Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Dạng ''làm Chung

Điều này là không khó khăn vì dạng toán “Làm chung – Làm riêng” thì hầu như bao giờ đề bài cũng cho: “Thời gian làm chung của hai đội (hai người,…)” và yêu cầu tìm: “Thời gian làm một mì[r]

Phương pháp Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình nói chung gồm các bước sau:

- Như vậy bước phân tích đề bài không thấy có trong các bước giải của “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”, nhưng đó lại là bước quan trọng nhất để định hướng

ra cách lập hệ phương trình Nếu như học sinh không làm tốt được bước này thì sẽ rất khó khăn khi lập hệ phương trình

- Bên cạnh đó thì cách gọi ẩn gián tiếp cũng sẽ giúp học sinh giải các hệ phương

trình vừa lập được một cách nhanh và dễ dàng hơn Cụ thể là: Bài toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” “vòi nước chảy chung – vòi nước chảy riêng” nói chung bao giờ cũng hỏi thời gian làm một mình của mỗi đội là bao

lâu hay mỗi vòi chảy bao lâu sẽ đầy bể Theo như các dạng toán trước, bài toán hỏi điều gì

ta sẽ chọn đại lượng đó làm ẩn, vậy trong dạng toán này ta có thể :

“Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của đội 1(người 1…) là x (đv), đk.

Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của đội 2(người 2…) là y (đv), đk “.

Từ đó ta có thể suy ra:

Thời gian hoàn thành công việc một mình của đội 1(người 1…) là

1

x (đv).

Thời gian hoàn thành công việc một mình của đội 1(người 1…) là

1

y (đv).

- Để áp dụng được cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” bằng cách phân tích đề bài một cách hợp lý thì việc đầu tiên là phải giúp học sinh nhận ra dạng toán Điều này là không khó khăn vì dạng toán “Làm chung – Làm riêng” thì hầu như bao giờ đề bài cũng cho: “Thời gian làm chung của hai đội (hai

người,…)” và yêu cầu tìm: “Thời gian làm một mình của mỗi đội (mỗi người,…) để hoàn thành công việc”

Khi thực hiện giải toán cần lưu ý tất cả thời gian phải đổi về dạng phân số chẳng hạn:

10 phút =

10 1

606 giờ, 12 phút =

12 1

605 giờ Lưu ý: Khi tìm 1 giờ người, đội hay vòi nước thứ nhất hoặc thứ hai là

1

x hay

1

y thì suy ra để hoàn thành công việc hoặc vòi nước chảy vào bể là 1 Còn các đại lượng khi đề bài mô tả là

1

u trong đó u là con số thời gian trong đề bài cho Đây là dạng toán khó hiểu nhất khi giải toán bằng cách lặp hệ phương trình

- Có rất nhiều cách phân tích đề bài nhưng ở đây dùng cách phân tích bằng cách lập bảng, như sau:

*/ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn số và các đại lượng đã biết

- Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng

*/ Bước 2: Giải hệ phương trình:

Giải hệ phương trình vừa lập được

*/ Bước 3: Trả lời:

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn

điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời

Thời gian hoàn thành công việc

Năng suất làm việc

trong 1 ngày (1 giờ )

Hai đội

(2 vòi )

a

Đội 1

(vòi 1 )

x

Đội 2

(vòi 2 )

y

Ngoài ra cũng cần nhấn mạnh cho học sinh: “Thời gian hoàn thành công việc và

năng suất làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch”.

Ví dụ:

*/ Bài toán 1: (Bài 33/24 SGK Toán 9 – Tập 2)

“Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?”

*/ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề bài bằng cách lập bảng như sau:

(Gv dùng hệ thống câu hỏi, học sinh trả lời, gv điền vào bảng phân tích)

-Yêu cầu h/s đọc đề bài Cho h/s xác định dạng toán

Gv nhấn mạnh: Có 2 cách gọi ẩn

a/ Gv cùng học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn trực tiếp)

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ Hai

người

16

(đk: 16 < x)

1

x

(đk: 16 < y)

1

y

-Bài toán cho biết thời gian hoàn thành công việc của 2 người là bao lâu?

h/s: thời gian hoàn thành công việc của 2 người là 16 giờ - gv điền bảng.

