Giải Bài Tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 Giới Hạn Của Dãy Số - Hoc247

YOMEDIA Trang chủ Toán 11 Chương 4: Giới Hạn Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 Giới hạn của dãy số ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm

45 BT SGK

212 FAQ

Phần hướng dẫn giải bài tập SGK bài 1 chương IV Giới hạn của dãy số sẽgiúp các em nắm được phương pháp giải các bài tậptừ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

ATNETWORK

• Bài tập 1 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11

  Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.

  a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số \((u_n)\).

  b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.

  c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6} g\).

• Bài tập 2 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11

  Biết dãy số \((u_n )\) thỏa mãn \(|u_n -1| <\frac{1}{n^{3}}\) với mọi n. Chứng minh rằng lim \(u_n =1\).

• Bài tập 3 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11

  Tìm giới hạn sau:

  a) \(lim\frac{6n - 1}{3n +2}\);

  b) \(lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\);

  c) \(lim\frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\);

  d) \(lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\).

• Bài tập 4 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11

  Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1, 2, 3, ..., n trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.

  

  Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

  a) Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính \(u_1 , u_2 , u_3\) và \(u_n\).

  b) Tính lim\(S_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n\) .

• Bài tập 5 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11

  Tính tổng \(S = -1 + \frac{1}{10}-\frac{1}{10^{2}}+...+ \frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}}\) + ...

• Bài tập 6 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11

  Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

• Bài tập 7 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11

  Tính các giới hạn sau:

  a) \(lim (n^3 + 2n^2 - n + 1)\);

  b) \(lim (-n^2 + 5n - 2)\);

  c) \(lim(\sqrt{n^{2}-n}-n)\) ;

  d) (\(lim(\sqrt{n^{2}-n}+n)\).

• Bài tập 8 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11

  Cho hai dãy số \((u_n)\)và \((v_n)\). Biết \(lim u_n = 3, lim v_n = +\infty .\)

  Tính các giới hạn:

  a) \(lim\frac{3u_{n}-1}{u_{n}+ 1};\)

  b) \(lim\frac{v_{n}+ 2}{v^{2}_{n}-1}\).

• Bài tập 4.1 trang 156 SBT Toán 11

  Biết rằng dãy số (un) có giới hạn 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn = |un| cũng có giới hạn 0. Chiều ngược lại có đúng không?

• Bài tập 4.2 trang 156 SBT Toán 11

  Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (vn) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (un+vn) có thể có giới hạn hữu hạn không?

• Bài tập 4.3 trang 156 SBT Toán 11

  a) Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết \(\lim {u_n} = - \infty \) và vn ≤ un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn) khi \(n \to + \infty \)?

  b) Tìm vn với vn = - n!

• Bài tập 4.4 trang 156 SBT Toán 11

  Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to \infty \).

  a) \({a_n} = \frac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\)

  b) \({b_n} = \frac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\)

  c) \({c_n} = \frac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\)

  d) \({u_n} = {2^n} + \frac{1}{n}\)

  e) \({v_n} = {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} + \frac{{{3^n}}}{{{4^n}}}\)

  f) \({u_n} = \frac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\)

  g) \({v_n} = \frac{{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\)

• Bài tập 4.5 trang 156 SBT Toán 11

  Tính các giới hạn sau: a) \(\lim ({n^2} + 2n - 5)\) b) \(\lim ( - {n^3} - 3{n^2} - 2)\) c) \(\lim [{4^n} + {( - 2)^n}]\)

• Bài tập 4.6 trang 157 SBT Toán 11

  Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(|{u_n}| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)

• Bài tập 4.7 trang 157 SBT Toán 11

  Biết \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{3}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un) ?

• Bài tập 4.8 trang 157 SBT Toán 11

  Cho biết dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi

  \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\,\,n \ge 1 \end{array} \right.\)

  Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn khi \(n \to + \infty \). Tìm giới hạn đó.

• Bài tập 4.9 trang 157 SBT Toán 11

  Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};...;{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}};...\)

• Bài tập 4.10 trang 157 SBT Toán 11

  Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội \(q = \frac{2}{3}\).

• Bài tập 4.11 trang 157 SBT Toán 11

  Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + ... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \). Tìm giới hạn của (bn).

