' = 3(x 2 + 5x +6) 3 + 2(x + 3)(x + 2) 3 B. y' = 2(x 2 +5x +6) 2 + 3(x+3)(x+2) 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. c. y ' = 3(pc 2 + 5*+6) +2(x + 3)(x + 2) ísJBài làm y' — 3(x 2 +5x+6) 2 +2(x+3)0+2) 3 D. y' ' = 3(x 2 +5x+6) 2 +2(x+3)(x +2) 3 Câu 7. y — \ịx 3 -3x z +2 . , 3x 2 -6x _ , 3x 2 +6x _ , 3x 2 -6x _ , 3: A -y =4=^ B -y - - /7 7 2 - c -y - y = 771 sịx 3 — 3x 2 +2 2yx 3 —3x 2 +2 2sỊx 3 -3x 2 -2 2^x 3 ìs.Bài làm 1 /' = 3x 2 -6x 2\jx 3 —3 x 2 +2 Câu 8. y — X 2 +Xs/x+l A.y' = 2 x + \Ịx+1- c. y' = —L= 2jx + ĩ ^SkBcỉi lãm y = 2x -|- ■ ĩ -|- 2yfx+ĩ B.y' = 2 x-yỊx+ĩ+ _ jL- 24 x+Ĩ D.y' 2x • Jx + 1 , x 2-y/x + l Câu 9. y = A.y' = - ís.Bài làmy' = - ^7 +t . _ vá (a 2 -x 2 ) *-y' = fl 2 „ 2ữ 2 a 2 ■ - c.y = = D.y ' = - = Ạa 2 +X 2 ) 3 Ậa 2 -X 2 ) 3 Ậa 2 -X 2 ) 3 ịự-x 2 ) 3 Câu 10. y = . , 3 1 A. y =———= 2* 2 VĨ 5.y' = — ầkBài làm y' Câu 11. y = A.y' , _ (xsỊx)'_ 3 1 í 3 1 + * l-3x c.y’ = 1 x 2 4 x c.y' = - 2 X 2 4 x =-■ ■ D.y' = —^==22== 3 2J(l — x) 3 2Ậ1-X) 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ìs-Bài làm y' = - 1+g l-3x 2Ậ1-X) 3 Câu 12. y = sin 2 3x A. y' = sin6x ìs.Bài làmy' = 3sin6x B. y' = 3sin3x c. y' = 2sin6x D.y' = 3sin6x Câu 13. y — -\/3tan 2 x+cot2x _ 3 tan x(l + tan 2 x) - (1+cot 2 2x) 3^3 tan 2 X +cot 2x A.y’ = c.y , _ 3tanx(l + tan 2 x)+(l+cot 2 2x) ■\/3tan 2 x+cot2x *.Bài v3tan 2 x + cot2x Câu 14. y = sịx 3 + cos 4 (2x— A.y' = - 3x + 8 cos (2x — “) sin(2x — -) c.y' = 3|Ịx 3 +cos 4 (2x-|)j 6x 2 - 8 cos 3 (2x - 71 ) sin(2x - ■&Bài làm y 1 = - 33|Ịx 3 +cos 4 (2x-|)j 3x 2 - 8 cos 3 (2x - Ị) sin(2x - Ị) B.y' D.y _ 3 tan x(l + tan 2 x) - (1+cot 2 2x) 2\Ị3 tan 2 X +cot 2x , _ 3tanx(l + tan 2 x)-(l+cot 2 2x) ^3tan 2 x + cot2x B.y' = - 3x — 8 cos 3 (2x — y) sin(2x — --) 4 f 43 x 3 +cos 4 (2x- D.y' = 3x 2 - 8 cos 3 (2x - sin(2x - 17 ) _ 4 4 33ỈỊx 3 +cos 4 (2x-|)Ị Câu 15. y = 2sin X +2 A. y' = xcos(x 2 +2) ^s-Bài làm y' = 4xcos(x 2 +2) 5. y' = 4cos(x 2 +2) c.y'= 2xcos(x 2 +2) D. y' = 4xcos(x 2 +2) Câu 16. y = cos 2 sin 3 x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A. y' = — sin(2 sin 3 x) sin 2 X cos X c. y ' = — 7 sin(2 sin 3 x) sin 2 X cos X B. y' — — 6sin(2sin 3 x)sin 2 xcosx D. y ' = — 3 sin(2 sin 3 x) sin 2 X cos X ■aJ3ài làm y' — — 3sin(2sin 3 x) sin 2 Xcos X Câu 17. y = x sinx . , sinx —cosx „ , sinx — xcosx _ , sinx + cosx „ , sinx — xcosx A.y = — - B.y' =-—- c.y' =- * ' _ D.y =-- sin z x sinx sin X sin X sinx —xcosx ^s.Bài làm y =--— - - sin 2 x Câu 18. y = — COS f + ^cotx ‘ 3 sin 3 X 3 A.y' = cot 3 x —1 B. y' = 3cot 4 x—1 C.y' = cot 4 x-l D.y' = cot 4 x •aJ3 ài làm y = — ỉ cot x(l+cot 2 x) + ^ cot X = — ỉ cot 3 X + cot X Suy ra y' = c °t 2 x(l+cot 2 x)-l-cot 2 x = cot 4 x-l Câu 19. f (x) = , 1 X sin- khix^O X 0 khi X = 0 . r ,, , x 2 sin--xcos- khix^o A. f (x)= X X A .f(x) = B .f\x) = 2 . 1 1 3x sin—-xcos— khix^O 0 khi x = 0 0 khi x = 0 _ ... . 3x 2 sin- + xcos- khix^O c.f\x) = X X 0 khi X = 0 _ , 1 1 "aJBài làmx^0=ệ*/'(x) = 3x sin——xcos — D. f\x) 3x 2 sin——cos — khix^O X X 0 khi x = 0 Bài 4. Tính (f 0 /’ 1 . 2 Tính —— —. Biết răng : /(x) = X và íp(x) = 4x + sin 7rx T <^’(0) 8-tt V(0) 8 + tt c /’(!) _ 4 ■ y>’(0) 7T D.m = 7 A_ <p’(0) 8 + 7T GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ísJBài làm Bài 4. /'(x) = 2x =>/'(l) =2;y>'(*) = 4 + |cosy =*y>'(0) =4+^ /'(!)_ 4 Suy ra ^( 0 ) “ệ . . Bài 6. Tìm m để các hàm số Câu 1. y = (m—l)x 3 — 3(m+2)x 2 —6(m+2)x+l có y’>0, VxeR A.m>3 B. m > 1 c.m>4 ísJ3ài làm 1. Ta có: y' = 3ị(m-l)x 2 -2(m+2)x-2(m+2)Ị Do đó y'>0 <^(m—l)x 2 —2(m+2)x—2(m+2) >0 (1) • m = 1 thì (1) 6x—6 >0 «=>x < —l nên m = l (loại) • m ^ 1 thì (1) đúng với Vx G R •$=> 1^, 1 > ^ „ \m> 1 <^•1, ... <^>m>4 [(m + l)(4 —m) <0 Vậy 7M > 4 là những giá trị cần tìm. 3 Câu2. y =3 —mx 2 +(3m-l)x+4 có y'<0, VxeK. A.m<^Ỉ2 B.m<2 c.m<0 ìsJBài làm 2. Ta có: y'= mx 2 — 2mx+3m— 1 Nên y'<0<^>mx 2 — 2mx+3m-l<0 (2) • m = 0 thì (1) trở thành: — 1 < 0 đúng với Vx e M • m ^ 0, khi đó (1) đúng với Vx € M <^> \m<0 \m<Q _ _ [m(l-2m)<0 [l-2m>0 Vậy m < 0 là những giá trị cần tìm. |« = m<0 [A’<0 Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm sô sau x 2 sin- khix^o X 0 khi X = 0 Câu 1. f(x) = A .f(x) = cos— khix^o X khi X = 0 . 1 xsin- X 0 Đ.m>A-j2 Đ.m<0 X cos — khix^o X khix = 0 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. c.f\x) = 2xsin — — xcos — khix^o : X X 0 khi x = 0 ísJ3ài làm 1. Vói x^o ta có: /'(x) = 2xsin--cos- X X Tại x = 0 ta có: lim ~ / (0) = lim X sin - = 0 Vậy f\x) = Câu 2. /(*) = A ./'(*) = 2xsin—cos- khix^o X X 0 khix =0 c ./’(*) = [x 2 +x+l khiX<1 yỊx — 1 +3 khix > 1 2x khix< 1 khi X> 1 lyỊx — ĩ 2x + l khix <1 1 = khi X > 1 -1 ■a43ài làm 2. Với X<1 ta có: /'(*) = 2x+l Với X > 1 ta có: f\x) = -L — 2yx—1 Tại X = 1 ta có: u M-M ir X—1 x-ứ X — 1 hàm tại X = 1 2x + l khi X <1 Vậy /'(*) = ■ 1 77 - -- khi X > 1 D.f(x) = 2xsin- X 0 os — khi X ^ 0 khi X = 0 B./’(*) = D./’(x) = 2x + l khix <1 J= khi X>1 2x + l khi X <1 L : i _ khi X>1 x ^ = +00 suy ra hàm số không có đạo Bài 8. Tìm a, b để các hàm số sau có đạo hàm trên R ,,, |x 2 -z + l khi X <1 Câu 1. . f(x) = \ [-X +ax+b khix>l ịa = 13 B> = 3 8 II ũ D.|» = 3 t* = -l \b = -n [b = -21 = ís.Bài làm 1 Với X ^ 1 thì hàm số luôn có đạo hàm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Do đó hàm sô' có đạo hàm trên R hàm sô' có đạo hàm tại X = 1 . Ta có lim f(x) = 1; lim f(x) = a+b-ĩ Hàm sô'liên tục trên R 4^a+b —l = l<=>-ci+b =2 Khi dó: x-7r x-1 .. /(»)-/(-x 2 +ax + l-a Nên hàm sô' có đạo hàm trên R thì fl + b = 2 a=3 x z +x + l khi X > 0 Câu 2. f(x)= x + l X 2 + ax + b khi X < 0 A.a = 0,b = u B.a = 10,b = ll ìsJBài làm 2. Tương tự như ý 1. ĐS: fl = 0,ỉ? = 1. c. fl = 20,b = 21 D.fl = 0,b = l Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau Câu 1. y = (x 3 +2x) 3 A.y' — (x 3 + 2x) 2 (3x 2 + 2) c. y' = 3(x 3 +2x) 2 +(3x 2 +2) B. y' = 2(x 3 + 2x) 2 (3x 2 + 2) D. y 1 = 3(x 3 +2 x) 2 (3x 2 +2) ^Bài làm l.Ta có: y’ = 3(x 3 +2x) 2 X 3 +2x = 3(x 3 +2x) 2 (3x 2 +2) Câu 2. y = (x 2 — l)(3x 3 +2x) A.y’5= X 4 — 3x 2 —2 B. y' = 5x 4 —3x 2 —2 c.y' = 15x 4 -3x 2 D. y' = 15x 4 -3x 2 -2 •sJ3ài làm 2. Ta có: y'= 2x(3x 3 +2x)+(x 2 -l)(9x 2 +2) = 15x 4 —3x 2 —2 câ " 3 ' y =hèf Ri/ 1 — 2 . 2 3 Ifi+_LÌ 1 3x 2 , 11 3x 3 J D.y —z x + 3x 2 , l[ 3x 3 J U—ì l( 1 + 3^| D.y' = 2 L + J_ 1 3x 2 J 1 + 3x 2 J1 3x 3 J ■aJBài làm 3.Ta có: y’ = 2 x + -^- 1— [ 3 x 2 ){ 3x 3 J Câu 4. y = 2sin 3 2x + tan 2 3x+xcos4x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A. y'=12 sin 2 2x cos 2x + 6 tan 3x 1 + 2 tan 2 3x + cos4x-4xsin4x B. y' = 12sin 2 2xcos2x + 6tan3x l + tan 2 3x +cos4x —xsin4x C. y' = 12sin 2 2xcos2x + tan3x 1—tan 2 3x +cos4x—4xsin4x D. y'=12sin 2 2xcos2x + 6tan3x l + tan 2 3x +cos4x-4xsin4x ìsJBài làm 4. Ta có: y' = 12sin 2 2xcos2x+6tan3x l+tan 2 3x +cos4x—4xsữi4x Câu 5. y = A.y' = c.y' = sin2x X X cos3x 2xcos2x + sữi2x cos3x+3xsin3x c cos 2 3x 2xcos2x — sứi2x cos3x + 3xsin3x ỉ.y' = 2xcos2x + sin2x X 2 cos 2 3x ís.Bài làm 5. Ta có: 2x cos 2x— sừi 2x cos 3x+3x sin 3x D.y' = 2xcos2x — sin2x Ísứi2x] 1 2xcos2x—sừi2x 1 ' X ì cos3x + 3xsin3x 1 * J r X 2 ' 1 k cos3xJ 1 cos 2 3x Nên y' = - cos 3x ^cos3x+3xsin3x cos 2 3x cos 3x+3x sữi 3x cos 2 3x Câu 6. y = xsinlxỆỆx 3 +x 2 +1 A. y' = sin2x—2xcos2x + 3x 2 +2x >*& + x 2 +l -ị- 2.X c. y' = sinlx+lxcoslx - * == 2Vx 3 +x 2 +1 3x 2 +2x ìsJ3ài làm 6.Ta có: y' = sin2x + 2xcos2x H- , = 2yx 3 +x 2 +1 B. y' = sin2x+2xcos2x + - D.y' = sin2x + 2xcos2x + 3x 2 + 2x N+ + r+l 3x 2 +2x 2^x 3 +x 2 +1 Câu 7. y = yỊlsin 2 x+x 3 +1 . , 2sin2x + 3x 2 A.y = —. y2sin 2 x + x 3 +1 _ , sứi2x+3x 2 c. y = 7 7 ò y2sin 2 x + x 3 +1 ,, _ rp , „ . 2sừi2x + 3x 2 tsJ3ài làm 7. Ta có: y = — 2y2sin 2 x + x 3 +1 Câu 8. y = \Ịjx 2 +1+2X-Ĩ „ , 2sin2x + 3x 2 B.y ' = — " = = 2 y2sin 2 x + x 3 +1 „ , 2sin2x —3x 2 D.y' = —====== 2y2 sin 2 X + X 3 +1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A.y' = X + 2yỊx 2 + Ậx 2 +1) \Jx 2 +1 c.y' = - +2x — l 2 |(x 2 +l) v* 2 +l+2x-l !.y' = D.y’ = x + yx 2 +' Ạx 2 +1) V* 2 +1 +2x-l x+2‘\Ịx z +1 ísJBài làm 8. Ta có: y' = \/x 2 +1 +2x—1 2^j(x 2 4 ■ f 42 r —— yX 2 +1 _ x + 2-ựx 2 +1 2^x 2 +l + 2~ 2 Ậx 2 +1) ^/x 2 +ĩ+2x-l 2,ị(x +1) yx +1 + 2x —1 Câu 9. y = xtan 2 x + ^il cotx A. y' = tan2x —2x l+tan 2 2x +tanx+(x+l)(tan 2 +l) B. y' = tan2x+x l+tan 2 2x +tanx+(x+l)(tan 2 +l) C. y’ = tan2x+2x l + tan 2 2x +tanx+2(x+l)(tan 2 +l) D. y’ = tan2x+2x l + tan 2 2x +tanx+(x+l)(tan 2 +l) ìsJ3ài làm 9. Ta có: xtan2x =tan2x+2x l + tan 2 2x = [(x+l)tanxl =tanx+(x+l)(tan 2 +l) (cotxJ L J Nên y' = tan2x + 2x l + tan 2 2x +tanx+(x+l)(tan 2 +l) Câu 10. y = 3 sin 2 HH HI sin 2 | B 1/' — 2 1 ísin 3 Ỉ2x- — +1 D.y — 2 |sm 3 Í2x--]+l 1 1 3 \ í l 3j sin 2 HH 2x-|Ị 3 sin 2 HH M ì Dy ~~ 1 í J 'sin 3 2x-- + 1 J sin 3 2x-- 1+1 V 1 3, ) V 1 3j GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 22 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ■aJBài làm 10. Ta có: y' = 3 sin 2 MH M J sin 3 Ị 2 X- 71 ì "ãj I+ 1 Bài 10. Giải bất phương trình : Câu 1. /'(*)> 0 với f(x) = 2x 3 -3X 2 +1 . í*<0 „ _ A. B. X <1 [x > 1 ìs.Bài làm 1. TXĐ: D = R Ta có: f\x) = 6x 2 —6x, suy ra f'(x) > 0 X < 0 X>1 Câu 2. f\x) < 0 với /(x) = —2x 4 +4x 2 +1 A [-1 < X <0 A. [x>l c. X>1 ìsJBài làm 2. TXĐ: D = M B.-1<X<0 D. X <0 Ta có: f\x) — -8x 3 +8x, suy ra f\x) <0 4» Câu 3. 2xf\x)—f(x)>0 với /(x) — x+\Ịx 2 +1 A.x > B. X > *==; ìsJBài làm 3. TXĐ: D = m Ta có: f\x) 1 + X f(x) ^x 2 +1 yỊx 2 +1 Mặt khác: /(x)>x + a/x 2 ' = x+Ị^Ị>0, VxgM 1 < X <0 >1 C.x<-= s D.x>" V3 Vx 2 +1 f-r —7 |x>0 1 4> 2x > V* +1 0-1 , . <ĩ>x>-=. [3x 2 >1 y/3 Câu 4. /’(*)>0 với /(*) = * + >/4-x 2 . A.-2<x<a/I B.X <-v/2 ìsJBài làm 4. TXĐ: D = [-2;2] Ta có: /’(x) = l»-^ * ■=>/’(*) > 0 4» ^4-x 2 > X V4-X 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. —2 < X < 0 o jx>0 \ể-x 2 >x 2 ị-2 < X < 0 |o < X < sỊĨ o-2<x<>/2 . Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn f (^) — f (*n ) Từ định nghĩa đạo hàm /'(x 0 ) = lim -—-— - f§ |ịa thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của X^Xg x — x ữ hàm số. Cụ thể • Để tính A = lim , biết g(X[Ị ) = 0. X-^X-Xg Ta viết g(x) — f(x) — f(x 0 ) . Khi đó nếu /(x) có đạo hàm tại x 0 thì : A= ^mzm =fM . x *% X ~ X 0 • Để tính: B = lim ĨỊ &, biết F(x 0 ) = G(x 0 ) = 0. * * 0 G(x) Ta viết T(x) = /(x)-/(x 0 ) và G(x) = g(x) -g(x 0 ). m-f(x o) x ~ x n /'(* o) Nếu hai hàm số f(x),g(x) có đạo hàm tại X = x ữ và g '(x 0 ) ^ 0 thì: B = lim ——-5— = 0 x ,x 0 s( x ) —&( x ọ) 8 ( x o) Các ví dụ Ví dụ 1. Tính các giói hạn sau : 1 Hr,'* > 1 „ B lim ^/2x-l-ự3x-2 *->0 X — 1 -1 3 c lim tf 1 + 3x 1 D x + x 2 Lời giải. 1. Đặt /(x) = </l- >/’(*) = 3^/(1 -x) 2 A=ì ^ mxa =m= -1 X .0 x _0 J w 3 r và /(0) = 1 X —0 ' 3 2. Đặt /(x) = f2x-l - \Ị3x—2 3 >/’(*) = 3.Ệ2X-1) 2 2.43X-2 và /(1) = 0. , B = limJ-.MzM = 'v “l x + l X —1 :li 1 . lim /WzM = I. /X1) = 2_3 5 ĩ-ix+1 *-à X—1 2 7 w 3 2 9 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. 3. Đặt f(x) = ựl+3x =>G = lim ^ x) ^ (0) = /'(0) = - ■ x^o X n 4. Đặt /(x) = ^1+x 2 — yjl—2x =>•/'(*) = - 2x ” 3.^(1+* 2 ; 2x) 3 D = lim -ị- .lim ^ (x) ^ (0) = /'(0) = ị. ì-01+l x“o X 2 Ví dụ 2. Tính giới hạn sai . Ậ+2x 2 -ựl + 3x 2 a : A = lim ------ 1 —cosx Lời giải. Vl + 2x 2 — yl + 3x 2 Ta có: A = lim - /(*) -2-ỉli Đặt t = X 2 => lim f(x) = lim Ể+K-Ế+R = 0 . X .0 J t lũ t Vậy A = 0. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau A.25 B.26 C.27 ^Bài làm 1 Xét hàm số /(x) = (1+3x) 3 -(1-4x) 4 =*-A = /'(0) = 25 Câu2. B = limíĩ±^±Ml±^l X »0 X A.6 B.4 C.3 ìsJ3ài làm 2. Xét hàm số f(x) = (1 +x)(ĩ +2x)(l +3x) — 1 =>- B = /'(0) = 6 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ■aJ3ài làm 3. Xét hai hàm số f(x) — ựl +ax -1 ,g(x) — 'yỊl+bx —1 —=2ẫ ma nb' Câu 4. D = lim — A.o D.3 Bài 2 Tìm các giói hạn sau ^2*-1-1 Câu 1. A = lim — ísJBài làm 1. Đặt f(x) = ẹỊ2x-l -1 =>■ f\x) = 2 _ 2 /'(!)=§ 3Ậ2x-lf 3 vằg(x) = l-^2-x 2 =>g\x) = - Ị ^==>gX 1) = 1. 42-x 2 /(*)-/(!) Khid6:A = 1 .n;M = l in; /W-/W =U ^ ^-l = m = |. *-*ìg(*)-g(l) g(*)-g(l) g’(l) 3 x-1 Câu 2. B = lim v ^ . v — *-ío sinx A.l B.2 "aJBài làm 2. Đặt f(x) = ^2x+ĩ-ylx 2 ~bĩ^f\x) = J2x+1 3Ậx 2 +1) 2 =>•/'(0) = 1. Và g(x) = sin;t=^g'(x) = cosx=^g'(0) = 1. m-m Khi đó: B = lim^ = lim *-*°g(x) rrò g(*)-g(0) g’(0) _ , ^_ ìim ^ 26 x 3 +l-ịỊ 80 x i +l Câu 3. c = lim-- ' - ;:i Vĩ-1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ísJBài làm 3. Đặt g(x) = 4x -l^ệ-g'(x) = — 7 = =»>#'(1) = ị và 2yỊx 2 /(x) = n/26x 3 +1 - t/80x 4 +1 => f\x) = 26 _ 80x 3 \j(26x 3 +1) 2 yỊ(80x A +1) 3 /(*)-/(!) Khi đó: c = lim® = lim ®. Ao g(*)-g(l) g'(l) 27 Câu 4. E = lim A. yỊể—lx+x 2 ~^4+2x+x 2 ^2+x —-Ỉ2—X \ỈĨ-\Ỉ2 B ^4.^ 3 ■ 3 c.-f 3 ìsJBài làm 4. Xét hai hàm số f(x) = ^4-2x+x 2 -^4+2x+x 2 g(x)=s]2 + x-^2-x Xac6:£ = m = _%Ễ. g’(0) 3 D.l Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân Phương pháp: Vi phân của hàm sô' • Tích /'(Xq).Ax được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 (ứng với số gia Àx) được kí hiệu là df(x 0 ) — f'(x 0 )Ax. • Nếu hàm SỐ / có đạo hàm /’ thì tích /'(x)Ax được gọi là vi phân hàm số y = f(x) , kí hiệu là: dfự)=f\x)Ax. Đặc biệt: dx = x'Ax = Ax nên ta viết df(x) = f\x)dx. Đạo hàm cấp n • Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số / có đạo hàm . Nếu /' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của / và được kí hiệu là: /", tức là: /" = (/')'. • Đạo hàm cấp n: Cho hàm số / có đạo hàm cấp n — 1 (với n e N,n > 2) là / ( " . Nếu / ( " cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của / và được kí hiệu là / (n) , tức là: fn )=if n-l )y Các ví dụ Lời giải. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Ta có: y' = -— y" = . , y"' = - , (x-2) * 1 2 (x-2) 3 (x-2) 4 5 * Bằng quy nạp ta chứng minh: y (n) = ( ^ ' 7 ' n ' (2) (x —2) n+1 • Với n = 1 ta thấy (2) đúng • Giả sử (2) đúng với n = k, tức là: y w = 6 y (x-2) k+1 Ta có: y (ifc+1) -f ( ~ 1)fc - 7 ; fc! ] : (-y k - 7 - k '-( k +V U*-2) fc+1 J (x-2) k ~ 2 (—l) k+1 .7.(k+l)\ (x-2p n (2) đúng V SỐ tự nhiên n . Ví dụ 2. Cho đa thức /(x) = X 3 — 5x 2 +1. Viết /(x) dưới dạng lũy thừa của X — 2 Lời giải. Ta có: /(X) = ^p<x -2) 3 +LỆ(x-2) z +ỉ^-(x-2) +/(2) Mà f\x) = 3x 2 - lOx, / "(x) = 6x -10, / ”'(x) = 6 Nên /(x) = (x - 2) 3 + (X - 2) 2 - 8(x - 2) -11. Ví dụ 3. Tim vi phân của của hàm số: 1. y = X 4 —2x+l 2 x 2 — 6x+5 2x + 4 5. y = %/4x 2 +tan X 3. y = 2. y = (x 3 +2)(x+l) 4. y = sin3xcos5x Lời giải. 1. Ta có dy = (x 4 — 2x+l)'dx = (4x 3 -2)dx 2. Ta có y = x 4 +x 3 +2x+l ^>dy = (4x 3 +3x 2 +2)dx 3 Ta có v’ ( /í x-6)(2x+ấ)-2(2x 2 -6x+5) 4x 2 +16x-34 (2x • 4) 2 ~~ (2x • 4) 2 (2x+4) 2 _ „ , , 8x + l + tan 2 x , 8x+14-tan 2 x_, 5. Ta có: y = — . = => dy — — ■ 2>/4x 2 +tanx 2*v/4x 2 +tanx GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y = sin2x Câu 1. Tính y" A. y" = — sin2x B. y'' = — 4sinx c. y" = sin2x 1 ■aJBài làm 1. Ta có y' = 2cos2x => y" = —4sin2x Câu 2. Tính y (4) (^) A. 4 và 16 B. 5 và 17 c. 6 và 18 1 ầkBài làm 2. Ta có y'" = -8cos2x, y (4) = 16sin2x Suy ra y m (|) = -8 cos y = 4; y (4) (= 16 sin I = 16. Câu 3. Tính y(") A. y (n) = 2” sin(2x + n |) B. y (n) = 2” sin(2x + c. y (n) = 2" sin(x +|) D. y (tt) = 2" sin(2x+n|) ^sJBài làm 3. Ta có y' = 2sin(2x + ^),y" =2 2 sin(2x+2^), y= 2 3 sin(2x + 3^) Bằng quy nạp ta chứng minh y ^ = 2” sin(2x +u Với n = 1 =t- y' = 2 1 sin(2x+đúng Giả sử y w = 2 k sin(2x +k^), suy ra y (fc+1) = y w ' = 2 fc+1 cos(2x+Ầ:|) =2 k+1 sinỊ2x +(k +1)^Ị Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Bài 2 . Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau (ra) _ (ir 1 .3.n! (X-2Ỵ GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. _ 3 . 2.3 _ , ._. , _ {-l) nl .3.nỉ y = — . Ta chứng minh y' ' = - (x + 2) 4 (x + 2) n+1 . _ (— 1)°.3 _ 3 .. (x + 2ý (x + 2) 2 _ , , <k) _ (-1 ỷ- 1 .3.kì • Giảsử! ' (x + 2) 2fc+2 (x+2) fc+2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. Ay ,„ = (ízx + ỉ>)” + (x + l)” + a 2 .2 Cy<’) = -fcg£l (ax+b)" + D.y<”)=í=ííf^ (ax + fc)" +1 ís.Bài làm 2. Ta có y’ = (ax + fc) 2 (ax+ỈO 3 (íix+b) đúng Ta chứng minh: ì/") = -— ^ ' a ' n ' (ax+br 1 • Với n = 1 => y = - — =-——- ( ax+b) ( ax+b ) 2 .Giảsủy«=t^ (ax + ỉ))^ (-l)^fc!.[(ax+frV c+1 ]’ (- 1 )*+V+I,(fc + 1 )! (ax + fc) 2ỉ:+2 ~~ (x+2)^ 2 Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh. sệ- y fc+1 = y w ' = Câu 3. y A.y (n) = c - y (n) = ■&Bài làm 3. Ta Suy ra y = —— 3 * x-í 2x+l -5x +6 (2)".7.n! (l)".5.n! B v (n)_(-l) n+1 -7-«! (—l)" +1 .5.n! (x—2)" +1 (x—3)” +1 (x—2) n+1 (x — 3)” +1 (—l)".7.n! (—l)".5.u! (n) (—l)".7.n! (—l)".5.n! (x—2)" (x —3)" y “c-íT (x—3)” +1 1 có: 2x+l = 7(x—2)—5(x—3); X 2 —5x+6 = (x—2)(x—3) 5 3 X 2 (—l)”.l".n! (-1)”.»! f 1 f (-!)"•«! = (x—2)" +1 (x-2)” +1 'U-2j (x—3)” +1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 1 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Nên y <n ) = (-ir.7.nl(-l)”.5.nl (x—2) n+1 (x-3) n+1 Câu 4. y = cos2x A.y (n) = -1 ”cosÍ2x+n|Ị B. y (n) = 2” cos| 2l+ f) C.y (n) =2" +1 cos|2x+n- D.y (n) =2”cos h +R fỊ ■aJBài làm 4. Ta có y' = 2cosỊ2x+^-j,y" = 2 2 cos|2x +2^j y'" = 2 3 cos|2x+3^j. Bằng quy nạp ta chứng minh được y (n) = 2" COSỈ2X +M^| Câu 5. y = ^2x+l , : .(n)_ (-l)" +1 ^...(3n-l) B.yW=. ự(2x + l) 2 ”- 1 c. v (») = (-1) +1 -3-5...(2w -1) D = Ậ2x + Ĩ) 2n+1 \ \ 3 ìScBài làm 5. Ta có y' = ■ . = — ■ ,y'" = — = •J2x+1 Ậ2X + T) 3 Ậ2X+1) 5 Bằng quy nạp ta chứng minh được: y (n) = - -3-5—(2u 1) \/(2.r • l) 2 ” 1 (—l) n ~ 1 .3.5...(2w—1) ^x+l) 2 "- 1 (—l) n+1 .3.5...(2n—1) ^x+l) 2 ”- 1 Câu 6. y = - A M 5.(-l)”.n! | 3.(-l)”.n! (x—2) n+1 (x-l) n+1 c.y w 5.(-l)”.n!.3.(-l)”.n! = (x—2 ) n+1 : (x-l )" +1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: y(" B 00 5.(-l)”.«! 3.(-l)”.«! (x+2) M+1 (X-I) n+1 D w _ 5.(-l) n .n! 3.(-l)".n! (x—2) n+i (X-I) n+1 5.(—l)".w! 3.(-l)”.w! (x-2) n+1 (x-l) n+1 ■ Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu 1. y = X 3 +2x 2 A. dy = (3x 2 —4 x)dx ■aJ3ài làm 1. ày = (3x 2 +4x)dx Chu 2. y = *j3x~\~2 Bài làm 2. B. dy = (3x 2 +x)dx Câu 3. y — sin2x+sin 3 X A.dy= cos2x + 3 sin 2 XcosX dx c.dy= 2cos2x+sin 2 xcosx dx ís-Bài làm 3. dy= 2cos2x+3sin 2 xcosx dx Câu 4. y = tan2x A. dy = { 1 + tan 2 2x)dx c. dy = 2(1—tan 2 2x)dx ís-Bài làm 4. dy = 2(1 + tan 2 2x)dx c. dy = (3x 2 +2x)dx D. dy = (3x 2 +4x)dx c. dy = — ẩx V3x + 2 B.dy = 2cos2x + 3sin 2 xcosx dx D. đy = cos2x+sin 2 xcosx đx B. dy = (1 — tan 2 2x)dx D. dy = 2(1+tan 2 2x)dx Câu5. y = ^x+1 A.dy = - 3 ẬX + 1) 2 ìs.Bài làm 5. dy = - \.dy = - =dx (—l)”.3.n! , (—l) n .2.n! A.y (,!) (x + 3) n+1 (x + 2)" 1 c (n) (—l) n .3.n! (—l)”.2.n! (x+3)”- 1 (x+2)"- 1 c.dy = - D.dy = - 3y(x + l) 2 Câu 6. y = (3x+l) 10 A. dy = 10(3x+l) 9 dx B. dy = 30(3x+1) 10 dx tsJBài làm 6. dy = 30(3x+l) 9 dx. Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau Câu 1. y = ———- X 2 +5x + 6 (x + 3)’ ■&Bài làm 1. Ta có:x = 3(x+2)—2(x+3); X 2 +5x+6 = (x+2)(x+3) 3 2 c. dy = 9(3x+l) 10 dx D. dy = 30(3x+l) 9 dx (x + 3)" (x + 2)” Di/( » ) = (-ir.3.n! _ (-ir2.n! (x+2)” +1 Suy ra y = x+3 x+2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Mà í 1 r (~ v > n - in - nl ( ĩ (-1 ) n .n\ [x+2J (x + 2)” +1 (x+2)" +1 ' P+|Ị (x+)" +1 Nên ta có: y("> = , (x + 3)" +1 (x+2) n+1 Câu 2. y = cos2x A. y (n) = 2” +1 cos|2x +H^j B.y (n) = 2” 1 cosỊ2x+n|Ị C.y (n) =2"cosỊ2x + |Ị D.y (n) =2 n cosỊ2x+n^Ị ìstBài làm 2. Ta có : y' = 2cos|2x +|Ị,y" = 2 2 cos|2x +20 y’" = 2 3 C( Bằng quy nạp ta chứng minh được y ( ") = 2" cos|2x +n^j • ĐẠO HÀM TỔNG HỢP Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: Câu 1: y = ị|x $ + |x 4 -x 3 -|x 2 +4x-5Ị A.y’ = ịx 4 +ịx 3 -3x 2 -3x+4. B. y' = ^x 4 +ịx 3 -3x 2 -3x +4. c. y' = ịx* +?x 3 -X 2 — 3x +4. D. y' = ịx 4 +ịx 3 -3x 2 -3x +4. * 2 3 y 2 3 ĩ*Bàilàm: y'=Ịix 5 +|x 4 -x 3 -|x 2 +4x-5Ị 44y' = Ị^x 5 Ị + Ị|x 4 Ị - * 3 + y' = ỉx 4 +?x 3 — 3x 2 — 3x+4. 3 2 3 Câu 2: y = Ị-ịx+x 2 —0,5x 4 * 4 3 1 _ , 1 , _ . 1 A.y' = -^ + x-2x 3 . B.y' = -Ệ+2x-x . c.y'= -|+x-2x 3 . D.y’ = 2 &BÀÍ ỉàmy / = Ị-|-ỈX+X 2 -0,5x 4 Ị 44 y^ = Ị -Px + X 2 7 - 0,5x 4 7 l 4 J ( 3 J 1 - 44 y' = --r+2x-2x . 3 Ax'-5' -ị+2x-2x 3 . 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu3: y = 2x i -ịx 3 +2yfx-5 A.y’ = 8x 3 + x 2 +-p. B.y’ = 8x 3 -x 2 — ==. c.y' = 2x 3 -X 2 +-==. D. y' = 8x 3 — X 2 +!=■ 4~x' ~4x' ìsBàỉlàmy' = ^2x i ~^x? + 2400 -5^ 44 y'= 2x 4 ^Ị^a: 3 | + 2-Ịx / -5 / 44y' = 8x 3 -X 2 -t-ự=. Câu 4: y = ^j--^- + ^x 2 -x+a (a là hằng số) A.y' = ix 3 -X 2 +X-1 B.y' = 4x 3 —x 2 +x—1 c. y' = ^x 3 -X 2 +X-1 D.y' — X 3 — X 2 +X-1 ì&Bài làmy' = 6 1 r 6 1/- —6 1 r —I6 1/- X 3 2^x X 3 Vx X 3 Vx X 3 2Vx ỉsiBài ỉàmy'= -^---\/x+^x\/x 44y' = 3.x~ 2 - 4x Xsfx u 3 J 3 ^y’ = 3. -2 jt 3 -4=+|Í* / .^+ J <>y’ 3 2^ 3 , —6 1 2 f /— -v/xì —6 1 /— = j“^: + 5h' 5:+ Tri“ứ + ^' X 3 2-ựx 3( 2 J X 3 2Vx Câu 6: y = 2x 4 -7-x 3 + 2>/x-5 3 r 3 i v *ỉf A.y' = 2x 3 —X 2 H— p. B. y'= x 3 -X 2 +-==. c.y' = 8x 3 -3x 2 + -p. D.y' = 8x 3 -X 2 +-==. 2&Bài ỉàm y’ = Ị2x 4 -|x 3 +2^-sỊ 44 y'= 2x 4 / -Ị^x 3 j + 2a/x -5 / 44 y' = 8x 3 -X 2 + -J=. Câu 7: y = X 5 — 4x 3 +2x—3-\/x A. y' = 4x -12x + 2--=. 2 ^ ỉ.y' = 5x -12x+2-^=. 2-Jx GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. , _ 3 c. y' = 5x 4 -4x +2 2ựx D.y’ = 5x 4 -12x 2 +2 — ị=. 2-Ịx ìsBàỉlàmy' = X 5 -4x 3 + 2x-3*Jx <=> y'= X 5 / -4 X 3 / +2.X 1 -3 yfx <$■ y'= Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau; Câua).y = X 2 +3x 2—x . A.-3x 2 -x+6. B. 3x 2 — 2x+6. C.-3x 2 -2x. ìsBàilàmy'= X 2 +3x 2—x — X 2 +3x . 2—x + X 2 +3x . 2—x 1 = 2x+3 2—x + X 2 +3x -1 =—3 x 2 -2x+6. Câub). y= 2x-3 X 5 -2x A.12x 5 -15x 4 -8x+6. B.12x 5 -5x 4 -8x+6. C.12x 5 -15x 4 -x+6. ỉs.Bài làmy' = ị 2x—3 X 5 —2x Ị = 2x-3 / X 5 —2x + X 5 -2x 1 2x-3 = 2 X 5 —2x + 5x 4 —2 2x—3 =12x 5 -15x 4 -8x+6. Câu c). y = x 2 +l 5 — 3x 2 A. -12x 3 + 4x. B. 12x 3 + 4x. c. 6x 3 + 4x. ỈS.BÙÌ làmy' = Ị X 2 +1 5-3x 2 Ị = X 2 +1 ’ 5-3x 2 + 5-3x 2 ' X 2 +1 = 2x 5 —3x 2 — 6x x 2 +l = lOx—6x 3 — 6x 3 — 6x = —12x 3 + 4x. Câud). y = x 2x—1 3x+2 = 2x 2 —X 3x+2 A. 18x 2 +2x B. 18x 2 +x—2. C.8x 2 +2x-2. ìsBàỉ làmy' = ị 2x 2 -X 3x+2 Ị = 2x 2 -X / 3x+2 + 3x+2 / . 2x 2 -X = 4x—1 3x+2 +3 2x 2 —X =18x 2 +2x-2. Câue). y= x 2 -2x+3 2x 2 +3 A. 12x 3 — 4x 2 + 4x—6. B. 2x 3 — 4x 2 +24x—6. C.12x 3 -X 2 +24x-6. D. 12x 3 — 4x 2 + 24x—6. c 4 -12x+2--^. 2sỊx D. —3x 2 — 2x+6. D. 12x 5 —X 4 —x+6. D. —12x 3 +x. D. 18x 2 +2x—2. GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ìsBàỉ làmy' = 1 X 2 -2x+3 2x 2 +3 í = X 2 -2x+3 1 2x 2 +3 4- 2x 2 +3 7 X 2 -2x+3 = 4x —2 2x 2 +3 + 4x x 2 -2x+3 = 12x 3 -4x 2 +24x-6. Câuf) y — x 2 4x A Xỵ[x_ B 5 ỵỊx_ c 5xsỊx d 5 xsíx ìsjìàilàmy' = x 2 sfx = X 2 -4x + \fx .x 2 =2x.\Ịx-ị —^=.x 2 =2x\fx +\x4x = . 2^c 2 2 2x —1 4x —3 2 Câu g) y = A.— -2 X —3 2 2&BÙÍ ỉàm=>y'= - 2x — 1Ỵ 2x—1 4x —3 — 4x—3 2x —1 2 4x-3 -4 2x-l Câu h) y = A. 2x + 10 4x —3 46 ì&Bài làm^> y ị 2x + loV 2x + 10 4x-3 - 4x-3 2x+10 2 4x-3 -4 2x+10 Câu k). y = 2x + l 2x+l ìsBàỉ làm => y' = 3. 2x+l 2x + l 1 Câul). y _ 2x4-1 = 1 —3x 2x4-1 2x4-1 ìsBài làm^y' = Ỵ- GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 36 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. 2* * + l 1-3* - 1-3* 2*+l 2 1-3*+3 2*+l y' = - Câum). y = 1-3* 1+*-* 2 l-*-tìf’ 1—2* l-*+* 2 -1+2* 1 + *- ■ ” 7~2 i -*+* 2 1-2* l-*+* 2 - 2* 1+*-* 2 1-2* l-*+* 2 - 1+2* 1+*-* 2 ’ ” r~2 l-*+* 2 1-2* l-*+* 2 -1+2* 1 + * * 2 ìs3ài làm^y' = - 2Ỵ 1 + * — * 2 l-* + * 2 - l-* + * 2 1 + *-* |l-* + * 2 J 1-2* l-*+* 2 -1+2* 1+*- Câun). y l-* + * 2 * 2 -3*+3 X 2 —2* *-l 2 ỉsBÀí làm^y' = - -3* + 3 1 *—1 — * —1 / * 2 —3* + 3 2* —3 * —1 — * 2 +3*+3 x 2 _ Câu o). y = A. 2* —4*+l * —3 2* 2 — 2 *+ 11 , * 2 -12*+ll _ 2* 2 -12*+ll D. - * —3 * —3 * —3 ìsBài 2* 2 -4* + l / *-3 - *-3 / 2* 2 -4*+l 4*—4 *-3-2* 2 -4*+l 2* 2 —12*+11 làm=>y' = --—-=-—-=-^-. *—3 *—3 *—3 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 7 2 Câua). y = * +* . A. * 7 +* 7* 6 +1 B.2 7* 6 +1 c. 2 * 7 +* * 6 +l D. 2 * 7 +* 7* 6 +1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 E NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ĩsBài làm Sử dụng công thức u a =a.u a 1 .u' (với u = X 7 +x ) y' = 2 x 7 +x . x 7 +x 7 =2 x 7 +x 7x 6 +1 Câub). y = 2x 3 -3x 2 -6x+i\ A.2 2x 3 -x 2 +6x + l 6x 2 -6x+6. B.2 2x 3 -3x 2 +X+1 X 2 c. 2 2x 3 —3x 2 +6x + l X 2 —6x + 6 . D. 2 2x 3 -3x 2 +6x+l 6 SsBài Zàm Sử dụng công thức tí với tí = 2x — 3x — 6x+l y' = 2 2x 3 -3x 2 +6x+l 2 x 3 -3x 2 +6x+ 1 7 =2 2x 3 -3x 2 +6x+l 6x 2 -6x+6. Câuc). y= 1—2x 2 . A. 12x 1—2x 2 2 . B. —12x 1—2x 2 2 . c.-24x l-2x 2 2 . ỉ&BÀi làm: Sử dụng công thức u a với u = 1—2x 2 y' = 3 1—2x 2 2 1—2x 2 1 =3 l-2x 2 2 -4x =-12* l-2x 2 2 . 2 32 Câud). }/= X —X „31 _ _ _ „31 „31 A. X—X 2 .1-2* B. 32 X—X 2 C.32 1-x 2 D.32 x-x 2 31 . 1-2* ỉ&BÀi làm: Sử dụng công thức u a với u = x—x 2 „ 31 , / ,31 y' = 32 X—X 2 . x-x 2 =32 x-x 2 .1-2* Câu e). y= x 2 +x+l . „ 3 3 _ 3 A.4 X 2 +X+1 . B. x 2 +x+l . 2x+l c. x 2 +x+l . , _ 3 D.4 X 2 +X+1 . 2x+l ĩsBàỉ làm: Sử dụng công thức u a với u = x 2 +*+i y' = 4 x 2 +x+l 3 . X 2 • X f-l =4 x 2 +x+l 3 . 2x+l —6x+6 . X 2 -6x+6 . D. 24x 1—2x 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câuf). y = x 2 -x+l . x 2 +x+r A. y'= x 2 -x+l 2 |3 2x-1 x 2 +x+1+2 2x+1 X 1 -x+lị B. \f = x 2 -x+l 2 X 2 +X+1 Ị 3 2x—l x 2 +x+i + X 2 -X+1 Ị - 2 , r _ _ , , c.y'= X -x+1 X + X + 1 3 2x-l X + X+1 +2 2x+l X -x+1 Đ.y' = X 2 —x + 1 2 X 2 +X + 1 Ỉ3 2x—1 X 2 +X + 1 -2 2s:+l x 2 -x+l 2a Bài làm: Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân. y'= x 2 -x+l x 2 +x+l +1 X 2 • X • 1 Sau đó sử dụng công thức u a y' = 3 X 2 -x+1 2 X 2 -x + 1 7 X 2 +X+1 +2 X 2 +X+1 X 2 +X+1 7 X 2 -x+1 y' = 3x 2 -x+l 2x—1 x 2 +»+l +2 x 2 +x+1 2x+1 x 2 -x+1 y'=x 2 -x+l x 2 +x+l|3 2x-l X 2 q-x+1 +2 2 x+1 X 2 — x+lỊ. Câug) y = (|±l] 3 2x + l 2 „ 2x + l 2 „ 2x + l 2 A. — - . B.— — ■ c. —— — . X — 1 x-l X — 1 3 2x + l 2 x-1 4 / 2x + l ìsBàỉ làm: Buớc đầu tiên sử dụng u a , với u = — Câuh). y = X — 1 J ( X—1 J 1 x 2 -x + l 5 2x —1 2a.BÀi ỈÀm: Đầu tiên sử dụng công thức — với u= X 2 — X + 1 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. y’ = - 7 -5 X-x+1 .X -x+1 Câu k). y = - Ịx"-X + 1 j 2-x 2 3—x 3 5 2x-l — ~ĩ X 1 -x+1 A.y' = B.y' = c.y' = D.y' = 5x 4 —6x 2 —X 1-X+X 2 l + 2x 2 — x 2 3-x 3 r~2 1-x + x 2 5x 4 —6x 2 —X 1-x + x 2 - l+2x 2-x 2 3-x 3 1-x + x 2 2 5x 4 -x 2 -x 1-x+x 2 - 1+x 2 — x 2 3—x 3 ãã l-x + x 2 5x 4 -6x 2 -6x 1-x+x 2 - l+2x 2-x 2 3-x 3 l-x + x 2 ĩỉkBài làm: Đầu tiên sử dụng Ị— j Ị 2-x 2 3-x 3 \.l-x + x 2 -l-x^M 2l 2-x 2 3-x 3 y' = - -;——rr- l-x + x Tính Ị 2-x 2 3—x 3 Ị = 2-x 2 1 3-x 3 + 3-x 3 / 2-x 2 = —2x 3—x 3 —3x 2 2—x 2 =5x 4 —6x 2 —6x. 5x 4 -6x 2 -6x 1-x+x 2 - l+2x 2-x 2 3-x 3 Vậy y' =- — - 1-x + x 2 Câul). y=l+2x 2+3x 2 3-4x 3 A. y' = 2+3x 2 3—4x 3 + l + 2x 6x 3-4x 3 + l+2x 2 + 3X 2 -12x 2 B. y' = 4 2 + 3x 2 3-4x 3 + l+2x 6x 3-4x 3 + l+2x 2+3x 2 -12x 2 c. y' = 2 2+3x 2 3—4x 3 + l+2x 6x 3-4x 3 +1-2* 2+3x 2 -12x 2 D.y' = 2 2 + 3x 2 3-4x 3 + l+2x 6x 3-4x 3 + l + 2x 2+3x 2 -12x 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 40 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ĩs.Bài làm: y'= l + 2x' 2+3x 2 3—4x 3 + l+2x 2+3x 2 / 3-4x 3 + l+2x 2+3x 2 3-4x 3 ' y’ = 2 2+3x 2 3-4x 3 +l+2x 6x 3-4x 3 + 1+2x 2+3x 2 -12x 2 . Bài 4. Tính đạo hàm các hàm sô sau Câu a).y = x 2 +x>/x+l /Lx+ĩệ. B.ix+ệ. C.X+Ệ. Đ.ixịệặ. 2 2 2 2 ĩsBàilàm: y' = X 2 1 + Xsfx +1 / = 2x+x'.a/x + >fx .X = 2x + \fx +—^=.x = 2x+^ệ~. 