- Thời gian hoàn thành công việc và năng suất làm việc trong 1 giờ là hai đại lượng có quan hệ như thế nào?

h/s: thời gian hoàn thành công việc và năng suất làm việc trong 1 giờ là hai đại lượng

tỉ lệ nghịch

- Gv nhấn mạnh: Vì thời gian hoàn thành công việc và năng suất làm việc trong 1 giờ là 2

đại lượng tỉ lệ nghịch , nên năng suất làm việc trong 1 giờ của 2 người là bao nhiêu?

h/s: Năng suất làm việc trong 1 giờ của 2 người là

1

16(cv) - Gv điền vào bảng

-Bài toán yêu cầu gì?

h/s: Nếu làm riêng thì mỗi người phải hoàn thành công việc đó trong bao lâu

-Gv nhấn mạnh: Dạng toán này, đề bài yêu cầu tìm gì thì thường gọi các đại lượng đó làm

ẩn Vậy bài toán này ta gọi ẩn như thế nào?

h/s: gọi thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là x (giờ)

thời gian hoàn thành công việc của đội 2 là y (giờ)

-Điều kiện của từng ẩn?

h/s: 16 < x, 16 < y - Gv điền vào bảng.

-Vậy năng suất làm việc trong 1 giờ của người 1 là bao nhiêu?

h/s: năng suất làm việc trong 1 giờ của người 1 là

1

x công việc

-Vậy năng suất làm việc trong 1 giờ của người 2 là bao nhiêu?

h/s: năng suất làm việc trong 1 giờ của người 2 là

1

y công việc

- Gv điền vào bảng.

-Năng suất làm việc của 2 người còn được tính như thế nào?

h/s: năng suất của người 1 + năng suất của người 2 = năng suất của 2 người

-Vậy ta lập được phương trình nào?

h/s :

16

x y 

Gv ghi xuống dưới bảng phân tích: Pt (1) :

16

x y 

Gv nhấn mạnh : Pt (1) được lập:

Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2)

(Gv hỏi - H/s trả lời – Gv ghi dưới bảng )

-Bài toán còn cho biết gì? Thời gian làm khối lượng c/việc

người 1: 3 giờ 3

1

x (c/việc)

người 2: 6 giờ 6

1

y (c/việc)

2 người làm được 25% =

1

4 (c/việc)

-Vậy trong 3 giờ người htws nhất làm được bao nhiêu phần công việc?

h/s trả lời : trong 3 giờ người 1 làm được 3

1

x (c/việc) – Gv ghi sang bên.

-Vậy trong 6 giờ người 2 làm được bao nhiêu phần công việc?

h/s trả lời : trong 6 giờ người 2 làm được 6

1

y (c/việc) – Gv ghi sang bên.

Gv nhấn mạnh:

-Dựa vào quan hệ đó ta lập được pt nào?

h/s:

3 6.

4

x y 

Gv nhấn mạnh : cách lập pt (2):

năng suất của người 1 + năng suất của người 2 = năng suất của 2 người

Khối lượng c/việc = Thời gian x năng suất

K/lượng c/việc người 1 + K/lượng c/việc người 2 = K/lượng c/việc 2 người làm

*> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề bài bằng lập bảng.

Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và

làm theo sơ đồ các bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9)

để lập pt (2) theo sơ đồ dưới đây: )

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ Hai

người

(5) 16

(6)

1 16

Người 1 (1) x

(đk: 16 < x) (3)

1

x

Người 2 (2) y

(đk: 16 < x) (4)

1

y

-Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1):

16

x y 

Thời gian làm khối lượng c/việc

(7) người 1: 3 giờ 3.

1

x (c/việc)

(8) người 2: 6 giờ 6.

1

y (c/việc)

(9) 2 người làm được 25% =

1

4 (c/việc) -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ 2 để lập pt (2):

3 6.

4

x y 

-Vậy ta có hệ phương trình nào?

h/s:

16

3 6.

4

x y











-Yêu cầu cả lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình

h/s giải hpt tìm được nghiệm :

24 48

x y









-Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán

Gv củng cố lại cách làm

b/ Gv cùng học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn gián tiếp)

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ

Hai người

16

x

x

(đk: 0 < x <

1

16 )

y

y

(đk: 0 < y <

1

16 )

*/ Gv chú ý h/s cách phân tích đề bài cũng giống như trên nhưng ta gọi ẩn gián tiếp.

-Gv nhấn mạnh: Nếu ta gọi ẩn gián tiếp tức là gọi năng suất làm việc trong 1 giờ của mỗi

người là ẩn thì bài toán này ta gọi ẩn như thế nào?

h/s: gọi năng suất làm việc trong 1 giờ của đội 1 là x (c/việc)

năng suất làm việc trong 1 giờ của đội 2 là y (c/việc)

-Điều kiện của từng ẩn?

h/s: 0 < x <

1

16 , 0 < y <

1

16 - Gv điền vào bảng.