• Bài tập 4.12 trang 157 SBT Toán 11

  Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 34,121212 \ldots \) (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

• Bài tập 4.13 trang 157 SBT Toán 11

  Giới hạn của dãy số (un) với \({u_n} = {( - 1)^n}\) là:

  A. 0

  B. 1

  C. - 1

  D. Không tồn tại

• Bài tập 4.14 trang 157 SBT Toán 11

  \(\lim \frac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\) bằng:

  A. \(\frac{3}{4}\)

  B. 0

  C. \(\frac{9}{4}\)

  D. \(-\frac{9}{4}\)

• Bài tập 4.15 trang 157 SBT Toán 11

  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n\) bằng: A. 0 B. - 3 C. \( - \frac{3}{2}\) D. \( + \infty \)

• Bài tập 4.16 trang 158 SBT Toán 11

  Nếu \(S = 1 + 0,9 + {(0,9)^2} + {(0,9)^3} + ... + {(0,9)^n} + ...\) thì:

  A. S = 10

  B. S = 2

  C. S = +∞

  D. Không thể tính được

• Bài tập 4.17 trang 158 SBT Toán 11

  \(\lim \frac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\) bằng

  A. 0

  B. \( + \infty \)

  C. \(- \infty \)

  D. \( - \frac{4}{3}\]

• Bài tập 1 trang 130 SGK Toán 11 NC

  Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

  a) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}\)

  b) \(\frac{{\sin n}}{{n + 5}}\)

  c) \(\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n + 1}}\)

• Bài tập 2 trang 130 SGK Toán 11 NC

  Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với

  \({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,{v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}\)

  Có giới hạn 0.

• Bài tập 3 trang 130 SGK Toán 11 NC

  Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:

  a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)

  b) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n} + 1}}\)

  c) \({u_n} = - \frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)

• Bài tập 4 trang 130 SGK Toán 11 NC

  Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

  a. Chứng minh rằng \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le \frac{2}{3}\) với mọi n.

  b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) với mọi n.

  c. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn 0.

• Bài tập 5 trang 134 SGK Toán 11 NC

  Tìm các giới hạn sau:

  a) \(\lim \left( {2 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right)\)

  b) \(\lim \left( {\frac{{\sin 3n}}{{4n}} - 1} \right)\)

  c) \(\lim \frac{{n - 1}}{n}\)

  d) \(\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\)

• Bài tập 6 trang 134 SGK Toán 11 NC

  Tìm \(\lim u_n\) với:

  a) \({u_n} = \frac{{{n^2} - 3n + 5}}{{2{n^2} - 1}}\)

  b) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^2} + n + 2}}{{3{n^4} + 5}}\)

  c) \({u_n} = \frac{{\sqrt {2{n^2} - n} }}{{1 - 3{n^2}}}\)

  d) \({u_n} = \frac{{{4^n}}}{{{{2.3}^n} + {4^n}}}\)

• Bài tập 7 trang 135 SGK Toán 11 NC

  Cho dãy số (un) xác định bởi

  u1 = 10 và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) với mọi n ≥ 1

  a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - \frac{{15}}{4}\) là một cấp số nhân.

  b. Tìm \(\lim u_n\).

• Bài tập 8 trang 135 SGK Toán 11 NC

  Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác.

  a. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

  b. Tìm các tổng p1+p2+...+pn+... và S1+S2+...+Sn+...

• Bài tập 9 trang 135 SGK Toán 11 NC

  Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

  a) 0,444...

  b) 0,2121...

  c) 0,32111...

• Bài tập 10 trang 135 SGK Toán 11 NC

  Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\), C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\),... C­n là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{2n}}\),... (h. 4.2). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C­n và đoạn thẳng AB.

  a. Tính pn và Sn.

  b. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (S­n).

  

• Bài tập 11 trang 142 SGK Toán 11 NC

  Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:

  a) \({u_n} = - 2{n^3} + 3n + 5\)

  b) \({u_n} = \sqrt {3{n^4} + 5{n^3} - 7n} \)

• Bài tập 12 trang 142 SGK Toán 11 NC

  Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:

  a) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^3} + 3n - 2}}{{3n - 2}}\)

  b) \({u_n} = \frac{{\sqrt[3]{{{n^5} - 7{n^3} - 5n + 8}}}}{{n + 12}}\)

• Bài tập 13 trang 142 SGK Toán 11 NC

  Tìm các giới hạn sau:

  a. \(lim (2n+\cos n)\)

  b. \(\lim \left( {\frac{1}{2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right)\)

• Bài tập 14 trang 142 SGK Toán 11 NC

  Chứng minh rằng nếu q > 1 thì \(\lim {q^n} = + \infty \).