2yỊx 2 Câub). y = Ậ+2x-x 2 . A -* n l c D Ị-* Ậ+2X-X 2 Ậ + 2x-x 2 ^1 + x-x 2 Ậ + 2x-x 2 ^ 1— ỉ r m 2 2&BÙĨ Zàm: Sử dụng công thức \Ịu với « = l+2x—X 9 / l+2x-x •\/l + 2x-x 2 Ậ+2x-x 2 Câuc). y — \Ịx 2 +l-\/l-x 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câu e). y = [ 1 ^ĩ j. Ịi+V*) A 1 A.y =2 r .-—y M*) 1+^ 2 C.y' = Ị^fj. — — ỉsiBài làm: Đầu tiên sử dụng công thức HsíM _ l_ự^y l—y/x ĩ + \fx - 1 + a/x 1-n/x íl + >/x] = 1-2 B.y' = 2| D.y’ = 2| i-4x ) -1 1+í 2 '1-^1 1 1 -4x ~l + 4x l + 4x íLi+^-4.1- 2vã 2-Ịx l + 4x 4x i+4x Vậy y' = 2 1-^ì h+^t^-H/ĩ 2 câu f). y = 'Ịx —Ị-f- V*-1 -1 ’a/x-1 l4x-í X 1 ' , 1 , -1 ■ * + -jỊ_. IsỊx — 1 2V*-1 ’ v*-l Vx-1 *-l ’ 2 s Bàilàm:y'= \Ịx-l + , 1 =— , 1 + 1^ĨJ 2^ĩ 2ựx-l 2V*-1 x-1 / 1 f Câug). y = k/x--^j . A.5 U£-J= * 11 1 -s/xj Ua/x l4x.x) 1x-l 24 x-l x-ĩ B ' 5 [^ ^llf + i.=j GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 42 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. civr 1] 4 ( 1 +1) [ 4x) {2-Jx 2sfx.x) D.sí^ 1 Ị { 4x) Uv* i4x.x) ìs-Bài làm: Bước đầu tiên sử dụng u a với u = 4x—A \lx 1 ^ 2^ + ^ = 5 [^-Ậ] 4 .í^-4,Ĩ=5Í7ĩ-J.' fx. A s J?) [26 > ,, 1 + 3 : Câu h). y = . s) 1 , 1 l-Ịx.x ~4x) 3-x sỊĩ^ĩc 1 — X ' " 2-Ẹ^x 1—x ìsBài làm: Sử dụng — được: y ’ l + x sjl-x- <jl-x 1 + * ~^f 2 _ * 2Ặ^' 1+X 2 !-* + !** 3-x ì-x 2yỊĨ^C. l-x 2 sỊĨ^C 1- Câui) y = yỊx+‘\Ịx4’*Ịx- 1 L 1 L ,1 c.- 1 • 1 ~l- . • I 1 H- 1 = II 2\Ịx + 'Jx + yfx [ 2^x + sfx l 2.\lx)ị :• . = |i+ T== -f 1 +-i=|[ yỊx + Ậ + ^x [ 2\ịx + Ax V 2 y x )\ R . I 1 1 1 1 1 ? ÌX^tẬ + Ax [ 4x + 4x i V*. D .—2 1 = Ịi 1 [1 ■ 1; 2 Ậ + <Jx + -•Ịx [ 2 \jx+^íx \ 2 -yX, ĩSkBài làm: Đầu tiên áp dụng y/ĩi với u = X + •Ịx+Ãx y’= 7 - != = [* + >/* + >/*) = , = = 1 + —3C + n/x 7 2^x + ^x+yfx [ ' 2\ịx+yx + ^fx{ 2 ìỊx+^x 1 L, 1 L 1 1 — — I • 1 H- 1 =»11 H-^ 11 • 2\Ịx + 4 x +'ỉx [ 2\jx+'Jx l 2 vx)ị 4x4-1 Câu k). y = (áp dụng u chia V đạo hàm) GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. 2 s Bài làm: y' — ấx + l'4x 2 +2- 4x 2 + 2 1 ■ 4x+l 4 .a/x 2 +2-^-I1_. ẩx+ị VTi ~4^ 2 4 + 2 — X 4x -b1 __|_ g X 2 +2 4x 2 +2 X 2 +2 V* 2 +2 ., Câu 1). y = ]j -j (Ap dụng căn bặc hai của u đạo hàm). c.y’ = 1 2r*-3x 2 x-1 2 2x 3 —3x 2 X —1 2 2&BÀĨ ỉàm: y' = - _ , { \ X 3 1 x-1 - x-l’ .X 3 3x 2 x-1 -X 3 2x 3 —3x 2 Ta có: —— =---=---= —- -r— Vậy y' = — 2 ỵx-1 Câu m). ỵ = J x—2 3 A 'ãS' X —2 •v/x-2 s/x-2 _ 3 X— 2 D.^p=. 24 x -2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 44 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ĩ&Bàilàm: Đầu tiên áp dụng sỊũ với u = X — 2 3 y' = 1 - 0 3/ - 1 3.X 2yj X—2 3 2<ịx-2 3 ,- 3 Câun) y = l + vl-2x . -6 l + Vl-2* 2 lfv/l 2.r 4\-2x ì&Bài làm: Bước đầu tiên áp dụng u a với M = 1 + V 1 2x y' = 3 l + ựl-2x 2 . l + ựl-2x ' =3 l + ựl-2x 2 Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a).y = xcosx . A. cosx —sin*. B. — xsinx. -6 l + Vl-2x 241 -2x 241 -2x D. cosx —xsinx. ỉsBíìỉ' làm: Ta áp dụng đạo hàm tích, y' = x'cosx+x. cosx =cosx—xsinx. Câub) y = l + cosx J sin 2 X c 2 sin 2 X 1+cosx D. 3 sin 2 X 1+cosx 3 ĩỉkBài làm: Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u a với u = -—— ^ 6 1 + cosx co II í sinx í [ sin í [l + cosx ; 1 (l + cosxJ Tính: Ị sinx 1 1 sinx / 1 + cosx — 1+cosx^sinx cosx 1+cosx +sin 2 x 1 + cosx J „ 2 — „ 2 1 + cosx 1+cosx cosx + cos 2 x + sứi 2 x _ 1 l + COSI 2 “l + cosx ' Vậy »• .1, - n (l+cosxj l+cosx l + cosx 3 Câuc). y = sin 3 2x+l « GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 45 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A.sin 2 2x + l cos 2x + l . c.3sin 2 2x + l cos 2x+l . B. 12 sin 2 2x + l cos 2x + l . D.6sữi 2 2x+l cos 2x+l . ìsBàỉ làm: Bước đầu tiên áp dung công thức u a với u — sin 2x +1 Vậy y' = sin 3 2x + l / = 3sin 2 2x+l . sin 2x+l 1 . Tính sin 2x-t-i / : Áp dụng sứiM / / vớÌM= 2x + l Ta được: sin 2x + l / =cos 2x+l . 2x+l / =2cos 2x+l . !#i/'=3.sin 2 2x+l .2cos 2x+l = 6sin 2 2x+l cos 2x+l . Câud). y — sin \ịl+x 2 . A.cos . B. ---.cos . C.Ỉ.COS 2 Câue). y = • N /sinx+2x . ^ cosx + 2 g cosx+2 2<v/sinx + 2x ựsinx + 2x ì&Bàỉ làm: Áp dụng %/ũ , với u = sinx + 2x sinx + 2x / _ cosx + 2 sinx + 2x cosx + 2 y 2^sinx+2x 2<v/sinx+2x Câuf). y = 2sin 2 4x-3cos 3 5x. 2^/sinx + 2x 2ựsinx + 2x A. y' = sin8x + -=-cos5x.sinl0x * 2 45 c. y’ = 8sinx + ^-cos5x.sinl0x 2 = sin 8x + -3- cos 5x. sin lOx 2 B. y' = 8sin8x + ặcos5x.sinl0x 2 45 D. y' = 8sin8x + ^-cos5x.sinl0x 3 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 46 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ĩs.Bài làm: Bước đầu tiên áp dụng u + v / y' = 2sin 2 4x / -3 cos 3 5x / , / , / Tính sin 4x :Apdụng w“ , với tí= sin4x, ta được: sin 2 4x = 2sin4x. sin4x / = 2sin4x.cos4x 4x 1 =4sin8x. Tương tự: cos 3 5x =3cos 2 5x. cos5x 1 =3cos 2 5x. —sin5x . 5x 1 = —15cos 2 5x.sin5x = —ị^cos5x.sinl0x. 2 45 Kết luận: y' = 8sin8x + ^-cos5x.sinl0x 2 3 Câuh). y= 2+sin 2x . .2 3 A.y' = 6sin4x 2 + sin 2x . „ . 2 _ 2 c. y'= sin4x 2+sin 2x . / 2 2&BÀĨ ỈÀm: Ap dụng tí ,với« = 2 + sin 2x. 2 2 - _ / _ _ . 2 _ 2 _ 2 _ / y' = 3 2+sin 2x 2+sứi 2x =3 2+sin 2x SŨ1 2x . Tính sin 2 2x , áp dụng tt“ , với Zí = sin2x. 2 „ / . / . / sin 2x = 2.sin2x sin2x = 2.sin2x.cos2x 2x =2sin4x. 2 „ 2 S=ậ-y' = 6sin4x 2+sin 2x . Câui).y = sin cos 2 x.tan 2 x . A. y' = cos cos 2 X. tan 2 X sin 2x tan 2 X+2 tanx B. y' = cos cos 2 x.tan 2 x sin2xtan 2 x + tanx C. y' = cos cos 2 x.tan 2 x —sin2xtan 2 x + tanx D. y' = cos cos 2 x.tan 2 x —sin2xtan 2 x+2tanx ỉsBài làm: Áp dụng sin tí 1 , với tí = cos 2 xtan 2 X 2 _ 2 B. y'= 3sin4x 2 + sin 2x . „ , 2 _ 2 D. y' = 6sin4x 2+sin 2x . GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. y' = cos cos 2 X. tan 2 X . cos 2 X. tan 2 X . Tính cos 2 X. tan 2 X , bước đầu sử dụng u.v 1 , sau đó sử dụng u a cos 2 X. tan 2 X / = cos 2 X / .tan 2 X + tan 2 X / .cos 2 X = 2cosx cosx / tan 2 x+2tanx tanx cos 2 x = — 2sinxcosxtan 2 x+2tanx——cos 2 X = — sin2xtan 2 x+2tanx. cos 2 x Vậy y' = cos cos 2 x.tan 2 x —sin2xtan 2 x+2tanx .V _ 2 f "n/^ +1 ì Câuj). y = cos \—j =-— • (vx-lj A 1 . v*+l A.y = _ ' -y- sin r 7 ■ sfx -lì c.y’ 4x fx 1 Vr+ll' B.y' = 1 ựxựx-l 2 í~ a/x 1 lì ■COS 2. ■_ { \jx —1 j D.y' = 1 sỉ^^-1 2 %/x+l ì ^-lj ỉaBÀi /ám: Áp dụng W Q , với u = cos , -_(a/x+IÌ [_Ía/x+i)! _ y =2.cos " . cos y. =-2.c {y£-l)[ {>£-1)1 ' Ẽ ,_ .Ị„>£+ĩ\í>£+i} y =— sin 2—^— . I <£-l)[>£-l) _ í^+iỴ ^ +1 • V *- 1 - V *- 1 • ^+ 1 -1 Tính rT =-—-7- _ -2- t^-ij slĩ-1 i>fx +lì [>/x +1 1 — • /— [sfx —1) \4x-l Vậy y'= - Câuk). y = ^a/T -1 l sứi2x + cos2x 2sin2x —cos2x 2sin2x — cos2x sứi2x —cos2x 2sin2x — cosx D.--- 2sin2x—cos2x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. sin2x + cos2x . 2sin2x —cos2x — 2sin2x —cos2x . sin2x+cos2x 2sin2x-cos2x 2 2cos2x—2sin2x 2sin2x —cos2x — 4cos2x+2sin2x sin2x+cos2x ìsBài làm: y' = y' = y' = -6 cos 2 2x—6 sin 2 2x 2sin2x —cos2x 1 Câul). y = - cos X sin 2x cos 2 2x 2sin2x-cos2x -6 2sừi2x—cos2x 2 1 cos2x B. gH , cos 2 2x , 2cos2x sin 2 2x ( 2sin2x cos 2 2x ĩSkBài làm: Áp dụng Ị-j . — cos2x / sin2x. 2x 1 y'= — 2 = „7,. cos2x cos 2x Câum). y = sin X. cos 2x. A. cos2x 5 . = 2sứi2x cos 2 2x B. cos2x 4 . C.4cos2x 5 . D. 2 cos2x 5 . 2 s .Bài làm: Áp dụng u.v 1 y' = smx / .cos2x+ cos2x 1 .smx = cosx.cos2x— sm2x. 2x ^.snư y' = cosx.cos2x-2sm2x.smx. 4 . 4 5 Câun). y= cos X— sin X A. —10 cos 4 2x. B. — cos 4 2x.sin2x. c. —lOcos 4 2x.sinx. D. — lOcos 4 2x.sm2x. ìSíBài làm: = Ị cos 2 X—sin 2 X cos 2 x+sin 2 xỊ = cos2x 5 .Áp dụng u° ,vớiu = cos2x y' = 5.cos 4 2x. cos2x / =5.cos 4 2x. — sin2x . 2x / = -10cos 4 2x.sin2x. Câu o). y = sin 2 cos tan 4 3x A. y' = sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .4tan 3 3x. 1+tan 3 3x .3 B. y' = sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .tan 3 3x. l + tan 3 3x . c. y' = sin 2cos tan 4 3x . sữi tan 4 3x .4tan 3 3x. l+tan 3 3x D. y' = — sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .4tan 3 3x. l+tan 3 3x .3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. ĩsBài làtn: Đầu tiên áp dụng u a , với u = sin cos tan 4 3x y'= 2sin cos tan 4 3x .Ịsin cos tan 4 3x Ị Sau đó áp dụng sinu 1 , với u = cos tan 4 3x y' = 2sin cos tan 4 3x .cos cos tan 4 3x . cos tan 4 3x Áp dụng cos u , với u = tan 4 3x. y' = — sin 2 cos tan 4 3x . sin tan 4 3x . tan 4 3x . Áp dụng u a , với u = tan 3x y' = -sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .4tan 3 3x. tan3x 1 . y' = —sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .4tan 3 3x. l+tan 2 3x . 3x 1 . y' = — sin 2cos tan 4 3x . sin tan 4 3x .4tan 3 3x. l+tan 3 3x .3 . Câup) y = sin 3 2x.cos 3 2x A.sin 2 4x.cos4x. B. ịsữi 2 x.cosx. C.sm 2 x.cos4x. D. ậsin 2 4x.cos4x. 2 2 2 sBài làm: y = sữi 3 2x.cos 3 2x = sin2x.cos2x 3 = I^sin4xj = ^.sin 3 4x . Áp dụng u a ,u = sin4x. y' = ị.3sm 2 4x sứi4x / = ị.3sứi 2 4x.cos4x. 4x 1 = ị sin 2 4x.cos4x. y 8 8 2 Câuq) y= sừix + cosx 3 . A.3 sinx+cosx 2 cosx+sữix . B.3 sinx — cosx 2 cosx—sừix . c. sinx + cosx 2 cosx— sinx . D.3 sinx + cosx 2 cosx —sinx . ìsBàilàm: Áp dụng u a , với M = sinx+cosx , „ . . 2. / „ . . 2 y =3 sinx + cosx . sinx+cosx =3 sinx+cosx cosx—SŨ1X . Câur). y = 5sinx —3cosx A. 5cosx + 3sinx. B. cosx+3sinx. c. cosx+sinx. D. 5cosx—3sinx. ì&Bài làm: y' = 5sinx / — 3cosx / =5cosx+3sinx. Câus). y = sm x 2 -3x+2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 50 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A.cos X 2 — 3x+2 c. x —3 .cos x 2 - 3 x +2 B. 2 x -3 .sin x 2 - 3 x + 2 D. 2 x -3 .cos x 2 - 3 x +2 ĩ&Bài làm: Áp dụng sinw / , với u = X 2 — 3x + 2 y' = cos X 2 - 3 x +2 . X 2 - 3 x +2 1 = 2 x —3 .cos X 2 -3x+2 Bài 6. Tính đạo hàm các hàm số sau: Câu a).y = sin^. A. ~^=.cos\fx. \lx B. ^.cos-v/x. vx c. -^.sin^/x. yx D. —ỉ=.COS yfx. 2 sfx ĩsBài làm: Áp dụng sừití 1 =r* y'= sin-v/x = cos 'Ịx. \fx =~=.cossfx. 2 n/x Câub). y = cos 2 x. A. —sin2x. B. sin2x. ì&Bài làm: Áp dụng công thức u a , với M = cosx y'= cos X =2.cos cosx =2cosx. — sinx =—sin2x. Câu c).y = cosy2x+l. 1 A .— - .sừiy2x + l. sỊĩx+ĩ _j_ *Ịĩx + l :.sin-v/2x + l. C.sin-\/2x+l. )s>/2x+l. ựẵt+1 2a Bài làm: Áp dụng COSM , với U = \j 2 x + l Câu y'= cosn/2x+ 1 = -sin^2x+l ^/2x+T = -sin^2x+l.- = -sin^2x + l .— - 2 =— 1 .sừt^x+l. 2V2X + 1 V2X + 1 A.4cos8x —cos2x B. cos8x —cos2x C.4cos8x+cos2x D. 4 cos 8x — cos 2x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. Câue). y A. - 4cos8x — cos2x _ sinx + cosx sinx —cosx sin2x 2 ■ sinx —cosx 3 sin 2x ' . 2 sinx + cosx , {ui ĩ&Bài làm: Ap dụng - y’ = y' = y' = sinx + cosx sinx-cosx — sinx-cosx . sinx+cosx 2 sinx—cosx cosx—sinx sứix-cosx — cosx+sinx sinx+cosx sừix—cosx 2 2 sinx-cosx - sinx+cosx 2 sinx — cosx sinx—cosx Câuf). y = Vcos2x . ^ sin2x %/cos 2x -sinx slcõsĩx ì&Bàỉ làm: Áp dụng \fũ , với M = cos 2x cos2x / — sin2x. 2x / -sin2x y' = „ . sinx . X Câu g) y = ;ĩ —+ ^— X sinx . cosx —sinx , sữix—xcosx ( — sin2x Vcos2x , xcosx-sữix sữix—xcosx c.- 2&BÀĨ Zàm: ^ Ị X ; X Câu Câu h). y = sin cosx +COS sinx A.sin x+cosx B.—sinx+cosx J xcosx — sinx ^sinx — xcosx X 2 sừl 2 X .sinx X .sinx— sứix .X xcosx —sinx sinx—xcosx , ì&Bài làm: Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm tổng, sau đó sử dụng sinu , COSM . GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 I NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. y'= sin cosx + cos sinx =cos cosx . cosx -sin sinx . sinx = —sinx.cos cosx — cosx.sin sinx =— sinx.cos cosx +cosx.sữi sinx = — sin x+cosx x + sinx Câu i). y A. X —sinx -2sinx + 2x cosx —2sinx + xcosx c. -sứix + xcosx 2sinx + 2xcosx ìsBài làm: Sử dụng — x + sinx 1 . X —sinx — x-sinx 1 . x + sinx y' = - l + cosx X-sừlX - 1-cosx x + sinx -2sinx + 2xcosx X 2 — sinx 2 X —sinx „„ , , fl + cos2x Câuk). y= -— [l-cos2x Í1+COS2XÌ 1 -4 sin 2x j D fl + cos2x)| -4sin2x Ị ■ Ịl-cos2xj' Ị 1 —cos2x 2 1 B '[l-cos2xJj 1 —cos2x 2 Ị íl + cos2xì — sin2x U-cos2xj x-cosix 2 ,íl+cos2xì —4 sin2x (l-cos2x J l-cos2x 2 1 i&Bài làm: Sử dụng «“ với u = ^ + COS ^ X 6 1 —cos2x _Al-\-coslx^\ Í1+cos2xY ^ (l-cos2x) (l-cos2xJ 2 Íl + cos2xj Ị l+cos2x / l-cos2x — 1—cos2x / l+cos2x (l—cos2x| Ị 1 —cos2x 2 fl + cos2x'| -2sin2x l-cos2x —2sin2x l+cos2x (l—cos2x j Ị 1 —cos2x 2 j _ 2 Íl + cos2xì —4sứi2x (l—cos2x| Ị i_ cos 2x 2 j Câu 1). y — sin 4 X + cos 4 X GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. c. cos4x —sin4x. ĩ&Bàilàm: = 1 — ^-sin 2 2x = — +—cos4x. 2 4 4 y' = •j4--^-cos4x =J cos4x =j--sinẩx.ẩx = -sin4x. Câum). y = cosỊ2x-^j . 2s Bài làm: Áp dụng COSM 1 với u = ịlx — D.-4 2 *--7 .sin2x- -sin\2x~\ 2 21 - 7 . 2 *- = —4 2x —-7 .sin 2x —-7 Câun). y - sinx —xcosx sinx —xcosx cosx + xsinx — cosx-xsinx sinx—xcosx 2 s Bài làm: y' =---- cosx + xsinx Tính sữix —xcosx / =cosx— xcosx / =cosx- x'.cosx+x. cosx / = cosx — cosx—xsinx = xsinx Tính cosx + xsinx 1 = —sinx+ x'.sinx+x. smx 1 — — sinx+ sừix + xcosx = xcosx xsừix cosx + xsinx —xcosx sinx—xcosx X 2 >ý = - Bài 7. Cho / X sậ + Ậ+4-.TÍnh /’ -1 . X X X 3 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - TẬP 1. A.-14 B.12 C.13 ìÁBàỉ làm: Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng công thức -H = — ỵr- U“J x“ + 1 , 2 , 3 y 1 4 9 /' [x X 2 X 3 } X 2 X 3 x“ t >f' 1 = — 1—4 — 9 = —14 Bài 8. Cho / X =-+%■<+3C 2 . Tính/’ 1 * Vx A.ị B.l 2 f 1 1 - y ^ ^ ^ ĩ&Bàilàm:Tacó f' X = - + ^= + x 2 =— - t 2 x = — ^--——=+ 2 x 1 ~ 2 - ~ 2 2 xsỊx wrx Bài 9. Cho / X = X 5 +x 3 —2x —3. Tính f' % +/'■ -1 +4/ 0 A.4 B.5 C.6 ì&Bài làm: Ta có /' X = x 5 +x 3 —2x — 3 =5x 4 +3x 2 —2 /' 1 +/' -1 +4/ 0 = (5+3—2)+(5+3—2)+4.(—2) =4 Bài 10. Cho / X .Tính/' 0 y x'V 4 -X 2 -X v 4 -x 2 2 S.BÀĨ ỉàra: /' X = Vậy/’0 =ị. 4 — X 2 v4 — X 2 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM TẬP 2A. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM. Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489 để gặp thầy Vuơng. Hoặc liên hệ qua: Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page : https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Email: baovuong7279@gmail.com VVebsite: http://tailieutoanhoc.vn/ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.1 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm.2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.13 LỜI TÂM Sự Ở tài liệu tiếp tuyên này, tôi chia thành 3 tập nhỏ, vì đảm hảo chất lượng hô'cục, và công tác trình bày, vì vậy mong quý vị bạn đọc theo dõi một cách thường xuyên để luôn được cập nhật tài liệu hay và chất lượng của chúng tôi. Thân ái. GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MƯA FILE WORD VUI LÒNG LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MƯA NHÉ. THÂN ÁI. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đồ THỊ HÀM số • Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm Xg là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm Mq (x 0 ;f(x Q )). Khi đó phưong trình tiếp tuyến của (C) tại điểm Mq (x 0 ;f(x 0 )) là: y-y 0 = f'(x 0 )-( x - x o) (y 0 = f ( x o)) • Điều kiện cân và đủ để hai đường (C|): y = f(x) và (c 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau í f(x 0 ) = g(x 0 ) tại điểm có hoành độ x n là hệ phương trình <Ị ' ' ' có nghiệm x n i f '(x 0 )=g'(x 0 ) Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đưòng đó. • Nếu (Cị) : y = px + q và (c 2 ): y = ax 2 + bx + c thì (C 1 ) và (c 2 ) iếp xúc nhau <=> phương trình ax 2 +bx + c = px + q có nghiệm kép. Các dạng tiếp tuyến của đô thị hàm sô'thường gặp Viết phưong trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(x 0 ; y 0 ), hoặc hoành độ Xg, hoặc tung độ y 0 . Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A ) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Phương pháp: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (c) và M(x 0 ; y 0 ) là điểm trên (c). Tiếp tuyến với đồ thị (c) tại M ( x o;yo) có: Hệsốgóc: k = f(x 0 ) - Phương trình: y-y 0 =k(x-x Q ), hay y-y 0 =f'(x 0 )(x-x 0 ) Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ; y 0 ) chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: Hoành độ tiếp điểm: Xg Tung độ tiếp điểm: y 0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay Xq vào hàm số y 0 = f Ịxq)) Hệsốgóc k = f(x 0 ) Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sô khi biết tiếp điểm. Phương pháp: Bài toán 1: Hai đường cong (c): y = f (x) và (c): y = g(x) tiếp xúc nhau tại M(x 0 ;y 0 ) .Khi điểm M e (c) và tiếp tuyến tại M của (c) trùng với tiếp tuyến tại M của ( 0 ) chỉ khi hệ phương trình sau: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: í(c):y = f(x) ^ . í, , , tiếp xúc nhau =>f(x)-ax-b = 0 có nghiệm kép . |jd):y = ax + b Hàm f(x)nhận Xq làm nghiệm bội k nếu f(xo) = f'(x 0 ) = ...=f( k 1 ^(x 0 )=Ovà f k (x Q ) ^ 0. Nghiệm bội lớn hon hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. Phép biến đổi tuông đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Ví dụ 1. Đường cong y = yfx không tiếp xúc vói trục hoành tại 0, tức là phương trình \/x = 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị (c): y = X 3 của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại X = 0 nhưng phương trình X 3 = 0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . Ví dụ 2. ĐỒ thị (c): y = sinx của hàm số tiếp xúc với đường thẳng (d ): y = X tại X = 0 nhưng phương trình sinx - X = 0 thì không thể có nghiệm kép. Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. Bài toán 2 : * Đường cong (c):y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ Xg khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại Xq . Trong trường hợp (c) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ Xq thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f '( x o) • * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c): y = f (x) tại điểm M(x 0 ;f (x 0 )) có dạng : y = f(x 0 )(x-x 0 ) + f(x 0 ) Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M(x 0 ;f(x 0 )). Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x 0 ;y 0 ) là: y = f(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 . Bài toán 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết hoành độ tiếp điểm X = Xg . Giải: Tính y 0 =f(x 0 ) / y'(x 0 )=> phương trình tiếp tuyến: y = f'(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 Bài toán 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết tung độ tiếp điểm bằng y 0 . Giải. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Giải phương trình f(x) = y 0 ta tìm được các nghiệm Xq . Tính y'(x Q ) và thay vào phương trình (1). Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y = X 3 + 3x 2 + 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1. Tại điểm M(-l;3) ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung; GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 5. Có hệ SỐ góc là 9; 6. Song song vói đưòng thẳng (d): 27x - 3y + 5 = 0; 7. Vuông góc vói đường thẳng (d'): X + 9y + 2013 = 0 . Lời giải. Hàm SỐ đã cho xác định D = M Ta có: y ' = 3x 2 + 6x 1. Phưong trình tiếp tuyến (t) tại M(— 1; 3 ) có phưong trình : y = y'(-l)(x + 1 ) + 3 Ta có: y'(-l) =-3, khi đó phương trình (t) là: y = -3x + 6 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm mỊx 0 ;í (x 0 )). Tiếp tuyến của đồ thị hàm SỐ y = f(x) tại M(x 0 ;y 0 )là:y = f'(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 2. Thay X = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21. Tương tự câu 1, phương trình (t) là: y = 24x - 27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết hoành độ tiếp điểm X = x 0 , y 0 = f(x 0 ), y'(x 0 )=> phương trình tiếp tuyến: y = f'(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 3. Thay y = 1 vào đồ thị của (C) ta được X 2 (x + 3 ) = 0 <=> X = 0 hoặc X = -3. Tương tự câu 1, phương trình (t) là: y = l, y = 9x + 28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết tung độ tiếp điểm bằng y 0 . Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Giải phương trình f (x) = y 0 ta tìm được các nghiệm X Q . Tính y'(x Q ) =^> phương trình tiếp tuyến: y = f' (x 0 )(x - Xq ì + y 0 4. Trục tung Oy: x = 0=>y = l .Tương tự câu 1, phương trình (t) là: y = 1 5. Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến (t). Tacó: y'(x 0 ) = 3xg+6x 0 , theo giả thiết y'(x 0 ) = 9, tứclà 3xg +6x 0 =9 => Xg =-3 hoặc Xg = 1. Tương tự câu 1 6. Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến (t). Theo bài toán: y = 9x + ^ => y'(x 0 ) = 9. Tương tự câu 1 7. Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến (t). Theo bài toán: (t)j_(d'): y = -^x-^^=> y'(x 0 ) = 9. Tương tự câu 1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ví dụ 2. 1. Cho hàm số: y = X 3 - (m -l) X 2 + (3m +l)X + m - 2 . Tim m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2;-l). 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = X 3 - (2m + l)x 2 + (m + 3)x - 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có ^ . ., 7 hoành độ X = 2. Tim m đê khoảng cách từ gốc tọa độ o đến (d) băng '— . Lời giải. 1. Hàm SỐ đã cho xác định với Vx G M. Ta có: y' = 3x 2 -2(m-l)x + 3m + l Với x = l=>y(l) = 3m+l=>y'(l) = m + 6 Phuong trình tiếp tuyến tại điểm có X = 1: y = (m + 6)(x —l) + 3m +1 Tiếp tuyến này đi qua A(2; -l) nên có: —1 = m + 6 + 3m 4-1 <=> m = —2 Vậy, m = —2 là giá trị cần tìm. 2. Hàm SỐ đã cho xác định với Vx e M. Ta có: y' = 3x 2 -2(2m + l)x + m + 3. Phuơng trình tiếp tuyến (d): y = y'(2)(x -2) + y(2) y = (ll-7m)(x-2) + 7-6m = (ll-7m)x + 8m-15<=>(ll-7m)x-y + 8m-15 = 0 |8m-15| 7 _ n _ _ n d(0, (d)) = 1 1 = = 17(8m -15) 2 = 49[(11 - 7m) 2 +1] y(ll-7m) 2 +1 n/17 1313m 2 - 3466m + 2153 = 0 <=> m = 1, m = 1313 Ví dụ 3: 1. Viết phucmg trình tiếp tuyến của đồ thị (c): y = -X 4 - X 2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc vói đuòng thẳng Lời giải. 1. Hàm SỐ đã cho xác định D = M Gọi ít) là tiếp tuyến của đồ thị (c) của hàm số và ít) vuông góc với đuờng thẳng y = Ặx - 1, nên đuờng 6 thẳng (t) có hệ SỐ góc bằng -6 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cách 1: Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (c) của hàm số. Khi đó, ta có phương trình: y' (x 0 ) = —6 <=> -4 Xq — 2x 0 = -6 <=>(x 0 -l)^2Xg +2x 0 + 3^ = 0 (*) . VI 2 Xq +2x 0 +3 >0,Vx 0 gR nên phương trình <=> x 0 = 1 =>y 0 = y( 1 ) = 4 => M(l;4). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6 (x - 1 ) + 4 = -6x +10 . Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m ( t) tiếp xúc (c) tại diêm M(x 0 ;y 0 ) khi hệ phương trình sau có nghiệm X Q -Xg - Xq + 6 = -6x n + m ó nghiệm Xq < x n =l ■ 10 2. Hàm SỐ đã cho xác định D = R Ta có: y' = X 2 -1 Gọi M(x 0 ;y 0 ) e (Q « y 0 = -x 0 + !, Tiếp tuyến A tại điểm M có hệ số góc: y '(x Q ) = Xq -1 1 2 1 Đường thắng d: y = -^x + ^ có hệ số góc k 2 = - A Vậy, có 2 điểm M(-2;0), ịl} ^ j là tọa độ cần tìm. =2=> yo = 3 = -2=>y 0 =0 Ví dụ 4 A(-l;-2)và B(l;0). 2. Cho hàm số y = X 3 - 6x 2 + 9x -1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đêu hai điểm A(2;7)và B(-2;7). Lời giải. 1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = f'(x 0 )(x-x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 3 - x n 5 (—Xq + 6x 0 + 6) ( x 0 + 2 ) 2 x + ( x 0 + 2) 2 -——— (x — x n ) + — (x 0 +2) 2 x 0 +2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN <=>5x + (x 0 +2) 2 y + Xg -6x 0 -6 = 0 d(A,(d)) = d(B,(d)) <=> «■ x 0 + 14x n +19 = K - 6x 0 -1 «■ -5 - 2(x 0 + 2) 2 + Xg - 6x 0 - 6 5 + Xg - 6x 0 - 6 Ậ5 + (x 0 + 2ý ^25 + (x Q + 2) 4 Xg + 14x 0 + 19 = Xg - 6x 0 - 1 Xg + 14x 0 +19 = — Xq + 6x 0 +1 3=-l 1 + 4x n Vậy phương trình (d): y = - 5x -1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm 1(0; -1) của đoạn AB. * Trường hợp 1: (d) //AB. Hệ SỐ góc của đường thẳng AB: k ẠT, = ——— = 1 . X A -X B (d) // AB suy ra hệ Số góc của (d): f'(x 0 ) = 1 =>--—— = 1 (*). Phương trình (*) vô nghiệm do đó trường (x 0 +2) hợp này không xảy ra. * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phương trình (d) có dạng y = kx -1. (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 <=> 3-% x 0 +2 = kx 0 -l (2) 5 ( x 0+2) 2 = k (3) có nghiệm Xq . Thay k =--—— vào (2) ta đươc —-^ =--—— -1 (x 0 +2) x 0+ 2 (x 0 + 2) [(3-x 0 )(x 0 +2) = -5-(x 0 +2) 2 K=-l Thay X Q = -1 vào (2) ta được k = -5 . Vậy phương trình (d): y = - 5x -1 2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : y = (3 xq -12x 0 +9)(x-x 0 ) + Xq -óXq +9x 0 -1 =(3xg -12x 0 +9 )x-2xq +óXq -1 <»(3xq -12x 0 +9)x-y-2xg +6 xq -1 = 0 (*) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN d(A,(D))=d(B,(D))» |2(3xq - 12x 0 + 9) - 7 - 2x[| + 6x 2 ^(3x 2 -i2x 0 +9) 2 +i > 1-2x2 + 12x2 - 24x n + lo| = 1-2x2 + 24x n - 2ó| < -l| |-2(3xg - 12x 0 + 9) - 7 - 2xq + óXg - 1| ự(3x 2 -12x 0 +9) 2 +l 2Xq + 12xq - 24x 0 +10= 2xg + 24x 0 - 26 (1) - 2 x 3 0 + 12xq - 24x 0 +10 = 2 xq - 24x 0 + 26 (2) r 12xq - 48x 0 +36 = 0 |~x 0 = 3 V x 0 = 1 |_4xg - 12xq +16 = 0 L x 0 = _ 1 V Xq = 2 Lần lượt thay Xq = 3 V Xq = 1 V Xg = -1 V Xq = 2 vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến (D) là y +1 = 0, y —3 = 0, y = 24x + 7, y = -3x + 7. Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (c): 1. y = x 3 -3x 2 +2, biết d cắt các trục Ox, Oy l'ân lượt tại A, B thỏa mãn: 0B = 90A. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (c) : y = X 3 - 6 x 2 + 9x - 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của (c) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. 1. Gọi M(x 0 ;y(x 0 )Ịlà toạ độ tiếp điểm. Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A,B . Gọi p là góc tạo bởi giữa d và Ox, do đó d có hệ số góc k = ±tanp Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại o, suy ra tanp = = 9 . , .. ..f y’(x 0 ) = 9 r3x2 -6x 0 -9 = 0 Nói khác hơn đường thăng d có hệ số góc là+9, nghĩa là ta luôn có: . o ^ Ly'( x o) = - 9 [3 x 2 -6x 0 +9 = 0 <» Xq - 2x 0 - 3 = 0 <=> Xq = -1 hoặc x 0 = 3 vì Xq - 2x 0 + 3 > 0, Vx 0 e M . Với x 0 = -1 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x + 7 Với x 0 = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x - 25 Vậy, có 2 tiếp tuyến y = 9x + 7, y = 9x - 25 thỏa dề bài. 2. Hàm SỐ đã cho có 2 điểm cực trị A(l; 2 ), B(3;-2) và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB: 2x+y-4 = 0. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (c) của hàm số và tiếp tuyến (d) cần tìm. Khi đó y 0 =x 3 -6x 2 +9x 0 -2 Ta có: AB = 2yfE , d(M; AB) = l 2x ° + Jp ~ 4 I Giả thiết S^g = 6 ì .AB.d (M; AB) = 6 <=> |2x 0 + y 0 - 4| = 6 <» 2Xg + y 0 = 10 hoặc 2x 0 + y 0 = -2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 E NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ___ _ _ Í2x 0 +y 0 =-2 íy 0 =- 2 - 2x 0 íy n = -2 THI: Tọa độ M thỏa mãn hệ: ị , _ - i - \ o 70 „ hay ly 0 =xẵ-6xẫ + 9x 0 -2 Ịx 0 (x 2 -6x 0+ ll) = 0 [x 0 =0 M(0;-2) Tiếp tuyến tại M là: y = 9x - 2 . TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 2x 0 +y 0 =10 y 0 =x 0 -6xg +9x 0 -2 y 0 = 2 x n- 4 )( x n-6x n +ll| = 0 ' |x n =4 hay M(4;2) Tiếp tuyến tại M là: y = 9x - 34. Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 9x-2 và y = 9x-34 -1 f 3 ’ 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phuong trình tiếp tuyến của (C)tạiM 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C), (d) cắt đuờng tiệm cận đứng của (C) tại A, cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải. 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 <=> y M = ±5. fy M =- 5 THI : M e (C) Ỵm = —5 -5 = - X M ^ .+3 M 3 yM =- 5 M G (C) yM = 5 5 = UM =5 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(- 4; 5 ) là y = 4x + 21. 