Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính - TaiLieu.VN

Trang chủ » Bài Tập Về Chứng Minh ánh Xạ Tuyến Tính » Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính - TaiLieu.VN

Có thể bạn quan tâm

OPTADS360 intTypePromotion=1 zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn tailieu.vn NÂNG CẤP Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »
  • Đề thi toán cao cấp 2
  • Đại số tuyến tính
  • Toán rời rạc
  • Xác suất thống kê
  • Phương trình vi phân
    • Toán cao cấp
    • Toán kinh tế
  • HOT
    • FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
    • TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
    • CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi...
    • FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
    • LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
    • CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
    • FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
    • CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
    CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị Doanh...
TUYỂN SINH YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Khoa Học Tự Nhiên » Toán học Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST Báo xấu 4.749 lượt xem 358 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải bài tập về ánh xạ tuyến tính', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

AMBIENT/ Chủ đề:
  • giáo dục
  • đào tạo
  • sau đại học
  • MBA
  • toán đại số

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính

  1. Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 17. Gi i bài t p v ánh x tuy n tính PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh x f : Rn → R, ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn b. Cho ánh x f : Rn → Rm . Ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s aij ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) (∗) Gi i. Ta ch gi i câu b., câu a. là trư ng h p đ c bi t c a câu b. khi m = 1. Ki m tra tr c ti p, ta th y ngay r ng n u f có d ng như (∗) thì f là ánh x tuy n tính. Ngư c l i, n u f là ánh x tuy n tính, ta đ t: f (ei ) = (a1i , a2i , . . . , ami ) v i i = 1, 2, . . . , n, trong đó ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó ta có f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) = f (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 bi t a. f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0). b. f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2). Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 1, 2) + a2 (2, 1, 1) + a3 (2, 2, 3) (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 1) + a3 (0, −1, 0) = (a1 , a2 − a3 , a2 ) (2) Do đó, đ tính f (x1 , x2 , x3 ), ta c n tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 . Do công th c (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h :     1 2 2 x1 1 2 2 x1  1 1 2 x2  −→  0 −1 0 −x1 + x2  2 1 3 x3  0 −3 −1 −2x1 + x3  1 2 2 x1 −→  0 −1 0 −x1 + x2  0 0 −1 x1 − 3x2 + x3 1
  2. V y: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x 1 − x 2 a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2(x1 − x2 ) − 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào (2), công th c c a ánh x f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ) b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Trong R3 cho 2 cơ s : u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (u) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (v) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi . a. Tìm công th c c a f . b. Tìm các ma tr n Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /(ε3 ) Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = f (a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ) = a1 f (u1 ) + a2 f (u2 ) + a3 f (u3 ) = a1 (1, −1, 0) + a2 (0, 1, −1) + a3 (1, 0, 1) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) V y f (x1 , x2 , x3 ) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) (2) Ta c n tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , do (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h     1 0 1 x1 1 0 1 x1  0 1 0 x2  −→  0 1 0 x2  0 1 1 x3 0 0 1 −x2 + x3 do đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 . Thay vào (2) công th c c a f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) b. • Ma tr n Af /(u) Ta có: f (u1 ) = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) f (u2 ) = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 (2) f (u3 ) = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 (3) Khi đó   a1 b 1 c 1 Af /(u) =  a2 b 2 c 2  a3 b 3 c 3 2
  3. các ai , bi , ci l n lư t là nghi m c a các phương trình véctơ (1), (2), (3). M i phương trình (1), (2), (3) tương đương v i m t h phương trình tuy n tính có cùng ma tr n các h s (ch khác nhau c t t do), do đó, ta có th gi i cùng lúc 3 h đó như sau:     1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1  0 1 0 −1 1 0  −→  0 1 0 −1 1 0  0 1 1 0 −1 1 0 0 1 1 −2 1 – H 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 V y ma tr n   0 2 0 Af /(u) =  −1 1 0  1 −2 1 • Ma tr n Af /(u),(v) Ta có f (u1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 f (u2 ) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 f (u3 ) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 V y ma tr n   1 0 0 Af /(u),(v) = 0 1 0  0 0 1 • Ma tr n Af /(v) Áp d ng câu a., ta s tính đư c f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ), sau đó làm như các ph n trư c. C th : f (v1 ) = (1, −1, 2) = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 f (v2 ) = (0, −1, −3) = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 f (v3 ) = (1, 0, 1) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ai , bi , ci là nghi m c a 3 h sau:     1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1  −1 1 0 −1 −1 0  −→  0 1 1 0 −1 1  0 −1 1 2 −3 1  0 −1 1 2 −3 1 1 0 1 1 0 1 −→  0 1 1 0 −1 1  0 0 2 2 −4 2 – H 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 1 − c3 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 Vy   0 2 0 Af /(v) =  −1 1 0  1 −2 1 3