• Bài tập 15 trang 142 SGK Toán 11 NC

  Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:

  a) \({u_n} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^n} - 1}}\)

  b) \({u_n} = {2^n} - {3^n}\)

• Bài tập 16 trang 143 SGK Toán 11 NC

  Tìm các giới hạn sau:

  a) \(\lim \frac{{{n^2} + 4n - 5}}{{3{n^3} + {n^2} - 7}}\)

  b) \(\lim \frac{{{n^5} + {n^4} - 3n - 2}}{{4{n^3} + 6{n^2} + 9}}\)

  c) \(\lim \frac{{\sqrt {2{n^4} + 3n - 2} }}{{2{n^2} - n + 3}}\)

  d) \(\lim \frac{{{3^n} - {{2.5}^n}}}{{7 + {{3.5}^n}}}\)

• Bài tập 17 trang 143 SGK Toán 11 NC

  Tìm các giới hạn sau:

  a) \(\lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right)\)

  b) \(\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \)

  c) \(\lim \sqrt[3]{{1 + 2n - {n^3}}}\)

  d) \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \)

• Bài tập 18 trang 143 SGK Toán 11 NC

  Tìm các giới hạn sau:

  a) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\)

  Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức đã cho với \({\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}\)

  b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}\)

  Hướng dẫn: Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với \({\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }\)

  c) \(\lim {\rm{ }}\left( {\sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\)

  d) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }}\)

  e) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)n\)

  f) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} }}{{3n + 2}}\)

• Bài tập 19 trang 143 SGK Toán 11 NC

  Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \(\frac{5}{3}\), tổng ba số hạng đầu tiên của nó là \(\frac{{39}}{{25}}\). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

• Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC

  Bông tuyết Vôn Kốc

  Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H1. Chia mỗi cạnh H1 thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H1 rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H2. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (h. 4.6).

  

  a. Gọi p1, p2, … , pn, … là độ dài của H1, H2, … , Hn, … . Chứng minh rằng (pn) là một cấp số nhân. Tìm \(\lim p_n\).

  b. Gọi Sn là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc Hn. Tính Sn và tìm giới hạn của dãy số (Sn).

  Hướng dẫn: Số cạnh của Hn là 3.4n. Tìm độ dài mỗi cạnh của Hn, từ đó tính pn. Để tính Sn cần chú ý rằng muốn có Hn+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của Hn.

Toán 11 Chương 4 Bài 1Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

Toán 11

Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 11 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 11 KNTT

Giải bài tập Toán 11 CTST

Trắc nghiệm Toán 11

Ngữ văn 11

Ngữ Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 11 Cánh Diều

Soạn Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Văn mẫu 11

Tiếng Anh 11

Tiếng Anh 11 Kết Nối Tri Thức

Tiếng Anh 11 Chân Trời Sáng Tạo

Tiếng Anh 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 CTST

Tài liệu Tiếng Anh 11

Vật lý 11

Vật lý 11 Kết Nối Tri Thức

Vật Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 11 Cánh Diều

Giải bài tập Vật Lý 11 KNTT

Giải bài tập Vật Lý 11 CTST

Trắc nghiệm Vật Lý 11

Hoá học 11

Hoá học 11 Kết Nối Tri Thức

Hoá học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Hoá Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Hoá 11 KNTT

Giải bài tập Hoá 11 CTST

Trắc nghiệm Hoá học 11

Sinh học 11

Sinh học 11 Kết Nối Tri Thức

Sinh Học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh học 11 KNTT

Giải bài tập Sinh học 11 CTST

Trắc nghiệm Sinh học 11

Lịch sử 11

Lịch Sử 11 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Sử 11 KNTT

Giải bài tập Sử 11 CTST

Trắc nghiệm Lịch Sử 11

Địa lý 11

Địa Lý 11 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Địa 11 KNTT

Giải bài tập Địa 11 CTST

Trắc nghiệm Địa lý 11

GDKT & PL 11

GDKT & PL 11 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập KTPL 11 KNTT

Giải bài tập KTPL 11 CTST

Trắc nghiệm GDKT & PL 11

Công nghệ 11

Công nghệ 11 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 11 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 11 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Công nghệ 11

Tin học 11

Tin học 11 Kết Nối Tri Thức

Tin học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 11 KNTT

Giải bài tập Tin học 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 11

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 11

Tư liệu lớp 11

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi HK1 lớp 11

Đề thi giữa HK1 lớp 11

Đề thi HK2 lớp 12

Đề thi giữa HK2 lớp 11

Tôi yêu em - Pu-Skin

Đề cương HK1 lớp 11

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Công nghệ 11 Bài 16: Công nghệ chế tạo phôi

Chí Phèo

Văn mẫu và dàn bài hay về bài thơ Đây thôn Vĩ Dạ

Cấp số cộng

Cấp số nhân

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>