Toán 11 Ôn Tập Chương 4 Giới Hạn - HOC247

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn:

a) \(\lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n}.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n} = \sin 0 = 0.\)

b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0 \Rightarrow {\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = c{\rm{os}}0 = 1.\)

Ví dụ 2:

Tính các giới hạn:

a) \({\rm{lim }}\frac{1}{n}\sin (2n + 1).\)

b) \({\rm{lim }}\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(sin(2n + 1) \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{1}{n}\sin (2n + 1)} \right| \le \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{1}{n}\sin (2n + 1) = 0.\)

b) \(\left| {c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) \le 1} \right| \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1)} \right| \le \frac{5}{{2n + 3}} \to 0\)

\( \Rightarrow \lim \frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) = 0.\)

Ví dụ 3:

Tính các giới hạn:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}}.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{5 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \lim \frac{0}{5} = 0.\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}.\)

c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n = \lim \frac{{(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n)(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n)}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n}}\)

\( = \lim \frac{{3n + 3}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n}} = \frac{3}{4}\)

Ví dụ 4:

Tính các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}{\rm{.}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x)\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (x - 2) = - 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {3x + 1} - 2)(\sqrt {3x + 1} + 2)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1} + 2)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{3}{{(\sqrt {3x + 1} + 2)}} = \frac{3}{4}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + 1} \right)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1}} = \frac{2}{3}.\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x)(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} + 1)}} = 1.\)

Ví dụ 5:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} \ne {\rm{1}}} \right)\\{\rm{a }}\left( {{\rm{x = 1}}} \right)\end{array} \right.\) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(1) = a.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.

Nếu a\( \ne \)2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

Ví dụ 6:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} > {\rm{0}}} \right)\\{\rm{x }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{0}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.

Ta có f(0) = 0

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1{\rm{ }} \ne {\rm{ 0 = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x\end{array}\).

Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.

Ví dụ 7:

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}ax + 2{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} \ge {\rm{1}}} \right)\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 1 }}\left( {{\rm{x}} < {\rm{1}}} \right)\end{array} \right.\) . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Hướng dẫn giải:

x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.

x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a+2

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x - 1} \right) = 1\end{array}\).

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.

Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a \( \ne \) -1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nếu a \( \ne \) -1.