  4. • Ma tr n Af /(v),(u) làm tương t . • Ma tr n Af /(ε3 ) theo câu a., công th c c a f là f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) do đó ta có ngay:   1 0 0 Af /(ε3 ) =  −1 0 1  0 −2 1 4. Cho ánh x tuy n tính θ : Rn [x] −→ Rn [x] p(x) −→ p (x) Tìm ma tr n c a θ trong cơ s : a. uo = 1, u1 = x, u2 = x2 , . . . , un = xn (x−a)2 (x−a)n b. vo = 1, v1 = x − a, v2 = 2! ,..., vn = n! Gi i. a. Ta có θ(uo ) = 0 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u1 ) = 1 = 1uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u2 ) = 2x = 0uo + 2u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un ................................................ θ(uk ) = kxk−1 = 0uo + 0u1 + . . . + kuk−1 + . . . + 0un ................................................ θ(un ) = nxn−1 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . + nun−1 + 0un Vy   0 1 0 ... 0 ... 0   0 0 2 ... 0 ... 0    0 0 0 ... 0 ... 0  . . . . .      . . . . . . . . .  . Af /(u) = . . . . . . .  .    . . . k .   . . . . . . . . .  .    . . . . .   0 0 0 ... 0 ... n  0 0 0 ... 0 ... 0 b. L i gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 − x3 + x4 ) Tìm cơ s , s chi u c a Ker f, Im f 4
  5. Gi i. • (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ker f ⇔ f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, ⇔ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h   x1 − x2 + x3 = 0 2x1 + x4 = 0 (1) 2x2 + x3 + x4 = 0  Do đó, Ker f chính là không gian con các nghi m c a h (1) và h nghi m cơ b n c a h (1) chính là m t cơ s c a Ker f . Đ gi i h (1), ta bi n đ i ma tr n h s m r ng:     1 −1 1 0 0 1 −1 1 0 0  2 0 0 1 0  −→  0 2 −2 1 0  0 2 1 1 0  0 2 1 1 0  1 −1 1 0 0 −→  0 2 −2 1 0  0 0 3 0 0 H có vô s nghi m ph thu c 1 tham s là x4 . Ta có x3 = 0 x2 = 1 (2x3 − x4 ) = − 1 x4 2 2 x1 = x2 − x3 = x2 = − 1 x4 2 V y nghi m t ng quát c a h là:   x1  = −a x2 = −a   x3  =0 x4 = 2a  h nghi m cơ b n α1 = (−1, −1, 0, 2), do đó, dim Ker f = 1, cơ s c a Ker f là α1 = (−1, −1, 0, 2). • Đ tìm cơ s c a Im f , ta tìm nh c a cơ s chính t c c a R4 . Ta có: f (e1 ) = (1, 2, 0), f (e2 ) = (−1, 0, 2), f (e3 ) = (1, 0, −1), f (e4 ) = (0, 1, 1) Im f = f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) H con ĐLTT t i đ i c a f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) là m t cơ s c a Im f . Ta có     1 2 0 1 1 2 0 1  −1 0 2  2  0 2 2  2   −→    1 0 −1  3  0 −2 −1  3 0 1 1 4  0 1 1  4 1 2 0 1  0 1 1  2 −→   0 −2 −1   3  0 2 2 4 1 2 0 1  0 1 1  2 −→   0 0 1  3  0 0 0 4 V y cơ s c a Im f là f (e1 ), f (e4 ), f (e3 ) và dim f = 3. 5
  6. 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng, chéo hóa các ma tr n sau:   1 0 1 (a)  0 0 0  1 0 1   5 −1 1 (b)  −1 2 −2  1 −2 2   1 2 1 (c)  2 4 2  1 2 1   1 0 0 0  0 0 0 0  (d)   0 0 0 0   1 0 0 1   1 3 1 2  0 −1 1 3  (e)   0  0 2 5  0 0 0 −2 Gi i. b) Tìm đa th c đ c trưng: 5 − λ −1 1 PA (λ) = −1 2 − λ −2 1 −2 2 − λ = (5 − λ)(2 − λ)2 + 2 + 2 − (2 − λ) − 4(5 − λ) − (2 − λ) = −λ3 + 9λ2 − 18λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = 6. V y A có 3 giá tr riêng là λ = 0, λ = 3, λ = 6. •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng λ = 0 là giá các vectơ nghi m khác không  a h :   c 5 −1 1 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0  −1 2 −2 0  −→  5 −1 1 0  −→  0 −11 11 0  1 −2 2 0 1 −2 2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, a), a ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, a), a = 0, dim V0 = 1. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 1). •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng giá λ = 3 là các vectơ nghi m khác không c a h :    2 −1 01 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0  −1 −1 −2 0  −→  −1 −1 −2 0  −→  0 −3 −3 0  1 −2 −1 0 2 −1 1 0 0 3 3 0   1 −2 −1 0 −→  0 −3 −3 0  0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . 6
  7. Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2 + x3 = −b. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (−b, −b, b), b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 3 là các vectơ có d ng (−b, −b, b), b = 0, dim V3 = 1. Cơ s c a V3 là α2 = (−1, −1, 1). •  Vectơ riêng ng v i  tr riêng giá λ = 6 là các vectơ nghi m khác không c a h :    −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 0  −1 −4 −2 0  −→  0 −3 −3 0  −→  0 −3 −3 0  1 −2 −4 0 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2 + x3 = 2c. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (2c, −c, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 6 là các vectơ có d ng (2c, −c, c), c = 0, dim V6 = 1. Cơ s c a V0 là α3 = (2, −1, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính. Do đó A chéo hóa đư c. Ma tr n T c n tìm là:   0 −1 2 T =  1 −1 −1  1 1 1 và   0 0 0 T −1 AT =  0 3 0  0 0 6 là ma tr n chéo. d) Tìm đa th c đ c trưng 1−λ 0 0 0 0 −λ 0 0 PA (λ) = = λ2 (1 − λ)2 0 0 −λ 0 1 0 0 1−λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = 0, λ = 1. •  Vectơ riêng ng vi giá  riêng λ tr = 0 là  vectơ nghi m khác không c a h : các 1 0 0 0 0 1∗ 0 0 0 0  0 0 0 0 0    −→  0 0 0  1∗ 0    0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s là x2 , x3 . Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, b, 0), a, b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, b, 0), a2 + b2 = 0, dim V0 = 2. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 0, 0), α2 = (0, 0, 1, 0). 7