-Vậy thời gian hoàn thành công việc của người 1 là bao nhiêu?

h/s: thời gian hoàn thành công việc của người 1 là

1

x (giờ)

-Vậy thời gian hoàn thành công việc của người 2 là bao nhiêu?

h/s: thời gian hoàn thành công việc của người 2 là

1

y (giờ)

- Gv điền vào bảng.

-Vậy ta lập được phương trình (!) như thế nào?

h/s :

1 16

x y 

Gv nhấn mạnh : Tương tự pt (1) cũng được lập:

-Bài toán còn cho biết gì? Thời gian làm Khối lượng c/việc

(h/s trả lời – Gv ghi dưới bảng) người 1: 3 giờ 3.x (c/việc)

người 2: 6 giờ 6.y (c/việc)

2 người làm được 25% =

1

4 (c/việc)

-Vậy trong 3 giờ người 1 làm được bao nhiêu phần công việc?

h/s trả lời : 3.x – Gv ghi sang bên.

-Vậy trong 6 giờ người 2 làm được bao nhiêu phần công việc?

h/s trả lời : 6.y – Gv ghi sang bên.

-Tương tự như trên ta lập được pt nào?

h/s:

1 3x 6y

4

Gv nhấn mạnh cách lập pt (2) cũng tương tự như trên:

năng suất của người 1 + năng suất của người 2 = năng suất của 2 người

K/lượng c/việc người 1 + K/lượng c/việc người 2 = K/lượng c/việc 2 người

làm

*> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề bài bằng lập bảng.

Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và

làm theo sơ đồ các bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9)

để lập pt (2) theo sơ đồ dưới đây: )

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ Hai

người

(5) 16

(6)

1 16 Người 1

(3)

1

x

(1) x

(đk: 0 < x <

1

16 )

Người 2

(4)

1

y

(2) y

(đk: 0 < y <

1

16 )

-Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1):

1 16

x y  Thời gian làm Khối lượng c/việc

(7) người 1: 3 giờ 3.x (c/việc) (8) người 2: 6 giờ 6.y (c/việc) (9) 2 người làm được 25% =

1

4 (c/việc)

-Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ 2 để lập pt (2) :

1

3 6

4

x y

-Vậy ta có hệ phương trình nào?

h/s:

1 16 1

4

x y

x y



 





 -Yêu cầu cả lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình

h/s giải hpt tìm được nghiệm :

1 24 1 48

x

y









 

1 24 1 48

x

y







 

 

 -Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán:

Vậy người thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 24 giờ

người thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 48 giờ

Gv nhấn mạnh: Với cách gọi ẩn này khi trả lời phải chú ý:

Thời gian hoàn thành công việc của người 1 là:

1

x

Thời gian hoàn thành công việc của người 2 là:

1

y

Gv củng cố lại cách làm

-Em hãy so sánh 2 hệ phương trình trong cách gọi ẩn trực tiếp và gọi ẩn gián tiếp thì hệ phương trình nào dễ giải hơn?

h/s: hệ pt trong cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải hơn.

Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng toán này ta nên gọi ẩn gián tiến vì khi lập được hệ phương

trình thì hệ phương trình sẽ dễ giải hơn cách gọi ẩn trực tiếp nhưng phải chú ý khi trả lời

*/Bài toán 2: (Bài 38/24 SGK Toán 9 – Tập 2)

“Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy sau 1 giờ

20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2

15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? ”

*/ Gv cùng học sinh phân tích đề bài:

-Yêu cầu 1 h/s đọc đề bài toán

-Bài toán thuộc dạng nào?

- Hãy đổi thời gian về giờ?

1 giờ 20 phút =

4

3 giờ , 10 phút =

1

6 giờ , 12 phút =

1

5 giờ

Gv lưu ý học sinh khi đổi thời gian ra giờ phải đưa về dạng phân số

Tương tự bài toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt:

Thời gian chảy đầy bể

(h/thành c/việc) (giờ)

Năng suất chảy

(làm việc) trong 1 giờ

Hai vòi

(5)

4

3 (6)

3 4 Vòi 1

(3)

1

x

(1) x

(đk: 0 < x <

3

4)

Vòi 2

(4)

1

y

(2) y

(đk: 0 < y <

3

4) -Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1)?

h/s:

3

x y

4

-Bài toán cho biết thêm điều gì?