2. i) Ta có ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục hoành suy ra hệ số góc của (d) là Phương trình tiếp tuyến (d): y = 4x + 5 hoặc y = 4x + 21. -/v ^ 4 x n —1 4 Xp-2x n - ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = --(x - x n ) + ——- =- -X + —- ± — (x 0 +3) 2 x 0 +3 (x 0 +3) 2 (x 0 + 3) 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Tiệm cận đứng của (C): (D 1 ): X = - 3 Tiệm cận ngang của (C): (D 2 ): y = 1. B là giao điểm của (C) với (D 2 ) => X B A là giao điểm của (d) và (D 1 ) => y A = xg-2x 0 -15 (Xo + 3 f = 2x 0 + 3. IA + IB = |y A -y ĩ Ị+|x B -x I Ị= 5 0 | xg-2x 0 -15 1 —1 + |2x 0 + 6| — I (*0 +3 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có >2 IA + IB > 2 IA + IB = 8 <=> —= |2x 0 + 6|« (x 0 + 3) 2 = 4 <=> |x 0 +3| min(lA + LB) = 8=>d: y = x, y = x + 8 Ví dụ 7 1. Biết rằng trên đồ thị y = X 3 - (m +1)X 2 + (4m + 2 )X +1, (C m ) tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc vói đường thẳng X + lũy + 2013 = 0 .Viết phưong trình tiếp tuyến của (C m ) tại điểm đó 2x + 3 2 . Lập phưong trình tiếp tuyến của đồ thị (c) : y =-— tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x + 4y-2 = 0 bằng 2. Lời giải. 1. Gọi tiếp điểm là M(a;b), tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k = y'(a) = 3a 2 - 2(m + l)a +4m + 2, theo giả thiết suy ra k = 10 Trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình 3a 2 - 2 (m + 1 ) a + 4m -8=0 có nghiệm kép hay A' = 0 tức m = 5, thay vào ta được a = 2 => M(2;29). Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y = lOx + 9 2. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là điểm thuộc đồ thị (c), khi đó: y 0 = y(x 0 ) = —-—— x n +1 Ta có: d[M,(d)] = 2 «■ ^-5- |3x ũ+ 4y 0 -2| = 2 <=> 3x 0 + 4y 0 -12 = 0 hoặc 3x 0 + 4y 0 +8 = 0 THI: 3x 0 + 4y 0 -12 = 0 ++ 3x 0 + 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN hoặc x 0 =| TH2: 3xq + 4yQ +8 = 0 <=> 3xq + 4| —-——— 1 + 8 = 0 <^> 3xq + 19xq + 20 = 0 l x 0 + 1 ) 4 «x 0 =-5 hoặc Xg = -- Phưong trình tiếp tuyến (d) tại M thuộc đồ thị (c) có dạng: y = y'( x o)( x - x o) + y( x o) trong đó vàỵ'(x 0 )= ~ l , x 0 + -1. ( x 0 +1 ) Phuong trình tiếp tuyến (d |) tại Mị (0; 3 ) là y = -X + 3. Phuong trình tiếp tuyến (d 2 ) tại M 2 là y = ~Y^ X + Ệ • Phuong trình tiếp tuyến (d 3 ) tại M 3 Ị-5; ^ j là y = - ^ X + ^. Phương trình tiếp tuyến (d 4 ) tại là y = -9x-13. Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: 9 47 1 23 y = -x + 3, y = -^-x+77, y = --Vx + rr, y = -9x-13. J 16 16 J 16 16 3 Ví dụ 8 1. Cho hàm số y = X + 2 (c) và đường thẳng (d m ):y = 2x + m. Tìm m để đường thẳng (d m ) cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm đối xứng I của (c) cách đều hai tiếp tuyến với (c) tại các điểm A, B. 2. Cho hàm số y = X 3 — 3x 2 +1 có đồ thị là (c) . Tim trên đồ thị hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ o đến đường thẳng đi qua hai điểm A, B bằng ■ Lời giải. 1. D = R\{2}. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d m ) và ( c ) là nghiệm của phương trình X + ^ = 2x + m<=>2x 2 + (m-5)x-2m-3 = 0 (Vx + 2 ) Để (d m ) cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN |a> 0 (m-5) + 4.2.(2m + 3) >0 |(m + 3) 2 +40 > 0 Vm e M Ịg(2)^0 |2.2 2 +2(m + 5)-2m-3*0 Ịl5*0 Các tiếp tuyến: K):y=- (*i-2) 2 (x-x x )+i+ 5 x 1 -2' ( A i) : y = - 5 x 2 -2 d(l;A 1 ) = d(l;A 2 ) '(x,-2f(x 2 -2f.25^ m = _ 3 _(x,-2f=(x 2 -2f Vậy, m = —3 là giá trị cần tìm. 2. Gọi AỊx 1 ;y 1 = Xj — 3x 2 + lj, B Ịx 2 ; y 2 = x 2 — 3x 2 +1 j là 2 điểm cần tìm với X 1 * x 2 Ta có ý = 3 x 2 -6x Hệ số góc của các tiếp tuyến của (c) tại A và B lần luợt là lc^ = 3x 2 -6x 1 ,k 2 = 3x 2 -6 x 2 Tiếp tuyến của (c) tại A và B song song với nhau nên k 1 = k 2 <??■ 3x 2 - 6x 1 = 3x 2 - 6x 2 Cí>3(x 1 -x 2 )(x 1 + x 2 )-6(x 1 -x 2 ) = 0 <»x 1 + x 2 -2 = 0 =>x 2 = 2-Xị Hệ số góc của đuòng thẳng AB là k = ——— = —--—y-— x 2 - X 1 x 2 -x 1 k = (x 1 +x 2 ) 2 -x 1 x 2 -3(x 1 +x 2 )= 4-x 1 (2-x 1 )-6 =-2x 1 -2 Phuơng trình đuờng thẳng AB là y =(-2x 1 -2)(x-x 1 ) +Xị -3x 2 +1 <»(-2x 1 -2)x-y-+ 2x 1 + 1 = 0 |—X? + 2x, + l| | — X? + 2Xi +l| /1 r\ ^d(O.AB) - '7 - , 2 =Ỹ = ề ỵị x ỉ - 2x 1 - 2j +1 ^ Ị(~ x ỉ + 2 X 1 +1 +1 j +1 <=> -JE |-x 2 + 2X| +l| = x/2^Ị-x 2 +2x 1 +1+1 j +1 .Bình phucmg 2 vế và rút gọn được: 3 Í-X 2 + 2Xị + lỊ - 4 Ị-X 2 + 2x 1 + lj-4 = 0 <=>-x^+2x 2 +1 = 2 ( 1 ) hoặc- x 2 +2x 1 +1 =-| ( 2 ) Giải ( 1 ) ta được X 1 =1=>X 2 =1 Giải ( 2 ) ta được Xj = 3 ~ 2 J Ố hoặc Xl = 3 + 2 ý 3 \ ) VI 3 9 1 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN f 3 + 2-76 9 + 2 -TểH f 3 - 2-v/ó -9 + 2-v/ó 'ị , _,, Vậy, các điếm can tìm là A -—;----;-—- hoặc ngược lại. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm sô' y = X 3 + 3x 2 - 6 x +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y = 3x-6 B. y = 3x-7 c. y = 3x-4 D. y = 3x-5 ìsBài làm 1. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y' = 3x 2 + 6 x - 6 . Ta có: x 0 = 1 => y 0 = -l,y'(l) = 3 Phương trình tiếp tuyến là: y = y'(x 0 )(x — Xq) + y 0 = 3(x — 1) — 1 = 3x — 4 Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 9 y = 18x + 81 ~y = x+ 81 y = 18x + l A. y = -9x B. y = 9x c. y = -9x D. y = 9x-27 y = 9x-2 y = 9x-7 2 s .Bài làm 2. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y' = 3x 2 + 6x - 6. Ta có: y 0 =9 <=>Xq +3xq -6 x 0 - 8 = 0 <=>x 0 =-1 ,Xq =2,Xq =-A. • Xq = — 4=> y'(x 0 ) = 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 18(x + 4) + 9 = 18x + 81 • Xq = -1 => y'(x 0 ) = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9(x +1) + 9 = -9x • Xq = 2 => y '(x 0 ) = 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 18(x - 2) + 9 = 18x - 27. Câu 3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - -Ỉ-X +1 18 A.: y = 18x + 8 và y = 18x—27. B.: y = 18x + 8 và y = 18x - 2. c. :y = 18x + 81 và y = 18x-2. D. :y = 18x + 81 và y = 18x-27. ìsBàỉ làm 3. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y' = 3x 2 + 6 x - 6 . Vi tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = — X +1 nên 18 Ta có: y'(x 0 ) = 15 <=>Xq +2x 0 -8 =0 <=>x 0 =-4,x 0 =2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x - 27. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 4. Tiếp tuyến đi qua điểm N(0; 1). A. y = -^x + ll B. y = -^x + 12 c. y = -^x + l D. y = -^x + 2 y 4 y 4 y 4 y 4 ìsBài làm 4. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y' = 3x 2 + 6 x - 6 . Phuơng trình tiếp tuyến có dạng: y = (3Xg + 6 x 0 - 6 )(x - Xg) + Xq + 3xq - óXg +1 VI tiếp tuyến đi qua N(0; 1) nên ta có: 1 = (3Xg + 6x 0 - 6)(-X 0 ) + Xg + 3Xg - ÓXg + 1 <=> 2xg + 3 xq = 0 <=> Xq = 0,Xq =~ • Xq = 0 => y'(x Q ) = -6 . Phương trình tiếp tuyến: y = - 6 x +1. 3 107 33 • X Q = - ^ => y 0 = , y '(x 0 ) = - . Phương trình tiếp tuyến 33 f 3^ 107 33 y =-.\ x+ - +^T- = -- 7 -.x+ 1 . J 4 y 2) 8 4 Bài 2. Cho hàm số y = X 3 - 3x +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y = —3x+12 B. y = -3x + ll c. y = -3x + l D. y = -3x+2 ĩ&Bài làm 1. Ta có: y' = 3x 2 - 3. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: x 0 =0=>y 0 =l,y'(x 0 ) = -3 Phương trình tiếp tuyến: y = —3x +1. Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 3 A. y = 9x-1 hay y = 3 B. y = 9x-4 hay y = 3 c. y = 9x-3 hay y = 3 D. y = 9x-13 hay y = 2 ĩs.Bài làm 2. Ta có: y' = 3x 2 - 3. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y 0 = 3 Xg -3x 0 -2 = 0 Xg = 2,x 0 = -1 • Xq = —1 => y'(x 0 ) = 0 . Phương trình tiếp tuyến: y = 3 • x 0 = 2 => y'(x 0 ) = 9 . Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x - 2) + 3 = 9x -13. Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. y = 9x-l hay y = 9x + 17 B. y = 9x-l hay y = 9x + l c. y = 9x-13 hay y = 9x + l D. y = 9x-13 hay y = 9x + 17 ỉs.Bài làm 3. Ta có: y' = 3x 2 - 3. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có: y'(x 0 ) = 9 <=>3xg-3 = 9 <=>Xg =±2 • Xq = 2 => y 0 = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x - 2) + 3 = 9x -13. • Xq = -2 => y 0 = -1. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2) -1 = 9x +17. Câu 4. Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. y = 2,y = —1 B. y = 3,y = -l c. y = 3,y = -2 D. x = 3,x = -l ìs3ài làm 4. Ta có: y' = 3x 2 - 3. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y '(x 0 ) = 0 Hay Xq = ±1 . Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 3,y = -1. Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x 4 - 4x 2 +1 biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 ~y = 1 'y = 1 ~y = 1 A. y = 8\fĩx - 5 B. y = 8a/2x- 15 c. y = 8^Í2x-l D. y = -8sỉĩx-5 y = -8^c-15 y = -8^fĩx - 1 ìsBàỉ làm 1.. Ta có: y' = 8x 3 - 8x Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Ta có: y 0 = 1 <=> 2xq -4xq = 0 <»Xq = 0,X Q = ±\ỊĨ • Xq = 0 => y'(x 0 ) = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 1 • Xq = yjĩ => y'(x 0 ) = 8\ỊĨ. Phương trình tiếp tuyến y = 8^JĨ (x - sỊĨ ) +1 = 8n/2x -15 • Xq = -yỊĨ => y '(x 0 ) = -8\ỊĨ . Phương trình tiếp tuyến y = -8^(x + ^) + l = -8^x-15. Câu 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x -1. A. y = 48x-9 B. y = 48x-7 c. y = 48x-10 D. y = 48x-79 ì&Bài làm 2.. Ta có: y' = 8x 3 - 8x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x -1 Nên ta có: y'(x 0 ) = 48 <=>Xg -Xq-6 = 0<=>x 0 =2 Suy ra y 0 = 17 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 48(x - 2) +17 = 48x - 79 . Bài 4. Cho hàm số y = X 4 + X 2 +1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 A. y = 2 B. y = l c. y = 3 D. y = 4 ĩỉkBài làm 1. Ta có: y' = 4x 3 + 2x. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Ta có y 0 = l^>x 4 +x 2 =0^x 0 =0, y'(x 0 ) = 0 Phương trình tiếp tuyến: y = 1 Câu 2. Tiếp tuyến song song với đường thng y = 6x -1 A. y = 6x-2 B. y = 6x — 7 c. y = 6x-8 D. y = 6x-3 ĩỉkBài làm 2. Ta có: y' = 4x 3 + 2x. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Vi tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x -1 nên ta có: y'( x o) =6 <=>4 xq +2x 0 = 6 ■o-Xq =l=>y 0 =3 Phương trình tiếp tuyến: y = 6x — 3 . Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm M(-l;3). A. y = -6x-2 B. y = -6x-9 c. y = -6x-3 D. y = -6x-8 ìsBàỉ làm 3. Ta có: y' = 4x 3 + 2x. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = (4x 3 +2x 0 )(x-x 0 ) + x 4 + x 2 + l VI tiếp tuyến đi qua M(-l; 3 ) nên ta có: 3 = ^4xq + 2x 0 Ị(-1-x 0 ) + Xq +Xq +1 <=>3xq + 4xq +Xq +2x 0 + 2 = 0 «■ ( x 0 + l) 2 (3 x ẳ-2x 0 + 2) = Oox 0 =-l^y 0 = 3,y '(x 0 ) = -6 Phương trình tiếp tuyến: y = -6x - 3 . 2 x + 2 ^ ^ ^ Bài 5. Cho hàm số y = — (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng -2. ụ=-x-l \_y = -x-21 [ị, = -x-21 . —4 . 2x 0 + 2 A:y = --~~y( x ~ x ũ) + ~ ' • (x 0 -l) 2 x 0 -l ^ . , -4 2sBài ỉám 1. Hàm số xác định với mọi X 1. Ta có: y =-—— (x-1) 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phuơng trình tiếp tuyến của (C): Vi tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 nên ta có 4 (x 0 -l) 2 • x 0 = 2 =>y 0 =4^A:y = -x + 7 • x 0 =-l^y 0 =O^A:y = -x-l -1<=>X 0 =3,x 0 =-l = -X + 27 = —X — 1 Câu 2. Tiếp tuyến song song vói đuòng thẳng d: y = —4x +1. 41. |y = -4*+2 B Pị/ = -4x + 21 c |~y = -4x + 2 D. r ’[y = ^x+14 ’ [y = -4x + 14 |_y = -4x +1 L = -4x+12 = -4x+14 2 s Bài làm 2. Hàm số xác định vói mọi X * 1. Ta có: y' =-—— (x-1) 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phuong trình tiếp tuyến của (C): Vi tiếp tuyến song vói đuòng thẳng d: y = -4x 4-1 nên ta có: y'( x o) = -4< - = -4^x 0 =0,x 0 =2. ( x 0 -l) > X0=O=>y o =2=>A:y = -4x + 2 »x 0 =2=>y 0 =6=>A:y = -4x +14. Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm A(4;3) 1 31 y = --x + — 9 4 4 1 31 y = —- X+ — . 4 4 2 sBài làm 3. Hàm s< c định vói mọi X * 1. Ta c (x-1 f Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phuong trình tiếp tuyến của (C): , —4 /, N. 2x n +2 Vì tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có: 3 =--—— (4-XqJh--—— (x 0 -l) X Q-1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN <=>3(x 0 -l) 2 =4(x 0 -4) + 2(Xq -1) <=> Xg -10x 0 -21 = 0<=>x 0 =-3,Xg =7 • X Q = 7 => y 0 = ^,y'(x 0 ) = ~. Phương trình tiếp tuyến y = -ị(x + 3) + l = -ịx + ị. 4 V ; 4 4 Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. y = -x-11 y = -x+7 y = -x-11 y = -x + 17 y = -x-1 y = -x + 17 ÌS.BÙÍ làm 4. Hàm S' i X 7^ 1. Ta có: y' = (x-1 f Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): D. y = -x-1 y = -x+7 VI tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y = +X, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1 hay y '(x 0 ) = ±1. Mà y' < 0, Vx ^ 1 nên ta có =-1 » =-!« *0 = -1<X„=3 • x 0 =-l^y 0 =O^A:y = -x-l • x o=3=>yo = 4=>A:y = -x + 7. 2 x +1 Bài 6. Cho hàm số y = — (C). Viết phương trình tiếp tuyến c a (C) biết: Câu 1. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ^x + 2 A. y = — 3x-ll hay y = -3x + ll B. y = -3x— 11 hay y = -3x + l c. y = —3x — 1 hay y = -3x + l D. y = —3x — 1 hay y = -3x+ll ì&Bài làm 1. Ta có y' =-——. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (x-1) y ,( x ^- 3 ~ Ĩ ^ T- 3 ~ x ”^ 2 • Xq = 0 => y 0 = -1, phương trình tiếp tuyến là: y = —3x -1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN • Xq = 2 => y 0 = 5, phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x - 2) + 5 = -3x +11. Câu 2. Tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 6 4 1 A. y = —3x +1,y = —3x +1,y = ~12x + 2,y = -^x-^ 4 2 B. y = -3x + l,y = -3x-ll,y = -12x-2,y = -^x + ^ c. y = -3x + ll,y = -3x-ll,y = -12x,y = -|x-| 4 2 D. y = —3x + l,y = -3x +11,y = -12x + 2,y = -^x-^ ĩSkBài làm 2. Ta có y' =-—. Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phưong trình tiếp tuyến A có dạng: (x-1) 2 V- _3 (x x.ì I 2 0 1 . y~z ^2* x oj + • (x 0 -l) x 0 -l (x Q -l) ; íy = 0 I A n Ox = A: \ -3 Suy ra A (x 0 -l) : 2xq + 2xq -1 3 íx = 0 2x n +1 -(x-x 0 ) + »^ = 0 » AnOy = B Suy ra: B 0; y = 2xq + 2x 0 -1 3x 0 2x 0 +1 (x 0 - l) 2 + x 0 -1 (x 0 -1)' .. 1„._1 2Xn+2x n -l Diện tích tam giác OAB: s = 2-OA.OB = q 0 0 - 2 6 x n -l Suy ra S OAB 2xn +2x n -1 2xq + 2x 0 -1 = Xq - 1 ^ 2xp + 2x n -1 = -x n +1 2xi + 3x n -2 = 0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y = -3x + l,y = -3x + ll,y = -12x + 2,y = 3 X 3 Câu 3. Tiếp tuyến đi qua A(-7;5). B. y = - 3.2 —x + — 16 16 Bài 7. Cho hàm sô' y = X 4 - 8x 2 + m +1 (C m ). Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ Xq = 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. Ta có: y' = 4x 3 - 16x VI Xg = 1 => y 0 = m -6, y'( x o) = — 12 . Phưong trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ Xq = 1 là: y = -12(x—1) + m - 6 = —12x + m + 6. Phưong trình hoành độ giao điểm của (Cm) vói d X 4 - 8x 2 + m +1 = -12x + m + 6 <=> X 4 - 8x 2 + 12x -5 = 0 <=>(x-1) 2 (x 2 +2x-5) = 0<»x = 1,x = -1±n/6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(l;m-6), B(-l±^;m + 18^^) Bài 8. Cho hàm số y = 2 X + ĩr ^ + l (Cm). Tim m để tiếp tuyến của (Cm) Câu 1. Tại điểm có hoành độ Xq = 0 đi qua A(4; 3) A _ 16 A. m = —— B. m 6 5 5 r _ m _ 3 2 s Bài làm 1. Ta có: y' = ———V (x-1) 2 5 15 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vì Xq = 0 => y 0 = -m -1, y'(x 0 ) = -m - 3. Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ Xq = 0 là: y = (-m - 3)x - m -1 Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 = (-m - 3)4 - m- l<=>m = -^. Câu 2. Tại điểm có hoành độ Xq = 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng — . n 23 m = -2; m = —— n 23 m = 2;m = — n 23 m = -2; m = — — 9 B. „ 28 m = -7; m = —- 9 c. ^ 28 m = -7; m = —- 9 D. „ 28 m = 7;m = — L 9 L 9 L 9 L 28 n = -7;m = -r- 9 -m-3 ĩ&Bài làm 2. Ta có: y' = (x-ĩỷ Ta có Xg = 2 => y 0 = m + 5, y '(x Q ) = -m - 3. Phương trình tiếp tuyến A của (Cm) tại điểm có hoành độ Xq = 2 là: y = (-m - 3)(x - 2) + m + 5 = (-m - 3)x + 3m + 11. ( 3m + ll I ÀnOx = A=>A ■ ;0 , với m + 3^0 m + 3 • ÀnOy = B=>B(0;3m + ll) Suy ra diện tích tam giác OAB là: s = ^OA.OB = l ^ra + ll) 2 2 |m + 3| ^____ 1 (3m + 11) 2 25 Theo giả thiết bài toán ta suy ra: — —I—— = — 5 y 2 |m + 3| 2 ^(3m + ll) 2 =25|m + 3|<=> 9m 2 + 41m + 46 = 0 9m 2 +91m +196 = 0 9m + 66m +121 = 25m + 75 9m 2 + 66m +121 = -25m - 75 r r w f(x) 7 ' Bài 9. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y = f(x),y = g(x),y = 21-2. tại điểm của hoành độ X = 0 bằng nhau. g( x ) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. f(0)<i B.f(0)<ỉ c. f(0)>A D. f(0)>ỉ 4 4 4 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Theo giả thiết ta có: f'(0) = g'(0) = f'(0).g(0)-g'(0)f(0) g 2 (0) f(0)=g'(0) ỉ g(0)-f(0) =>f(0)=g(0)-g 2 (0) g 2 (0) 1 4 .2 <1 4 Bài 10: Câu 1. Tim trên (C): y = 2x 3 - 3x 2 +1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M(-l;-4) B. M(-2;-27) c. M(1;0) D. M(2;5) ĩSíBài làm 1. Giả sử M(x 0 ;y 0 )e(C) => y 0 =2 xq -3xq +1. Ta có: y' = 3x 2 -6x. Phuong trình tiếp tuyến A tại M: y = (6Xg - 6x 0 )(x - Xq ) + 2Xq - 3xq +1. A đi qua P(0;8)» 8 = -4xl + 3x 2 +1 » x 0 = -1. Vậy M(-l;-4). Câu 2. Viết phưcmg trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sô' y = X 3 - 6x 2 + llx -1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. y = 2x +1 ; y = -x + 2 ; y=2x-l B. y = 2x + 3 ; y = -x + 7 ; y = 2x-2 c. y = 2x + l ; y = -x + 2 ; y = 2x-2 D. y = 2x + 3 ; y = —x + 7 ; y = 2x-l ĩSiBài làm 2. Ta có: y = 5 <=>x 3 -6x 2 +llx-6 = 0 <»x = l;x = 2;x = 3 Phuong trình các tiếp tuyến: y = 2x + 3 ;y = — x + 7;y = 2x — 1 Câu 3. Viết phưcmg trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ^ X 3 + ỉ X 2 - 2x - ^ , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng X + 4y -1 = 0. 7 „ 2 A. y = 4x + — y = 4x- — 6 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (c): ỵ = X+ 1 biết d cách đều 2 điểm A(2;4) và A. y = — x + —, y = x + 3, y = x + l y 4 4 y y c. y = ^x + j, y = x + 4, y = x + l 4 4 ' 4 4 i&Bài làm 4. Gọi M(x 0 ;y(x 0 )j , Xq -1 là tọa độ tiếp điểm của d và (c) _ 15 __ _ . y 4 2 y y D. y = jX + j, y = x + 5, y = x + l Khi đó d có hệ SỐ góc y'(x Q ) = ( x 0 +1 ) - và có phương trình là : 1 / \ „ 1 y =-- x-x n +2- 7 (x 0 +lf v ; x 0 +l x 0 +l)" Vi d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm l(-l;l j của AB hoặc cùng phương với AB. THI: d đi qua trung điểm l(-l;l), thì ta luôn có: 1 =--—— (-1 — Xq ) + 2- —-, phương trình này có nghiệm Xq = 1 (x 0+ l) x 0 +1 Vói x 0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = ỉ X + ^. TH2: d cùng phương với AB, tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y'(x Q ) = k AB = ——^ = 1 hay X B -X A --—— = 1 yy Xg = -2 hoặc x 0 = 0 ho+1) Với Xq = —2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = X + 5. Với x 0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y = X +1. Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = ^x+^, y = x + 5, y = x + l Câu 5. Tim m e M để từ điểm M(l;2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (c m ):y = x 3 -2x 2 +(m-l)x + 2m. A.m = l?,m = -3 B.m = M, m = 3 c.m = ỉ?,m = 3 D. m = M, m = _3 81 81 81 81 ìsBài làm 5. Gọi N(x 0 ;y 0 ) G (c). Phương trình tiếp tuyến (d) của A tại N là: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN y = ^3 xq -4xq + m-lj(x-Xg) + XQ — 2 xq + (m-l)x Q +2m Me(d)<=>2xổ + 5xg-4x 0 =3-3m (*) Dễ thấy (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = 3 — 3m và f ( x o) = 2 x Ỗ + 5 x ẳ- 4 x O- Xét hàm SỐ f (x 0 ) = 2 xq +5xq-4x 0 có f'(x o ) = 6x0+10x 0 -4 f'(x 0 ) = Oox 0 =-2 hoặc x 0 =~. Lập bảng biến thiên, suy ra m = , m = —3 ^ Í3m + l)x-m 2 +m , . Câu 6. Cho hàm số y = -- - -có đồ thị là (c ), mel’ và m ^ 0 .Với giá trị nào của m thi x + m v 1 tại giao điểm đô thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng X — y —10 = 0. A. m = -l;m = -ị B. m = l;m = -ị c. m = -l;m = ị D. m = l;m = ị 5 5 5 5 ìSiBài làm 6. Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: (3m + l)x-m 2 + m íx=É-m,m?iO -———-= 0,m^0<íí>^ / . - x + m Ij3m + ljx-m +m = 0 1 1 r 1 3 , 4m 2 1 _ 2 _ . Mà y = - 3m + 1 ( x Tiếp tuyến song song với đường thẳng X - y -10 = 0 nên y' ^^ 1 = 1 <=> m = -1 hoặc m = -i Ị 3m +1 I 5 * m = -1 giao điểm là A(-l; o) , tiếp tuyến là y = X + 1 . 1 3 ^ 3 * m = -^ giao điểm là BỊ ^;0 1, tiếp tuyến là y = x-^ . Câu 7. Tim me# để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C m ): y = X 3 - 2x 2 + (m - 1) X + 2m vuông góc với đường thẳng y = -X GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ,2 7_ 7_,_ 7 => y' = m- — khi 3 3 2 X = ^ .Theo 3 + m-4>m-4 =>y’>m-4 3 3 J 3 Câu 8. Tim m để đồ thị: y = ^mx 3 + (m - l)x 2 + (3m-4)x + l có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đuờng thẳng x-y+ 2013 = 0. A. m<l c. -ị<m<l 2 D. -Ị<m<l 2 2 ìSkBài làm 8. Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng X - y + 2012 = 0 khi và chỉ khi y' .1 = -1 hay Câu 9. Cho hàm số y = X 3 - 3x +1 có đồ thị là (c) . Giả sử (d) là tiếp tuyến của (c) tại điểm có hoành độ X = 2, đồng thòi (d) cắt đồ thị (c) tại N, tìm tọa độ N . A. N(l;-1) B. N(2;3) c. N(-4;-5l) D. N(3;19) 2 s .Bài làm 9. Tiếp tuyến (d) tại điểm M của đồ thị (c) có hoành độ Xg = 2 => y 0 =3 Ta có y'( x ) = 3x 2 -3=>y'(x 0 ) =y'(2) =9 Phuơng trình tiếp tuyến (d) tại điểm M của đồ thị (c) là y = y'(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 =>y = 9(x-2) + 3=>y = 9x-15 Xét phuơng trình X 3 -3x + l = 9x-15 <=>x 3 -12x + 16 = 0 <=> (x-2)Ịx 2 +2x-8j = 0 <=> X = —4 hoặc X = 2 (không thỏa) Vậy N(^;-5l) là điểm cần tìm Bài 11: Câu 1. Cho hàm số y = X 3 - 2x 2 + 8x + 5 có đồ thị là (c). Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc vói nhau c. Hàm SỐ đi qua điểm M(l;17) D. Cả A, B, c đều sai ì&Bài làm 1. Ta có y'(x) = 3x 2 - 4x + 8 Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị (c) vuông góc với nhau. Gọi X|, x 2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi k 1 ,k 2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (c) có hoành độ x 1 ,x 2 . Khi đó kj,k 2 =-l=>y (x 1 ).y (x 2 ) = -l=>Í3x 1 2 -4x 1 + 8jỊ3x 2 2 -4x 2 +8j = -l (l) Tam thức f (t) = 3t 2 - 4t + 8 có Á' < 0 nên f (t) > ovt <E R từ đó và từ (l) suy ra mâu thuẫn. Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) Câu 2. Cho hàm số y = X 4 + 2x 2 — 3 . Tim phưcmg trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm MÍ0;-3) bằng y65 A.y = 2x + 1 B.y = 3x-2 C.y = 7x + 6 D.Đápánkhác ì&Bài làm 2. Gọi AeỊc)=> A^a;a 4 +2a 2 -3j Ta có: y' = 4x 3 + 4x=>y'(a) = 4a 3 +4a Phưong trình tiếp tuyến (t): Ị4a 3 + 4ajx-y-3a 4 -2a 2 - 3 = 0 5(a - l)(a + l)(ll7a 6 + 193a 4 + 85a 2 + 5 ) = 0 Giải tìm a, sau đó thế vào phưong trình (t) suy ra các phưcmg trình tiếp tuyến cần tìm. Câu 3. Tim m để đồ thị y = X 3 - 3mx + 2 có tiếp tuyến tạo vói đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc a sao cho cosa = —!=. V26 A. m = 2 B. m = 3 c.m = l,m = ấ D. Đáp án khác 2s Bài làm 3. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến => tiếp tuyến có vecto pháp tuyến n 1 = (k;-l) , d có vec to pháp tuyến n 2 = (l;l) kn 2 | J |k-l| 3 2 Ta có cosa = I II v «»-p= = _ , - <=> k = -z hoặc k = 7. PPI & -Ẽ-ỉẽ 7Ĩ 2 3 Yêu cầu bài toán <» ít nhất một trong hai phương trình y' = k 1 hoặc y' = k 2 có nghiệm X tức 3x 2 + 2Íl-2m)x + 2-m = ^ có nghiêm 2 . Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. Bạn tự giải tiếp, hí hí. 3x 2 + 2(l-2m)x + 2-m = ^ có nghiêm GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 4. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y = -X 4 + 2mx 2 - 2m + 1 tại A(l; o) và B (-1; o) hợp với . m = 0, m = 2, m = f4, m = f- r . ^ __ n __ 0 15 7 c. m=u, m = 2, m = —, m = —. 16 16 D. m = 0, m = 2, ] ĩ&Bài làm 4. Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với Vm 6 M. Tiếp tuyến d| tại A: (4m-4)x-y-4m + 4 = 0 Tiếp tuyến d 2 tại B: (-4m + 4 ) X - y - 4m +4 = 0 15 17 = —, m = ——. 16 16 Đáp số: m = 0, m = 2, ] 16 _ 5 ~ 6 ' 16 7 Bài 12. Cho hàm số: y = ——— có đồ thị (c). X - 1 v ' Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Câu a. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1. A. y = — X — 2, y = — X + 7 . c. y = — X — 1, y = — X + 4 . 2 s Bài làm a. Hàm số đã cho xác định vói Vx & 1. Ta có: y' = B. y = —X — 5, y = —X + 6 . D. y = -X -1, y = -X + 7 . -4 K-1) 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (c) : -4 / \ 2 xq +2 ,/ \ —4 , y= 7 —^( x - x o) + v~f ^y( x ũ)= - ,2 và yo=-7-j- x 0 1 (x n — 1) x 0 1 x 0-!) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 Nên có: = -1 <=> x n = 3, x n = -1 * Với x 0 =-l=>y 0 = 0=>A:y = -x-l * Với Xg=2=>y 0 = 4=>A:y = -x + 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -X -1, y = -X + 7 . Câu b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -4x +1. A. y = ^4x + 3, y = ^4x + 4. c. y = -4x + 2, y = -4x +1. B. y = ^4x+2, y = ^4x + 44. D. y = —4x + 2, y = —4x +14 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ì&Bài làm b. Hàm số đã cho xác định với Vx & 1. Ta có: y' = - Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (c): —4 / \ 2xq + 2 , \ —4 , 2xq+2 y = -^-y(x-x 0 ) + ^-^ với y (*q) = —— 2 và (x 0 -l) x 0 1 (x 0 -l) x 0 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -4x +1. Nên có: y'(x 0 ) = -4<: ( x 0-!) = -4 <=> Xq = 0 hoặc Xg = 2 * Với Xg=0=>y 0 =2=>A:y = -4x + 2 * Với x 0 =2=>y 0 =6=>A:y = -4x +14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -4x + 2, y = -4x +14 . Câu c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. A. y = —X — 1, y = — X + 6 . B. y = -x-2 y = -x + 7. c. y = -X - 1, y = -X + 5 . D. y = -X - 1, y = -X + 7 . ì&Bài làm c. Hàm số đã cho xác định vói Vx 1. Ta có: y' = - x-1 f Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (c): x „-l) 2 (x 0 -l) và yo = 2x 0 +2 x 0 -l Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1. Mặt khác: y'(x 0 )<0,nêncó: y'(x 0 ) = -l -4 Tức--—— = -1 <=> x 0 = -1 hoặc Xq = 3 . K- 1 ) * Với x 0 =-l=>y 0 =0^>A:y = -x-l * Với Xg=3=>y 0 =4=>A:y = —x + 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -X -1, y = -X + 7 . Câu d. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 c. y = —“~x — p y = 4x + 1 . y 9 9 y D. y = --rX-^, y = 4x + 14. y 9 9 y GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ìĩiBài làm d. Hàm số đã cho xác định với Vx ^ 1. Ta có: y' = (x-lf Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (c): y=7— — y( x “ x °) + vfrr vói y ( x o)=— ^ và y 0 ta- 1 ) *0 1 ta- 1 ) x 0 1 Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến trục Oybằng 2 suy ra x 0 =±2,hay M^-2;^j, M(2;ó). „ , „21,, 4 2 Phương trình tiếp tuyến tại MỊ -2; — j là: y = - —x - — Phương trình tiếp tuyến tại M(2;ó) là: y = 4x + 14 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = ~g X ~g' y = 4x + 14. Câu a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2 A. y = —2x + l,y = —2x c. y = -2x + 9,y = -2x , , 2(x-l)-2x -2 ó: V =— — = -— -l) 2 (x-l) 2 ■2 ỉs Bài làm a. Ta có: y’ tiếp tuyến tại (x 0 ;y 0 ) bằng y'(x 0 ) = Theo giải thiết, ta có: y'(x 0 ) = -2 <=>- : Xo- 1 ) -— = —2 B. y = —2x + 2,y = —2x + 4 D. y = —2x + 8,y = —2x Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 0- 1 = 1 ^r x 0= 2 ^y 0 = 4 x o - 1= - 1 L x o= 0 =>yo=° «(x 0 -l) =1< Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = —2x + 8,y = —2x Câu b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): X + 2y = 0 A.y=- c.y = - 1 27 1 • y =——x + —,y =——X- J o A J o „ 1.. . 27 17 D. y = -^x + ^-,y = -T x + T 3 2 4 3 2 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN .. m , , 2(x-l)-2x -2 ỉa Bài làm b. Ta có: y' = —-—— =-— (x-1) 2 (x-l) 2 tiếp tuyến tại (x 0 ; y 0 ) bằng y' (x Q ) Theo giải thiết, ta có: x 0 - 1 ) Gọi (x Q ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc =0-1) 2 tr =-;r co. (x 0 -l) 2 = 1 2 2 v 0 ’ đ 1 27 1 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = “ 2 x + 4 >y = ~2~ 4 Câu c. Tiếp tuyến vuông góc với đuờng thẳng (a) : 9x - 2y +1 = 0 A _ 2 2 _ 2 8 J 9 9 3 9 9 „ „ 2 _ 1 2 _ 8 J 9 9 J 9 9 2(x-l)-2x -2 ỉaBÀi làm c. Ta có: y' = —-—— =-— . (x-1) 2 (x-1) 2 tiếp tuyến tại (x 0 ;y 0 ) bằng y’(x 0 ) = - — , 2 , 32 __ 2 , 8 J 9 9 y 9 9 „ 2 . 32 2 4 D. y = -—x + —,y = -—x- — J 9 9 J 9 9 Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc < 0 - 1 ) Theo giải thiết, ta có: --—— = -Ệ o(x n - l) z = Ậ (x 0 -lf » 10 f ĩ 2 32 2 8 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = ~Ẹ x+ g'Y = ~g X+ g Câu d. Tạo vói đuờng thẳng (d'): 4x + 3y + 2012 = 0 góc 45° A.y = 2x + 3 ■y- L ,*+ 3 c. y = Jx+3 D. Đáp án khác . . , 2(x-l)-2x -2 _ , V _ ĩsBàỉ làm d. Ta có: y' = —-—— =-— .Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc (x-l) 2 (x-lf tiếp tuyến tại (x 0 ;y 0 ) bằng >''(>„) = ho- 1 ) Tiếp tuyến Cần tìm CÓ phuong trình: y = k(x-x 0 ) + y(x 0 ) với k = y'(x 0 ) < 0, có vectơ pháp tuyến là n = (k;-l), (d') cóvectơ pháp tuyến là m = (4;3) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN „ h- m |4k-3| 1 , 1 , cos45° = * <=> _ = -= => k = thỏa đề bài. nm Y^.5 7 Câu e. Tạo với chiều dương của trục hoành một góc a sao cho cos a = — v5 y 5 4 * 5 4 * 5 4 2(x-l)-2x -2 ĩSkBài làm e. Ta có: y' = —-—— =- (x-lf (x-lf -2 D. Đáp án khác Gọi (x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại (x 0 ; y 0 ) bằng y' (x 0 ) = Xo- 1 ) 2 Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành ,khi đó tồn tại a G [O; JI j để tana < 0 -2 bo-1) —2 1 / ^\2 Câu f. Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM (I là giao điểm 2 tiệm Cí A ,13 A.y = -x + - y 5 4 1 3 . y = i:X-~- * 5 4 „ 1 13 c. y = £-x+-^- '54 D. Đáp án khác . . 2(x-l)-2x -2 X . ìsBàỉ làm f. Ta có: y' = —-—— =-— .Gọi (x 0 ;y 0 1 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc (x-1) 2 (x-1) 2 tiếp tuyến tại (x 0 ;y 0 ) bằng y’(x 0 ) = x 0 1 ) , theo bài toán nên có: k M .y'(x Q ì = -l <=> (x 0 -l) =4 XX Bài 14: Cho hàm số y = — + — + 2 có đồ thị (C). ^42 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : y = 2x - 2 . 3 1 3 A.y = 2x + ^ B. y = 2x + -ị c. y = 2x-^ D. y = 2x+l ìsBài làm 1. y'(x 0 ) = 2 (trong đó x 0 là hoành độ tiếp điểm của (t) với (C)). <Í5> Xq+Xq =2<^>Xq+Xq-2 = 0<»x 0 =1. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình (t): y = ỳ'(l)(x -1) + y(l) = 2(x -1) + ^ = 2x+1 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng —= . 4y5 1 3 A. Ỵ = 2x + -~ ,Ỵ = —2x + -~ 4 4 3 3 c. y = 2x + ^,y = -2x + ^- 4 4 3 3 B. y = 2x + ^ 7 ,y = -2 x + ^7 7 4 3 14 3 3 D. y = 2x + 77 ,y = —2x + -- 14 4 ìsBàỉ làm 2. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = y'(x 0 )(x -Xq + +y(x Q ) (trong đó Xq là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). Xn Xn 0 3 4 1 9 Phương trình (d): y = (xổ + x 0 )(x - x 0 ) + + Ỹ + 2 = (xịj + x 0 )x - 4 x 0 - 2 x ỗ + 2 «(xỔ+x 0 )x-y-|x 4 -ìx 2 +2 = 0. L3 x 4_1 x 2_J 9 4 u 2 u 9 d(A; (d )) '—= = i = •/-- 4n/5 Ậx 3 0 +x 0 ) 2 +1 4# ^|3Xq +2xl+4ịs = 9Ậl(xị+ì) 2 +ĩ «.5(3xg + 2x 2 + 4) 2 = 81[x 2 (x 2 +1) 2 +1] Đặt t = Xq , t > 0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2 + 2t + 4) 2 = 81[t(t +1) 2 +1] «■ 5(9t 4 + 4t 2 +16 + 12t 3 + 24t 2 + lót) = 81t 3 + 162t 2 + 81t + 81 «■ 45t 4 -21t 3 -22t 2 -t-l = 0<=>(t-l)(45t 3 + 24t 2 + 2t +1) = 0 •»t=l (do t > 0 nên 45t 3 4- 24t 2 4-2t +1 >0) Với t = 1 ,ta có Xq = 1 <=> Xq = ±1 . 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x + ^, y = -2x + ^ Câu 1. Cho hàm số y = ax+ , có đồ thị là (c) . Tim a,bbiết tiếp tuyến của đồ thị (c) tại giao điểm của (c) và trục Ox có phương trình là y = -^ X + 2 A. a = - 1, b = 1 B. a = - 1, b = 2 c. a = -l, b = 3 D. a = - 1, b = 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĩ&Bài làm 1. Giao điểm của tiếp tuyến d: y = - ỉ X + 2 với trục Ox là A (4; o), hệ số góc của d : k = - ỉ và A(4;0), e(C)^^k=0^4a + b = 0. Tacó: y' = Z^Ịk y ( 4 ) = I^zb y (x-2) 2 n ’ 4 Theo bài toán thì: k = ~ y'(4) = ~ <=> ^ a ~k = -ì <=> 2a + b = 2 2 y 2 4 2 ' ta được a = - 1, b = 4 Câu 2. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0), có đồ thị là (c). Tìm a,b,c biết (c) có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của (c) có tọa độ là (0;3) và tiếp tuyến d của (c) tại giao điểm của (c) với trục Ox có phưong trình là y = -8-J~3x + 24 . A. a = -1, b = 2, c = 3 B. a = 1, b = 21, c = 3 c. a = -1, b = 21, c = 13 D. a = -12, b = 22, c = 3 i&Bài làm 2. (c) có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của (c) có tọa độ là (ũ; 3 ) <=> Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B ị\Ỉ3; oj và hệ số góc của d là -8\/3 |B^(C) Í9a + 3b + c = 0 Í9a + 3b + c = 0 ^ịy'(S) = -8S^ 4a(^) 3 + 2b# = -8#^\6a + b = -4 .. í c = 3 „ Giải hệ 1 9a + 3b + c = 0 ta được a = —1, b = 2, c=3 => y = -X 4 + 2x 2 + 3 [óa + b = -4 ía<0,b >0 Ịc = 3 Bài 16: Cho hàm số y = 2x 4 - 4x 2 -1 có đồ thị là (C). Câu 1. Viết phưcmg trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc vói đường thẳng X - 48y + 1=0. A. A:y = -48x-81 B. À:y = -48x + 81 c. A:y = -48x-l D. A:y = ^8x-8 ì&Bài làm 1. Ta có y' = 8x 3 - 8x Gọi M(x 0 ;y 0 ). Tiếp tuyến A tại M có phương trình: y = (8xq — 8x 0 )(x - Xq ) + 2xg — 4xg -1 .Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng X - 48y + 1 = 0 Nên ta có: y'(x 0 ).^ =-1 y'(x Q ) =-48 x 3 -x 0 +6 = 0^x 0 =-2=>y 0 =15. Phương trình A: y = -48(x + 2) +15 = -48x — 81. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(l;-3). 64 1 A. Á:y = -3 hay A:y = -- J 3 3 27 81 64 hi c. A:y = -3 hay A:y = -^x-^ 3 27 2 64 1 B. A:y = —3 hay A:y = — X —4 3 3 27 8 64 51 D. A:y = -3 hay A:y = --lx--^ 3 27 81 ì&Bài làm 2. Ta có y' = 8x 3 - 8x Gọi M(x 0 ;y 0 ). Tiếp tuyến A tại M có phương trình: y = (8xq — 8x 0 )(x— Xq ) + 2xg — 4xg -1 .Vì tiếp tuyến A đi qua A(l; —3) nên ta có -3 = (8xg - 8x 0 )(1 - x 0 ) + 2xg - 4xg -1 «. 3x 4 -4xg -2xg + 4x 0 —1 = 0» (x 0 - l) 2 (x 0 + l)(3x 0 -1) = 0 • x 0 =±l=>A:y = -3 1 A .„ 64 51 • x n = —=>A:y = -—X- —. 0 3 7 27 81 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. A:y = —3 B. A:y = 4 c. A:y = 3 D. A:y = -4 ìsBàỉ làm 3. Ta có y' = 8x 3 - 8x Gọi M(x 0 ;y 0 ). Tiếp tuyến A tại M có phương trình: y = (8xq - 8x 0 )(x - x 0 ) + 2xg - 4xg -1 .Giả sử A tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N(n; 2n 4 - 4n 2 -1) Suy ra: A: y = (8n 3 - 8n)(x - n) + 2n 4 - 4n 2 -1 Ịxq +nx 0 +n 2 -1 = 0 [(x 0 + n)(3xg + 3n 2 - 2) = 0 | x 0 + x 0 n: + n" ,2 = 2 x n = —n Ta có (I) <=> 0 ; (II) <h> n = +1 3 vô nghiệm. Vậy A: y = -3 . 3 ọ Bài 17: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = — -x / +2x + l. Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. A .y = 2x+\ B. y = Hx+1 c. y = 2x+3 D. y = 2x + 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = - ^ + 2. is.Bài làm 2. Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng y = -^ + 2 ,suy ra phương trình (d) có dạng: y = 5x + m. í x 3 , . .. - X 2 + 2x +1 = 5x + m (1) , , . A (d) tiếp xúc với (C)< 3 có nghiệm. [x 2 - 2x + 2 = 5 (2) Giải hệ trên, (2) <=> X = -1 V X = 3. Thay X = -1 vào (1) ta được m = J . Thay X = 3 vào (1) ta được m = - 8 . Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = - ^ + 2 suy ra hệ số góc của (d): k = 5. Gọi Xg là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C) ,ta có : k = f '(x 0 ) <=> 5 = Xq - 2x 0 + 2 <=> Xq = -1, Xq = 3. __, , /JA y = 5(x + l) + f(l) = 5x + | Suy ra phương trình (d): y 3 . y = 5(x + 3) + f (3) = 5x - 8 Câu 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ). , 1 __4 I. y = x + -r. J 3 D. y = X - ĩ&Bài làm 3. Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại o nên nó chỉ có thể vuông cân tại o, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 45° ,suy ra hệ số góc của (D) là k D = ±l Trường hợp k D = 1 ,khi đó phương trình (D): y = X + a. (a ^ 0) 3 - - X 2 + 2x +1 = X + a (3) , (D) tiếp xúc (C) <=> x z - 2x + 2 = 1 (4) (4) <=> X 2 - 2x +1 = 0 <=> X = 1 . ' có nghiệm. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ™ , 4 Thay X = 1 vaò phương trình (3) ta được a = — . _ 4 Vậy trong trường hợp này, phương trình (D): y = X + — Trường hợp k D = -1, khi đó phương trình (D): y = - X + a . íx 3 , _ -^--x +2x + l = -x + a (5) , , (D) tiếp xúc với (C) <=>< 3 có nghiệm (D) tiếp xúc với (C) <í> [x 2 - 2x + 2 = -1 (6) (6) <» X 2 - 2x + 3 = 0 .p/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy ra (D): y = - X + a không tiếp xúc với (C). Bài 18: Cho hàm số y = X 3 — 2x 2 + (m - l)x + 2m có đồ thị là (C m ). Câu 1. Tim m để tiếp tuyến của đồ thị (C m ) tại điểm có hoành độ X = 1 song song với đường thẳng y = 3x +10 . A.m = 2 D.Không tồn tại m B. m = 4 c.m = 0 ìsBàỉ làm 1. Ta có: y' = 3x 2 -4x + m -1. Tiếp tuyến của (C m ) tại điểm có hoành độ X = 1 có phương trình y = (m - 2)(x—1) + 3m -2 = (m - 2)x + 2m . ím-2 = 3 Yêu cầu bài toán <=> 1 _ vô nghiệm. [2m * 10 6 Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2. Tim m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C m ) vuông góc với đường thẳng A: y = 2x +1. A.m = l B. m = 2 ì&Bài làm 2. Ta có: y' = 3x 2 -4x + m-l .Ta có: Câu 3. Tim m để từ điểm M(l;2) vẽ đến (C m ) đúng hai tiếp tuyến. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36 NGUYỄN BẢO VƯƠNG A. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN m = -3 m = 3 m = 3 10 m = — L 81 B. 100 m = — L 81 c. 10 m = — L 81 D. 2 sl Bài làm 3. Ta có: y' = 3x 2 -4x + m -1. Gọi A(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến A tại A: y = ^3xg -4 x 0 + m-lỊ(x-x 0 ) + xỔ -2xq +(m-l)x 0 +2m Me A <=>2 = ^3xg -4x 0 + m-lj(l-Xg) + Xg -2xg +(m-l)x Q +2m <=>2xg +5xg -4xg +3m-3 = 0 (*) Yêu cầu bài toán <=> (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm SỐ: h(t) = 2t 3 + 5t 2 - 4t, tei? Ta có: h'(t) = 6t 2 + lOt -4=> h'(t) = 0 <=> t = ỉ,t = -2 Bảng biến thiên X —00 -2 1 3 « y' + 0 0 + y —00 12 X 19 27 +00 3 - 3m = 12 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) <í=> 3 - 3m = - 19 27 m = -3 100 là những giá trị cần tìm. m = -7-7- L 81 Bài 19: Tim m để đồ thị: Câul. y = ^mx 3 +(m-l)x 2 + (4 - 3mjx +1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng X + 2y - 3 = 0. A. m e c. m e B. m e D. m e ìsBàỉ làm 1. Hàm số đã cho xác định trên M . Ta có: y' = mx 2 +2(m-l)x + 4-3m. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phưong trình yỊ — 7 1 = —1 có đúng 2 nghiệm duong phân biệt, tức mx 2 +2(m-l)x + 2-3m = 0 có đúng 2 dưcmg phân biệt < m?t0 m * 0 1 A' > 0 o m/- 2 s >0 0<m<l p>0 0 < m < — l 3 hay m TĩMH) „ „ x 2 + 2mx + 2m -1 , , /_ \ , . Câu 2. y =--- căt trục hoanh tại hai điếm phân biệt và các tiếp tuyến với 1c ) tại hai X — 1 ' điểm này vuông góc với nhau. ĩsBài làm 2. Hàm số đã cho xác định trên M \ ỊlỊ . Xét phuơng trình hoành độ giao điểm của (C m ) và trục hoành: x 2 + 2mx + 2m 2 -l „ 2 . r. . r. 2 - „ / _ \ \ - —— -= 0 •ỠX 2 +2mx + 2m -1 = 0, (x^l) (l) Để (C m ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B thì phucmg trình (l) phải có hai nghiệm phân biệt A. I A ' = ” 2 -a* 2 +1 > ° „„ J(i-“X 1 + m ) >° HW , J-1 < m < 1 (2), khác 1. Tức là ta phải có: < hay 1 [l + 2m + 2m 2 -1^0 [2m(m + l)*0 Gọi Xj;x 2 là hai nghiệm của (l). Theo địnhlýVi-ét, ta có: X 1 +x 2 =—2m, Xj.x 2 = 2m 2 -1 Giả sử l(x Q ;0) là giao điểm của (C m ) và trục hoành. Tiếp tuyến của (C m ) tại điểm I có hệ số góc * (2x 0 +2m)(x 0 -l)-(x 2 +2mx 0 + 2m 2 -l) 2x 0 + 2m y (x ° )= -7^2--^TTT (x 0 -l) x 0 , . 2xi + 2m , N 2x 9 + 2m Như vậy, tiếp tuyến tại A,B lân luợt có hệ sô góc là y'(x-L J = ———-—, y'(x 2 J = —— —. Tiếp tuyến tại A,B vuông góc nhau khi và chỉ khi y'(x 1 W' (x 2 ) = —1 hay Ị^ 2x 1 + 2m j|^ 2x 2 < ^ > 5 x i- x 2 +(4m-l)(x 1 +x 2 ) + 4m 2 +1 = 0 tức 3m 2 +m-2 = 0 <=>m = -l 2 _ , _ , , , 2 hoặc m = —. Đối chiếu điêu kiện chỉ có m = — thỏa mãn. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 20: Tim điểm M trên đồ thị (c) : y =-— sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng A: X + 3y — 3 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M(-2;l) B. m( 2 ; 5 ) c. D. M^ 3 ;|j ĩsBàỉ làm: Gọi m| m; + 1 I là tọa độ điểm cần tìm (m l) . . ^ m-1 ) Khoảng cách từ M đến đường thăng A là: d = 1 -- 1 hay d = 1 m +2m + 6 a/ĨÕ |m-| I m 2 + 2m + 6 ... ,, v \ m 2 + 2m + 6 -(m-l) Xét hàm số: f(m) = — , — = ị \ > l m -1 Ta có: f(m) = 0<=>m = -2 thỏa m<l hoặc m = 4 thỏa m>l. Lập bảng biến thiên suy ra mind = 'ỉ— khi m = -2 tức M(-2;l). yio Tiếp tuyến tại M là y = -ỉx + 3 ' tiếp tu yê’ n n ày song song vói A . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2B. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT HỆ SÔ GÓC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail. com 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. MỤC LỤC vấn đề 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến.2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.10 GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ GẶP THẦY VƯƠNG. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Vấn đề 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến. Phương pháp: • Giải phương trình f\x) = k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x ì ,x 2 ,...,x n . • Phương trình tiếp tuyến: y = f'{x i )(x-x i ) + f{x i ) (í = 1,2,...,rí) . Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: • SỐ tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình: f\x) = k. • Cho hai đường thẳng d 2 : y = k ì x + b ĩ và d 2 :y = k 2 x + b 2 . Khi đó \ k -k \ i) tanư = 1 1 '; , trong đó a = (d, ,d n ). ’ 1 + t.k 2 \ 6 v 1 2 ' iii) d 1 ±d 2 ok 1 .k 2 =- 1. Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan OAB = + , trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y'[x ) = tanOAB Ví dụ 1 : Cho hàm số y = 2 x ^ có đồ thị (C) 1. Giải bất phương trình y' <- 4; 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA = 40B . Lời giải. 1. Ta có y' = - (*-l f X*1 X*1 3 2 ,, , , , , _ ^ „ . . 1 5 1 13 Từ đó ta xác định được hai tiep tuyển thoa mãn: y = -—x +—;y = --X + — GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm MỊ x 0 ; 2x ° M (x 0 1) là: -1 2x -1 1 -X . - 2x +1 y = - -— T (x-x n )+ — — — hay y = -— ——r+ — -— y (x 0 -l) 2 0 Xg-1 ^ J (x 0 -l) 2 (x 0 -l) 2 Ta xác định được tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ: A(2Xg - 2x 0 +1;0),bÍO; 2 ^ -2 ^ +1 (x 0 -l) 2 Từgiảthiết OA = 4ƠB, ta có: |2x 2 -2x 0 +l| = 4| 2x ° ~2*° 2 +1 | <^(x 0 -l) 2 = 4<^ I Xn Cách 3: Giả sử A(a;0),B(0;&) với ab^o. Với giả thiết OA = 4ƠB =>|^ị*= 4|ỉ>| «■ a = ±4 b <=> - = ± ỉ Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng A : — + y = 1 hay A:y = --x + b a b a Đường A:y = -- x + fc tiếp xúc (C) tại diêm có hoành độ x 0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm Xg : r 1 -- (*) (x 0 -l) 2 1 2x fl -1 _ b \ x n -1 a +b n (I). Từ (*) suy ra —— < 0 => - = Ị . a a 4 Hệ (I) trở thành 2x 0 -l 1 , = -^-x + b x n -l 4 = 3 * 0 = -l , 2x 0 -1 1 fr = — ~ + Ạx„ x 0 -l 4 0 b = ẹ 4 1. Chứng minh rằng nếu (C) cắt Ox tại điểm M có hoành độ x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là : 2x 0 -2 m Xg+m 2. Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến của (C) tại hai diêm đó vuông góc với nhau. Lời giải. - - ,_ - , 3 m 2 +m 1. Ta có y = x-3m +——— Khi m íOvàm?! - ^ thi đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu do đó đồ thị hàm số không suy biến thành đường thẳng. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Hệ SỐ góc của tiếp tuyến (d) của (C) tại M là (2x 0 -2m)(x 0 +m)-(x 2 -2mx 0 + m) k -y( x oỉ- -r ' ; 2 ■ (x 0 + mý V, M thuộc Ox nên y(* ( ) = = 0 =>. x 0 + m = 0 => xị-2mx ữ +m = 0 . x+m \g(x) = x 2 -2mx+m = 0 (1) (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt M,N <=> (1) có hai nghiệm XI, X2 khác - m . Uw= {g(-m) 96 0 >0 Ịm<0vm>l [3m 2 + m 0 Khi đó hệ SỐ góc của hai tiếp tuyến của (C) tại M, N là , 2x,-2m , 2x,-2 m kj = —- , k 2 = —--. X 1 + m x 2 +m Hai tiếp tuyến này vuông góc k : ,k 2 = -1 ^ị2x 1 -2mỴ2x 2 -2m^ị__ 1 <í> 4 [x 1 x 2 -m(x 1 +x 2 )+m 2 ] = -XjX 2 -m(x ì +x 2 )-m 2 (2) Lại có Xj +x 2 = 2m, x r x 2 = mDo đó : (2) <=> -m 2 +5m = 0<^>m = 0vm = 5. So với điều kiện (*) nhận m = 5. Ví dụ 3 : Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Tim tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm l(l;l) • Để (d) vuông góc IM điều kiện là : uIm =0o -l.(x n - 1) + - 1 — - - ĩ — = 0 r° (x 0 -lfx 0 -l [x 0 x 0 =2 = 0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Với Xg = 0, ta được M (O; o) Với Xg - 2, ta được M (2;2) Vậy, M(0;0) và M(2;2) là tọa độ cần tìm. Ví dụ 4 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 -9x + 5 có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyên có hệ số góc nhỏ nhất. Lời giải. Hàm SỐ đã cho xác định D = M Ta có: y' = 3x 2 +6x-9 . Gọi M(x 0 ;y 0 ) e (C) <=> y 0 = X 3 +3x 2 -9x 0 +5. Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: k = y \x ữ ) = 3Xg + 6x 0 -9 = 3(x 0 +1) 2 -12 > -12 mink = -12, đạt được khi: Xg = -1 => y 0 = 16. Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyên tại M (-1;16). có hệ số góc nhỏ nhất và có phưong trình là: y = —12x + 4 Ví dụ 5. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = -2x 3 +6x 2 -5. 1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A thuộc (C) có hoành độ X = 3 . Tim giao điểm khác A của (d) và (C). 2. Xác định tham số a để tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a. 3. Chứng minh rằng chỉ có duy nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y" = 0 cua(C). _ Lời giải. 1. Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A: y = y'(3)(x-3)+y(3) = -18x +49 . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): -2x a +6x 2 -5 = -18x+49 <=>2x 3 -6x 2 -18x+54 = 0<=>x = 3 V x = -3 Suy ra giao điểm của (d) và (C) khác A là B(- 3; 103). 2. Tôn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là a <=> 3x 0 m M, y\x ữ ) = a <=> 3x 0 : -6x 2 +12x 0 = a . Bài toán quy về :Tim a để phương trình - 6x 2 +12x = a (1) có nghiệm. (1)<=>6x 2 - 12x + a = 0 . (1) có nghiệm <=>A' = 36-6a>0«>ữ<6. Vậy a < 6. 3. Từ giả thiết, suy ra hoành độ phương trình y"=0<=>x = l=>l(l;-l). Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) đi qua l(l;-1). có dạng : y = k(x-l)-l. ™ _ í-2x 3 g+6x 2 0 -5 = k(Xg -1)-1 (1) (D) tiếp xúc (C) tại điếm có hoanh độ x n <=> -i " ' có nghiệm x„. [-6x 2 g+12x 0 = k (2) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Thay (2) vào (1) ta được -2xị +6x 2 ữ -5 = (- 6*0 + 12 *o)(*o - 1 )- 1«■(*0 -l ) 3 = 0 «. x 0 = 1 Suy ra phương trình (d): y = 6x - 7 2 5 Ví dụ 6 : Cho hàm số y = -—X 3 +(m-ĩ)x 2 +(3m-2)x-^ có đồ thị là (C). Tim m để trên (C) có hai điểm phân biệt M 1 (x 1 ; y, ), M 2 (x 2 ; y 2 ) thỏa mãn X 1 ,x 2 > 0 và tiếp tuyến C1 đường thẳng d:x-3y+l = 0. ủa (C) tại mỗi điểm đó vuông góc vói Lời giải. Hàm SỐ đã cho xác định D = M Ta có: y' = -2x 2 +2(m-l)x+3m-2. Hệ sốgóc của d:x-3y+l = 0 là K=\- Tiếp tuyến tại điểm Mj(Xj ; y,), M 2 (x 2 ; y 2 ) vuông góc với d thì phải có: y' = -3 Trong đó x v x 2 là các nghiệm của phương trình: -2x 2 +2(m-l)x+3m-2 = -3 o2x 2 -2(m-l)x-3m-l = 0 (1) Yêu cầu bài toán <=> phương trình (1) có hai nghiệm x u x 2 thỏa mãn x 1 .x 2 > 0 ÍA' = (m-l) 2 +2(3m + l)> 0 m<- 3 l 2 -1 <m<-~. L 3 Vậy, m<—3 hoặc -1 < m < “ thỏa mãn bài toán. Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (c) : y = x 3 —6x 2 +9x—2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của (c) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải. Hàm SỐ đã cho có 2 điểm cực trị A(l;2), 3;-2) và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x + ỵ-4 = 0 . Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (c) của hàm số và tiếp tuyến (đ) cần tìm. Khi đó y 0 = xị -6xị +9x 0 -2 Ta có: AB = 2sỊE, d(M; AB) J 2x ° + J-° - 4 I Giả thiết = 6 o I .ABA(M;AB) = 6 «.|2x 0 + y 0 -4| = 6 <=> 2x 0 + y 0 = 10 hoặc 2x 0 + y 0 = -2 THI: Tọa độ M thỏa mãn hệ: Ị 0 - o|^°/ 2 0 \ <=> _ hay MÍ0;-2) \y ữ =xị-6xl+9x ữ -2 [x 0 (x 0 2 -6x 0 +ll) = 0 [x 0 =0 ỵ [ ’ Tiếp tuyến tại M là: y = 9x - 2. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. _ _ í2 x n + v n =10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: ị 3 , \y ữ =x ữ -6x ữ +9x ữ -2 Ịyo =1 °- 2 *o fy 0 =2 |(x 0 -4)(x 2 -6x 0 + llỊ = 0 ^ jx 0 =4 hay M(4;2) Tiếp tuyến tại M là: y = 9x - 34. Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 9x —2 và y = 9x - 34 Ví dụ 8 : Cho hàm số y = — J có đồ thị là (C). Tim những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại 2(x + l) M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đuòng thẳng 4x + y = 0. Lời giải. Hàm SỐ đã cho xác định D = M \ Ị-lỊ X — 1 GọiM(x n ;—) e(C) là điểm cần tìm. v °2(x 0 +l) ; Gọi A tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình A: x n -l y = f\x 0 )(x-x 0 ) + 2(*0+l) 1 x^ị y ”(x ũ+ i) 2 x x ° )+ 2(x 0 +ỉ): xỉ — 2 Xn —lị í xỉ — 2 Xn — 1 Gọi A = AnOr => A\ -;0 ,B = AnOy => B 0; ° —C- 1 2 J » { 2(x 0 +1) 2 A OAB có trọng tâm là: G( -2x ữ -l _xl-2x ữ -l 6 ' 6(x 0 +l ý xị-2x n -l xl-2x n -l Do G thuộc đường thẳng: 4x + y = 0 => -4. —— -p- -+ 0 0 = 0 6 6(x 0 +l) o 4 = 1 ( x 0 +1 ) 2 (vì A, B ^ o nên Xp -2x 0 -1^0) Xg x 0 1 2 3 2 Ví dụ 9: 1. Tim m để tiếp tuyến của đồ thị y = X 3 - 3x 2 + m tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB có diện tích bằng 1,5 2. Tim các giá trị dương của m để (C m ): y = X 4 - 3 [m +1) X 2 + 3m + 2 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ lớn nhất cùng với 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 24 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Lời giải. 1. x = l=>y(l) = wz-2 suy ra M(l;m-2). Tiếp tuyến tại M là d : y = -3x+m + 2. d cắt Ox tại A nên A(x a ; o) và A&d suy ra ;oj d cắt Oy tại B nên B(0;y B ) và Bed suy ra B(0;m + 2) 1 I I I I 3 Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng 1,5 khi và chỉ khi ^.|OA . Ịob| = ^ hay |QA|.|OB| = 3<=> | m ^ |.|m + 2| = 3 hay (m + ìf =9 phuơng trình này có 2 nghiệm m = - 5 hoặc m = 1. Vậy, m = —5 hoặc m = 1 là giá trị cần tìm. 2. Phuong trình hoành độ giao điểm [C m ) và trục hoành : X 4 - 3(m + l)x 2 + 3m + 2 = 0 » (x 2 - 1)[x 2 - (3m + 2)] = 0 (*) Vói m > 0 thì ịC rn ) cắt trục hoành tại 4 giao điểm phân biệt và X = >/ 3m + 2 là hoành độ lcm nhất. Gỉasử aỊV3wí + 2;0| là giao điểm có hoành độ lón nhất và tiếp tuyến d tại A có phuơng trình: y = 2(3m+l)ự3m + 2.x-2(3m + l)(3m+2) Gọi B là giao điểm của d và Oy suy ra B^0;-2(3m + l)(3m+2)Ị Theo giả thiết, tam giác OAB vuông tại o và S OAB = 24 <=> OA.OB = 48 hay \Ị3m + 2 ịl8m 2 + 22 m + 4 j = 48 w Xét f(m) = \Ị3m+2 ^18m 2 +22m+4^-48, m>0. Ta có: f'(m) > 0 vói mọi m>0, suy ra f(m) đồng biến vói mọi m> 0 và /Ị^j = 0, do đó phưong trình 2 (*) có nghiệm duy nhất m = ^ . 2 _ Vậy, m = 2 thỏa mãn đề bài. Ví dụ 10 Tìm m e 1, để tiếp tuyên của đồ thị hàm số : y = X 3 -mx + m-ĩ tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đuờng tròn (x -2) 2 + (y - 3) 2 = ^ theo 1 dây cung có độ dài nhỏ nhất. Lời giải. y’ = 3x 2 -m=>y'(l) = 3-m. Vói x = l=>y(l) = 0=>M(l;0). Phuong trình tiếp tuyến tại M: y = y'(l)(x-l) <=>(3-m)x-y-3 + m = 0(d). GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Đường tròn có tâm /(2;3) và bán kính R = -Ậ ;. Vì IM > R nên độ dài cung nhỏ nhất khi (đ) tiếp X V5 đường tròn, tức là d (/; (d)Ị = R • i)2-3-3 + mị_ Ị 1 m 1 -4 hay g . —t,- •v/5 v»z 2 -6m+10 n/5 và rút gọn ta được phương trình 2wz 2 + 3 m — 5=0, giải phương trình này ta được m = 1 hoặc m - ^ thỏa bài toán. Ví dụ 11 : Tim m để tiếp tuyến của đồ thị y = X 3 -3x 2 + m tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có chu vi 2 ■ Lời giải. Với x 0 =l=>y 0 =m-2=>M(l;m-2) Tiếp tuyến tại M là d: y = (3x 2 -6x 0 )(x-x 0 ) + m-2 => d: y = -3x + m + l d cắt trục Ox tại A: 0 = -3x A +m + l<=> X A = m + l => ; oj d cắt trục Oy tại B : y B = m + 1 => B(0; m + 1) Tam giác vuông tại 0,Trung điểm I của AB là tâm đt ngoại tiếp I ị 111 ^ \ ; 111 ^ \ j BK OI-.í 5 , m-i-1 V18 1 1 Giả thiết có 2;rOI = 2;rJ-^-<=>|m + l| = l<=> m = 0 Vl8 1 1 [m = -2 7 ^ x + l TT . /S , - \ 1 ,/sr ^ 7 Ví dụ 12. Gọi (C) là đô thị của hàm số y = —“Ỷ . Viết phưong trình tiếp tuyến (t) của (C), biết: 1. (t) tiếp xúc với đường tròn: (ỵ): (x- 2) 2 + (y - 6) 2 = 45. 2. Khoảng cách từ (t) đến điểm I(l;l) lớn nhất. Lời giải. 1. Tịnh tiến OI với I(l;l), hệ trục Oxy => hệ trục IXY. mX+x t =X+l y = Y+y]=Y+1 X=x-l=2-l=l Y = y—1 = 6—1 = 5 Công thức chuyển hệ tọa độ : Đối với hệ trục IXY thi A có tọa độ là (X+l)-l X X Phương trình của đường tròn (ỵ) là (X-l) 2 +(Y-5) 2 = 45, (ỵ) có tâm A(l;5), bán kính R = 3 4$ ■ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm có hoành độ X 0 là Y = F(X n )(X-X„) + F(X n ) = -J r (X-X n ) + 4- = -Âx + -ệ- <=>2X+X 2 Y-4X n = 0. 0 0 0 X 2 0 X 0 X 2 x 0 0 0 (D) tiếp xúc (C) o d(A,(D)) = R (5X 2 -4X 0 +2) 2 4 + X 0 4 «• 25X 0 4 + 16X 2 + 4 - 40X 0 3 + 20X 2 - 16X 0 = 180+45X 4 «■ 5X 4 + 10X 0 3 - 9X 2 + 4X 0 + 44 = 0 » (X 0 + 2) 2 (5X 0 2 - 10X 0 +11) = 0 » X 0 = -2 Vậy phương trình (D): Y = -ỈX-2 / suy ra phương trình (D) đối với hệ trục xuất phát Oxy là : y-l = -ị(x-l)-2 = -ịx-ị. y 2 2 2 2. Đối với hệ tọa độ IXY, phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : |4X 0 | 2X+X 2 r-4X 0 =0 ậ dạ,{đ)) = 1 0| Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có : 4 + X 4 > 2^4X 4 = 4X 2 => đự, (d ))«GL = \-Ệ\ - 2 dự, (d)) = 2 «. X 4 = 4 «. x 0 = ±4Ĩ V4X[ | 2X o| Khi đó phương trình tiếp tuyến (d): Y = -X + 2\/2, Y = -X-2V2 . Suy ra phương trình (d) đối với hệ trục Oxy là y = -X + 2 ± 2\[ĩ. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y = — ^ có đồ thị là (c) . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy l'ân lượt tại các điểm A,B thoả mãn OA = 40B. 1 5 1 5 1 5 y = --X + - y = —r X — V = - X H — 4 4 B. 4 4 c. 4 4 D. 1 13 1 13 1 13 y=--x+— y=--x+— y = — X - L 4 4 L 4 4 L 4 4 ÌS.BÙÌ làm 1. Giả sử tiếp tuyến (d) của (c) tại M(x 0 ;y 0 ) e(C) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 40B. Do AOAB vuông tại o nên tan A = = -j- => Hệ số góc của (d) bằng -Ị- hoặc Hệ số góc của (d) là y '(x 0 ) = GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y = “(* +1) + y = -hx-3)+ Bài 2: Câu 1. Cho hàm số y = tuyến đó cắt tiệm cận I(2;2) . — 2 ró đồ thị là (c) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (c) biết tiếp -V. 4 đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho côsin góc ABI băng ■_ , với ' 4 2 4 2 „ 1,3_ 1 7 c. y = —-x + -r; y = —-X-- 5 4 2 * 4 2 ĩ&Bàilàml. l(2; 2), gọi mỊ^x 0 ; 2x ° j g(C), 1 2x n - 3 Phương trình tiếp tuyến A tại M: y = -- — -—^(x-x 0 )+ 0 2- B. y = - D.y = - Giao điểm của A với các tiệm cận: A B(2x 0 -2;2). Do cos ABI = -^L= nên tan ABI = ỉ = ^ o ĨB 2 = 16.L4 2 <=> (x 0 -2) 4 = 16 «• x 0 = 0 hoặc x 0 = 4 . / 3> 13 Tại AI 1 2 1 P^ ươn § trình tiếp tuyến: y = ~ị X+ 2 Tại M^4;^ỳ phương trình tiếp tuyến: y = ~ị X + 2 Câu 2. Cho hàm số y = x — .Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C), các điểm M, N sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang. A. M(2;5) / N(0;-l) B. M^3;0N^-l;|j c. Aí(2;5),N^-l;|j D.VỚimọiM,N ì&Bài làm 2. Gọi M(m;y M ), N(n;y N ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại c, D. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y =y'(m).(x-m) + y M GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ll NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. => A Ị^l; , B(2m -1; 2). Tương tự: c Ị^l; , D(2n -1; 2). ^ _3 Hai đường thắng AD và BC đều có hệ số góc: k = --^-— nên AD // BC. Vậy mọi điểm M, N thuộc 2 nhánh của (C) đều thoả mãn bài toán. Câu 1. Biết với một điểm M tùy ý thuộc (c) : y = x ; tiếp tuyến tại M cắt (c) tại hai điểm A,B tạo với l(-2;-l) một tam giác có diện tích không đổi, Diện tích tam giác đó là?. A. 2( đvdt) B.4( đvdt) c.5( đvdt) ìsBàilàm 1. y = : —--— = x + l + -.Tacó: V = 1 — B.4( đvdt) 1 x + 2 ' D. 7( đvdt) + 2) 2 Gọi M(x ũ ;y ũ )e(C)^y ũ =x ũ+ l+-^(*) Tiếp tuyến với (C) tại M là A : y = 1 — + 2) 2 í X — ì+ x n +1 H -——- v ° ; 0 x 0 +2 Nếu Ani = -2 tại điểm A , thì y A = --2— => A -2;--2— Nếu A cắt tiệm cậ: 1 n tại điểm B thì (x R -x n )+x n +l +——- = X R +1<=>X„ = 2x n +2=>y R = x R +l = 2x n + 3 V B 07 0 Xp +2 B B 0 B 0 (W. => B (2x 0 + 2; 2x 0 +3) Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ l(-2;-l). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x=-2 suy ra H(-2; 2x 0 +3) Diện tích tam giác AIB: s = ỉ AI.BH = ị\y A -y,\-\x B -x H \ = ||--^2—+1| |2x 0 + 2 + 2| HayS = 1^^.2|x ũ+ 2| = 2(đvdt) Chứng tỏ s là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . f X + 3 w 7 / Câu 2. Cho hàm số y = ——j-, có đồ thị là (Q.Tìm trên đường thắng d: y = 2x +1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. M(0;1) M(5; 11) M(4; 9) M(0;1) A. M(-l;-l) B M(-l;-l) M(-l;-l) D M(-l;-l) M(2;5) M(7; 15) M(2;5) M(3;7) M(l; 3) M(l; 3) M(l;3) M(-2;-3) ì&Bài làm 2. Gọi M(m; 2m + 1) <E d. Phương trình đường thẳng A qua M có hệ số góc k có dạng: y = k(x - nì) 4- Im +1 Phương trình hoành độ giao điểm của A và (C): k(x-m) + 2m +1 = «• kx 2 -[(m+T)k-2m]x + [mk-(2m+A)] = 0 (*) A tiếp xúc với (C) <=> (*) có nghiệm kép j**a \ A = [(m +1 )k - 2mf - 4k [mk- (2m + 4)] = 0 ^ |g(/c) = (m -1) 2 k 2 - 4(m 2 - m - 4)jt + 4m 2 = 0 Qua M(m;2m + Ĩ) e d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) <=> g(fc) = 0 có đúng 1 nghiệm k^o <=> A' = -32(m 2 -m-2)>0;g(0) = 4m 2 =0 A' = -32(m 2 -m-2)> 0;g(0) = 4m 2 = 0 m-l = 0 => 16A: + 4 = 0 => k = -\ 4 m = 0 => M(0;1) m = -l =>M(-1;-1) m = 2 =>M(2;5) m = 1 =>M(1;3) Bài 4: Cho hàm số y = -X 3 +3x+2 có đồ thị là (C). Câu 1. Đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng? A. 1 B.2 C.3 D. -1 2a.BÀi làm 1. Xét hệ phương trình : \ + 3x + 2 - 0 ^ ^ Ị-3x 2 +3 = 0 Vậy (C) tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ X = -1 . Câu 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. A. y = 0;y = -9x+18 B. j/ = 0;y = -9x+3 c. y = 0;y = -9x+8 D. y = 0;y = -9x+l 2s .Bài làm 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox. -X 3 +3x+2 = 0 <=> X = -l,x = 2. * X = -1 => y = 0, y'(l) = 0 phương trình tiếp tuyến: y = 0 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. * X = 2 => y = 0, y '(2) = -9 phương trình tiếp tuyến: y = -9(x - 2) = -9x +18. Câu 3. Tim những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Thế k vào phưong trình thứ nhất, ta đươc: 3(x 2 - l)(x - m) - (x 3 - 3x - 2) = 0 <» (x+l)(3x 2 - 3(1 + m)x + 3m) - (x+l)(x 2 - X - 2) = 0 <=>(x+l)[2x 2 -(3m+2)x+3m+2] = 0 (l) <ĩ>x = -l hoặc 2x 2 -(3m+2)x+3m+2 = 0 (2) Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì íl) phải có nghiệm X, đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau, khi đó (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác —1, đồng thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0 (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1 khi và chỉ khi: = 6) > 0 ^ ịm < - 3 / m > 2 ^ Với điều kiện (3), gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của (2), khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là = -3xỊ + 3, k 2 = -3x 2 +3, k 3 = 0. Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau k v k 2 = -1 và k 2 k v k 2 = -1 » 9(x 2 -l)(x 2 -1) = -l <=> 9x\xị-9(x 1 +x 2 f +18x,x 2 +10 = 0 (í) Mặt khác theo Định lí Viet X 1 +x 2 = 3 m + 2 ■ X X - + 2 1 2 2 1 2 2 Do đó (ỉ) <^> 9(3wí + 2) + 10 = 0 om = thỏa điều kiện (3), kiểm tra lại ta thây /q + k 2 Vậy, j là điểm cần tìm. Cách 2: Gọi N(x 0 ;y 0 ) £ (C). Tiếp tuyến A của (C) tại N có phưcmg trình : y = (-3x 2 + 3Ì(x-x 0 ) + y 0 . A đi qua M<=>0 = í-3x 2 +3)(m-x 0 ) + y 0 » 3(x 0 -l)(x 0 + l)(x 0 -m) -(x 0 +l) 2 (x 0 -2) = 0 <^(x 0 +l)[2x 2 -(3m+2)x 0 +3m+2] = 0 o r° 2 1 2x 2 -(3m + 2)x 0 +3m+2 = 0 (a) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Từ M vẽ được đến (C) ba tiếp tuyến <=> (a) có hai nghiệm phân biệt khác -1, và có hai giá trị k = —3Xg + 3 khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi: ÍA = (3m+2) 2 -8(3m+2)>0^ í(3m+2)(3m-6) >0 r* _1 |2+2(3m+2)*0 ^{3m+3*0 °|m<-|,m>2 ử ' Vi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = —l có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán <=> (-3p 2 + 3)(-3 q 2 + 3) = -1 (trong đó p, CỊ là hai nghiệm của phương trình (ữ))» 9p 2 q 2 -9(p 2 + q 2 ) +10 = 0 9 p 2 q 2 -9(p+q) 2 + 18 pq +10 = 0 ^9 { 3m + 2f_9(3m + 2f + 9(3w + 2) + ĩ0 , 0 = vậy 4 4 v ’ 27 y \ 27 ) Bài 5. Cho hàm số y = X 4 -2x 2 -1 có đồ thị là (C). Câu 1. Viết phưcmg trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24 x-y +1 = 0. A. A:ị/ = 24x-4 B. A :y = 24x-42 C. A:y = 24x-23 D. A:y = 4x-42 2 »Bài làm 1. Ta có y' = 4x 3 -4x Gọi A(x 0 ;y 0 ) G (C). Tiếp tuyến của (C) tại A có phưong trình A: y = (4x 3 - 4x 0 )(x - x 0 ) + y 0 Tiếp tuyến song song với d : y = 24x+1 nên ta có: 4x 3 - 4x 0 = 24 <» X 3 —Xq - 6 = 0<^>x 0 =2=>y 0 =7 .Vậy A:y = 24x-42. Câu 2. Tìm M G Oy sao cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến. A. M(0;-2) B. M(0;-1) c. M(0;-5) D. M(0;-9) ìs,Bài làm 2. Ta có y' = 4x 3 -4x Gọi A(x 0 ;y 0 ) e (C). Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình A:y s (43:ỏ-4x 0 )(x-x Q )+y 0 VI (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của (C) thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của (C). Do đó, để từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C) thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với Oy. Mà (C) có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y = -2 và y = -1. Đường thẳng này cắt Oy tại M x ( 0; -2), M 2 (0; -1). Ta kiểm tra được qua Mj chỉ vẽ đến (C) được một tiếp tuyến, còn từ M 2 vẽ đến (C) được ba tiếp tuyến. Vậy M(0;-1) là điểm cần tìm. Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. y = -2x B. y = -2x + l c. y = -2 D. y = -4 ìsBài làm 3. Ta có y' = 4x 3 -4x Gọi A(x 0 ;y 0 ) e (C). Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. A : y = ( 4 *ỏ -4*0)(*■-■* 0 ) + Vo Giả sử À là tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt M(m;m 4 -2 m 2 -1) và N(n;n 4 -2tt 2 -l) với m*n. Ta có phương trình A: y = y'{m){x-m) + y(m) à:y = y'(n)(x-n)+y(n) Suy ra ịy\m) = y\n) Í4n 3 -4n = 4m 3 -4m \-m.y'(m)+y{m) = -n.y\n) + y{n) [-3m 4 +2m 2 -1 = -3n 4 +2n 2 -ĩ ị{n-m)(n 2 +mn + n 2 )-{n-m) = 0 ịn 2 +mn+n 2 -1 = 0 [3(n 2 - m 2 )(n 2 +m 2 )- 2(7ỉ 2 - 77Í 2 ) = 0 ^ I (n + m) [3(?ĩ 2 + 77Í 2 ) - 2] = 0 (*) Từ (*) ta có: m+n = 0 hoặc 2 3' • m+n = 0=>m = — tt=>n 2 =l<=>n = ±l í. 1 2 2 2 r n 3 • 777 + 77 =^=>1 VÔ nghiệm. 3 Ị(777 + 7t) 2 =| Vậy y = -2 là tiếp tuyến cần tìm. Bài 6 Cho hàm sô' y = x 3 - 3x 2 -9x + ĩcó đồ thị là (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y = -2x + 2 B. y = -x + 2 c. y = -Y2x + 7 Đ. y = -\2x+2 ỉ&Bài làm 1. Ta có: y' = 3(x 2 —2x—3) . Do y' = 3^(x-l) 2 -4~ị > -12 => mím/ = -12, đạt được khi x = l. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -Ĩ2x + 2. Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y = -X +1 một góc a thỏa cos a = -Ậ= . V4Ĩ , lí 9 ±n/32ĨÌ - _ lí 9±SỈ3ĨĨ) : ’ J B ' y sỊ*- 9 J +34 C,~ỊpíM) + 7 D. đáp án khác 2&Bài /À777 2. Ta có: y' = 3(x 2 -2x-3 ). Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến A tại M: y =y\x ữ ){x-x ũ ) + y ũ Hay kx-y+b = 0, Với k = y'(x 0 ) m . |fcfjp 5 Theo bài ra ta có: cos a = ' - = — Ạ 2 +l.sj2 V41 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. «■ 41(k-l) 2 = 50 (k 2 +1)«. 9 k 2 +82k+9 = 0ok = -9,k = -ị • k = -9<í>x 2 -2x 0 =0»x 0 =0,x 0 =2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = -9x +1 và y = -9x-3 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(- 1;6). A. y = 7;y = -9x-3 B. y = 6; y = -9x-7 c. y = 6; y = -2x-3 D. y = 6; y = -9x-3 ĩSkBài làm 3. Ta có: y' = 3(x 2 -2x-3). Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phưcmg trình tiếp tuyến A tại M: y=y\x 0 )(x-x 0 )+y 0 . Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình 6 = 3(x 2 -2x 0 -3)(-l-x 0 ) + x 3 -3xị-9x 0 +l oxị- 3x 0 -2 = 0 (x 0 +l) 2 (x 0 -2) = 0 <» x 0 = -l,x 0 = 2 • x 0 =-l=>y = 6 • x 0 =2=>y = -9x-3 Bài 7: Câu 1. Cho hàm số y = X 3 + 2x 2 + X +1. Tim các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị. A. M(l;5) B.N(-l;l) C.E(0;l) D.Đápánkhác ìsBài làm 1. Gọi A(a; f(a)) là điểm thuộc đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = 3 a 2 +4(7 + 1 * Nếu a = a = -1 hiển nhiên không có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến tại A. * Nếu /c + 0. Ta xét phương trình: 3x 2 + 4x +1 = - - — -- r ° Xn 2 A n _ 1 _ 1 : với tiếp tuyến tại A thì (1) phải có nghiệm 0 ,1 +4a ~? >0 3ữ 2 +4fl + l 3 3a 2 +4ữ + l GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Câu 2. Cho hàm số y = X 3 - 3x + 2 có đồ thị là (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc d:y = -3x+ 2 sao cho từ M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. M(l; -1) B. M(3; -7) c. M(-l;5) D. M(0;2) 2stBÀi làm 2. Gọi M(m;-3m + 2) e d Phưong trình tiếp tuyến A của (C) tại A(x 0 ;ỵ 0 ): y = (3xị -3)(x-x 0 )+xl-3x 0 +2 Tiếp tuyến đi qua M <=> -3 m+2 = {3xị -3)(m-x 0 ) + Xg - 3x 0 + 2 <=> x 2 ữ (2x 0 - 3m) = 0 .Yêu cầu bài toán <5>m = 0. Vậy M(0; 2). Câu 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2 x + ™ ,m là tham số khác - 4 và (d) là một tiếp tuyến của (C) .Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2. A. = -6 m = -5 c. = -3 m = 6 Công thức chuyển hệ tọa độ : ■ ìsBàỉ làm 1. Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là X = 2, y = 2 ,suy ra giao điểm của chúng là I(2;2). Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy => Hệ trục IXY. x = X + x, =X + 2 {y = Y+y 1 =Y + 2 Đối với hệ trục IXY . Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là X = 0, Y = 0. (C) có phương trình là Y+2 = + 2 => Y = F ( x ) = ■ Gọi Xo là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) thì phương trình (d) là P+4_ w+4ỵ + 2m+; ' ~ X B ’ Gọi A là giao điểm của (C) với đường tiệm cận đứng của nó thì a|^0; Gọi B là giao điểm của (C) với đường tiệm cận ngang của nó thì B( 2X 0 ; 0) Diện tích tam giác vuông IAB do (d) tạo với hai đường tiệm cận là l|2m+8||. S = ịlA.IB = ị\Y A \\X B \ = 2 x n s = 2 <=> 2 m + 8 = 2 <=> 2m+8=2 2m + 8 = -2 |2X 0 | = |2m+8|. m = - 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Câu 2. Cho hàm số y = x 3 +l- m(x+ĩ) có đồ thị là (C m ) . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của (C m ) tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 1 B.2 C.3 D. 4 ìsBàỉ làm 2. Ta có M(0;l-m) là giao điểm của (C m ) vói trục tung y' = 3x 2 -m => y'(0) = -m Phuong trình tiếp tuyến vói (C m ) tại điểm m là y = -mx + \-m Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này vói trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ và B(0;1 -m) Nếu m = 0 thì tiếp tuyến song song vói Ox nên loại khả năng này Nếu míO ta có S CMB = 8 <=> ịoADB = 8 <=> ^1——= 8 =ie<J\ m = 9 ~~ 4 ^ 2 2 1 m I 1 fạ [m = -7±ịS Vậy có 4 giá trị cần tìm ^ x + l rr« . , Câu 1. Cho hàm sô y = _ .Tim giá trị nhỏ nhất * 2x-l & ao cho tồn tại ít nhất một điểm M e (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo vói hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d:y = 2 m — 1. £ ,ệ ì&Bài làm 1. Gọi M(x 0 ;y 0 ) e (C). Phưong trình tiếp tuyến tại M : y = Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung 2x 2 fí +4x fí -ĩ => y R = —- 7 -:—. ( 2 * 0 - 1 ? Từ đó trọng tâm G của AOAB có: y r = 2*0 + 4*0 1 3(2*0 -l) 2 ( 2 * 0 -ự -(*-*o) + y 0 3(2*0-l) 2 2*0 +4*0-1 6*ổ -(2*0 -1) 2 6*ổ „ ^ , Mặt khác: ° ° = ° = ——2— -l>-l (2*0-l) 2 (2*0-l) 2 (2*0-l) 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Câu 2. Cho hàm số y = ^ mx —3 .Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tim m để tiếp tuyến tại một diểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho AIAB có diện tích s = 22 . A.m = ±5 B. m = ±6 c. m = ±7 D. m = ±4 2s .Bài làm 2. (C) có tiệm cận đứng X = m, tiệm cận ngang y = 2m. Giao điểm 2 tiệm cận là I(m;2 m) và mỊ^x 0 ; ^ mx 0 + 3 j e (Q Phưong trình tiếp tuyến A của (C) tại M: y= 2 (x—x ■)+ ^ mx ° —- . ( x 0 -m ) x 0 -m A cắt TCĐ tại Aịnv, 2mx 0 + 2m ' cắt TCN tại B( 2x 0 -m;2m). Ta có: IA = \ 4+6 \; ÍB = 2|x n -m| => S IAB = ịlA.IB = 4m 2 +6 = 22 «• m = ± 4. \x 0 +m\ 10 1 2 Câu 3. Gọi (đ)là tiếp tuyến của đồ thị (c) : y - — 3 tại M cắt các đưòng tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B . Tim tọa độ điểm M sao cho đuòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, vói I là giao điểm hai tiệm cận . A. M(l;l) B. M^4;|j M(3;3) c. M(l;l) M^4;|j D. M(l;l) M(3;3) 2S.BÀĨ làm 3. Gọi M(x 0 ;y 0 )e(c)^>y 0 = 2 *°_2 và y' 0 =——y 0 ( x 0~ 2 ) —1/ \ 2x n — 3 Phuong trình tiếp tuyến (d) của (c) tạiM: y = --—— íx-x 0 ) + 0 (*0-2) X o-2 (d) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt aỊ^ 2; 2x ° B(2x 0 -2;2). Dễ thấy M là trung điểm AB và I (2;2) là giao điểm hai đưòng tiệm cận. Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ỈAB có diện tích Dấu đẳng thức xảy ra khi (x n -2) 2 =-——— <=> x ° \ l ° ' (x 0 - 2 ) 2 L*0=3=>y„=3 Vậy M(l;l) M(3;3) thỏa mãn bài toán. Bài toán có thể mở rộng: Tìm những điểm trên (c) có hoành độ X > 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo vói hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. HD: theo trên ta có : A 1^2; 2 ỵ ° ^ , B(2x ữ -2;2) => IA,IB .Chu vi tam giác AIB laP = IA+IB + AB = IA+IB + \llA 2 +IB 2 >2 sỊỉA.ỈB + ^I.ỈA.ỈB Đẳng thức xảy ra khi ỈA = IB Nếu truờng hợp tam giác AIB không vuông thì P = LA + IB + AB, để tính AB ta cần đến định lý hàm số cosin AB 2 = IA 2 +IB 2 -2ĨA.ĨBcosịĩA,ĨBj. p = IA + IB + ^/Ẫ5 ^ > 2*JlA.IB + ^ ỊlA 2 +IB 2 - 2IA.IB cos Ị IA, IB Ị p > 2y/lA.IB + ^2IA.IB - 2IA.IB cos ịlA, IB j. Đẳng thức xảy ra khi IA = IB. Bài 10: Cho hàm số y = —^, có đồ thị là (c). Có bao nhiêu điểm M thuộc (c) sao cho tiếp tuyến tại M của (c) cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng \, o là gốc tọa độ. V / 4 A. 1 B.2 C.3 D. 4 ÌS.BÙĨ làm 1. Gọi M(x 0 ;y 0 )e(c)=>y 0 =^km>y' 0 = 2 x 0 +l (x Q +l) Phuong trình tiếp tuyến (f) của (c) tại M là: y 0 =-—^——x + 2 x 0 _ (x 0+ l) (* 0 +l) Tiếp tuyến (í) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm phân biệt o). B 0; 2 x ° - sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng — khi đó 1 (*0+i) 2 J 1 ị.OAĐB = OA.OB = ị » xị - 2x ° = ị » 4x n 2 - (*„ +l) 2 = 0 2 4 2 °(x 0 + l ) 2 2 Vo ' r2x 2 +x 0 +l = 0^ 3e 0 =~=>M^~;-2j Bài 12: Cho hàm số y = + 2 có đồ thị là (C). 9 x-1 Câu 1. Viết phuong trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đuòng thẳng d:y = -4x + l . A. A: y = -Ax + 2; À: y = -Ax +1 B. A:y = -ịx + 2) A:y = -Ax+7 c. A:y = ^4x + 6;A:y = —4x + 14 D. A:y = ^4x+2;A:y = ^4x + 14 ĩ&Bài làm 1. Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y' = -4 (*-l) 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Tiệm cận đứng: X = 1; tiệm cận ngang: y = 2; tâm đối xứng 1(1; 2) Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): _ -4 2x 0 + 2 (x 0 -l) 2 0 x 0 -l Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d:y = -4x + 1 nên ta có: y'w =4o ^ = ^ 0ĩ » aaĩ » =2 - (*0-l) * x 0 =0=>y 0 =2=> A:y = -4x+2 * x 0 =2=>y 0 =6=>A:y = -4x +14 . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông c A. A:y = -x+7;A:y = -x-l B. A:y = -2x+7;A:y = -x-ll c. A:y = —x + 78; A:y = —X —11 D. A:y = -x + 9;A:y = -x-l ìsBàỉ làm 2. Hàm số xác định với mọi X * 1 . rp , , -4 Ta có: y =--— (x-1) 2 Tiệm cận đứng: X = 1; tiệm cận ngang: y = 2; tâm đối xứng 1(1; 2) Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): ._ -4 2x 0 +2 9 (x 0 -l) 2 0 x 0 -ĩ Vi tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1. —^—7 = +1 <» x a = -l,x n = 3 (x 0 -l) 2 * x 0 =-l=>y 0 =0^A:y = -*-l * x 0 =3^y 0 =4^A:y = -x+7 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến c nhất. a (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ A. A:y = —:r —21 và A:y = -x + 7. c. A:y = -:r-l và A:y = -X + 17. ì&Bài làm 3. Hàm số xác định với mọi X =É 1 . Ta CÓ: y =- -— (*-l) 2 Tiệm cận đứng: X = 1; tiệm cận ngang: y = 2; tâm đối xứng /(1;2) Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): „^.2x 0 + 2 J (^ 0 -l ) 2 0 x 0 -l Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại B. A:y = —X —3 và A:y = -x + 2. D. A:y = -x-l và A:y = -x + 7. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. ■ y = -—^-(1-*,,) + —2- f (x 0 -l ) 2 v 0 ’ Xq — Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại [y=2 1 (^ 0 -l) X Q -1 Suy ra: I/Lfs% ———7; ÍB = 2 k -1| => IA.IB = 16 IPf 1 1 Chu vi tam giác IAB: P = IA+IB + AB =IA + IB + sllA 2 +IB 2 Mà IA + IB> 2\JĩA.IB =8; LA 2 +IB 2 > 2 IA.IB = 32 Nên P>8 + ^ = 8+W2 Đẳng thức xảy ra <=> L4 = ÍB <=> (x 0 -l) 2 = 4 <=> x 0 = 3,x 0 = -1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: A:y = -x-1 và A: y = -X + 7. 2x Câu 1. Trên đồ thị (C) tồn tại bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến của (C) tại đó song song vói đuờng thẳng y = 4x+3. A. 1 B.2 C.3 D. 4 ìsBài làm 1. Hàm sô' xác định vói mọi x*-2. Ta có- V'- 4 aCO:y (x+2 f Gọi M(x 0 ;y 0 ) 6 (C). Tiếp tuyến A của (C) tại M có phuong trình 2x n 4 2x1 , „ , , 2x 0 4 2x\ -(x-x n ) + -2- = - rX + - - 2 0 x 0 +2 (x +2) 2 (x 0 +2) 2 (*0+ 2 ) 2 Tiếp tuyến A song song vói đuòng thẳng y = Ax + 3 khi và chỉ khi (x 0+ 2) 2 < „ , <=>*„ = -1; x n =-3. 2x 2 0 0 -- 0 ^ 3 i(*0+ 2 ) Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2. Viết phuong trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo vói hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bẳng ả' . ... 91 ..41 „ _9 31 _4 2 A. A:y = --x + -;A:y = -x + - B. A: y = --X + —; A : y = —x + — * ế 2 9 9 9 3 4 2 ’ 9 9 9 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 2 9 9 ĩ&Bài làm 2. Hàm số xác định với mọi X&-2. Ta có- u’- 4 aCO:y (x+2f Gọi M(x 0 ;y 0 ) e (C). Tiếp tuyến A của (C) tại M có phương trình 4 2x 0 _ 4 | 2xl v - (x 0 + 2 f x x ° x 0 + 2 ~ (x 0 +2 f x+ (x 0 + 2 f Gọi A, B 1'ân lượt là giao điểm của tiếp tuyến A với Ox, Oy [y=0 Suy ra A: j 4 _ |x = —;j-x 2 => A(— ^xổ;0) ị 4 2xị \(x 0+ 2f x + (x 0+ 2f [y =0 B: 2x1 =>B 0; ° 1 (x ° +2) Vi A,BĩtO=>x 0 *0. Tam giác AOB vuông tại o nên S A/ÍOB = i OA.OB = ^ 2(*0+2) 2 Suy ra s. =-!-<=> -—— il— T- - 9 <=> 9x„ = (x n +2) 2 J AAOB 18 (Xo+ 2)2 0 V 0 ' 3x 2 + x 0 + 2 = 0 (vn) 3x 2 -x„-2 = 0 * _2 • 3 2 9 * ^o=-i^yo=- 1 /y'(^o)=T 9 2 % 9 1 Phương trình A:y = 4(x+r)-l- . *+-• & 4 V 3' 4 2 Câu 3. Giả sử tồn tại phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất., thì hoành độ tiếp điểm lúc này là: A. x 0 =0,x 0 =-ấ B. Xq = 0, Xq =-3 c. x 0 =l,x 0 =-4 D. x 0 = l,x 0 =-3 2s iBài làm 3. Hàm số xác định với mọi X&-2. _4 _ (x+2) 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) e (C). Tiếp tuyến A của (C) tại M có phương trình Ta có: y’ = - GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. 4 , s . 2x, 4 2x1 1 / = ——r (x-x n ) + _ = - 5 — (x 0 +2) 2 0 x 0 +2 (x 0 +2) 2 (x 0 +2) 2 Ta có tâm đối xứng í(-2; 2) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến A: -— 4 x-y+ 2*0 = 0 : (*0+ 2 ) (x 0 +2) 2 8 |x n + 2| I £ _, d = , 10 ' =L= = 8. —2 —, với t = (x a +2f >0 Ậx ữ +2f+l6 ỵt 2 +16 Do —1—<^= = -!-=> đ< 2 í +16 Is/ĩẽĩ 2 16 Đẳng thức xảy ra khi t 2 = 16 <=> t = 4 (x 0 +2) 2 = 4 <=> x 0 = 0,x 0 = -4. 1 Bài 14: Cho hàm số y = x 3 +ax 2 +bx + c, c < 0 có đồ thị (C) cắt Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N. Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a;b; c đê’ Samh = 1. A. a = 4,6=5,c = -2 B. a = 4,6=5,c = 2 c. ữ = ^,6 = 6 ,c = -2 D. a = -4,b = 5,c = -2 ì&Bài làm Giả sử (C) cắt Ox tại M(m;0) và N(n; 0) cắt Oy tại A(0;c) Tiếp tuyến tại M có phương trình: y = (3m 2 +2am+b)(x-m). Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3 m 3 + 2am 2 + bm + c = 0 <=>2m 3 + am 2 =0 <=>m = -22 (do m 3 + am 2 +bm+c = 0) Mà (C) cắt Ox tại hai điểm nên (C) tiếp xúc với Ox. Nếu M là tiếp điểm thi suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có (C) tiếp xúc với Ox tại N. Do đó: y = x 3 +ax 2 +bx+c=(x-n) 2 (x-m) ữ a m __ 2 ,M__ 4 a 3 = 32 c (1). 5a 2 = 166 , = 1 <=> -c |„-m| = 2«-+| = 8 ịa 3 =32c ịac = -8 VÔ nghiệm. [5ữ 2 =166 a 3 = 32c ac = 8 <» ữ = -4,6 = 5,c = -2 5a 2 =166 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. ^ 2x—l , _ ,, Bài 15: Cho hàm sô y = ——j- có đồ thị là (C). Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng - ^. 2s .Bài làm 1.: Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến A tại M Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y = -^x + ^ và y=-^x+^. Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 1 4' -x+3 và y = — 4 ìsBàỉ làm 2.: Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến A tại M Tiếp tuyến A cắt tiệm cận đứng tại A( 1;——cắt đường tiệm cận ngang tại B(2x 0 -1;2). Tâm đối xứng 1 ( 1 ; 2 ) IA.IB = 4 Chu vi tam giác IAB : p - AB+IA + IB - \ỊlA 2 + IB 2 +IA + IB Mặt khác: IA 2 + IB 2 > 2LA.IB = 8; IA + IB> 2sJĩA.IB = 4 Nên p > 2-^2 + 4 . Đẳng thức xảy ra «> ỈA = IB &(x 0 -l) 2 =4ox 0 =3,x 0 =-l. Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y = -ỉx+^ và y = -jX + j . 4 4 4 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạ ị - - - tạo lon nnat. A.y = -^ _ 1 13 , 1,3 y 4 4 4 4 B. y =—-x + 1 và y = --x + 5. 5 4 4 „ 1 , 13 , 1,5 4 4 ^44 ìsBàỉ làm 3.: Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phưong trình tiếp tuyến A tại M -1 , . 2x 0 -1 y = --—(x-x n ) +——— . y (* 0 -l) 2 *„-! Gọi H là hình chiếu của I lên A. Ta có dự, A) = IH Trong tam giác vuông IAB ta có: —= — 656 IH 2 ỈA 2 IB 2 IA.IB 2 Suy ra IH < V 2 . Đẳng thức xảy ra <^IA = IB. Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: 1 / = + và y = -^-x + ^. Câu 4. Tim điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. A. y = -x + l,y = -x+4 B. y = -x+3,y = -x+5 c. y = -x+l,y = -x+3 D. y = -x + l,y = -x + 5 ìsBàỉ làm 4.: Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. Phưong trình tiếp tuyến A tại M 2x n -1 y = -—-(x-x n ) + - (*0-l) 2 ' -1 Đường thẳng A có VTCP u = 1; 1 , IM = (x 0 -l;-^-). x n -l IM ± A o x n -1 - —= 0 o x n = 0, x n = 2. (x 0 -l) 3 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y = — X +1, y = — X + 5 . Bài 16: Câu 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = X 4 -1 và (d) là một tiếp tuyến của (C), (d) cắt hai trục tọa độ tại A và B. Viết phương trình tiếp tuyến (d) khi tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất (o là gốc tọa độ). A .y = ±A = x-\ B . y = ±-i=x-| c. y = ±-Ế=x~ D . y = ±-^=x-| ịjĨ5 5 * ịỊŨ 5 ịỊE 5 * #25 5 ìsMài làm 1. Phưong trình tiếp tuyến (d) có dạng : y = ếxị (x - x 0 ) + X 4 -1 = 4x 2 x - 3x 4 -1 trong đó xo là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C). A là giao điểm của (d) với trục Ox => 3 ;ũj B là giao điểm của (C) với trục Oy => B(0; -3x 4 -1). Diện tích của tam giác vuông OAB: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. s4oA.OB = 5y| yB ia|í 3 ^Lií 3 ^ 2 2' 2\ 4x 3 I 8 GF^ Xét trường hợp x 0 > 0 ,khi đó s = Xét hàm SỐ /(*o) =' x 0 e (°; ■ KO )- /’(*„) = 2(3x 0 4 +l)12x 3 Jt 0 3 -(3x 0 4 +1) 2 .3x 0 2 _ 3(3x 0 4 +l)(5x 4 -1) /'(x 0 ) = 0 «• X 4 = <=> x 0 = (do x 0 > 0) 5 %/5 Bảng biến thiên của f(x 0 ) Jễ- _ 64 1 Từ bảng biến thiên suy ra min f(x 0 ) = " đạt được khi và chỉ khi Xp = 5ịị5 %I5 Suy ra minS = _ <=> x n = 5y5 Khi đó phưcmg trình của (d) là y = , - X-4. yl25 5 Vì trục Oy là trục đối xứng của (C) nên trong trường hợp Xũ < 0, phưong trình của (d) là y = - r x - TỊ • yl25 5 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = ±—^ . yl25 5 Câu 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = X 4 — 3 (m +1) .X 2 + 3m + 2, m là tham số Tim các giá trị dương của tham số m để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24. 1 2 A. m =1 B. m=-^ c. m = ^ D. m =7 ĩSiBài làm 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là X 4 -3(m + l).x 2 +3m+2 = 0 (1) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Đặt t = x 2 ,t>0 . Phương trình (1) trở thành : t 2 -3(m +l).t+ 3m +2 =0 (2) (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt <=> Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt <=> Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Vi (2) luôn có hai nghiệm là t = 1, t = 3m + 2 với mọi m và vì m > 0 (giả thiết) nên ta có 1 < 3m + 2 ,suy ra với mọi tham số m > 0, (Cm) cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là X A = a/3w + 2 . Gọi f(x) = X 4 - 3(m +l) .X 2 + 3m + 2 , phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại A là y = f\x A )(x-x A )+f(x A )^[ấx 3 A -6{m+ĩ)x A ](x-x A ) (vì fự A ) = 0 ) = [4(3m+ 2)Sm+2 -6 (m+l)Sm+2](x - -Ẹm+Ĩ) = (6m + 2)ự3m + 2Ịx-ự3m + 2)Ị Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với hục Oy thì B^o ;(6m +2)(3m +2)). Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tạiO) ,theo giả thiết ta có : S OA „ =24« OA.OB = 48« |x A ||y B I = 48 « >/3 m +2(6 m+ 2)(3 m +2) = 48 (3). Gọi f(m) = -\/3m + 2(6m+2)(3m+2) = -v/3m + 2(18m 2 + 22wx+4) /’(«)“ _ (18m 2 + 22 m + 4) + (36wi + 22)^3 m +2 > 0 \ Suy ra hàm số f(m) đồng biến trên (0;+ oo) và vì /Ị^j = 24, do đó phương trình (3) chỉ có một nghiệm là m = I hên (0;+ oo) Bài 18: Câu 1. Cho hàm số y = có đồ thị là (c) . Viết phương hình tiếp tuyến của đồ thị (c) , để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (c) đến tiếp tuyến là lớn nhất. A. y = 2x và y = x + 8. B. y = x và y = x+9. c. y = 3x và y = x + 8. D. y = x và y = x + 8. ìsBàỉ làm 1. Tiếp tuyến [d) của đồ thị (c) tại điểm M có hoành độ a*-2 thuộc (c) có phương trình: y = -— -{x-a) + -^— «4x-(a + 2) 2 y+2fl 2 =0 9 (fl + 2) 2 a + 2 Tấm đối xứng của (c) là í (-2; 2). An A\- 8 l ữ + 2 l ^ 8|a + 2| 8U + 2I /r- dợ,d) = -f——-— ắ , : = —^- -mế^2 ựl6 + (fl + 2) 4 7 2 - 4 -( fl+2 ) 2 V 2 l fl + 2 l dự,d) lớn nhất khi (a+2) 2 =4«a = -4 hoặc a = 0. Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y - X và y = x + 8. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. Câu 2. Cho hàm số y = 2 x 2 có đồ thị (c). Tim trên (c) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (c) cắt hai tiệm cận của (c) tại A,B sao cho AB ngắn nhất. A. M(3; 3) hoặc M(-l;|) B. hoặc M(l;l) c. M(4;|) hoặc D. M(3;3) hoặc M(l;l) 2 s Bài làm 2. Lấy điểm M^m; 24- 6 (*-■) ■ rá- y( m ) = ““— ~2ỷ Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: y = --—wĩ) + 2h— Giao điểm của (đ) với tiệm cận đứng là: a|^2;2h— ~ 2 ^ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m-2;2) Tacó: AB 2 =4^(m-2) 2 H--——j > 8 . Đẳng thức xảy ra khi m = lhoặcm = 3. Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3; 3) hoặc M(l;l) Bài 19 : Tim m để tiếp tuyến của đồ thị y = X 3 - mx + m -1 tại điểm M có hoành độ X = -1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x-2) 2 4-(y - 3) 2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. A. m = 3 B. m = 6 c. m = 8 D. m-2 ìsBàỉlàm : Ta có: y' = 3x 2 -m => y'(-l)=3-w; y(-l) = 2m-2 . (C) có tâm 7(2;3),R = 2. Phương trình đường thẳng d tại M(—1; 2 m — 2): y = (3 — m)x + m + l «• (3-m)x-y + m+l = 0 Ậ3-mf+l Ậ3-mf+l Ậ3-mf+1 Dấu "=" xảy ra <=> m = 2. Dó đó d(I,d ) đạt lớn nhất <=> m = 2 Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất <=> d(ĩ,d) đạt lớn nhất <=> m = 2, suy ra d: y = x4-3. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ■N TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 HOẶC Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC vấn đề 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP.8 GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 BẠN ĐỌC MUỐN NHẬN FILE PDF, HÃY THEO DÕI PAGE https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vấn đề 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c):y = /(x) đi qua điểm M(x 1 ;y 1 ) Cách 1: • Phương trình đường thẳng (đ) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y = k(x - X 1 ) + y 1 . • (d)tiếp xúc với đồ thị (c) tại Af(x 0 ;y 0 ) khi hệ: k 0 1 ^ có nghiệm x g . Cách 2: • Gọi N(x 0 ; y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (c) và tiếp tuyến ịd'j qua điểm M, nên cũng có dạng y=y'o(*-*o) + yo- • (d) đi qua điểm M nên có phương trình : y 1 =y' ũ (x 1 -x 0 ) + y 0 (*) • Từ phương trình ta tìm được tọa độ điểm N(x 0 ;y 0 ), từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng ịd^. Các ví dụ Ví dụ 1: 1. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (c):y = ^- + ^— X, biết d song song đường thẳng x + y- 8 = 0. 2. Cho hàm số y = 2x 3 -3x 2 +5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm j và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. Lời giải. 1. Hàm SỐ đã cho xác định D = R Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x + y-8 = 0 nên d có dạng y = -x + b . d tiếp xúc với (c ) tại điểm có hoành độ x 0 khi và chỉ khi hệ phương trình ( 2 ) CÓ nghiệm Phương trình ( 2 ) 2Xg +3x 0 =0 <=>x 0 =0 hoặc x 0 =~. Với x 0 = 0 thay vào phương trình ( 1 ), ta được b = 0 khi đó d : y=-x. Với Xq — — ^ thay vào phương trình (l), ta được khi đó d: 1/ = -X + . Cách 2: Gọi (x 0 ;y(x 0 )) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và (c), với X 3 3x 2 r, 3x y(x 0 ) = -^ + -Ỵ--x 0 , tiếp tuyến đcóhệsốgóc y'(x 0 ) = xị + -22--1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN d II x + y-8 = 0=>y'(x 0 ) = -l tức X 2 + -1 = -1 hay nghiệm x 0 = 0 hoặc x 0 = -^. Phần còn lại giành cho bạn đọc. 2. Hàm SỐ đã cho xác định D = M Ta có: y' = 6x 2 -6x Gọi M(x 0 ;y 0 ) e(C) <^>y 0 = 2xỏ-3x 2 + 5 và y'(x 0 ) = 6*0 -6x 0 Phương trình tiếp tuyến A của (C) tại M có dạng: y-y 0 = y'(x 0 )(x-x 0 ) <=> y - (2xỏ - 3x 2 + 5) = (6x 2 - 6x 0 )(x - x 0 ) <=> y = (6x 2 - 6x 0 )x - 4xỏ + 3x 2 + 5 - _ 19 , _ , _ .... .... 1 ẨeAo4 = (6x„ -6x n ).^--4Xn + 3x 2 + 5 <=> 8xỏ - 25x 2 +19x n -2 = 0<=>x n =l hoặc x n = 2 hoặc x n = 7- v 0 °' 12 0 0 0 0 0 0 Vo 0 8 Vói x 0 =l=>A:y = 4 Với x 0 = 2 >A:y = 12x —15 . _ 21 => A:y = -__ x + 9 32 645 128 Ví dụ 2: 1. Cho hàm số y = ^X 4 - 3x 2 + ^ có đồ thị là (c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm mỊ^O;^ j . 2. Cho hàm số: y = X + 2 có đồ thị là (c) và điểm Aịũ; m ). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (c) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox . Lời giải. 1. Đường thẳng X = 0 đi qua điểm mỊ^O; j không phải là tiếp tuyến của đồ thị (c). í 3) 3 d là đường thắng đi qua điểm MỊ 0;^ 1 có hệ số góc k có phương trình y = kx + Ỷ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (c) tai điểm có hoành độ là x 0 thi x 0 là nghiệm của hệ phương trình : \ịxi-3xl+ị = kx a +ị (l) 2 0 2 0 2 v ; [2xl-6x 0 =k (2) Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta được X 2 (x 2 - 2) = 0 «• x 0 = 0 hoặc x 0 = ±yỊĨ 3 Khi x 0 = 0 thì k = 0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y = ^ Khi x 0 = -sỊl thì k = 2V2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y = 2-Jĩx + ^ Khi x 0 = V2 thì k = -2sỊĨ lúc đó phương trình tiếp tuyến là y = -2%fĩx + ^ Vậy, có ba tiếp tuyến là y = 2 ' y~ 2n/2x+^ , y = -2^2x + ^ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2. Cách 1: Gọi điểm <=> — i < m < 1. Tiếp tuyến À tại M của (c) có phương trình : m(x ữ - l) 2 = 3x 0 +(x 0 +2)(x 0 -l) = 0 (với x ữ *l) o(m-l)x 2 0 -2(m+2)x 0 + m+2 = 0 (*) Yêu cầu bài toán <=> (*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho (fl + 2)(fe + 2) ab+2(a+b) + 4 (a-ĩ)(b-ĩ) = ab-(a + b )+1 I m* 1 2 . m>-~ Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y = kx + m. d tiếp xúc với ịc ) tại điểm có hoành độ x 0 <=> hệ ị 0 g [K^ĩ Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: X ° + 2 = ~ 3 * +m «e» (m-l)x 2 -2(m + 2)x n -t-m+2 = 0 (*) * 0 -i (x 0 -i) y )0 y )o u có nghiệm x 0 . \m>-2 , , Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 |A' = 3(m + 2)>0 o\m* 1 _, . |mí 1 m-l-2(m + 2J + m + 2*0 Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M, M 2 (x 2 ;y 2 )với xi,X 2 Ìà nghiệm của (*) và y ỉ = x ' + 2 ; y 2 = * 2 + 2 Y Y + 2 ( + Xr> ) + 4 Để Mi, M 2 nằm về hai phía Ox thì y r y 2 < 0 <=>---<0 ( 1 ) x 1 x 2 -(x 1 + x 2 )+l Áp dụng định lí Viet: x 1 +x ỉ = —-J; X 1 X 2 = m+ 2 ■ /,s 9m + 6 „ 2 Kết hợp với (í) ta được < m * 1 là những giá trị cần tìm. Ví dụ 3: 1. Tim tất cả các điểm trên đường thẳng d : y = ^ ^ để từ đó kẻ đến đồ thị y = - 3 2 x x +2x + ^ có 3 tiếp tuyến tương ứng với 3 tiếp điểm có hoành độ x 1 ,x 2 ,x 3 thỏa mãn: X 1 < x 2 < 0 < x 3 2. Tim tất cả các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp tuyến với (c): y = X 3 + 6x 2 + 9x+3 phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (c) cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A,B sao cho OB = 2012.OA . Lời giải. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN d, tiếp tuyến (í) tại điểm N(x 0 ;y 0 )đi qua M : Theo bài toán, phuong trình có hai nghiệm phân biệt âm, tức là : 1 6 Vậy, những điểm M thỏa bài toán là: X M < - ^ hoặc ^ < X M < ^ 2. Hoành độ tiếp điểm x 0 của tiếp tuyến dạng y = kx+m với (c) là nghiệm của phương trình /'(x 0 ) = k<=>3x 2 +12x 0 +9-k = 0 (l) Để tồn tại 2 tiếp tuyến với (c) phân biệt nhau thì phưcmg trình (l) có hai nghiệm phân biệt, khi đó A' = 9+3k>0 hay k >-3 (2). Khi đó tọa độ tiếp điểm (x 0 ;y 0 ) của 2 tiếp tuyến với (c) là nghiệm hệ phương trình: |^° 2 9*0 0 jy 0 = §( x 0 +2)(3x 0 2 + 12x 0 + 9)-2x 0 -3 \y ữ =ị(x 0 +2)k-2x 0 -3 = ^x 0 [3x 2 0 +12x 0 +9 = k [3x 2 0 +l2x 0 +9 = k Vậy phương trình đường thẳng đi qua các tiếp điểm là (đ): y = + ■ Do (đ) cắt trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OB = 2012.0/4 nên có thể xảy ra: • Nếu A=0 thì B = O r trường hợp này chỉ thỏa nếu (d) cũng qua o. Khi đó k = ^. • Nếu A ĩt o , khi đó trong tam giác AOB vuông tại o sao cho tan OAB = ^ = 2012 => = ±2012 =>k = 6042 hoặc k = -6030 (không thỏa (2) ). 9 Vậy k = , k = 6042 thỏa bài toán. Ví dụ 4 : Cho hàm số y = -X 3 + 3x - 2, có đồ thị là (c) . Tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng y = -4 mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị (c) đúng hai tiếp tuyến. Lời giải. Hàm SỐ đã cho xác định và liên tục trên M. Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng y = —4 nên A (a;-4). Đường thẳng A qua A với hệ số góc k có phương trình y = kịx-cì)- 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Đường thẳng A tiếp xúc với đồ thị (c) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ị-x 3 +3x-2 = k[x-a)-4: ịx 3 -3x-2 = 3(x 2 -1 )(*-«) \-3x 2 +3 = k ^Ị-3x 2 + 3 = k J(x + l)[2x 2 -(3a + 2)x + 3fl + 2] = 0(l) ^\-3x 2 +3 = k(2) Phương trình (l) tương đương với: 7 s . , X „ & w & & |_g(x) = 2x 2 -(3a + 2)x + 3a+2 = 0 Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (c) khi và chỉ khi (2) có 2 giá trị k khác nhau, khi đó (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x ỉ , đồng thời thỏa kị = -3x 2 + 3, k 2 =-3xị+3 có 2 giá trị k khác nhau Trường hợp 1: g(x) phải thỏa mãn có một nghiệm bằng -1 và nghiệm khác -1 hay Ị*( *) 0 Í6» + 6 = 0 a = -l kiểm tra (2) thây thỏa. Trường hợp 2: g(x) phải thỏa mãn có một nghiệm kép khác -1 hay ị(3a+2) -8(3a+2)-0 ị3ị3a+2)(a-2) = 0 3g+2 ^-l ^130 + 2*-2 [ 2 2 = hoặc a = 2, kiểm tra (2) thây thỏa. Vậy, các điểm cần tìm là Aị- 1;-4), A(2;-4) hoặc aỊ—^;-4 Ví dụ 5 Cho hàm số y = 3x-x 3 có đồ thị là (c) . Tim trên đường thẳng (d): y = -X các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Lời giải. Gọi M(m;-m)ed. Phương trình đường thẳng A qua M có hệ số góc k có dạng: y = k(x - m) - m. A là tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ sau có nghiệm x 0 : Í3x 0 -Xg = k(x ữ -m)-m (1) [3-3x1 =k (2) 2x1 Thay (2) vào (1) ta được: 2x 3 - 3 mxl +4m = 0 <=> m = 0 (**) 3x 2 -4 Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) <=> (*) có nghiệm x 0 đồng thời (2) tồn tại đúng 2 giá trị k khác nhau Khi đó (**) có nghiệm x 0 phân biệt thỏa mãn (2) có 2 giá trị k khác nhau . Xét hàm số f(x n )= 0 ■ 3x' -4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HÊ 0946798489 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Tập xác định D = M V Dựa vào bảng biến thiên suy ra <=> m = +2. Kiểm tra (2), ta thấy thỏa mãn. Vậy: M(-2;2) hoặc M(2;-2). Ví dụ 6 Lấy điểm M thuộc đồ thị ịcỴ.y = -2x 3 — 3x 2 + 3 . Chứng minh rằng có nhiều nhất hai đuòng thẳng đi qua điểm M và tiếp xúc vói (c) Lời giải. Gọi Mịa;-2a 3 -3a 2 + 3 } là điểm thuộc đồ thị (c) của hàm số. Đuờng thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k , có phuong trình: y - k(x-à)-2a 3 -3a 2 + 3. Đuờng thẳng (d) tiếp xúc vói đồ thị (c) tại Al(x 0 ;y 0 ) khi hệ phuơng trình: có nghiệm x 0 . Thay (2) vào (1), biến đổi và rút gọn ta đuợc phuong trình: (x 0 -ữf (4x 0 +2a + 3) = 0 tức Xg =a hoặc Xg = 3 . Vậy hệ phucmg trình (1), (2) có nhiều nhất 2 nghiệm, tức có nhiều nhất 2 đuòng thẳng đi qua M và tiếp xúc vói đồ thị (c). Ví dụ 7: Cho hàm số y = -2x 3 + 4x 2 +1, có đồ thị là (c) 1. Gọi d là đuòng thẳng đi qua /4 (0;l) có hệ số góc là k . Tìm k để d cắt (c) tại 2 điểm phân biệt B,c khác A sao cho B nằm giữa A và c đồng thòi AC — 3AB ; 2. Tim trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ đuợc đúng 2 tiếp tuyến đến (c) Lời giải. 1. d:y = kx+ 1. Vói k<2 thi (d) cắt (c) tại 2 điểm phân biệt B và c khác A. Khi đó B[x B -,kx B +1), c(x c ;kx c +1), X B <X C vói X B ,X C là nghiệm của phuong trình 2x 2 -4x + k = 0. k 3 AC = 3AB tức x r = 3x„ và X K +X r = 2, x„.x r = ^ suy ra k = ^ . c B B c B c 2 y 2 2. Gọi M (0;nij và (í) qua M có hệ sốgóc là a nên (í): y = ax + m.(t'j tiếp xúc (c) tại điểm có hoành độ x 0 khi f _ 2ỵ 3 -ị- 4j£ 2 +1 = Jcx + Tỉt ’ 0 0 có nghiệm x 0 suy ra 4x 3 -4x 2 +l-m~0 có nghiệm x 0 (*). Theo bài toán thìphucmg -6x 2 + 8x 0 =x 0 trình (*) có đúng 2 nghiệm, từ đó có đuợc m = ^ hoặc m = l. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 , 1^4 4^1 Bài 1: Cho hàm số y = --x 3 -2x 2 +3x có đồ thị là (C). Tim phương trình các đường thẳng đi qua điểm A I 2-;^- và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. A:y = x A:y = 3x 4 4 A : y = —X B. 3 3 A: y = — x + 1 c. * 3 A 5 8 . 5 128 A:y = — X +- L 9 81 L 9 81 A:y = x . 5 1 A: V = - —x + — . 9 81 A:y = 3x .... 5 128 A: y=--x+—— . 9 81 _ « f 4 A 4 >ĩBÀí ỉàm: Phương trình đường thăng A đi qua A với hệ số góc k có dạng: y = k\x-A\+ A ị 1 3 _ , _ 4^1,4 A tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ X khi hệ phương trình -Ị 3 ^ 9 J 3 Thế (2) vào (1), được: ị X 3 - 2x 2 + 3x = (x 2 - 4x + 3) ( X-1Ị ■+1«. x(3x 2 -11* ■+ 8) = 0 X = 0=>k = 3 => A : y = 3x (2) 4 X = l=>k = 0 => A : y = 2- * 3 5 _ 5 128 x = —=>k = --=> A:y = --x+~— 3 9 * 9 81 I nghiệm X (C). 3 . 3 3 , A : y = — * 2 A: y = —X * 2 A: y = —x + 1 * 2 A. A:y = -2^2x + ị B. A:y = -^x + ! c. A: y = -2x + — D. * 2 A:y = 2j2x + ị A:y = ^x+| A: y = 2x + — 2 A:y = ^ i) 2 A: y = —Jĩx + ^ A:y = 2x + ^ ìs .Bài làm: Phương trình đường thẳng A đi qua điểm A và có hệ số góc k có dạng: y = kx + —. A tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ X khi hệ phương trình : (2) Thế (2) vào (1), ta có: ^x 4 -3x 2 +^ = (2x 3 -6x)x + ^<=>x 2 (x 2 -2) = 0 <=> x = %/2=>k = -2^ => A:y = -2sfĩx+^ X = ss>k = 2S => A: y = 2^x + ị GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (c): Câu 1. y = ^- + X 2 +3x-ĩ đi qua điểm 1 _ _ 2 _ 1 _ _ 1 A. y = 3x-^ B. y = 3x + ^ c. y = x + ^ D. y = 3x + ^ y 3 7 3 y 3 y 3 'ĩi.Bài làm: TXĐ: D = M Ta có: y' = x 2 +2x+3 Phương trình tiếp tuyến d của (c) có dạng : y = y'(x ữ )(x-x ữ ) + y(x ũ ) (trong đó x 0 là hoành độ tiếp điểm của d với (c)) X 3 2 y = (xị +2x 0 +3)(x-x 0 )+-^-+xl+3x 0 -l = (xị+2x ữ +3)x--^xị-x 2 0 -l A\ 0;ị 1 e d o ị = -ịx 3 a -x 2 -1» 2x n 3 + 3x* + 4 = 0» x n = -2. I 3) 3 3 0 0 00 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + ^. Câu 2. y - -X 4 + 4x 2 - 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. . _ 16 59 _ A. y = -3;y- "x- F y s 9 - _ 16 5 = -3;y = — -^x-j- 3sỊ3 9 c.y = n .„ 16.. 5 9;y = —-7=2— s 9 D 3 16 x 59 y 3^3 9 ís-Bài Zàm: 2. Điểm cực tiểu của (c) là A(0;-3). Phương trình tiếp tuyến d của (c) có dạng : y = y'(x ữ )(x-x ữ )+y(x 0 ) (trong đó x 0 là hoành độ tiếp điểm của d với (c)) y = (-4x 3 0 + 8x 0 )(x-x 0 )-x 4 +4xị -3 = {-4xị +8x 0 )x + 3x 4 -4xl -3 A(0;-3) erfe >-3 = 3Xg -4xị-3 <=> 3x 4 -4x 2 =0 <=>x 0 =0 hoặc Xg = ± Với Xg = 0 thi phương trình d: y = -3 Với thi phương trình d: Y = --^ị=x- — 0 s y 3sf3 9 Với x n = thì phương trình d: y = ~^= X- — ữ s 9 _- 16 59 16 59 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y = -3, y = ~-^=x - y, y = ^j=x - y 2 _ s GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HÊ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN y=-2 y = 2 y = -2 y = -2 y = 9x-25 B. y = X - 25 c. y = 9x-2 D. y = x-5 5 61 5 1 5 61 61 y = -x + — V = ~x + — y = x + — L 3 27 1/ 3 27 L 3 2 L 27 >&Bài làm: 3. Gọi M 0 (x 0 ;y 0 )e(c). Phương trình tiếp tuyến (đ)của (c)tại Mg là y-y 0 = y ' (■* 0 ) (*' -■ x 0 ) <=> y -(; xị 3x 2 + 2 ) = (;3x 2 -<6x 0 ) (xx 0 ) Do (d) đi qua điểm aỊ^— ;-2j nên -2 - (x 0 3 - 3x 0 2 + 2 ) = (3x 2 - 6x 0 )ị^y - x 0 j o 6x 0 3 - 32x 2 + 46x 0 -12 = 0 «■ (x 0 -2)(3x 0 2 -10x 0 + 3 ) = 0 «. Xg Xg = 2 =>y =-2 = 3 => y = 9x - 25 1 5 61 —x + — 3 27 Câu 4. y = X 3 —2x 2 +X-I-4 đi qua điểm M(^4;-24). A. y = 3x+508; y = x+8; y = 5x-4. B. y = 13x+5; y = 8x+8; y = 5x-4. c. y = 133x + 508; y = x+8; y = x-4. D. y = 133x + 508; y = 8x+8; y = 5x-4. ìs .Bài làm: 4. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên K. Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (c) tại điểm có hoành độ Xg khi đó phương trình tiếp tuyến (à) có dạng: y = y'(x 0 )(x-x 0 )+y(x 0 ) = Ị3xỏ -4x 0 +lỊ(x-x 0 )+x 3 -2x 2 +x 0 +4 Vì (A) đi qua điểm M(-4;-24) nên: -24 = (3x* -4x 0 + lỊ(^-x 0 ) + x 3 -2x 2 +x 0 +4 <=>X 3 +5x 2 -8x 0 -12 = 0 <=> Xg = -6 hoặc x 0 = -1 hoặc Xg = 2. - Với Xg = —6 thì phương trình tiếp tuyến là y = 133x + 508 - Với Xg = -1 thì phương trình tiếp tuyến là y = 8x + 8 - Với Xg = 2 thì phương trình tiếp tuyến là y = 5x-4 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:y = 133x+508; y = 8x + 8; y = 5x-4. Bài 4: Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = —— , biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4). 1 11 3 ,31 A. y = 5 và y = x-^ . B. y = 4 và y = 4 _ 2 ’ y = 5 và y = ^x -6 . D. y = 4 và y = ị X ~2 ' ĩ^Bài làm: 1. Đường thẳng A đi qua M(6;4) với hệ số góc k có phương trình : y = k(x-6) + 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ y 1 + x-2 = k(x- 6) + 4 (1) l (*-2) 2 Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta được: x 0 + —= I 1 - (* 0 - 2) 2 có nghiệm x ữ (x 0 -6)+ẩ^x 0 =0,x 0 =3 Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = 4 và y = J Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (c) : y = x + 2 ' biết d đi qua điểm A(-6; 5). A. y = x- 1, y = 4 + i»* B. y = -x-l/ y = -T+^- “ “42 * “ 4 2 X 7 ^ _ X 7 c. y=-je-l, y = --t + ^-.D. y = x-l, y = ----- * y 4 2 " ^42 ỉàra: 2. Cách 1: Gọi (x 0 ;y(x 0 )) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và (c),với y{x ữ )= x ° + 2 , tiếp tuyến d có hệ số góc y’(x 0 ) = - — — , x 0 * 2 và d có phương trình: * 0-2 (*„- 2 ) -4 / \ x 0 +2 y = -- —\x-x n +——- V*r ' *°- 2 d đi qua điểm Aị-6; 5) nên có 5 = -— . (-6 -X Q )+ — + j~ phương trình này tương đương với (*0-2) ^0-2 X 2 -6x 0 = 0 <» x 0 = 0 hoặc x 0 = 6 Với x 0 = 0, ta có phương trình: y = -x- 1 Cách 2: Phương trình d đi qua A(-6;5) có hệ số góc Ả: , khi đó d có phương trình là : y = /c(x + 6) + 5 đ tiếp xúc (c) tại điểm có hoành độ x 0 khi và chỉ khi hệ : ỵr + + H Oi 1 + 4Xg -24x 0 =0 CÓ nghiệm x 0 hay • , 4 có nghiêm Xg <=> k= , { (-0-2) 2 { = (*0-2) 2 x 0 = 0, k = -1 => đ: y = -x-1 X , 7 — + — 4 2 X 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y = -x-ĩ, y = - A + -. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 3. Cho hàm số y = * 3 - 3x 2 -9x + ll có đồ thị là (c) . Lập phuơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp A. y = 8x-36; y = 36*-14; y = 15* + 9 c. y = 420*-76; y-x- 164; y = x+ 39 B. y = 40*-76; y = 36*-14; y = 15* + 9 D. y = 420*-3876; y = 36*-164; y = 15* + 39 'ĩiBài làm: 3. Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (c) tại điểm có hoành độ x 0 khi đó phucmg trình tiếp tuyến (à) có dạng: y = y'(x 0 )(x-x 0 ) + y(x 0 ) = ^3*ỏ -6x 0 -9 Ị(*-* 0 )+*ỏ -3Xg-9x 0 +11 Vi (A) đi qua điểm 10^; 184 j nên: 184 = ^3*0 -6x 0 -9^jị^-Xg j + *ỏ -3Xg-9x 0 +ll <=> 2Xg - 32Xg + 58* 0 + 260 = 0 <=> Xg = 13 hoặc Xg = 5 hoặc Xg = -2. - Với Xg = 13 thi phuơng trình tiếp tuyến là y = 420* - 3876 - Với Xg = 5 thì phucmg trình tiếp tuyến là y = 36* -164 -Với Xg=-2 thì phuơng trình tiếp tuyến là y = 15* + 39 Vậy, có ba phuơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 420* - 3876; y = 36* -164; y = 15*+39 Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = X 3 + 3x 2 - 2 Câu 1. Viết phuong trình tiếp tuyến của (C) song song với đuòng thẳng y = 9x - 7 . A. y = 9x + 25 B. y=7x + 2 c. y=9x + 5 D. y = 9x + 2 ỵ&Bài làm: 1. Tiếp tuyến (d) của (C) song song vói đuòng thẳng y = 9x - 7 ,suy ra phuong trình (d) có dạng : y = 9x + m (m + - 7) f *^ + 3* 2 — 2 = 9* + m (1) 0 „ 0 0 có nghiệm * n 3* 0 2 +6* 0 =9 (2) 0 (2)-» * 0 =1 V * 0 =-3. Lần luợt thay * 0 = 1, * 0 = - 3 vào (1) ta đuợc m = -7,m = 25và m = - 7 bị loại Vậy phuong trình tiếp tuyến (d): y = 9x + 25. Câu 2. Viết phuơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7). A. y = 9x + 25 B.y = 9x + 9 C.y = 9x + 2 D.y = x + 25 'ĩiBài làm: 2. Phuong trình tiếp tuyến (D) đi qua A(-2;7) có dạng y = k(x+2) +7. um OA+ w u„x„u +A v um UA í x 0 +3x l~ 2 = k ( x o +2)+ 7 (3) (D) tiếp xúc (C) tại diêm có hoành độ *„ khi hệ 1 có nghiệm * 0 [3* 2 + 6* 0 = k (4) Thay (4) vào (3) ta đuợc: *ổ + 3* 2 - 2 = (3* 2 + 6* 0 )(* 0 + 2) + 7 <=> 2Xg + 9* 2 +12* 0 + 9 = 0 <=> Xg = -3 Thay Xg =-3 vào (4) ta đuợc k = 9. Suy ra phuơng trình (D): y = 9x + 25. Bài 6: Cho hàm sốy = (2 -*) 2 * 2 , có đồ thị (C). GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Parabol y = x 2 . A. y = 0;y = l;y = 24x-6 B. y = 9;y = l;y = 24x-6 c. y = 0;y = 5;y = 24x-63 D. y = 0;y = l;y = 24x-63 'ĩiBài làm: 1. Ta có: y = X 4 -4x 3 +4x 2 => y' = 4x 3 -12x 2 + 8x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Parabol y = x 2 x 4 -4x 3 +4x 2 =x 2 <»x z (x 2 -4x+3) = 0<í>x = 0 / x = l / x=3. • X = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 0 . • X = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 1 • X = 3 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x—63. Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0). . 2 6 „ 32„.n _ 32 , 4 _ 32_ A. y = --z~x+-2- B. y = ~xzzX +9 c. y = -^zzX+-£- D. y = -^x 3 27 27 3 27 3 27 27 * 27 Ĩ5.BÙÌ ỉàra: 2. Ta có: y = x 4 -4x 3 +4x 2 =>y' = 4x 3 -12x 2 +8xCách 1: Gọi M(x 0 ;y 0 ) e(C). Tiếp tuyến A của (C) tại M có phương trình : y = (4x 3 - 12x 2 + 8x 0 )(x - x 0 )+y 0 . ẤeAoO = (4x 3 - 12x 2 + 8x 0 )(2-x 0 ) + X 2 (x 0 -2) 2 «■(2-x 0 )(3x 3 -10x 2 +8x 0 ) = 0 <=> x 0 =0,x 0 = 2,x 0 = I. * x 0 = 0 => y'(x 0 ) = 0,y 0 = 0 =>Phương trình tiếp tuyến y = 0 * Xg =2 => y’(x 0 ) = 0,y 0 = 0 => Phương trình tiếp tuyến y = 0 4 32 64 ^ 32 64 * * = 3 y'(*o) = -^,y 0 = ^ Phương trình tiếp tuyến: y = -^x + ^ỹ. Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k => d: y = k(x-2) Í (2-x ) 2 X 2 = k(x —2) 0 ”° ’ có nghiệm x n 4x 0 (x 0 -2)(x 0 -l) = A: , 64 + — 27 Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: Xq — 4x 3 +4x 2 = (x 0 -2)(4x 3 — 12x 2 +8x 0 )« x 0 (3x„ -4)(x 0 -2) 2 = 0 4 <=> x n = 0, x n =2,x n = 2-. 0 0 0 3 * x Q =0=>k = 0=>Phương trình tiếp tuyến y = 0 * x 0 =2=>k = 0=>Phương trình tiếp tuyến y = 0 4 32 32 64 * x n = ^=>y = -^=>Phương trình tiếp tuyến V = -„ X + „ ■ 0 3 27 & r ; ^ 27 27 Bài 7: 1 - ^ / _ 7 Câu 1. Tim m đê (Cm): y — -^--ị(tn + 2)x + 2 mx +1 tiếp xúc với đường thăng y = 1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. me|o;|;2| B. c. m e {0;4;6} D. mejo ; |;6j ìs -Bài làm: 1. (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ sau Xn 1 - - - ( Wí+ 2)x„ +2mx n +1=1 (a) • 3 2 có nghiệm x 0 . X 2 -(m+2)x 0 +2m = 0 ( b ) (b)ox 0 =2v x 0 = m. 2 Thay x 0 = 2 vào (a) ta được m = T Thay x 0 = m vào (a) ta được + m 2 =0om = 0vm = 6. Vậy (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 <=> m e |o; 6 j x-2 , .. Câu 2. Gọi (C) là đồ thị của hàm sô y = ^—71 . M(0;m) là một điểm thuộc trục Oy .Với giá trị nào của m thì luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương. A. m>0 B. m>0 c. m<0 D. m<0 ìs .Bài làm: 2. Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m. (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ Si 1 2x 0 -1 1 3 [(2*0-ự = kx 0 + m (1) 5 nghiệm x 0 . ■ = * (2) Thay (2) vào (1) ta được : 2^1 = (2^-ĩ) 2 +m -2)(2*0-1) = 3x + m(2x 0 -l) 2 (3) (do x 0 = ị không phải là nghiệm của (3)) <=> (4m - 2)x 2 - 4(m - 2)x 0 + m - 2 = 0 (4) Yêu cầu của bài toán <=> Phương trình (4) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m < 0. Vì m < 0 nên 4m - 2 < 0 suy ra (4) có nghiệm <=> A' =4(m-2) 2 -(4m-2)(m-2) >0 <=>m- 2<0 .Bất đẳng thức này đúng với mọi m < 0. Khi đó gọi x 1 ,x ĩ là hai nghiệm của phương trình (4). L , „ _ 4(m-2) . Xj + X 2 = ^ ^ >0 TacóVm<oJ 4?«-2 ,suy ra X, > 0,x, > 0 _ m-2 y 12 *1*9 = ■ _ >0 l 12 4m-2 Vậy, với mọi m< 0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) là SỐ dương. Bài 8: Câu 1. Cho hàm số y = X 3 - 3x + 2 Tim trên đường thẳng d: y - 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C). A. (—1;4); (7;4); (2; 4). B. (-1;4); (7;4); (9;4). c. (-2;4); (-5;4); (2;4). D. (-1;4); (2;4). ís-Bài làm: 1. Gọi M(m;ế) G d . Phương trình đường thẳng A qua M có dạng: y = k(x -m) + 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A là tiếp tuyến của (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm x: íx 3 - 3x + 2 = k(x-m) + 4 (1) [3x 2 -3 = k (2) Thay (2) vào (1) ta được: (x+l)[2x 2 -{3m+2)x+3m+ĩ\ = Q (3) <=> x = -l hoặc 2x 2 ~(3m+2)x+3m+2 = 0 (4) Theo bài toán <=> (*) có nghiệm X, đồng thời (2) có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình (3) có nghiệm X phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau. + THI: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -1 <=> m = -1 2 + TH2: (4) có nghiệm kép khác -1 <=> m = “ hoặc m = 2 Vậy các điểm cân tìm là: (—1; 4); ^; 4 J; (2; 4). Câu 2. Cho hàm số y = -X 3 + 3x 2 -2 .Tim trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). í 1 A. M(m; 2) e (d) với ị m < v m > 3 B. M(m; 2) 6 (d) với m < -7 [m*2 c. M(m; 2) € (d) vói | m < — d v m> 3 D. M(m; 2) s (d) vói | m < -* v ” ’ 3 [mí2 [m*2 ^Bài làm: 2. Gọi M(m;2) e (d). Phương trình đường thẳng A đi qua điểm M có dạng : y = k(x — m) + 2 A là tiếp tuyến của (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm x: 1 -X 3 + 3x 2 - 2 = k{x -m) + 2 (1) |-3x 2 +6 x = k (2) Thay (2) và (1) ta được: 2x 3 -3(m+l)x 2 +6mx-4 = 0 <=>(x-2)[2x 2 -(3m-l)x+2] = 0 o x = 2 hoặc f(x) = 2x 2 -(3m-l)x+2 = 0 (3) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) <=> hệ (*) có nghiệm X phân biệt đồng thời (2) có 3 giá trị k khác nhau <í=> (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị X thỏa phương trình (2) có 3 giá trị k khác nhau <=> A > 0 f(2)*0 C Vậy ,M(m; 2) 6 (d) V ó thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị (h) : y = {x 2 - 1 j của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. A. y = 2x B. y = 0 c. y = 2x + l D. y = l GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ì3 ,Bài làm: 4. Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (h) tại điểm Mịm;ịm 2 - 1) j. Khi đó đường thẳng d có phương trình: y = 2 mịm 2 -l)(x-ra) + (m 2 -l) Đường thẳng d tiếp xúc với (h) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình í(x 2 -l) 2 = 2 m(m 2 -ì](x-m)+(m ỉ -l) 2 ị' 7 v 7 v 7 có đúng một nghiệm khác m tức hệ |2x(x 2 -l) = 2m(m 2 -l) (x-m) \x(x 2 + mx + m 2 \-m 3 -2x =0 ' ' ' ịx = -m 3 • , , J có đúng một nghiệm khác m hay ị „ có nghiệm {x-m)(x 2 + mx + m 2 -1 ) = 0 \x 2 +mx + m 2 -1 = 0 I = l,ffl = -1 hoặc x = —l,m = l. Vậy y = 0 thỏa dề bài. Bài 9. Cho hàm số y = X 4 -2x z + 3, có đồ thị là (c) Câu a. Tim trên đồ thị (c) diêm B mà tiếp tuyến với (c) tại điểm đó song song với tiếp tuyến với (c) tại điểm A(l;2). A. B(l;2) B. B(0;3) c. B(-l;3) D. b|72;3) ĩs-Bài làm: s(0;3), y = 3. Câu b. Tim trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (c). A.M(0;2),M(l;2) B. M(ũ;2),m( 3;2) c. Aí(5;2),m( 1;2) D. Không tồn tại ìs -Bài làm: b. Gọi Mịnv, 2) là điểm thuộc đường thẳng y = 2. Phương trình đường thẳng đi qua Mịĩir, 2) có hệ số , , , . , , . , . \xị-2xị +3 = k(x 0 -m) + 2(l) góc là k và ydy. y = k[x-m)+2. ydj tiếp xúc yCj tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ -1 3 4 ^ có nghiệm x 0 suy ra phương trình: ịxị -lỊ(3x 2 -4ữx 0 + 1) = 0 (*) có nghiệm Xg. Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến (c) khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình (2) có 4 giá trị k khác nhau. Dễ thây X 2 -1 = 0 => k(-l) = k( 1), do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài toán. Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán. Bài 10 . Cho hàm số: y - X 4 -2x 2 có đồ thị là (c). Câu a. Viết phương trình tiếp tuyến của (c) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. A. (t 1 ):y = 0;(t 2 ):y = --Ệ-x; (í 3 ):y = -Ệ-x B. (í 1 ):y = 0;(t 2 ):y = --^-x; (t 3 ):y = -^-x c. (t 1 ):y = 0;(t 2 ):y = -ệx; (í 3 ):y = |z D. (t 1 ):y = 0;(t 2 ):y = -^x; (t 3 ):y=*Ể-x ĩs>.Bài làm: a. Gọi A (x 0 ;y 0 ) e (c) .Phương trình tiếp tuyến (í) của (c) tại A là: y-(x 4 -2x ũ 2 ) = (4x ũ 3 -4x ũ )(x-x 0 ). (í) đi qua ơ(0;0) nên - (x 4 - 2x 2 ) = (4x 4 - 4x 0 )(-x 0 )o 3x 4 - 2x 2 = 0 » x 0 = 0, x 0 = ± ^ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Thay các giá trị của x 0 vào phương trình của (í) ta được 3 tiếp tuyến của (c) kẻ từ O(0;ơ) là: Câu b..Tim những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến (c). A. M(0;m)với 0<m<l B. M(0;m)với ĩs-Bài làm: b. M e Oy => M (O; wz); B e(c)=> B(x 0 ;y 0 ) Phưcmg trình tiếp tuyến (r)của (c)tại B là y-Ịx 4 -2x 2 ) = (4x 2 -4x 0 )(x-x 0 ). (T) đi qua M(0;m)nên m-ịxị - Ixị ) = ( 4x 0 - 4x 0 )(-*b) » 3*ẵ - 2x 2 + m = 0 (*) Do hệ SỐ góc của tiếp tuyến là k = 4x 2 -4x 0 nên hai giá trị khác nhau của x 0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau Vậy từ M (ũ; m) kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (c) khi và chỉ khi phưong trình (*) có 4 nghiệm phân biệt. Đặt X = X 2 ta có phưcmg trình 3X 2 - 2X + m = 0 (**) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phân biệt À' = 1- 3m > 0 (c) của hàm số đã cho. Câu c. Tim những điểm N trên đường thẳng (đ) : y = 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến (c). A. N(n-,3),\n\>s B. Al(n;3), n > c. N(n;3), n > D. N(n;3), \n\ <•s/ĩõ ^.Bài làm: c. N e (d): y = 3 => N(n; 3); I e (c) => /(*„; y 0 ) Phương trình tiếp tuyến (a) của (c)tại I là: y-ịxị- 2x 2 ) = Í4xỏ-4x 0 Ị(x-x 0 ). (à) đi qua N(n;3) nên 3-(x„ - 2xl ) = { 4x 0 -4x 0 )(n-x 0 )<=>3x 0 4 -4nx 2 -2x 2 + 4nx 0 +3 = 0 <=>3(x 4 + l)-4n(xỏ-x 0 )-2x 2 = 0(*).Do x 0 = 0 không phải là nghiệm của (*) .Phương trình Đặt t = x 0 - — <=> X 2 - tx 0 -1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi t Ta có phương trình (**)<=> 3 1 2 -Ant + 4 = 0 (* * *) Do hệ số góc của tiếp tuyến là k = 4Xg -4x 0 nên hai giá trị khác nhau của x 0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (c) khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ("‘Ị có 2 nghiệm phân biệt <^>A' = 4n 2 —12 >0 <=> tt 2 - 3 > 0 ịnị > \Ịà . Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y = 3 với |n| > *s/3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (c) của hàm số đã cho. Bài 10: Câu 1. Cho hàm số y = ^mx 3 +(m-l)x 2 + (4-3m)x+l có đồ thị là (C m ). Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m ). tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):x+2y-3 = 0. 2 1 2 A. m< 12 hoặc m>Ar. B. m < 0 hoặc m > 1 c. m < 1 hoặc m>-~ D. m < 0 hoặc m > r- 3 3 3 &Bài làm: 1. (d) có hệ số góc ~ => tiếp tuyến có hệ số góc k = 2. Gọi X là hoành độ tiếp điểm thì: y' = 2<^> mx 2 +2(m-l)x+(4-3m) = 2 » mx 2 +2(m-l)x+2-3m = 0 (*) Theo bài toán, phương trình có đúng một nghiệm âm. Nếu m = 0 thì ^-2x = -2<=>x = l (không thỏa) Nếu 0 thì dễ thấy phương trình (*) có 2 nghiệm là X = 1 hay X = ——— Do đó để có một nghiệm âm thì -—^ < 0 <=> m < 0 hoặc m > ^ . Câu 2. Cho hàm số y = ^mx 3 +(m-l)x 2 + (4-3m)x+l có đồ thị là (C m ). Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m ). tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):x+2y-3 = 0. ^Bài làm: 2. Ta có: y' = mx 2 +2(nz-l)x+4-3m; đ: y = --x + -. Theo yêu cầu bài toán <=> phương trình y' = 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt <=> mx 2 +2(m-l)x + 2- 3m = 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt m * 0 r ị A' >0 ^ 0<m< i o _ _ <í> _ . s >0 1 . 2 ^<m<- p> 0 12 3 Vậy, với m e ^0; ^J thỏa mãn bài toán x + 2 Câu 3. Cho hàm số: y = ——Y có đồ thị là (c). Cho điểm A(0; a). Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (c) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A.-ị<o*l B. ~ <0^2 c.-l<a*l D. -ị 3 3 3 ìs .Bài làm: 3. Phương trình đường thẳng (d) đi qua A{ 0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a ív 'ị = kx + a (d) tiếp xúc (c) tại điểm có hoành độ X khi hệ: x-1 có nghiệm X (x-lf =>(l-o)x 2 +2(o+2)x-(o+2) = 0 (l) có nghiệm x*l. Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (l) phải có 2 nghiệm phân biệt Xj , X ịa* 1 \a* 1 [ A' = 3a + 6 > 0 [a>-2 Khi đó ta có: : ( 2 ) 2(0 + 2 ) 0-1 ' 0+2 , _ , 3 , 3 0-1 ^ X. — 1 x,-l Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thi y 1 .y 2 < 0 ®íi+-VI-íÌwtAÌ<° «• <0 e 3a + 2>0 o a>-ị ^ Xj-lj\ x 2 -lj x 1 .x 2 -(x 1 + x 2 ) + l 3 Đối chiếu với điều kiện (2) ta được: < 0 +1 . 2x 3 3 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất. .9 25 _ , _ 25 _9 25 __ , 5 A. y = —X-— B. y = 5x~— c. y =—x~— D. y =—x + — y 2 12 * 12 ^ 4 12 * 2 12 ís-Bòi làm: 1. Gọi (d) là tiếp tuyến cân tìm phương trình và x 0 là hoành độ tiếp diêm của (d) với (C) thì hệ số góc của (d): k = y\x 0 ) = -2x 0 2 +2x 0 +4 = x 0 - Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2;9). A. y = - X + 2 B. y = - 8x + 5 c. y = X + 25 D. y = - 8x + 25 ỵ&Bài làm: 2. Phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(2;9) có hệ số góc k là y = k(x-2) + 9 ^_ + x 0 2 +4x 0 -2 = ẩ:(x 0 -2) + 9 (1) (D) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ ị 3 [-2x 2 + 2x 0 + 4 = A: (2) Thay (2) vào (1) ta được : - + X 2 + 4x 0 - 2 = (-2x 2 + 2x 0 + 4)(x 0 - 2) + 9 <=>4x 0 3 -15x 2 +12x 0 - 9 = 0<=>x 0 =3 Thay x 0 = 3 vào (2) ta được k = - 8 . có nghiệm X Q . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vậy phương trình tiếp tuyến (D) là y = - 8x + 25. Bài 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = -Ệ -— . Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thăng y = ^ X + 1 3 7 3 1 A.(d): y = -x*-^y = -ĩ*“ ^ / .1 \ 3_ 9 3_ 1 c -( d ) ; y - A x -yy-* x ? B. (d):y = -|x / y = -| ac -l „ / .1 \ __ 3.. 9 .. 3.. 1 D. (d): y—í*“/y— ^ , , 4 ÍS-BÀÍ làm: 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc đường thăng y = ^x + 1 suy ra phương trình (d) có dạng : 3. y = -- A x + n 3 . -—x n +m 4 0 có nghiệm , 2-x n (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ 1 \-xl+4x 0 _ „ l(2-x 0 ) 2 ~~4 ox n =6vr=-2 =>(d): y =-ậx-^,y = . 0 ũ w 4 2 4 2' Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2; - 2). . _ 3 1 „ _ 3 1 “42 * 4 2 c. y = --7*-- D. y--T*-^ 4 2 "42 's.Bài làm: 2. Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(2; - 2) có dạng: y = k(x - 2) - 2 . -^- = k(x 0 -2)-2 (1) J2-X 0 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x o khi hệ j ^2 + có nghiệm -xl+4x 0 * (2-*o) 2 Xg -Xg + 4x *2^ 0 = (2-xj ì -(x 0 -2)-2 <=> x 0 = -2 => y = - (2-* 0 ) 3 4 X 2 z-x 0 (2-x o r 4 ^ Câu 3. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ o. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M. A. y = -9 B. y = -64 c. y = -12 D. y = -8 X M ÍMe (C) ìs .Bài làm: 3. ị <=> [d(M,Ox) = 2£Ỉ(M,Oy) y M 2 ^ ^ Jy M = 2 *M í 4 [y M = 2 *Af f y M = 2 *M ^ f*\ J ~ " 1 2 „ 1 3x 2 m -4x m = 0 {yu= 2x M { 2-* M 1 Vì M không trùng với gốc tọa độ 0 nên r 4 í chỉ nhân M — u : J/m =±2 *m fx„=0 y M = , GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 8x - 8. (*)j y M = 2-x »1 * 4 ^\ y _ĩ = ~ 1XM n ^\ X . M=A Q (doM^O). ly„=-2^ í*”’ 4 *”' 0 l*"*- 8 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = -8. Bài 13: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 2x 3 -3(m + l)x 2 +mx + m + ĩ và (d) là tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ X = - 1. Tim m để Câu 1. (d) đi qua điểm A(0;8). A. m = 0 B. m = l c. m = 2 D. m = 3 ís .Bài làm: 1. Ta có y' = 6x 2 -6(m + l)x + m, suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là y = y'(-l)(x+l)+y(-l) = (12+7m)(x+l) - 3m -4 <=> y = (12+7m)x +4m+8 A(0;8) e(rf) <=> 8 = 4m+8 »ÍH = 0. Câu 2. (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng - -9 + ^73 _ -19 + ^73' -9±s _ -19 + ^73 ' >i.Bài làm: 2. Ta có y' = 6x 2 -6(m + l)x+m, suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là y = y'(-l)(x + l) + y(-l) = (12+7m)(x+l) - 3m - 4 » y = (12+7m)x +4m+8 Diện tích: OPQ: s = ịũP.OQ = ị ị-^^- |4m + 8| = 2 2 12 +7m\ ị ĩ s = I o |8m 2 + 32 m + 3z\ = I |l2 + 7m\ 12 +7m’ |8m 2 + 32 + 32m| i§f§-7m| 8m 2 + 32m+32 = ^ (12+ 7m) \m 2 + 5 -m = 0 3 o 8 m 2 + 32m+32 = - ^ (12+ 7m) 3 m 2 + 19m + 24 = 0 _-19±^73 ' L"‘" 6 Bài 14: Cho hàm số y = ^— 2x 2 +4, có đồ thị là ( c). Câu 1. Tim tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol (p) : y = X? + m . A. m = 4;m = 20 B. m = 124;m = 2 c. m = 14;ra = 20 D. m = 4;wz = 2 ÌS.BÀÍ ỉàra: 1. (C) tiếp xúc (P) tại điểm có hoành độ x ữ khi hệ sau có nghiệm x 0 ^--2xl+ấ = xĩ + m \x 0 =ữ \x ữ =6 j ^|m = 4 V |m = 20 x 3 0 -4x 0 =2x 0 1 1 Câu 2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ X = a .Tìm a để (d) cắt lại (C) tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của đoạn E, F nằm trên parabol (P'): y = —x z + 4. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE W0RD LIÊN HỆ 0946798489 E NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. a = 0 B. a = -l ìs .Bài làm :.Phương trình tiếp tuyến (d): y = y \a)(x - à) + - 2a 2 + 4= (a 3 - 4 a)(x - á) + - 2a 2 + 4 = (a 3 - 4ữ)x - + 2a 2 + 4 4 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): Ặ - 2x 2 + 4 = (a 3 - 4ữ)x - + 2ữ 2 + 4 o X 4 - 8x 2 - 4(a 3 - 4a)x+3a 4 - 8a 2 = 0 4 4 i> (x - à) 2 (x 2 + 2ax + 3a 2 - 8) = 0 c I ~x = a |_x 2 +2 a +2ữx + 3fl 2 -8 = 0 (3) (d) cắt (C) tại hai điểm E,F khác M «• Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác a A' = fl 2 -3a 2 +8>0 -2 <a< 2 s Tọa độ trung điểm I của E,F : í X F + X F 7g 4 , \y 1 =(ữ 3 -4a)(-a)-^-+2a 2 +4 (ítole(d)) [ yí 4 +ba I e (P): y = -X 2 + 4 <=> - + 6a 2 + 4 = -fl 2 + 4 <=> 7a 2 (1 - ^-) = 0 <=> a= 0 y ' * 4 v 4 J [a = ±2 So với điều kiện (*) nhận a = 0. So với điều kiện (*) nhận a = 0. Bài 15: X—1 A. m = -2 B. m = 0 c. m=-l D. m = 3 ì&Bài làm: 1. Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ Xg hệ phương trình : x„+l • -1 - = Xg+m ( 1 ) X 2 -2x r có nghiệm x 0 . ^ = 2x 0 (2) Ta có: (2) <=> x 0 (2x 2 -5x 0 +4)=0<=>x = 0 thay vào (1) ta được m = -l. Vậy m = —l là giá trị cần tìm. Câu 2. Tim m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc vói nhau (C 1 ):y = mx 3 +(l-2m)x 2 +2mx và (C 2 ): y = 3mx 3 +3(l-2m)x+4m-2 . A m~- m B m~— m - c m~— m - Ề—ẨẴ Ị) m -1 m _ 3±n/6 • m - 2 ’ 2 12 • _ 2 ,m ~ 12 12 ỵ&Bài làm: 2. (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 <=> hệ phương trình sau có nghiệm ị mxị + (1 - 2 m)xị + 2 mx 0 = 3mx 3 + 3(1 - 2 m)x 0 +4m-2 0 ' [3mx 2 + 2(1 - 2 m)x ữ +2m = 9mxị + 3(1 - 2 m) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 2mxị - (1 - 2m)x 2 + (3 - 8m)x a + Am -2 = 0 (1) , <=> < „ có nghiệm \6mx 2 ữ -2(1 - 2ni)x 0 + 3-8m = 0 (2) Ta có : (1) » (x 0 -1)(2 mx 2 0 - (1 - 4 m)x 0 - 4m + 2) = 0 r*0=1 |_2 mxị - (1 - 4 m)x 0 - 4m + 2 = 0 » Với Imxị -(1-4 m)x 0 -Am+2= 0 (*) ta có : (2) <=> 4mx 2 -x 0 +1-Am = 0 c 1 - 4 m (m * 0 vì m = 0 hệ vô nghiệm) Thay x 0 - 1 vào (*) ta được: Am (1-4 m) 2 (l-4m) 2 . 8m Am o 48w 2 - 24m +1 = 0 <=> m = . 12 _ _ 1 3 ±>/6 , _ ., . . Vậy m = —,m = —^— là những giá trị cân tìm. Câu 3. Tim tham SỐ m để đồ thị (Cm) của hàm SỐ y = x 3 -Amx 2 +7mx-3m tiếp xúc với parabol (p): y = x 2 -x + 1 A. me|2;-7;lỊ B. me|5;-ỉ;78j c. me|2;-|;l| D. e|2;-ỉ;l| „ ịxĩ-Amxl+7mx n -3m = xĩ-x n + l (1) , A J (A) có 'ĩi.Bài làm: 3. (Cm) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ Xg khi hệ nghiệm x 0 . Giải hệ (A), (1) <=> xị - (Am +l)x 0 2 +(7m+ĩ)x 0 -3m-ĩ = 0 3x:-8mx 0 +7m = 2x 0 -1 i> (x 0 - l)(x 0 2 - 4mx 0 + 3m+ 1) = 0 c x 0 =1 xl-A mx n +3m + l = 0 ... ịx n =l [x 2 -4mx n +3m + l = 0 Vậy(A) - _ „ „ V " 0 " [3x 2 -2(4m + l)x 0 + 7m+ 1 = 0 (2) |3x 2 - 2(4m + l)x ữ + 7m +1 = 0 (2) Thay x ữ = 1 vào (2) ta được m = 2. Ị3x 2 -2(4m + l)x 0 + 7m +1 = 0 (2) ^ Í3x 2 -2(4m + l)x 0 +7m+l = 0 (2) ẹ |x 2 -4mx 0 + 3m+l = 0 (3) |3x 2 -12mx 0 +9m + 3 = 0 (4) Trừ hai phưong trình (2) và (4) ,vế vói vế ta được. 4m* 0 -2»0-2m-2 = O <=>(2m-l)x 0 =m+l (5). 1 ._ _ .. m + 1 Khi m = 2 thi (5) trỏ thành 0 = 3/2 (sai) do đó (5) <=> x 0 = 2 m -i ■ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĨYI + 1 Thay x 0 = 2m-l vă ° prì ươn 8 trình (3) ,ta được -4mí^lì + 3m + l = 0 {2m-lJ <=>4m 3 -llm 2 +5m+2 = 0<=>m = 2vm = -ịvm = Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyên song song với đường thẳng A: 3x-4y+1 = 0. C.y = fx-9;y = fx + 7 Ta có y' = 4 r 2 -2x (x-1) 2 ' „ . 3 3_3 5 D. y=-x--;v=-x+- “ 4 4^4 4 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) x\-2x xĩ-x+1 d:y-— - -Hx-x n ) + —-V- J (X 0 -1) 2V 07 x 0 -l ~®.Bài làm: 1. Vì d song song với đường thẳng A : y 4 * + 4 ' nên ta c ° : xĩ — 2x - 3 0 x ° = ^ <=> X 2 -2x n -3 = 0 <=> x n = -l,x n = 3 ■ (x 0 -l) 2 4 0 0 0 0 3 3 • Xq = —1 phương trình tiếp tuyến: y = ị X ~ị- 4 4 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M(-1; 3). A. y = 3x-l;y = -3x B. y = 13;y = -3x c. y = 3;y = -3x+l D. y = 3;y = -3x y^Bài làm: 2. Ta có y’ = x ~ 2x . (x-1) 2 Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) :„+l ,_x 2 - 2 x a d'-y=, —3(x-x n ) + - (X 0 -1) 2V X n — 1 Cách 1: Metỉo3 = -—4^-(-l-x n ) + —— +1 (x 0 -l) 2 °' x 0 -l » 3(x 0 -l) 2 = (Xq -2x 0 )(-x 0 -!)+(*„ -l)(x 2 -x 0 +1) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN <=> 2x1 -5x n +2 = 0 <=> x n = 2,x n = ị. 0 0 0 0 2 • Với x 0 = 2 => Phương trình tiếp tuyến y = 3 . • Với x 0 = 1 => Phương trình tiếp tuyến y = -3x . Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M(-1; 3), có hệ số góc k, khi đó phương trình d có dạng: y = k(x +1) + 3 1)4 .3 , , X -1 d tiếp xúc đô thị tại điểm có hoành độ x n khi hệ phương trình sau có nghiệm x n : ị xl~2x 0 ta,-!) = ( 1 ) ( 2 ) Thế (2) vào (1) ta được: —— ~~~ = —— ( x n +1) + 3 Xg-1 (x 0 -ĩ) <=> 2x1 -5x n +2 = 0 <=> x n = 2,x n = ị. 0 0 0 0 2 • Với Xg=2=>k = 0=> Phương trình tiếp tuyến y = 3. • Với x 0 = ^ => k = -3 => Phương trình tiếp tuyến y — —3x . Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của (C). A.y = 2x-1 B.y = 3x-2 C.y = ấx-3 D.Không tồn tại ỵ 2 — 2.X ĩ^Bàỉ làm: 3. Ta có y' = ———f . (*-l Ỷ Gọi M(x 0 ;y 0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) d: y - 25—(x-j 0 ) + ———— Đồ thị có hai tiệm cận X = 1 và y = x suy ra giao điểm của hai tiệm cận là 1(1; 1). (*0 — 1 ) x 0~ 1 Cách 1: I&d <=>1= x ° (l-x n )+ x ° ~ x ° (x 0 -l) z °' x 0 -l <í> Xg -1 = -xị +2x 0 +xị -x ữ +! <=> 2 = 0 vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I. Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I, có hệ số góc k =>d:y = k(x-l)+l - = k(x 0 -1) +1 d là tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ ị có nghiệm Xg l (*0-!) 2 Thế k vào phương trình thứ hai ta được: xĩ-x n +l x z -2x n Xg -1 x 0 -1 i> xị -x 0 +ĩ = Xg-2x 0 +Xg-1 phương trình vô nghiệm Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ đến (C). Bài 17: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1. Cho hàm số: y = có đồ thị là (C) và điểm AịO;m ). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. m* 1 m >-1 'ĩiBài làm: Cách 1: Gọi điểm M(x 0 ;y 0 ) e (C). Tiếp tuyến A tại M của (C) có phương trình -3 Xg+2 y = - —-(x-x 0 ) + ——- . 9 (x 0 -l) 2 0 x 0 -l A e A <=> m = 3 ỵ 0 + * 0 + '~ 0 Wv = 3x n +(x n + 2)(x n -1) = 0 (với x n *l) <=>(wz-l)x 2 -2(m+2)x n -i-m + 2 = 0 (x 0 -l) 2 x 0 -l Yêu cầu bài toán «■(*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho («+2)(6+2)_flb + 2(«+b) + 4 1 „ 1 — ’ . ’ = —— ' - < 0 hay là: (a-l)(fe-l) flb-(a + b)+l 7 1 A — 3{jn + 2) >0 ịm ^ 1 2- 3 m*l Vậy < 2 là những giá trị cần tìm. \m>-— l 3 Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y = kx+m. x 0 +2 d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ x 0 -l -3 (*0-l) 2 = kx„- có nghiệm x 0 . Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: ^,+2 -3x 0 -2(m+2)x n + m+2 = 0 (*). x 0 -l (x 0 -l) Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ÍA' = 3(m+2) > 0 1 c lm-l-2(m + 2) + m + 2^0 (0 X + 2 y + 2 Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) với xi,X 2 Ỉà nghiệm của (*) và y 1 = — y 2 = 2 ~ Để Mi, M 2 nằm về hai phía Ox thi y, .y, < 0 <=> X 1 X 2 + 2( X 1 + x i) + 4 < Q /Ị) F * 1 * 2 -(* 1 +* 2 ) + l r J_». V ,, 2{m+2) m+2 Ap dụng định lí Viet: X, + x~ = - ; x,x, = ——— . K 6 12 m-1 1 2 m-1 __ /1\ ^ 9m+6 2 w -3 3 Kết họp với (i) ta có 2 m > ,, , _ ., , . V, ,, < 3 là nhưng giá trị can tìm. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Tim tham số m để đồ thị (C): y = -X 3 + 2(m + l)x 2 - 5 mx+2m của hàm số tiếp xúc với trục hoành. A - mS H} B. meỊ0;l;2] c. me |l;2;f| D. me Ịo;l;2;|Ị í-x 3 + 2(m + l)x 2 -5mx n +2m = 0 ts .Bài làm: 2. (C) tiếp xúc với trục hoanh tại điếm có hoanh độ 1 ' khi hệ < (A) có F 0 [-3x 2 +4(m + l)x 0 -5m = 0 nghiệm x 0 . Giải hệ (A). J(x 0 -2)(x 2 -2 mx 0 +m) = 0 [3x 2 -4 (m + l)x 0 + 5m = 0 [x 2 -2mx n + m = 0 (A)< 3x 2 -4(w + l)x 0 +5m = 0 (1) Hoặc 3x 2 -4(m + l)x 0 +5m = 0 Thay x 0 = 2 vào (1) ta được 7 « = 2 [x 2 -2mx 0 +m = 0 (2) í3x 2 -6mx 0 + 3m = 0 (3) Hg ì - ^ 1 - ^ v [3x 2 -4(m + l)x 0 +5m = 0 [3x 2 -4(m + l)x 0 +5m = 0 (1) Trừ hai phưong trình (1) và (3), vế vói vế ta được (m-2)x 0 =-m<=>x 0 =— Thay x„ =-vào (1), ta được : ———- + — - + 7 0 m-2 {m-2f m-2 Câu 3. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số y = X 4 -(m + l)x 2 +4 m . Tìm tham số m để (C m ) tiếp xúc vói đường thẳng (d); y = 3 tại hai điểm phân biệt. A. m = lvm = 3. B. m = lvm = 16. c. m = 2vm = 13. D. m = lvm = 13. 's.Bàỉ làm: 3. f c„) tiếp xúc vói (d) tại điểm có hoành độ x n khi hệ ị 0 „ ( ) 0 ( ) (A) có nghiệm x n . [ F 0 Ị4x 0 3 -2(j«+1)x 0 =0 (2) 6 0 Giải hệ (A), (2) <=> x 0 = 0 hoặc X 2 = 1 3 Thay x n = 0 vào (1) ta được m = ^ . 4 Thay X 2 = —^ vào (1) ta được j + 4m = 3 <=>m 2 -14m + 13 = 0<=>m = l vm = 13. 3 3 Khi m = ^ thì (C m ) tiếp xúc vói (d) tại chỉ một điểm (0;3) nên m = ^ không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Khi m= 1 thì X 2 = 1 <=> x 0 = ±1 ,suy ra (C m ) tiếp xúc vói (d) tại hai điểm (±1; 3). Khi m = 13 thì X 2 = 7 <=> x 0 = ±\/7 ,suy ra (C m ) tiếp xúc vói (d) tại hai điểm ( ±-Jỹ ; 3). Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1 vm = 13. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 18: Tim tất cả các điểm trên Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = x+\l4x 2 +2x+l . A. M(0;m) với -2<m<l B. M(0;m) với -ị<m<5 c. M(0;m) vói - ^ < m < 1 D. M(0;m) vói -1 < m < 5 ĩs-Bài làm:: Xét M(0; m)&Oy. Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y = kx + m. Í Xg+yỊếxl+lXg+l = kx 0 + m 1 4x 0 +1 có nghiệm Xg . yjấxl+2Xg+ĩ Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: * 0 + Mx 2 g + 2x 0 +1 = Xg +>— 4+ 2t= ■.+m o 4xl + 2x 0 +1 = 4xl + Xg + mẶxf+2Xg + ĩ <=> m - - 1 --* 0 + 1 . • - f(x a ) ^Xg + 2x ữ + 1 ^4x 2 g+2x 0 +l n Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị <=> (*) có ít nhất một nghiệm. _3r Xét hàm SỐ f( Xg ), ta có: f\x ữ ) = 0 => f'(x g) = 0 » Xg = 0 ụ4x 2 g+2x 0 +l) 3 Mặt khác: lim /(% 0 ) = ỉ; lim f(x 0 ) = -i Bảng biến thiên: —00 0 +O0 f\x o) + 0 - f(x o) 1 1 ~2 2 (*) có nghiệm <=> -^ < m < 1. Vậy M(0;m) với < m < 1 là những điểm cần tìm. Bài 19: Cho hàm số: y = -Ax 3 + 3x + 2, có đồ thị là (c). Câu 1. Tim ữ để phương trình 4x 3 —3x + 2a 2 —3a = 0 có hai nghiệm âm và một nghiệm dương; A. 0 < a < \ hoặc l<a<5. B. 0 < < 2 hoặc 2 < a < 9. 2 1 3 c. 0<a<Ỷ hoặc 1 < < ^. D. 0<a<4 hoặc 6 < a < 89. ís-BÀi làm: 1. Phương trình: 4x 3 -3x+2ữ 2 -3ữ = 0 tương đương với phương trình : -4x 3 +3x+2 = 2a 2 -3a+2 . Phương trình đã cho có hai nghiệm âm và một nghiệm dương khi và chỉ khi đường thẳng y = 2a 2 -3a+2 cắt đồ thị y = -4x 3 +3x + 2 tại ba điểm trong đó có hai điểm có hoành độ âm và một điểm có hoành độ dương. Từ đồ thị suy ra: l<2fl 2 -3« + 2 <2 tức ta có hệ: <r „ a hay 0 <a < \ hoặc 1 <a < r • [2a 2 -3fl<0 y 2 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYÊN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Tim những điểm trên đường thẳng y = 3 để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (c). A. m < -1 hoặc \<m + 2 B. m <-1 hoặc ị < m + \ 3 3 2 X 1 1 c. Z7Z < —2 hoặc D. m<—3 hoặc 1 < zzz ^ 3 2 2 ís-Bài Zàzzz: 2. Giả sử M(zzz;3) là điểm cần tìm và d là đường thẳng qua M có hệ số góc là k, phương trình có dạng: y = k(x-zzz)+3. Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (c) tại điểm N(x 0 ;y 0 ) khi hệ : Ị-ấXg + 3x 0 +2 = k(x 0 -m)+3 ị, , V r , , có nghiệm x n , từ hệ suy ra ị(-Ax 3 0 +3x 0 + 2)’ = [k(x 0 -m) + 3]' 5 0 1 (2* 0 -l)[4*ỉ-2(3 m-ì)x ữ -3m+ĩị = 0 (l) có nghiệm x 0 . Qua M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với (c) khi và chỉ khi phương trình (l) có 3 nghiệm x 0 , tức phương 1 11 trình 4xổ — 2(3zrz-l)x 0 — 3zzz + l = 0 ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác ^ hay m<— 1 hoặc 2 <m *2 Bài 20: Câu 1. Tim tham số m để đồ thị hàm số (C m ): y = ——với m# 0 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại 2 diêm A, B vuông góc với nhau. 1 _ 1 „1 „4 A.m = ~ B .m = ~ c.« = ■=■ D. zrz = -^ 5 3 5 7 ìs-Bài Zàm: 1. Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc là k = 2x+l x + 1 ' Tacó: y’ = - ~ l ~^ x ra ^ , đặt g(x) = x 2 +2x-zzz-l. (x + 1) Theo bài toán, g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác —1. Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k A .k B = , tìm được m = — 1 5 ' Câu 2. Cho hàm số y = ~~~ có đồ thị là (c). Tìm trên đường thẳng y = X những điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến (c), đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A .m = -5±s B. m = -5±>/53 c. m = -6±>/23 D. m = -5+423 ĩ$.Bài làm: 2. Đường thẳng (đ) đi qua điểm M(zzz;zzz) có hệ sốgóc là k , phương trình có dạng: y = k(x-m) + m . (đ) tiếp xúc (c) tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ : ^ X ° 2 = k(x ũ -rnj+m 2x„ + 8x n , [(W = có nghiệm x 0 , từ đây ta tìm được m =-5+423 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TốNG HỢP 250 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM Tự LUYỆN TẬP 3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM LỚP 11 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ GẶP THAY VƯƠNG, HOẶC LIÊN HỆ QUA: LINK FACEBOOK Nguyễn Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong TÀI LIỆU CHIA SẺ TẠI: http://tailieutoanhoc.vn/ Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/?ref=bookmarks Gmail: baovuong7279@gmail.com [ALBA - CHƯ SÊ - GIA LAI] NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Mục lục Tổng hợp lần 1. CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM.2 BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM.2 BÀI 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.3 BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC.6 BÀI 4: VI PHÂN.8 BÀI 5: ĐẠO HÀM CẤP CAO.9 Tổng hợp rân 2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM.11 Tổng hợp rân 3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM.24 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Tổng hỢp lân 1. CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục tại x 0 . Đạo hàm của f(x) tại x 0 là: »A „ /u 0 +ft)-/u 0 ) ^ f( x n + fr)-/(*o) / i .1 .■ f(x n +h)-f(x a -h) , 1 c. lim -—-—T—- —— (nêu tôn tại giới hạn) D. lim -— -— - (nêu tôn tại giói hạn) />-»0 h h >0 h Câu 2. Cho hàm số f(x) là hàm số trên R định bởi f(x) = X 2 và Xo eR. Chọn câu đúng: A. ^ (xq) = Xo B. f'(x 0 ) = Xo 2 C. ^(xo) = 2x 0 D. ^(xo) không tồn tại. Câu 3. Cho hàm số f(x) xác định trên Í0;+oo) bởi f(x) = — . Đạo hàm của f(x) tại x 0 = 'Jĩ là: V / r C '^ ».- 4 = Câu 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = (x+l) 2 (x-2) tại điểm có hoành độ X = 2 là: A. y = —8x + 4 B. y = —9x +18 C.y = ^lx + 4 D.y = -8x+18 Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x(3-x) 2 tại điểm có hoành độ X = 2 là A. y = -12x + 24 B.y = -12x + 26 C.y=12x-24 D.y=12x-26 Câu 6. Điểm M trên đồ thị hàm số y = X 3 - 3x 2 - 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là: A. M(l; 3), k = 3 B. M(l; 3), k = -3 C. M(l;-3), k = 3 D. M(-l; -3), k = -3 Câu 7. Cho hàm số y = của a, b là: A. a = 1; b=l - có đồ thị cắt trục tung tại A(0; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị Câu 8. Cho hàm số y = —— + m tr ị m t r ụ C Ox tại hai điểm và tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là: A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 ^ , ỵ 2 + 1 r r r , Câu 9. Cho hàm số y = -— và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 của đồ thị hàm số là: x-2 A. y = 2x-l,y = 2x-3 B. y = 2x-5, y = 2x-3 C. y = 2x-l, y = 2x-5 D. y = 2x 1, y = 2x+5 Câu 10. Cho hàm số y = +3^+3 ^ t ị|p tU yg n c ỳ a (Jồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng x + 2 " 3y - X + 6 là: A. y = -3x - 3; y= —3x— 4 B. y =-3x-3; y=-3x + 4 C. y = -3x + 3; y=-3x-4 D. y = -3x-3; y=3x- 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 11. Tim m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m - l)x 4 - m + 4 tại điểm có hoành độ X = -1 vuông góc với 4 đường thẳng 2x - y - 3 = 0 A 2 3 c. -1 6 D.| 6 Câu 12. Cho hàm số y = ——^, tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 4) là: A. y = —X—1, y = -x + - J J A n B. y= —X—1, y = 1 7 „ 1 c. y = -x+l, y=-—x + - D. y=—x+l,y = —— 4 2 4 A , , , ,, , ^ Câu 13. Tiếp tuyến kẻ từ điếm (2; 3) tới đồ thị hàm số y = ^ là: A. y = 3x; y = x+1 B. y = -3x; y = x+1 c.y = 3;y = x-l D. y = 3-x; y = x+1 Câu 14. Cho hàm số y = X 3 - 6x 2 + 7x + 5 (C), trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm nào bằng 2? A. (-1; -9); (3; -1) B. (1; 7); (3;-1) C. (1; 7); (-3;-97) D. (1; 7); (-1;-9) Câu 15. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ X = y : 1 Jĩ A. k = 1 B. k = =- C. k = 2 2 Câu 16. Cho đường cong (C): y = X 2 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-l; 1) là: A. y = -2x +1 B. y = 2x + 1 C. y = -2x - 1 Câu 17. Cho hàm số y = x + x . Phương trinh tiếp tuyến tại A(1; -2) là: A.y = ^l(x-l)-2 B. y = -5(x-l) + 2 C. y = -5(x-l) - 2 D. y = 2x - 1 D. y = -3(x-l) - 2 Câu 18. Cho hàm số y = ^ X 3 - 3x 2 + 7x + 2. Phương trình tiếp tuyến tại A(0; 2) là: A. y = 7x +2 B. y = 7x-2 C.y = -7x + 2 D.y = -7x-2 Câu 19. Gọi (P) là đồ thị hàm số y = 2x 2 - X + 3. Phương trình tiếp tuyến vói (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là: A. y = -X + 3 B. y = — X — 3 C.y = 4x-1 D.y=llx + 3 , , 3x+l ■ Câu 20. Đồ thị (C) của hàm số y = ^ cắt trục tung tại điếm A. Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình là: A. y = -4x - 1 B. y = 4x - 1 C. y = 5x -1 D. y = - 5x -1 Câu 21. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = X 4 + X. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: X + 5y = 0 có phương trình là: A.y = 5x-3 B. y = 3x-5 C.y = 2x-3 D.y = x + 4 BÀI 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Câu 22. Cho hàm số y = + x đạo hàm của hàm số tại X = 1 là: A. 5^(1) = —4 0 -/( 1)—3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 23. Cho hàm số y = . x . /(0) bằng: A.y(Q)=ị B.y(0)=i C./(0)=1 Câu 24. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = . Giá trị ^(0) bằng: A. 0 B. 2 c. 1 Câu 25. Đạo hàm cấp lcủa hàm số y = (1-x 3 ) 5 là: A. y 7 = 5(l-x 3 ) 4 B. y = -15(1—X 3 ) 4 c. y 7 =-3(l-x 3 ) 4 Câu 26. Đạo hàm của hàm số f(x) = (x 2 + l) 4 tại điểm X = -1 là: A. -32 B. 30 c. -64 , 2x + l Câu 27. Hàm số 1/ = có đạo hàm là: 9 x-1 A.y=2 Câu 28. Hàm số Ậ X\ỈX có đạo hàm là: 3 (*-l ) 2 c. y' -- {x-iý A. y' = {l-xf 1 x 2 -2x y ạ-xf C.y / = -2(x-2) Câu 29. Cho hàm số f(x) = ( ——. Đạo hàm của hàm số f(x) là: A (1 2(1-yỊx) '• /'(*) = -2(1 - a/x ) \fx(i+^Ịxý C. /'(*) = 2{1-'Ịx) VI(1+VỮ 2 /'(*) = (1+VỮ D. y / (0)=2 D. Không tồn tại D.y / = -5(l-x 3 ) 4 D. y' = (x-1) 2 D. y' = : 2 +2x Câu 30. Cho hàm số y = X 3 - 3x 2 - 9x - 5. Phương trình y 7 = 0 có nghiệm là: A. {-1; 2} B. {-1; 3} c. {0; 4} Câu 31. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x 2 + 1. Giá trị f v (-1) bằng: A. 2 B. 6 c. -6 Câu 32. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = ĩịx .Giá trị ế(-8) bằng: A. Ậ- B.--Ị- c.ị 12 12 6 Câu 33. Cho hàm số f(x) xác định trên R \{ 1} bỏi f(x) = ■ Giá trị ^(-1) bằng: A. ị B. - ị c. -2 2 2 D. Không tồn tại GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 34. Cho hàm số f(x) xác định bởi f(x) - ị ỵ ( x * ^ . Giá trị ^(0) bằng: [o (x=0) A.o B. 1 c. - D. Không tồn tại. Câu 35. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = ax + b, vói a, b là hai số thực đã cho. chọn câu đúng: A.f / (x) = a B.f'(x)=-a c.f / (x)=b D.f'(x)=-b Câu 36. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = -2x 2 + 3x. Hàm số có đạo hàm ^(x) bằng: c. 4x + 3 Câu 37. Cho hàm số f(x) xác định trên D = [ũ; +co) cho bởi f(x) = X s[x có đạo hàm là: A. ^(x) = i \fx B. f^(x) = ^x/x Câu 38. Cho hàm số f(x)= kịfx + \íx (k <E R) . Để 1^(1)= ^ thì ta chọn: 2 X D.f'(x)= 4x + ệ- Câu 39. Hàm số f(x) = ị^Ịx --4j xác định trên D = (0; +QO) . Có đạo hàm của f là: A. f^(x) = X + - -2 B. t^x) = X — c. f^(x) = 4x -4» X X 2 V X Câu 40. Hàm số f(x) = Ị \jx — p I xác định trên D = ÍO;+ooì . Đạo hàm của hàm f(x) là: V X Ịx) A.f' W ,|^-h__h + _í_j D. ưx) = 1+4 B ■^ )= ỉr + rx + ử + ử) D. = x4x - 3x/x + Ậ - J=. n/x x4x Câu 41. Cho hàm số f(x) = -X 4 + 4x 3 - 3x 2 + 2x + 1 xác định trên R. Giá trị ^(-l) bằng: A. 4 B.14 C. 15 , 2x-l Câu 42. Cho hàm số f(x) = xác định R\{ 1}. Đạo hàm của hàm số f(x) là: x + 1 A. ^(x) = (x + 1) 2 B. f y (x) = - (x + 1) 2 C.^-7^0 (x + 1) D. Ux) = (x + 1) 2 Câu 43. Cho hàm số f(x) = xác định R*. Đạo hàm của hàm số f(x) là: ĩịx A. ^(x) = xĩỊx B. ^(x) = ịxựx Câu 44. Với /(x) = —-■ ư x ) bằng: x-1 C. f y (x) = - 3xx/x D. f'(x)= — 1 3x^7 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM A. 1 B. -3 Câu 45. Cho hàm số y = /(x) = x . Tính /(0) bằng: A.y(0)= ị B.y(0)=| c.y( 0 )=i A. /(1)= -4 X 2 +x T’ B. y / (l)=-3 Câu 46. Cho hàm số y = -— , đạo hàm của hàm số tại X = 1 là: x-2 C.y / (l)=-2 D. y / (0)=2 BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 47. Hàm số y = sinx có đạo hàm là: A. y = cosx lỉ. y = cosx Câu 48. Hàm số y = cosx có đạo hàm là: A. y = sinx B. y = - sinx Câu 49. Hàm số y = tanx có đạo hàm là: A. y = cotx B. y = — \— cos X Câu 50. Hàm số y = cotx có đạo hàm là: A. y = - tanx li. y =-—— cos 2 X Câu 51. Hàm số y = ^ (1+ tanx) 2 có đạo hàm là: A. y = 1+ tanx li. Y = (1+tanx) 2 Câu 52. Hàm số y = sin 2 x.cosx có đạo hàm là: A. y = sinx(3cos 2 x - 1) B. y = sinx(3cos 2 x + 1) 1) Câu 53. Hàm số y = smx có đạo hàm là: X . , xcosx + sinx „ , xcosx-sinx A. y' =- ^ - B. y' = -=-- X X / xsinx-cosx Ỷ =—— X Câu 54. Hàm số y = x 2 .cosx có đạo hàm là: A. y = 2xcosx - x 2 sinx B. y' = 2xcosx + x 2 sinx x 2 cosx Câu 55. Hàm số y = tanx - cotx có đạo hàm là: A.y=—ị— B.y= — \ cos 2x sin 2x c. y / = - sinx D. y' =—!— cosx c. y / = - cosx D. y'= — sinx C.y- -tV sin X D. y = 1 - tan 2 x sin X D. y / = 1 + cot 2 x c. y= (l+tanx)(l+tanx) 2 D. y / = l+tan 2 x c. y = sinx(cos 2 x +1) D. y = sinx(cos 2 x c. y>=ĩ c. y = 2xsinx - x 2 cosx D. y 1 = 2xsinx + c.y= D -)y /= v^v: cos 2x sin 2x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 56. Hàm số y = 2^/smx — 2%/cos X có đạo hàm là: Câu 57. Hàm số y = f(x) = 7—- có ế(3) bằng: cosịĩĩx) A. 2.71 B. — 3 c.í£ 3 D.o Câu 58. Hàm số y = tan 2 X 2 có đạo hàm là: . X sin — 2 sin^ . X sin^r c V 1 - 2 X D. y ; = tan 3 2 z x cos — 2 3 X cos — 2 y ■ 3 X 2 cos — 2 Câu 59. Hàm số y = sỊcõtĩx có đạo hàm là: . / 1 + cot 2 2x A. y = /—T- s/cot2x / -(l + tan 2 2x) y - r—— ycot2x B. ycot2x _ / 1 + tan 2 2x c. y = /—— Vcot2x D. Câu 60. Cho hàm số y = /í cos3x.sin2x. y ; l 3 1 bằng: A-y{f}=-i B-y(f)=l c.y(|)=4 D 4f)=f Câu 61. Cho hàm số y = B-y(f) = -l c-y{f)=2 D.y{f)=-2 Câu 62. Xét hàm số f(x) = %/cos 2x . Chọn câu sai: A - f [ỉh 0 , -2sin2x B - / (*)- ,7—7— 3\/cos 2 2x c - /'(!)-* D. 3.yV + 2sin2x Câu 63. Cho hàm số y = f(x) = sin «v/x + cos %/x . Giá trị / ỵ (Ể) blng: A.o B. s/2 r c. 2 71 B.ĨỂ. 71 Câu 64. Cho hàm số y = = f(x) = Vtan X + cot X . Giá trị /'' 7l\ ị J bằng: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM A. B. ệ- 2 C.o D. — 2 Câu 65. Cho hàm số y = f(x) = ỵL — Giá trị f' \Jsinx bằng: A. 1 B. - 2 C.o D. Không tồn tại. Câu 66. Xét hàm số y = f(x) = 2sinỊ^^ + xj Giá trị /' j bằng: A. -1 B. 0 C.2 D.-2 Câu 67. Cho hàm số y = f(x) = tan^je-^j Giá trị f (o) bằng: A. 4 B. -Ẹ C.-n/3 D.3 Câu 68. Cho hàm số y = f(x) = 2 sin s[x . Đạo hàm của hàm số y là: A. y / =2cos\/x B. y l =^=cos\fx C. y / =2^cos-ỉ= Vx y - r r V* cos-yx Câu 69. Cho hàm số y = cos3x.sin2x. Tính 1/ j bằng: c -<fH "Kt )- 1 Câu 70. Cho hàm số y = f(x) = - c ^ sx — Tính y' j bằng: BÀI 4: VI PHÂN Câu 71. Cho hàm số y = f(x) = (x - l) 2 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)? A. dy = 2(x-l)dx B. dy = (x-l) 2 dx c. dy = 2(x-l) D. dy=(x-l)dx Câu 72. Xét hàm số y = f(x) = %/l + cos 2 2x . Chọn câu đúng: A J r,._ -sinềx _ _ -sin4x A. df(x) = — , dx B. df(x) = —Ị= - dx 2>/l + cos 2 2x yl + cos 2 2x „ cos2x -sin 2x C. df(x) = -g. dx D. df(x) =— . .. Vl + cos 2 2x 2yl +COS 2 2x Câu 73. Cho hàm số y = X 3 - 5x + 6. Vi phân của hàm số là: A. dy = (3x 2 - 5)dx B. dy = -(3x 2 - 5)dx C. dy = (3x 2 + 5)dx D. dy = (-3x 2 + 5)dx Câu 74. Cho hàm số y = —ỉ— . Vi phân của hàm số là: 3x 3 A. dy = \dx B. dy = \dx C. dy = —\dx D. dy = x i dx 4 X X GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 75. A. dy Cho hàm số y = ——y . Vi phân của hàm số là: x-1 dx B. dy = - = -l) a c. dy = - D. dy = \x-lf Câu 76. A. dy = - : 2 - 2 x - 2 , _ , _ 2x + l , — —-—dx B. dy = ———-dx (*-l Ỷ (*-l f „ J 2x + l c. dy = -———dx (*-l ) 2 dy = - Câu 77. A. dy c.dy Câu 78. A. dy c.dy Câu 79. A. dy Câu 80. 2 -2x-2 dx (x-lỹ Cho hàm số y = X 3 - 9x 2 + 12x-5. Vi phân của hàm số là: = (3x 2 - 18x+12)dx B. dy = (-3x 2 - 18x+12)dx = -(3x 2 - 18x+12)dx D. dy = (-3x 2 + 18x-l 2)dx Cho hàm số y = sinx - 3cosx. Vi phân của hàm số là: = (-COSX+ 3sinx)dx B. dy = (-cosx-3sinx)dx = (cosx+ 3sinx)dx D. dy = -(cosx+ 3sinx)dx Cho hàm số y = sin 2 x. Vi phân của hàm số là: = -sin2xdx B. dy = sin2xdx C. dy = sinxdx Vi phân của hàm số y = là; A. dy = c. ảy = Câu 81. A. dy = C. dy - 2-Jx 4 X\[x cos 2 \fx 2yfx -sin(2Vx) dx B. dy = '\n(2*Jx) 4 XyỊx cos 2 \fx 2 ^-sin( 2 4 x) , —=——Mậc D. = ấx\Ịx cos 2 vx 4xyx cos 2 yỊx Hàm số y = xsinx + cosx có vi phân là: (xcosx - sinx)dx (cosx - sinx)dx B. dy = (xcosx)dx D. dy = (xsinx)dx D. dy = 2cosxdx Câu 82. A. dy = B. dy= 2x _ dx (x 2 +l) c. dy= ■=- \ dx (x 2 +l) BÀI 5: ĐẠO HÀM CẤP CAO D. dy = ————dx (x +1) Câu 83. A./ = Câu 84. A. /' -- Hàm số y = x ^ có đạo hàm cấp hai là: Hàm số y = (x 2 + l) 3 có đạo hàm cấp ba là: : 12(x 2 + 1) B. /' = 24(x 2 + 1) C. y w =- 4_ x-2f c. y'" = 24(5x 2 + 3) D. y ' _4_ x-2f D.y /// = -12(x 2 + 1) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 85. Hàm số y = \fĩx + 5 có đạo hàm cấp hai bằng: 1 A. y = — (2x+5)V2x + 5 c. y"=- V2x + 5 1 „1== D.y"= — (2x+5)n/2x + 5 a/2x+5 A. y (S) = - (x + 1) 5 120 = (x + l ) 5 c. y (5) = (x + 1) 5 D. y = -■ (x + ĩf Câu 87. Hàm số y = x\Ịx 2 +1 có đạo hàm cấp hai bằng: A. y"=- c. y 1 (1« ! )n/ĨT 2x 3 + 3x (l + x 2 )Vl + x 2 Câu 88. Cho hàm số f(x) = (2x+5) 5 . Có đạo hàm cấp 3 bằng: A. f"'(x) = 80(2x+5) 3 c. fự) = -480(2x+5) 2 Câu 89. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx bằng: . // 2sinx _ 1 A. y = B - y = —3— cos X cos X Câu 90. Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai: A. y' = siníx+-^J B. y n =sin(x+^-) y (4) = sin(2;r-x) D. y»=- B. Ax) = 480(2x+5) 2 D. ƯCx) = -80(2x+5) 3 C. y" =- D. y A. y"=2 + - (1-x) 2 (1-x) 3 C. y" = (1-x) 3 D. y (1-x) 4 Câu 92. Xét hàm số y = f(x) = cosỊ^2x-^j . Phương trinh f* 4) (x) = -8 có nghiệm xe^0;^j là: A.ts 7 B. X = 0 và X = — C. X = 0 vàX = ^ D. X = 0 vàX = ^ Câu 93. Cho hàm số y = sin2x. Hãy chọn câu đúng: A.4y-/ = 0 B.4y + / = 0 Câu 94. Cho hàm số y = f(x) = - — xét 2 mệnh đề: D.y 2 = (y / ) 2 = 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM (I):y // = f v/ (x) = (II): y /// = f /// (x)= Mệnh đề nào đúng: A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) đúng c. Cả hai đều đúng Câu 95. Nếu f" (x) = , thì f(x) bằng: cos X A. —— B.-— C. cotx cosx cosx Câu 96. Cho hàm số f(x) = x + X ' + 2 xác định trên D = R\{ 1}. Xét 2 mệnh đề: x-l (I):y / = f'(x)= -1- < 0, Vx * 1, (II): / = f(x) = > 0, Vx * 1 (x-lý ( x-1f Chọn mệnh đề đúng: A. Chỉ có (I) đúng B. Chỉ có (II) đúng C. Cả hai đều đúng Câu 97. Cho hàm số f(x) = (x+1) 3 . Giá trị Ạo) bằng: A. 3 B. 6 C. 12 Câu 98. Với f(x) = sin 3 x + x 2 thì f" Ị^= yJ bằng: D. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều sai. Câu 99. Giả sử h(x) = 5(x+l) 3 + 4(x + 1). Tập nghiệm của phuơng trình h ỵ/ (x) = 0 là: A. [-1; 2] B. (—oo; 0] C. {-1} Câu 100. Cho hàm số y = - 3 . Tính y® (l) có kết quả bằng: A. y (3) (i) = ! B. y (3) (i) = i c. y 1 , (1) = -Q Câu 101. Cho hàm số y = f(x) = (ax+b) 5 (a, b là tham số). Tính t <l0) (l ) A. f (10) (l)=0 B. f< 1Q) (l) = lOa + b C. t^l) = 5a . (£Ì Câu 102. Cho hàm số y = sin2x.cosx. Tính y ; Ị 6 1 có kết quả là: D. 0 D. y (3) (l) = ~ D. f (10) (l)= lOa Tống hỢp rân 2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 1. SỐ gia của hàm số y = X 2 + 2 tại điểm Xg = 2 ứng với số gia Ax = 1 bằng bao nhiêu? A. 13 B. 9 c. 5 D. 2 Câu 2. SỐ gia của hàm số y = X 2 -1 tại điểm Xg-2 ứng với số gia Ax = 0,1 bằng bao nhiêu? A. - 0, 01 B. 0,21 c. 0,99 D. 11,1 Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = 2x 3 - (4x 2 - 3) bằng biểu thức nào sau đây? A. 6x 2 -8x—3. B. 6x 2 -8x+3. c. 2(3x 2 -4x). D. 2(3x 2 -8x) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Cho hàm số /(x) = X 3 -X 2 -3x. Giá trị /'(-1) bằng bao nhiêu? A.-2. B.-1. c. 0 . D. 2 . A. x<3. B. x<6. c. X >3. D. X < -3 . Câu 6. Cho hàm số /(x) = X 3 - 3x 2 + 3. Đạo hàm của hàm số f(x) dương trong trường hợp nào? A. x<0vx>l. B. x<0vr>2 . c. 0<x<2. D. X<1. 4 Câu 7. Cho hàm số f(x) = -5 X - 6. Số nghiệm của phương trình /'(x) = 4 là bao nhiêu? A. 0. C. 2. D. Nhiều hơn 2 nghiệm. Cho hàm số f(x) = X 4 — 2x. Phương trình /'(x) = 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 . B. 1 . c. 2. D. 3 . Câu 10. Cho hai hàm sô' /(x) = X 2 + 5; g(x) = 9x - ^ X 2 . Giá trị của X là bao nhiêu để /'(x) = g'(x) ? A. -4. 1 . 4 . D.ệ. 4 B. 3x 2 +2x+5. D. (3x+l) 2 Hàm SỐ nào sau đây có đạo hàm bằng 2(3x +1) ? A. 2x 3 +2x. c. 3x 2 +x+5 . Hàm SỐ nào sau đây có đạo hàm bằng 3(2x +1) ? A.|(2x+1) 2 . B. 3x 2 + x. c. 3x(x + l). D. 2x 3 + 3x Cho hàm số /(x) = 2x 3 +3x 2 -3ÓX-1 . Để /'(x) = 0 thì X có giá trị thuộc tập hợp nào? A.{-3;2}. B. {3;-2}. C.{-6;4}. D. {4;-6}. Cho hàm số /(x) - X 3 +2x 2 - 7x + 5. Để f\x) = 0 thì X có giá trị thuộc tập họp nào? 444. b.í-41. ị 3 ) I 3j Cho hàm số /(x) = X 3 +2x 2 -7x + 3. Để /'(x) <0 thi X có giá trị thuộc tập hợp nào? GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Cho hàm số /(x) =s ^x 3 -2-Jĩx 2 + 8x - 1. Để /'(x) = 0 thi X có giá trị thuộc tập hợp nào? A.Ị2V2Ị. B. {-2^}. C M- D - 0 - Đạo hàm của hàm số y = 2x - — + 3 băng biểu thức nào sau đây? A. 10x 4 +-ị. B. IOx 4 -^. X X c. 10x 4 + 4r + 3. D. 10x + 4t. Câu 18. Đạo hàm của hàm số /(x) = 2x 5 - —+5 tại X = -1 bằng số nào sau đây? A. 21 . B. 14 . c. 10. c Câu 19. Cho /(x) = 5x 2 ; g(x) = 2(8x - X 2 ). Bất phuơng trình /'(x) > g'(x) có nghiệm là? A. X > ^ 6 • *>_ • 7 Phuong trình tiếp tuyến vói đồ thị y = X 3 -2x 2 +X-1 tại điểm có hoành độ x 0 = -1 là: A. y = 8x + 3. B. y = 8x + 7. c. y = 8x + 8. D. y = 8x + ll. Tiếp tuyến vói đồ thị y = X 3 - X 2 + 1 tại điểm có hoành độ x 0 = 1 có phuơng trình là: A. y = x. B. y=2x. c. y = 2x-l. D. y = x-2. Hệ SỐ góc của tiếp tuyến với đồ thị y = 2x 3 -3x 2 +2 tại điểm có hoành độ x 0 = 2 là: A. 18. B. 14. c. 12. D. 6. Tiếp tuyến với đồ thị y = x 3 —x 2 tại điểm có hoành độ x 0 = —2 có phucmg trình là: A. y = 4x-8. B. y = 20x-56. c. y = 20x+14. D. y = 20x+24. Hệ SỐ góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm sô' y = 2x 3 -3x 2 +5 tại điểm có hoành độ -2 là: A. 38. B. 36. c. 12. D. -12. Hệ SỐ góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = X 4 + X 3 -2x 2 + 1 tại điểm có hoành độ -1 là: A.ll. B.4. c. 3. D.-3. Tiếp tuyến vói đồ thị hàm số y = X 3 - X 2 +1 tại điểm có hoành độ x 0 = -1 có hệ số góc bằng: A. 7. B.5. c. 1. D.-l. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Cho hàm số /(x) = X 4 +2x 2 - 3. Với giá trị nào của X thì f’(x) dương? A. x>0. B. x<0. c. X<-1. D. -1 < X < 0 . Cho hàm số /(x) =x 3 -X 2 -X +5 . Với giá trị nào của X thì f’(x) âm? A. -1<X< <X<1. C.~<X<1. /'(*)< 2? A.m>3. c. m = 3. Cho hàm số f(x) = 2 mx - fV)>n A. m<- 1. c. -1 < m < 1 . . Với giá trị r a m thì X = 1 là nghiệm của bất phưcmg trình B. m > -1. D. m> 1. tập hợp nào dưới đây? C.UI1. '■h0 hợp nào dưới đây? A. (- 00 ; o). B. (0;«). Cho hàm số f(x) = ^x 3 -3sỊĩx 2 +18x -2. Để f'(x) >0 thì X có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây? A. (3^;+< . 1^/2;+oo). A.(-oo;-3)u(2;+oo). c. (-2; 3). B. (-3;2). D. (-oo;-4]u[3;+oo). Cho hàm số /(x) = ỉ X 3 + ^ X 2 - 12x -1. Để /'(x) > 0 thì X có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây? oo;-3]u[4; + .[-3;4]. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM c. [-4;3]. D. (-oo;-2)u(3;+oo). Câu 36. Cho hàm số /(x) = 'Ịlx - 3x 2 . Đê’ /'(x) <0 ửù X có giá trị thuộc tập hợp nào dưới đây? A.Í-V1 U : ãJ b -HÌ' d -(H' Câu 37. Đạo hàm của hàm số f(x) = vx 2 -5x bằng biểu thức nào sau đây? J = B ' ự 2 ; -5 2x-5 _ 2x-5 A. - c. D. — 2\/x 2 -5x \/x 2 -5x Câu 38. Đạo hàm của hàm số /(x) = \jl-3x 2 bằng biểu thức nào sau đây? A -6x „ -6x 2 c. V2-3x 2 3x D. 2y2-3x 2 -3x V2-3x 2 V2-3x 2 Câu 39. Đạo hàm của hàm số /(x) = (x + 2)(x - 3) bằng biểu thức nào sau đây? A. 2x + 5 . B. 2x-7 . c. 2x-l. D. 2x-5. 2j-3 Câu 40. Đạo hàm của hàm số /(x) = y-— Ỷ bằng biểu thức nào sau đây? A.--“ B.-— (2X-1) (2X-Ì) „4 „4 c. - D. (2^-1) (2x-i) Câu 41. Đạo hàm của hàm số /(x) = ~~ bằng biểu thức nào sau đây? (2x-lf 9 (2X-1) 1 Câu 42. Đạo hàm của hàm số /(x) = * 5 bằng biểu thức n 18 (2-5*)’ ' (2-5*)’ ' (2*-l)’ 9 , , (2*-l)’ I sau đây? 13 (2-5*)’ I. _g_ . (2-5*)’ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Đạo hàm của hàm số f(x) = ^—~Ỷ bằng biểu thức n J đây? (2x + lf 8 ' (2*v ■ (2x + ÌỴ 1 (2x + lf ■ Câu 44. Hàm số nào sau đây có đạo hàm luôn duơng với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó? A. y = c.y = Câu 45. Hàm S( A. y c.y = 3x+2 5x+l ■ -x-2 2x-ĩ ' —x — 2 x+ĩ 3x-2 x-1 ' 5x+l -x+2 X đây có đạo hàm luôn âm V >i giá trị thuộc tập xác định của hàm số đó? D . *-2 D.y = Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = ^ tại điểm có hoành độ x 0 = 1 có hệ số góc bằng bao nhiêu? A. 13 B. - 1 . c. -5. D. -13. r,r ^ /ự r X + 5 ^ r 1 A/ r t ' Tiếp tuyến với đồ thị hàm số /(x) = ——^ tại điểm có hoành độ x 0 = 3 có hệ số góc băng bao nhiêu? A. 3 B. -3. c. -7. D.-10. Đạo hàm của hàm số f(x) = ~~Ệ + tại điểm X = 1 bằng bao nhiêu? Đạo hàm của hàm số f(x) = ——^ + 4ĩx tại điểm X = 1 bằng bao nhiêu? 5 __ ss X - 1 Ề ,./s7 X A Câu 50. Đạo hàm của hàm số f{x) = ——^ + v4x tại điểm X = 1 băng bao nhiêu? A. -1 1 c. 2 2 4 Đạo hàm của hàm số /(x) = X 4 + x/x +2 tại điểm X = 1 bằng bao nhiêu? .17 9 9 A. ư B. ^ . c. 4 . Đạo hàm của hàm số /(x) = X 3 + -s/x - 5 tại điểm X = 1 bằng bao nhiêu? .7 _ 5 _ 7 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 53. Đạo hàm của hàm A. - * - ■ r 2x ỉố f(x )bằng biểu thức nào sau đây? X +1 2x Câu 54. Đạo hàm của hàm A 2x 2 ■ 2 -'ỉ ỉố f(x) = } bằng biểu thức nào sau đây? x-1 B. - ; 2 * . ự-íf „ 2x b-1) Câu 55. Đạo hàm của hàm s b-1) c. —Vt- (**->) Câu 56. Đạo hàm của hàm s A. 2x u— 2 ) 2 5 f(x) = x — bằng biểu thức nào sau đây? V -1 h-1) f(x) = bằng biểu thức nào sau đây? ( 2 -**r Câu 57. Đạo hàm của hàm í A 2x ( 2 -**r ) y = ^bằng biểu thức n u đây? (2-^f (»-**) Câu 58. Đạo hàm của hàm A ~(2x + l) c ~(2x -1) (x 2 +x-l) 2 Câu 59. Đạo hàm của hàm số y = - ỉố y = - - bằng biểu thức nào sau đây? R -2(* + ĩ) [x 2 + x-l) D 2(2x +1) (x 2 +x-l) 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM 2 ( 2 »- 1 ) • (»c»-lf c 2(2»+ 1) Đạo hàm của hàm số y = : A. — : 2 +»-l 2(2»+ 1) 2 ( 2 »+ 2 ) 2(2»+ 1) bằng biểu thức nào sau đây? R 4(2»+ 1) c . (» 2 +»-l) 4(2»-1) (» 2 +»-l) 4(2»+ 4) Đạo hàm của hàm số y = 2 2 -— bằng biểu thức nào sau đây? (2» 2 +» + l) 2 c (4» +1) (2» 2 +» + l) 2 Đạo hàm của hàm s A -3(4»-1) ( 2 » 2 +» + 2) 2 -3 (2» 2 +» + l) 2 -1 (2» 2 + » + l) ^ bằng biểu thức nào sau đây? B -3(4»+ 1) Í2» 2 + » + 2Ì 2 n -(4* + l) ( 2» 2 + » + 2 ) ( 2 » 2 +» + 2 ) Đạo hàm của hàm số y = (» 3 -» 2 ) 2 bằng biểu thức nào sau đây? A. 6» 5 + 4» 3 . B. 6» 5 -10» 4 + 4». c . 6» 5 -10» 4 -4» 3 . D. 6» 5 -10» 4 +4» 3 . Đạo hàm của hàm số y = (» 5 -2» 2 ) 2 bằng biểu thức nào sau đây? A. 10» 9 +16» 3 . B. 10» 9 -14» 6 +16» 3 . c . 10» 9 - 28» 6 +16» 3 . D. 10» 9 - 28» 6 + 8» 3 . Đạo hàm của hàm số y = (» 3 -» 2 ) 3 bằng biểu thức nào sau đây? A. 3(» 3 -» 2 ) 2 . B. 3(» 3 -» 2 ) 2 ( 3» 2 - 2 »). c . 3(» 3 -» 2 ) 2 ( 3» 2 -»). D. 3(» 3 -» 2 )( 3» 2 - 2 ») . Đạo hàm của hàm số y = ịx 3 — X 2 + »ì bằng biểu thức nào sau đây? A. 2(» 3 -» 2 +») 2 (3» 2 -2» + l) . B. 2 (» 3 -» 2 +»)( 3 » 2 - 2» 2 + »). c . 2 (» 3 -» 2 +»)( 3 » 2 - 2 »). GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM D. 2(x 3 -x 2 +x)(3x 2 -2x + l). Đạo hàm của hàm số y = Ị ^—-J 1 bằng biểu thức nào sau đây? c . (2x + l) 2 2x + l 16 2-3x D. 2 (2x + l) 2 2x + l 2-3xì 12x+l 1 (2x + l) 2 2x + l Đạo hàm của hàm số y = (2x 2 - X+1) 2 bằng biểu thức nào sau đây? A. (4x-l) 2 . B. 2(2x 2 -x+l)(4x 2 -x). c . 2(2x 2 -x+1) 2 (4x-1) . D. 2(2x 2 -x+l)(4x-l) . Đạo hàm của hàm số y = %/3x 2 -2x + 12 bằng biểu thức nào sau đây? 1 _ 4x 2\Ị3x 2 -2x + 12 ' 3x-l * 2a/3x 2 -2x+12 ' „ 6x ’ 2a/3x 2 -2x+12 ’ ' 2^3x 2 -2x+12 ’ Đạo hàm của hàm số 1 / = \jx 2 -4x 3 bằng biểu thức nào sau đây? A J x-6x Cho hàm số y = y2x + 2 . Biểu thức /(1) + /'(1) có giá trị là bao nhiêu? A 1 „3 Cho /(x) = (x 2 - 3x + 3) . Biểu thức /'(1) có giá trị là bao nhiêu? A. 1 B .- 1 . c . - 2 . D .- 12 . Cho /(x) = (3x 2 -4x + lj .Biểu thức /'(2) có giá trị là bao nhiêu? A.90 B. 80. c. 40. D.10. Đạo hàm của hàm số y = tan3x bằng biểu thức nào sau đây? A. 3 f . B. — ị—. cos 3x cos 3x c.- ị—. D. - 3 . cos 3x sin 3x Đạo hàm của hàm số y = tan2x tại X = 0 là số nào sau đây? A. -2 B. 0 . c. 1. D. 2 . Đạo hàm của hàm số y = \fcosx bằng biểu thức nào sau đây? GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM = %/cos 2x bằng biểu thức nào D. — A. - c. - đây? sin2x s/coslx sin2x 2>/cosx = vsin X bằng biểu thức nào sau đây? 2ysừix Đ. —ịỊ=- 2Vsinx = Vsin 3x bằng biểu thức nào sau đây? 3cos3x Đạo hàm của hàm số y cos3x 2\/sin3x 3cos3x 2%/sin3x Đạo hàm của hàm số y = tan5x bằng biểu thức 1 cos 2 5x cos 2 5x Đạo hàm của hi A. -3. c. 3. Đạo hàm của hàm số y A. 2tan5x. £ -10sứi5x cos 3 5x Hàm SỐ nào sau đây có đạo hàm y' = xsinx ? A. xcosx. c. sinx-cosx. cos 2 5x = tan3x tại X = 0 có giá trị là bao nhiêu? B. 0. D. Không xác = tan 2 5x bằng biểu thức nào sau đây? 10sin5x cos 3 5x 5sin5x B. smx-xcosx. D. xcosx-sinx. Đạo hàm của hàm số y A. sin = cosị ^ - 3x1 bằng biểu thức nào sau đây? lÍ— -3xì. B. -sừií—-3x). u J u J GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM c. -3sinỊ^-3xj. D. 3sinỊ^-3xj . Đạo hàm của hàm số y = sin^-2xj bằng biểu thức nào sau đây? c. -2cosl |-2xJ. D. 2cosl |-2x 1. Đạo hàm của hàm số /(x) = (3 - X 1 ) bằng biểu thức nào sau đây? A. 10x(3-x 2 ) 9 . B. lo(3-x 2 ) 9 . c. 20x(3-x 2 ) 9 . D. -20x(3-x 2 ) 9 . Đạo hàm số của hàm số y = 2 sin 2x + cos2x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. 4cos2x-2sin2x . B. 4cos2x + 2sin2x. c. 2cos2x-2sin2x. D. ^cos2x-2sin2x. Đạo hàm số của hàm số y = sin 3x + 4cos2x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. cos3x+4sin2x. B. 3cos3x-4sin2x. c. 3cos3x-8sin2x. D. 3cos3x+8sin2x. Đạo hàm của hàm số y = %/sin 5x bằng biểu thức nào sau đây? ^ -5cos5x g 5cos5x 2y f sin5x \Ịsir\ 5x _ cos5x ^ 5cos5x 2ysin 5x 2ysin 5x Đạo hàm của hàm số /(x) = >/cos4x bằng biểu thức nào sau đây? 2sin4x g 2cos4x Vcos4x \/cos4x sứi4x 2sứi4x 2>/cos4x >/cos4x A. -- A. 1. B. 0. c. -1. D. Không xác định. Đạo hàm số của hàm số y = cos 3 4x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. 3sin 2 4x . B. 3cos 2 4x . c. -12cos 2 4x.sin4x. D. -3cos 2 4x.sin4x. Đạo hàm số của hàm số y = sin 2 3x bằng biểu thức nào nào sau đây? GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM A. 6sin6x. B. 3sin6x. c. sinốx . D. 2sin3x . Đạo hàm số của hàm số /(x) = sin 3x + cos2x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. cos3x + sin2x. B. cos3x-sin2x. c. 3cos3x-2sin2x. D. -3cos3x + 2sin2x . Cho /(x) = tan4x . Giá trị /'(O)bằng số nào sau đây? A. -4 B. -1. c. 1. E Đạo hàm của hàm số y = cot2x bằng biểu thức nào sau đây? A. . B. ~ 2 . sứi 2 2x sứi 2 2x -2 _ 2 c. - =— . D. —ị— . cos 2x cos 2x Đạo hàm của hàm số y = cot 4 2x bằng biểu thức nào sau đây? -8cos 3 2x -8 cos 3 2x sm 5 2x -8cos 3 2x sm 6 2x —4cos 3 2x sin 2x sin 5 2x Đạo hàm của hàm số 1 / = sỊcotx bằng biểu thức nào sau đây? 1 sinx -1 -1 sừi 2 xyJcotx 2 sin 2 x\Ịcotx Cho f(x) = sin 6 X + cos 6 x và g(x) = 3 sin 2 x.cos 2 x .Tổng /'(x)+g'(x) bằng biểu thức n A. 6(sin 5 X +cos 5 x+s Ũ1X.COSX). B. 6(sin 5 x-cos 5 x-sũix.cosx). c. 6. D.o. Câu 101. Vi phân của hàm số y = 2x 5 - — + 5 là biểu thức nào sau đây? A. ịlOx +-J+5jdx. c. ịlOx^+^ịdx. Vi phân của hàm số y = vx 2 - 5x là biểu thức n A, 1 - dx. 2yx 2 -5x 2\/x 2 -5x B. ị^lOx 4 -—^jdx. D. ílOx + 4-l đx. J đây? 2x-5 V, 2x ~ 5 D, — . ■ 2%/x 2 -5x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 sau đây? 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM u đây? A. - dx. (2x -1) 2 (2*-l) 2 Vi phân của hàm số y = tan 3x là biểu thức nào sau đây? (2 x-rỷ 4 (2*-lý dx. dx. c. - -dx. m cos 2 3x _3 sin 2 3x dx. dx. cos 3x Vi phân của hàm số f(x) - \/cos X là biểu thức nào sau đây? , „ sim , -dx. B. — dx. cosx 2>/cosx -sim c. ■ dx. sJcOSX sim 2\/cos X -sim D. — dx. 2ycosx Vi phân của hàm số y = siní ^-2x1 bằng biểu thức nào sau đây? > 8 B. -2cos^-2xjdx c. -2cosí--2xìdx. D. 2cosf--2x)dx. u J u J Đạo hàm cẩp hai của hàm số f(x) = ^ X -6x 2 -7x bằng biểu thức nào sai A. 16x 3 -12 . B. 16x 3 -12x. c. 4x 3 -12. D. 16x 2 -12 . Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = 2x 5 - — + 5 bằng biểu thức nào sau đây? A. 40x 3 -4r- B. 40x 3 +4r. X X c.40x 3 --^. D. 40 x 3 +4- X X Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. -2sin2x . B. -4cos2x. c. ^sin2x. D. 4cos2x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào nào sau đây? A. -sin2x. B. ^sinx. c. -4sin2x. D. -2sin2x . Một chuyển động thẳng xác định bởi phuong trình s = í 3 +3f 2 +5í + 2, trong đó tính t bằng giây và tính s bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: A. 24 (m/s 2 ). B.17(m/s 2 ). GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 m NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM C.14 (m/s 2 ). D.12 (m/s 2 ). Câu 112. Cho hàm số f{x) = ỉ X 3 + ỉ X 2 - 12x -1. Tập hợp các giá trị X để đạo hàm cấp 2 của f (x) không âm là: Tổng hợp rân 3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 1. Cho hàm số y = +1 , Đặt A = x 2 y"~ 2y+l . Chọn câu trả lời đúng: A . A = x 2 B.A = -1 c. A = 0 Câu 2. Cho hàm sô' y = X 3 -2x 2 +1 . Nếu đặt M = xy"-y'-3x 2 , thì ta có. A. M = 0 B. M = 1 c. M = -l Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (l3x 13 +13)(l + x 13 ) tại x 0 =-l bằng: A. 676 B. 13 c. 26 D. Tất cả đều sai D. M = 2 D.o Câu 4. Phuơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = X 2 -2x + 4 tại điểm có hoành độ x 0 = -1 là: A. y = -4x + 4 Câu 5. Đạo hàm của hàm B. y = -2x+3 c. y = 3x + 5 D. y = -4x + 3 A. y’ = -JĨÕ M c. y’ = 5 \ Ị ( 2x ~ 4 )( x+3 f 2(x+3)Ặ2x-4)(x + 3) D. y' Câu 6. Cho hàm số /(x) = tan 3 ^ . Giá trị của /'(2) bằng: A. 6;r B. 12;r c. 63^- Câu 7. Cho hàm SỐ /(x) = 2cos 2 (4x-l) .Miền giá trị của /'(x) là: A. [-8; 8] B. [-4; 4] c. [-l;l] Câu 8. Cho hàm số /(x) = - Tính giá trị của /'(-1) là: A. ±1 B. 0 c. -2 Câu 9. Cho hàm số y = (ĩixỴ là: A. y' = 0 B. y' = 2nx(nxỴ~' <Z.y' = nx(nxỴ D. 36tt D. (-oo;co) D. 2 D. y'^ít % {nxỴ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = — 7 ———+ 5x là: A. 1 B. 5 /N 1 \ AS Ọ - 3x 2 x Câu 11. Đạo hàm của hàm số y = 2x +-là: A. X 2 B. 2x Câu 12. Đạo hàm của hàm SỐ y = sin|^^-4xj là: A. 4sin4x B. -4cos4x Câu 13. Đạo hàm của hàm số y = sinxtanỊ^ + X j là: A. -cosx B. sinx Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = /(x) = ỵ^kx 5 là: A. 60x 3 B. 75x 4 Câu 15. Hàm số có đạo hàm bằng 2x + \ là: X . X 3 + 1 _ x 3 +5x-l A. y = ——-— B. y = ——— X X Câu 16. Cho hàm số /(x) = sin 3 (l-x) . Vói mọi X e I A. cos 3 (l-x) c. -3sin 2 (l-x)cos(l-x) Câu 17. Cho hàm số y = X 3 -2x 2 +2x-3 có đồ thị (C) hoành đồ Xg = 1 là: A. y = (3x z -4x + 2)(x-l)-2 C.y = (x-l)-2 c. 6 D. 5x+l c. 4x D. 6x c. -4sin4x D. 4cos4x c. -sinx D. cosx c. 60x 4 D. 75x 3 _ 3x 3 + 3x „ 2x 2 + x-l c -y = -„ D. y =-— X X , hàm SỐ có đạo hàm bằng: B. -cos 3 (l-x) D. 3 sin 2 (l - x) cos (l - x) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có B. y = 0(x-l)-2 D.y = (x-l) + 2 ^ 2jc_3 Câu 18. Tại mọi điểm X 4 , hàm số y = -Ỵ —— có đạo hàm là: A. y' = 10 B.y’ = - 10 (4-x) Z (x-4) 2 Câu 19. Hàm số y = xsinx + cosx có đạo hàm là: A. y' = cosx-sinx B.y" = xsinx c. y'=J 2x +1, X > 1 Câu 20. Cho hàm số /(x) = ị 3, X = 1 .Kết luận nào sau đây SAI? 1X 2 +2, X < 1 D. y' = x-4) 2 C.y' = sinx+2cosx D. y" = -xcosx GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM A. /(x) liên tục tại X = 1 B. /(x) có đạo hàm tại X = 1 c. /(x) liên tục va có đạo hàm tại X = 1 D. /(x) liên tục tại X = 1 nhưng không có đạo hàm tại X = 1 Câu 21. Cho hàm số f{x) = Ị 3 0 .Khẳng định nào sau đây là đúng A. f(x) không liên tục tại x = 0 B. /(x) co đạo hàm tại x = 0 c. /(x) liên tục tại X = 0 và co đạo hàm tại X = 0 D. /(x) liên tục tại X = 0 và nhưng không có đạo hàm tại X = 0 ^ , . f2x + 3k/zix>3 . Câu 22. Cho hàm số /(x) = 1 Khăng định nào sau đây đúng? [x khi x<3 A. /(*) có đạo hàm trên M B. f[x ) có đạo hàm trong khoảng (3; +co) c. /(x) có đạo hàm trong khoảng (-oo;3) D. /(x) có đạo hàm trên M\{3} Câu 23. Cho hàm số f[x ) = xcosx-sinx . Giá trị của + bằng: A. 2 B. 1 c. -1 D. -2 Câu 24. Cho hàm số y = xcosx + sinx có đồ thị (C). Hệ số của tiếp tuyên của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ A. ~ B. 2 c. -2 2 Câu 25. Cho hàm số 1 / = X 3 -3x 2 +1 có đồ thị là (C). Phưcmg trình tiếp tuyến của đồ thị (C), song song vói đường thẳng (A): y = 9x + 10 là: A. y = 9x+6 hay y = 9x-26 c. y = 9x-6hay y = 9x-26 B. y = 9x+6hay y = 9x-28 D. y = 9x-6hay y = 9x-28 Câu 26. Đạo hàm cấp 2010 của hàm số y = -cosx + x 20 là: A. sinx B. 5. -sinx c. cosx D.-cosx Câu 27. Cho hàm số /(x) = X 2 + — + X . giá trị của /'(l) bằng: A. 1 B. 2 c. 3 D. 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM Câu 28. Cho hàm số f{x) = 4x + -Ịị- .Giá trị của /'(2) + /'(l) bằng: A. ụ B. ạ c. ạ 4 4 2 Câu 29. Đạo hàm của hàm số 1 / = x*Jx 2 +1 bằng: A. - » B. -JL- c. sịx 2 +1 X +1 Vx 2 +1 Câu 30. Cho hàm số mGÌ và ơ(x) có đạo hàm là u' và ơ’ Khẳng định n A. (uv)’ = u’v+v'u B. (u+v)' = u'+v' c. = D.-^L i4x 2 +1 u đây là sai> u'v+uv' D. - =- ĐÁP ÁN 1B 11D 21D 2A 12A 22D 3D 13B 23D 4D 14B 24A 5C 15B 25A 6A 16C 26C 7A 17C 27B 8C 18D 28B 9D 19D 29C 10C 20D 30D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27