  8. •  Vectơ riêng ng v i giá tr   riêng λ = 1 là các vectơ nghi m khác không c a h :  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 −1 0 0 0   −→  0 −1 0 0 0      0 0 −1 0 0   0 0 −1 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c tham s là x4 . Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, 0, 0, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ có d ng (0, 0, 0, c), c = 0, dim V1 = 1. Cơ s c a V1 là α3 = (0, 0, 0, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A ch có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính trong khi A là ma tr n c p 4 nên A không chéo hóa đư c. 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm m t cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i. Đ u tiên ta tìm ma tr n c a f trong cơ s nào đó c a R3 . Vì è đã cho f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) nên d nh t là tìm ma tr n c a f trong cơ s (u). B n đ c có th d dàng tìm đư c:   0 1 1 Af /(u) =  1 0 1  1 1 0 Bư c ti p theo, ta tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A = Af /(u) . T đó s tìm đư c giá tr riêng và vectơ riêng c a f .   0 1 1 Các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n A =  1 0 1 , ta đã tìm trong ph n lý thuy t. 1 1 0 K t qu tóm t t như sau: • A có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ (−a − b, a, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1). • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ (c, c, 0), c = 0. Trư ng h p này A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 1). T đó suy ra: • f có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ d ng (−a − b)u1 + au2 + bu3 = (−2a, a + 2b, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −1.u1 + 1.u2 + 0.u3 = (−2, 1, 0) β2 = −1.u1 + 0.u2 + 1.u3 = (0, 2, 1) 8
  9. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ d ng c.u1 + c.u2 + c.u3 = (c, 6c, 4c), c = 0. Trư ng h p này f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = (1, 6, 4) K t lu n. Vì f là phép bi n đ i tuy n tính c a R3 (dim R3 = 3) và f có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là β1 , β2 , β3 nên β1 , β2 , β3 (β) chính là cơ s c a R3 c n tìm và ta có:   −1 0 0 Af /(β) =  0 −1 0  0 0 2 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a mãn ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: (a) Im ϕ + Ker ϕ = V (b) Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Gi i. a) T t nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta c n ch ng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ. V i m i α ∈ V , ta có: α = ϕ(α) + (α − ϕ(α)) T t nhiên ϕ(α) ∈ Im ϕ, và ϕ(α − ϕ(α)) = ϕ(α) − ϕ2 (α) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0. Do đó, α − ϕ(α) ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, và Im ϕ + Ker ϕ = V . b) Gi s β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ. Khi đó t n t i α ∈ V đ ϕ(α) = β. Theo gi thi t ϕ2 = ϕ nên ta có: β = ϕ(α) = ϕ2 (α) = ϕ(ϕ(α)) = ϕ(β) = 0 (vì β ∈ Ker ϕ). V y β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ thì β = 0. Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}. 9. Cho f : V → V là ánh x tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L. (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f . Gi i. Đ gi i bài t p 9 và bài t p 10, ta c n nh k t qu sau (đã ch ng minh trong ph n lý thuy t): N u ϕ : V → U là ánh x tuy n tính thì ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a) Xét ánh x f : L → V , f = f |L , t c là f (α) = f (α) v i m i α ∈ L. ¯ = f (L) = f (L), Ker f = L ∩ Ker f . Ta có Im f ¯ ¯ ¯ Áp d ng k t qu trên v i ϕ = f , ta có: ¯ ¯ dim Im f + dim Ker f = dim L ¯ Do đó, dim f (L) = dim Im f ≤ dim L ¯ và dim f (L) = dim L − dim Ker f ≥ dim L − dim Ker f b) Đ t L = f −1 (L). Khi đó f (L ) = L. Áp d ng a) v i không gian vectơ con L , ta có: dim L − dim Ker f ≤ dim f (L ) ≤ dim L t c là dim f −1 (L) − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f −1 (L) 9
  10. Do đó: dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Gi i. a) Áp d ng câu a) bài 9 cho ánh x tuy n tính ψ : W → U v i L = Im ϕ = ϕ(V ) ⊂ W , ta có: dim ϕ(V ) ≥ dim ψ(ϕ(V )) = dim(ψϕ)(V ) = dim Im(ψϕ) V y ta có: rank(ψϕ) ≤ rank ϕ (1) M t khác, ta có: ϕ(V ) ⊂ W nên ψ(ϕ(V )) ⊂ ψ(W ), do đó dim ψϕ(V ) ≤ dim ψ(W ), t c là: rank ψϕ ≤ rank ψ (2). T (1) và (2) ta có đi u c n ch ng minh. ¯ ¯ ¯ b) Xét ánh x ψ : Im ϕ → U , ψ = ψ|Im ϕ , t c là ψ(α) = ψ(α) v i m i α ∈ Im ϕ. ¯ ¯ ¯ Khi đó, Ker ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ và Im ψ = ψ(Im ϕ) = ψ(Im ϕ) = (ψϕ)(V ) = Im ψϕ, t c là: dim Im(ψϕ) + dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) = dim Im ϕ. Do v y, rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ). c) Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ. B i v y, theo câu b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) ≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − (dim W − rank ψ) = rank ϕ + rank ψ − dim W. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, TR N Đ C THU N Ngày: 09/03/2006 10
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

  • Toán cao cấp 2- Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

    pdf 12 p | 2284 | 233

  • Toán cao cấp 2- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

    pdf 12 p | 1767 | 189

  • Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

    pdf 20 p | 1412 | 157

  • Toán cao cấp 2- Bài 7: Toán tử tuyến tính

    pdf 12 p | 1554 | 96

  • Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm

    pdf 53 p | 178 | 25

  • Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 17 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

    pdf 10 p | 97 | 7

  • Kế hoạch bài giảng môn Hình giải tích và Đại số tuyến tính

    pdf 66 p | 56 | 4

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn: Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới: *Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu
  • Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
  • Không hoạt động
  • Có nội dung khiêu dâm
  • Có nội dung chính trị, phản động.
  • Spam
  • Vi phạm bản quyền.
  • Nội dung không đúng tiêu đề.
Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN
  • Về chúng tôi
  • Quy định bảo mật
  • Thỏa thuận sử dụng
  • Quy chế hoạt động
TRỢ GIÚP
  • Hướng dẫn sử dụng
  • Upload tài liệu
  • Hỏi và đáp
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
  • Liên hệ
  • Hỗ trợ trực tuyến
  • Liên hệ quảng cáo
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENT

Từ khóa » Bài Tập Về Chứng Minh ánh Xạ Tuyến Tính