Giải Bài Tập SGK Toán Lớp 9 Bài 7: Biến đổi đơn Giản Biểu Thức Chứa ...

Giải Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)Giải sgk Toán 9 trang 29, 30Bài trướcBài sauNâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

• Câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 tập 1
• Câu hỏi 2 trang 29 SGK Toán 9 tập 1
• Giải bài tập Toán 9 trang 29, 30 tập 1
  • Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
• Giải SGK Toán 9 trang 30: Luyện tập
  • Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
  • Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Mời các bạn tham khảo Giải SGK Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) được VnDoc đăng tải sau đây. Tài liệu giúp các em biết giải các bài tập trong SGK Toán 9 tập 1 trang 29, 30, 31. Tài liệu giúp các em nâng cao kỹ năng giải bài tập Toán 9, từ đó học tốt môn Toán hơn. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 tập 1

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a. \(\sqrt {\frac{4}{5}}\) b. \(\sqrt {\frac{3}{{125}}}\) c. \(\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}}\) với a > 0

Lời giải chi tiết

a. \(\sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

b. \(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {25.5} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{5.\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{{5.5}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}\)

c. \(\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{a^3}}}{{2{a^3}.2{a^3}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2}.6a} }}{{\sqrt {{{\left( {2{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {6a} }}{{2{a^3}}} = \frac{{\sqrt {6a} }}{{2{a^2}}}\)

Câu hỏi 2 trang 29 SGK Toán 9 tập 1

Trục căn thức ở mẫu:

a. \(\frac{5}{{3\sqrt 8 }};\frac{2}{{\sqrt b }}\) với b > 0

b. \(\frac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }};\frac{{2a}}{{1 - \sqrt a }}\) với a ≥ 0, a ≠ 1

c. \(\frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }};\frac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }}\) với a > b > 0

Lời giải chi tiết

a. Ta có:

\(\begin{matrix} \dfrac{5}{{3\sqrt 8 }} = \dfrac{5}{{3\sqrt {4.2} }} = \dfrac{5}{{3.2.\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6.2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{12}} \hfill \\ \dfrac{2}{{\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{b} \hfill \\ \end{matrix}\)

b. Ta có:

\(\begin{matrix} \dfrac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{13}} \hfill \\ \dfrac{{2a}}{{1 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{{1^2} - a}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}\)

c. Ta có:

\(\begin{matrix} \dfrac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{7 - 5}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{2} = 2\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\ \dfrac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {2\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{{{\left( {2\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{{6a\left( {2\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{4a - b}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Giải bài tập Toán 9 trang 29, 30 tập 1

Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.\)

Gợi ý đáp án

\(+\sqrt{\dfrac{1}{600}}=\dfrac{\sqrt 1}{\sqrt{600}}=\dfrac{ 1}{\sqrt{6.100}}=\dfrac{1}{\sqrt{6.10^2}}\)

\(=\dfrac{ 1}{\sqrt{6}.\sqrt{10^2}}=\dfrac{ 1}{10\sqrt{6}}=\dfrac{ 1.\sqrt 6}{10.6}=\dfrac{ \sqrt 6}{60}\)

\(+\sqrt{\dfrac{11}{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}\)

\(=\dfrac{\sqrt{11.15}}{90}=\dfrac{\sqrt{165}}{90}.\)

\(+ \sqrt{\dfrac{3}{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{25.2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt 2}{5.2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3.2}}{10}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}\)

\(+ \sqrt{\dfrac{5}{98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt {98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49.2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49}\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{7^2}.\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}{7\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5 . \sqrt 2}{7. 2}\)

\(=\dfrac{\sqrt {5. 2}}{14}=\dfrac{\sqrt{10}}{14}.\)

\(+\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {9.3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {3^2.3}}=\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}\)

Vì 1< 3 \(\Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow 1< \sqrt 3 \Leftrightarrow 1- \sqrt 3 < 0\)

\(\Leftrightarrow |1- \sqrt 3|=-(1-\sqrt 3)=-1 + \sqrt 3 = \sqrt 3 -1.\)

Do đó: \(\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt 3(\sqrt{3}-1)}{9}=\dfrac{3-\sqrt 3}{9}.\)

Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.\)

Gợi ý đáp án

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

\(ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\)

*) Nếu b > 0 thì |b|=b \(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}.\)

*) Nếu b < 0 thì |b|=-b\(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\)

\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}\)

*) Nếu a> 0 thì \(|a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

*) Nếu a<0 thì |a|=-a \(\Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .\)

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}.\)

*) Nếu b> 0 thì |b|=b \(\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.\)

*) Nếu -1\(\le\) b < 0 thì |b|=-b \(\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.\)

+ Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}.\)

*) Nếu \(a \ge 0,\ b > 0\) thì |a|=a, |b| =b \(\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.\)

*) Nếu a < 0, b < 0 thì |a|=-a, |b| =-b \(\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.\)

(Chú ý: Theo đề bài \(\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}\)có nghĩa nên a, b cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp a, b cùng âm hoặc cùng dương).