(7) vòi 1:

1

6 giờ được

1

6.x (bể)

(8) vòi 2:

1

5 giờ được

1

5.y (bể) (9) 2 vòi chảy được

2

15 (bể) -Vậy với thời gian đó thì mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần của bể?

h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt

-Từ phân tích, lập pt (2)?

h/s:

6x5y15

-Từ đó ta có hệ phương trình nào?

h/s: có hpt:

3

3 4

4

x y

x y

x y







Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước của bảng phân tích.

h/s lần lượt đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt được nghiệm :

1 2 1 4

x

y









 

 (TM)

1 2 1 4

x

y







 

 

 -Yêu cầu 1 h/s đứng trả lời bài toán:

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ

vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ

Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý:

Thời gian hoàn thành công việc của người 1 là:

1

x

Thời gian hoàn thành công việc của người 2 là:

1

y

*/Bài toán 3: (Bài 32/23 SGK Toán 9 – Tập 2)

“Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau

4 4

5 giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau

6

5 giờ nữa mới đầy

bể Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? ”

*/ Gv cùng h/s phân tích:

-Yêu cầu 1 h/s đọc đề bài toán

-Bài toán thuộc dạng nào?

Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng

h/s: Đổi

4 4

5 giờ =

24

5 giờ

Gv lưu ý học sinh khi đổi thời gian ra giờ phải đưa về dạng phân số

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ Hai vòi

(5)

24

5 (6)

5

24

Vòi 1

(3)

1

x

(1) x

(đk: 0 < x <

5

24)

Vòi 2

(4)

1

y

(2) y

(đk: 0 < y <

5

24)

-Vậy lập được pt (1) như thế nào? h/s:

5

x y

24

-Bài toán cho biết thêm điều gì?

h/s trả lời: Thời gian chảy Khối lượng c/việc

(7) vòi 1: 9 giờ +

6

5 giờ (9 +

6

5).x (bể)

(8) vòi 2:

6

5 giờ

6

5.y (bể)

(9) 2 vòi chảy được đầy bể = 100% = 1

-Vậy với thời gian đó thì mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần của bể?

h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt

*/Gv chú ý học sinh:

- Vòi 1 chảy 9 giờ rồi mới mở thêm vòi 2 là

6

5 giờ Tức là: vòi 1 chảy 9 giờ +

6

5 giờ còn vòi 2 chỉ chảy

6

5 giờ

- Chảy đầy bể tức là 100% của bể = 1

-Vậy ta có phương trình 2 lập như thế nào?

h/s: (9 +

6

5).x +

6

5.y = 1 Gv: Ngoài cách lập pt (2) như trên ta còn cách khác như sau:

-Vòi 1 chảy một mình trong mấy giờ? h/s trả lời

-Hai vòi chảy chung trong mấy giờ?

Gv vẽ sơ đồ phân tích ra :

vòi 1: 9 giờ 2 vòi:

6

5 giờ Thời gian k/lượng c/việc

(7) vòi 1: 9 giờ 9.x (bể )

(8) sau đó 2 vòi:

6

5 giờ

6

5.

5

24 (bể )

(9) Khi đó chảy đầy bể = 100% (bể ) = 1

-Trong 9 giờ vòi 1 chảy được bao nhiêu phần bể?

h/s trả lời - gv ghi xuống bên dưới sơ đồ

-Trong

6

5 giờ 2 vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

h/s trả lời - gv ghi xuống bên dưới sơ đồ

-Vậy ta có phương trình (2) như thế nào?

h/s: 9.x +

6

5

5

24 = 1

1

4

x

-Từ đó ta có hpt nào?

h/s:

5 24 1

4

x y

x



 







Giải

-Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước của bảng phân tích

h/s lần lượt đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt tìm được nghiệm :

1 12 1 8

x

y









 

 (TM)

1 12 1 8

x

y







 

 

 -Yêu cầu 1 h/s đứng trả lời bài toán:

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở một mình vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể

Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý:

Thời gian hoàn thành công việc của người 1 là:

1

x

Thời gian hoàn thành công việc của người 2 là:

1

y

*/ Bài toán 4: (Bài 2 – Đề kiểm tra chương III- Sách nâng cao Toán 9, Tập 2

- Nhà xuất bản Hà Nội ).

“Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ nhất Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? “

*/ Gv cùng h/s phân tích:

-Yêu cầu 1 h/s đọc đề bài toán

-Bài toán thuộc dạng nào?

Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc trong 1 giờ Hai đội (5) 24

(6)

1 24 Đội 1

(3)

1

x

(1) x

(đk: 0 < x <

1

24)

Đội 2

(4)

1

y

(2) y

(đk: 0 < y <

1

24)

-Vậy lập được pt (1) như thế nào? h/s:

1

x y

24

-Bài toán cho biết thêm điều gì?

h/s: Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội

thứ nhất

- Em hiểu điều đó như thế nào?

h/s: Năng suất của đội hai làm gấp đôi năng suất của đội 1

-Vậy ta có phương trình 2 lập như thế nào?

h/s: y = 2.x

-Từ đó ta có hpt nào?

h/s:

1 24 2

x y

y x



 





 



Giải