Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Bậc Hai Một ẩn - 123doc

A – ĐẶT VẤN ĐỀ.I.Lý do chọn đ ề tài - Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn” ở chương trình đại số lớp 9 trong trường trung học cơ sở là một dạng toán tương

A – ĐẶT VẤN ĐỀ.

I.Lý do chọn đ ề tài

- Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn” ở

chương trình đại số lớp 9 trong trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh Do đặc trưng của loại này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ hoá học, ngôn ngữ vật lý , các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập lấy phương trình và giải phương trình đó Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc lập phương trình

- Hầu hết các bài toán đều có các dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến lập phương trình

- Khó khăn của học sinh khi giải dạng toán này là kỹ năng còn hạn chế, khả năng phân tích đề bài và tổng hợp các dữ kiện còn rất chậm

- Vì vậy muốn giải được loại toán này, đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình

- Một điều cần lưu ý là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực

tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực

tế Do đó khi giải loại toán này học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly thực tế,

từ đó dẫn đến không biết cách làm hoặc là rất ngại làm loại toán này

- Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán “Giải bài

toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn” luôn là một trong những

dạng toán cơ bản nhưng đại đa số học sinh đều bị mất điểm do không nắm chắc cách giải chúng hoặc biết cách làm nhưng trình bày còn thiếu chặt chẽ Do vậy

tôi đã mạnh dạn chọn và viết đề tài “Một số dạng toán về giải bài toán bằng

cách lập phương trình bậc hai một ẩn”.

II.Phạm vi và thời gian thực hiện:

- Thời gian thực hiện: 6 tiết BDHS lớp 9 Năm học: 2019 - 2020

- Đối tượng là học sinh lớp: 9A trường THCS

B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I.Quá trình thực hiện đ ề tài:

I.1.Khảo sát thực tế:

Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 9, đặc biệt đối tượng là học sinh đại trà tôi nhận thấy khi các em gặp những bài toán về giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn thì kỹ năng còn hạn chế, khả năng phân tích đề bài

và tổng hợp các dữ kiện để lập phương trình còn rất chậm Đôi khi còn:

- Thiếu điều kiện hoặc điều kiện không chính xác

- Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và ẩn để lập phương trình

- Lời giải thiếu chặt chẽ

- Giải phương trình chưa đúng

- Quên đối chiếu với điều kiện

- Thiếu đơn vị

Vì vậy, mỗi giáo viên đều phải có trách nhiệm rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại toán này để tránh những sai lầm mà học sinh hay mắc phải Do vậy, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm chắc các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các bài tập dưới các dạng toán mà học sinh đã được làm quen ở lớp 8, cần làm rõ mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết với các đại lượng chưa biết, từ đó giúp học sinh lập được phương trình và tìm ra lời giải cho bài toán

I.2.Số liệu đ iều tra tr ư ớc khi thực hiện :

Qua khảo sát thực tế trong các giờ dạy và ôn tập ở lớp 9A tôi thấy:

- Có khoảng 10% học sinh làm được bài

- Có khoảng 50% học sinh biết cách làm nhưng trình bày còn thiếu

- Có khoảng 40% học sinh là không biết lập luận như thế nào và bắt đầu từ đâu

II.Quá trình thực hiện:

II.1.Chuẩn bị:

- Các phương pháp dạy học: thuyết trình kết hợp vấn đáp gợi mở, minh hoạ trên thực tế qua các bài tập

- Tham khảo các loại sách: SGK, SGV, SBT và một số sách nâng cao, chuyên đề, ôn tập

- Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

- Định lý Vi-ét, nhẩm nghiệm(nếu có)

- Các bài tập liên quan đến các dạng toán sẽ làm

II.2.Các b ư ớc đ ể giải bài toán bằng cách lập ph ươ ng trình :

- Bước 1: Lập phương trình gồm:

+ Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán

- Bước 2: Giải phương trình

Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp.

- Bước 3: Nhận định kết quả rồi trả lời (chú ý đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra; thử lại vào bài toán)

II.3.Phân loại bài toán:

Trong số các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân loại thành các dạng như sau:

1/Dạng toán về chuyển động

2/Dạng toán liên quan đến số học

3/Dạng toán về năng suất lao động

4/Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

5/Dạng toán có liên quan đến hình học

6/Dạng toán có liên quan đến hoá học, vật lí

Với mỗi dạng toán tôi đã lựa chọn một số bài toán cơ bản nhất để hướng dẫn học sinh cách thực hiện, cách trình bày bài làm, sau đó là một số bài tập cùng dạng để học sinh có thể tự luyện, nhằm mục đích giúp các em nắm chắc phương pháp làm của từng dạng toán

III.Nội dung cụ thể: H ư ớng dẫn học sinh giải các dạng toán:

III.1.Dạng toán chuyển động:

Đây là một dạng toán cơ bản với nhiều bài tập đa dạng và phong phú, kết hợp với một số bài toán chuyển động dưới nước nên số bài tập được chọn để hướng dẫn và cho học sinh tự luyện nhiều hơn.