+ Ta có:

\(3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}\)

\(=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|} =\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.\)

(Vì theo đề bài \(\sqrt{\dfrac{2}{xy}}\) có nghĩa nên \(\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy.\))

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.\)

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

\(\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}\)

\(=\dfrac{5.\sqrt{10}}{5.2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5.\sqrt 5}{2\sqrt 5.\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt 5.\sqrt 5)}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt 5)^2}\)

\(=\dfrac{5\sqrt 5}{2.5}=\dfrac{\sqrt 5}{2}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20})^2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{20}}{3.20}=\dfrac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{2.30}=\dfrac{\sqrt 5}{30}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt 2}=\dfrac{(2\sqrt 2+2).\sqrt 2}{5\sqrt 2. \sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2.\sqrt 2+2.\sqrt 2}{5.(\sqrt 2)^2}\)

\(=\dfrac{2.2+2\sqrt 2}{5.2}=\dfrac{2(2+\sqrt 2)}{5.2}=\dfrac{2+\sqrt 2}{5}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\dfrac{(y+b\sqrt y).\sqrt y}{b\sqrt y .\sqrt y}=\dfrac{y\sqrt y+b\sqrt y.\sqrt y}{b.(\sqrt y)^2}\)

\(= \dfrac{y\sqrt y+b(\sqrt y)^2}{by}=\dfrac{y\sqrt y+by}{by}\)

\(=\dfrac{y(\sqrt y+b)}{b.y}=\dfrac{\sqrt y+b}{b}.\)

Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.\)

Gợi ý đáp án:

+ Ta có:

\(\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt 3 - 3.1}{(\sqrt 3)^2-1^2}\)

\(=\dfrac{3\sqrt 3 -3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt{3}-3}{2}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{(\sqrt 3)^2-1^2}\)

\(=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}\)

\(=\dfrac{2^2+2.2.\sqrt 3+(\sqrt{3})^2}{4-3}=\dfrac{4+4\sqrt 3+3}{1}=\dfrac{(4+3)+4\sqrt 3}{1}\)

\(=\dfrac{7+4\sqrt 3}{1}=7+4\sqrt{3}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}\)

\(=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9).\)

+ Ta có:

\(\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}\)

\(=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p})^2-1^2}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}\)

Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\)

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

\(\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}\)

\(=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}\)

\(=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5}).\)

+ Ta có:

\(\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}\)

\(=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}\)

\(=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\)

\(=\dfrac{\sqrt x + \sqrt y}{(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)

+ Ta có:

\(\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\)

\(=\dfrac{2ab(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.\)

Giải SGK Toán 9 trang 30: Luyện tập

Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

\(a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

\(b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}\)

\(c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)

\(d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Gợi ý đáp án

\(a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

Ta có:

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}\)

\(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)

\(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

\(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)

\(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6.\)

(Vì 2 < 3\(\Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)

Do đó: \(|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3=\sqrt 3-\sqrt2).\)

\(b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}\)

Ta có:

\(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}\)

\(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}\)

\(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}\)

Nếu ab > 0 thì |ab|=ab

\(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}.\)

Nếu ab < 0 thì |ab|=-ab

\(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}.\)

\(c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}\)

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}.\)

(Vì \(b^2 > 0\) với mọi \(b \ne 0 nên |b^2|=b^2).\)

\(d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Ta có:

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt a.\)

Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};\)

Gợi ý đáp án

* Ta có:

\(\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}.\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l} \dfrac{{2+ \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\\ = \dfrac{{2.1 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2}}{{1 - 2}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{ - 1}} = \sqrt 2 \end{array}\)

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có:

\(\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}\)

\(=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}=\dfrac{\sqrt2.\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}.\)

+ Ta có:

\(\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}.\)

Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử (với a, b,x, y là các số không âm)

a. \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1\)

b, \(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

Gợi ý đáp án

a. \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1\)

Ta có:

\(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)

\(=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\)

\(=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)\)

\(=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)\)

\(=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1).\)

b, \(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

Ta có:

\(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\)

\(=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy}) =(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]\)

\(+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] + \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]\)

\(=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] =(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2.\)

Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

a. \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)

b. \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.\)

Gợi ý đáp án

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a. \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{ 3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr 2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr 4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.\)

Vì: 24 < 29 < 32 < 45 \(\Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\)

b. \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.\)

Vì: 38 < 56 < 63 <\(72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}\)

Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

\(\sqrt {25x} - \sqrt {16x} = 9\) khi x bằng

(A) 1;

(B) 3;

(C) 9;

(D) 81.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án

Ta có:

\(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\)

\(\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9 \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9 \Leftrightarrow \sqrt{x}=9\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2 \Leftrightarrow x=81\)

Chọn đáp án D. 81

............................

Trên đây là Giải Toán 9 bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo). Hy vọng tài liệu giúp các em hệ thống lại những kiến thức đã học trong bài, biết giải nhiều dạng toán 9 khác nhau. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt, nếu có thắc mắc hay trao đổi kiến thức các em có thể vào link sau nhé: Hỏi - đáp.

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Tài liệu học tập lớp 9 như Toán lớp 9, Giải Toán 9, Giải SBT Toán 9, Trắc nghiệm Toán 9 và các đề học kì 1 lớp 9 và đề thi học kì 2 lớp 9 mới nhất được cập nhật Bài tiếp theo: Giải bài tập Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất