Giải Bài 2 Trang 30 – SGK Môn Giải Tích Lớp 12 - Chữa Bài Tập

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:

a) \(y=\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}\)

b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}\)

c) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}\)

d) \(y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Lời giải:

a) \(y=\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}\);

Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0\) nên đường thẳng \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{3}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}\);

Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{3}{{{x}^{2}}}-\dfrac{2}{x}-5}=\dfrac{-1}{5}\) nên đường thẳng \(y=\dfrac{-1}{5}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=\dfrac{3}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}\);

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

d) \(y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\).

Vì \(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ghi nhớ:

Đường thẳng \(y=y_o\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\lim\limits_{x\to + \infty }\,f(x)=y_o,\lim\limits_{x\to - \infty }\,f(x)=y_o\)

Đường thẳng \(x=x_o\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=-\infty\\ \lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=+\infty\)

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 4: Đường tiệm cận khác • Giải bài 1 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tìm các tiệm cận của... • Giải bài 2 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tìm các tiệm cận... Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao) theo chương •Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)