III.1.1.Ví dụ 1: Quãng đường AB dài 270km, hai ôtô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc mỗi xe

H

ư ớng dẫn giải :

- Trong bài toán này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc của mỗi

xe Từ đó xác định thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe

- Thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe bằng quãng đường AB chia cho vận tốc của mỗi xe tương ứng

L p b ng tóm t t:ập bảng tóm tắt: ảng tóm tắt: ắt:

x

270

12

270



x

- Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian

đi của xe thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai( 42phút

= 7/10 giờ)

Bài giải

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là: x (km/h, x > 12)

thì vận tốc của xe thứ hai là: x – 12 (km/h)

Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là 270

x (giờ)

và của xe thứ hai là 270

12

x  (giờ)

Ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 42 phút = 107 h Ta có phương trình:

2



Giải phương trình ta được : x1= 74,3(thoả mãn); x2= - 62,3 (loại)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 74,3 km/h

vận tốc của xe thứ hai là 62,3 km/h

- L

ư u ý: có thể chia ra nhiều dạng như:

+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau

+ Nếu chuyển động trên một đoạn từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả

đi lẫn về bằng thời gian chuyển động trên thực tế

+ Nếu chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình : S1 + S2 = S

III.1.2.Ví dụ 2: Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy đi từ A đến B dài

75 km với vận tốc định trước Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay trở lại A với vận tốc lớn hơn 5 km/h Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút Tính vận tốc

dự định của người đó

Bài giải:

Thời gian thực tế người đi xe máy đi trên đường là:

12 giờ 20 phút – 6 giờ 30 phút – 20 phút = 5 giờ 30 phút = 11

2 giờ Gọi vận tốc dự định của người đó là x (km/h, x > 0)

Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là 75

x giờ Thời gian người đi xe máy đi từ B về A là 75

5

x  giờ Thời gian thực tế đi xe máy trên đường là 11

2 giờ Ta có phương trình:

2 2

75.2.( 5) 75.2 11 ( 5)

150 750 150 11 55

11 245 750 0



Giải phương trình ta được: x = 25 (thoả mãn )

Vậy vận tốc dự định của người đi xe máy là 25 km/h

III.1.3.Ví dụ 3: Quãng đường Thanh Hoá- Hà Nội dài 150km Một ôtô từ

HN vào TH, nghỉ lại Thanh Hoá 3 giờ 15phút, rồi trở về HN, hết tất cả 10 giờ Tính vận tốc của ôtô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10 km/h

Bài giải

Gọi vận tốc của ôtô lúc về là x(km/h, x > 0)

vận tốc của ôtô lúc đi là: x + 10 (km/h)

Thời gian đi từ HN đến TH là: 15010



x (km/h), thời gian về là: 150x (km/h) Thời gian đi, nghỉ và về là 10h Ta có phương trình:

150 13 150

10

10 4

x   x 

hay 9x2  310x 2000 0

Giải phương trình ta được: x1 = 40(thoả mãn); x2 = - 50/9 (loại)

Vậy vận tốc của ôtô lúc về là 40km/h

III.1.4.Ví dụ 4: Hà Nội cách Nam Định 90km Hai ôtô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ HN, xe thứ hai từ NĐ và đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ thì chúng gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai tới HN trước khi xe thứ nhất tới NĐ là 27phút Tính vận tốc mỗi xe?

Bài giải

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x(km/h, 0 < x < 90)

Vì sau 1giờ hai xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường đi được của hai xe trong 1giờ, hay tổng vận tốc của hai xe là 90km/h

Do đó vận tốc của xe thứ hai là 90 – x(km/h)

Quãng đường mà xe thứ nhất phải đi tiếp là: 90 – x (km)

Vì vậy, thời gian xe thứ nhất đi tiếp để tới NĐ là: 90 x

x



(giờ)

thời gian xe thứ hai đi tiếp để tới HN là:

90

x x

 (giờ)

Ta có phương trình:



 hay x2  490x18000 0

Giải phương trình ta được: x1 = 40(thoả mãn); x2 = 450(loại)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h;

vận tốc của xe thứ hai là 50km/h

III.1.5.Ví dụ 5: Quãng đường AB dài 200km Cùng một lúc, một xe tải khởi hành từ A đi về B và một xe con khởi hành đi từ B về A Sau khi hai xe gặp nhau, xe tải phải đi thêm 3giờ nữa mới tới B Biết vận tốc xe tải kém vận tốc xe con là 20km/h, tính vận tốc mỗi xe?

Giải

Gọi vận tốc xe tải là x (km/h, x > 0)

thì vận tốc xe con là x + 20 (km/h)

Quãng đường xe tải chạy trong 3giờ sau khi gặp xe con là 3x(km)

Quãng đường xe tải đã chạy trước khi gặp xe con là 200 – 3x (km)

Thời gian xe tải chạy cho đến khi gặp xe con là 200 3x

x



(giờ)

Thời gian xe con chạy cho đến khi gặp xe tải là 3

20

x

x  (giờ)

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc nên ta có phương trình:

20





 hay 3x2 – 70x – 2000 = 0

Giải phương trình ta được: x1 = 40 (thoả mãn); x2 = 50

3

 (loại) Vậy vận tốc xe tải là: 40 (km/h)

vận tốc xe con là: 40 + 20 = 60 (km/h)

III.1.7.Bài tập tự luyện:

Bài 1 Một người đi xe đạp từ A đến B dài 36km Lúc về người đó tăng vận tốc thêm 3km/h, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi?

Bài 2 Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy A từ đến B dài 75km với vận tốc định trước Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn 5 km/h Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút Tính vận tốc dự định của người đó?

Bài 3 Một canô xuôi một khúc sông dài 50km, rồi ngược khúc sông ấy 32km thì hết 4giờ 30phút Tính vận tốc của dòng nước, biết vận tốc của canô là 18km/h Bài 4 Một tàu thuỷ xuôi dòng sông từ A đến B dài 48km rồi ngược dòng sông

từ B về A hết 5 giờ Tính vận tốc của tàu thuỷ, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h

(Lưu ý là: V khi xuôi dòng = V canô + V dòng nước

V khi ngược dòng = V canô - V dòng nước)

III.2.Dạng toán liên quan đến số học:

III.2.1.Ví dụ 1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị; tổng các bình phương hai chữ số của số đó bằng 80

H

ư ớng dẫn

Để tìm số đã cho tức là ta phải tìm những thành phần nào?(chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị)

Nều biết chữ số hàng chục thì có tìm được chữ số hàng đơn vị không? vì sao? Bài giải

Gọi chữ số hàng chục là x (x N * ,1  x 5)

thì chữ số hàng đơn vị là x + 4

Theo bài ra ta có phương trình:

x2 + (x + 4)2 = 80

<=> 2x2 + 8x – 64 = 0

<=> x2 + 4x – 32 = 0

Giải ra ta được x1 = 4 (thoả mãn); x2 = -8 (loại)

Vậy số cần tìm là 48

L

ư u ý : Với dạng này cần hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng như hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm

Biểu diễn: ab 10a b  ; abc100a10b c

III.2.2.Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10 Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho

Bài giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x ( xN*, x  9)

thì chữ số hàng đơn vị là: 10 – x

Khi đó giá trị của số đã cho là: 10x + 10 – x = 9x + 10

Theo đề bài ta có phương trình:

x(10 – x) + 12 = 9x + 10 <=> x2 – x – 2 = 0

Ta thấy a – b + c = 1 – (-1) + (-2) = 0

Phương trình có hai nghiệm: x1 = - 1(loại); x2 = 2(thoả mãn)

Vậy số phải tìm là 28

III.2.3.Ví dụ 3: Tìm hai số, biết rằng số lớn hơn số nhỏ là 3 đơn vị và tổng các bình phương của hai số đó bằng 369

Bài giải

Gọi số nhỏ cần tìm là x (xR)

thì số lớn là x + 3

Theo đề bài, tổng các bình phương của hai số là 369, nên ta có phương trình: (x + 3)2 + x2 = 369

Giải phương trình ta được: x1 = 12; x2 = -15

Cả hai giá trị này đều thoả mãn điều kiện của ẩn

Vậy số nhỏ là 12, số lớn là 15 hoặc số nhỏ là -15, số lớn là -12

III.2.4.Bài tập tự luyện:

Bài 1 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng -10

Bài 2 Tìm một số biết rằng tổng của số đó với số nghịch đảo của nó là 2,05 Bài 3 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tổng các bình phương của chúng là 157

Bài 4 Phân tích số 270 ra hai thừa số mà tổng của chúng bằng 33

III.3.Dạng toán về n ă ng suất lao đ ộng:

III.3.1.Ví dụ 1: Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian qui định Nhờ tăng năng suất lao động , mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với qui định Tình số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ng`ày theo kế hoạch

Bài giải

Gọi số sản phẩm đội phải làm trong một ngày theo kế hoạch là: x (sản phẩm)

*

(x N x ,  1000)

thì thực tế mỗi ngày đội đó đã làm được x + 10(sản phẩm)

Thời gian sản xuất 1000 sản phẩm theo kế hoạch là: 1000x (ngày)

Thực tế thời gian sản xuất 1080 sản phẩm là:

10

1080



x (ngày) Đội hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch

Ta có phương trình: 1000 1080 2

10

x  x 

Giải phương trình ta được: x1 = 50(thoả mãn); x2 = - 100(loại)

Vậy theo kế hoạch đội phải làm 50 sản phẩm trong một ngày

III.3.2.Ví dụ 2: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm trong một giờ của người đó Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm Bài giải

Đổi 12 phút = 1

5 giờ Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi giờ của người đó là x (sp, 0 < x < 20) Thời gian làm theo dự kiến là: 72

x giờ

Số sản phẩm mỗi giờ làm được trong thực tế là: x + 1 (s/p)

Thời gian làm trên thực tế là: 80

1

x  giờ Thời gian hoàn công việc chậm hơn so với dự định 12 phút = 51h Ta có phương trình:

2 2



Giải phương trình ta tìm được x1 = 24(loại); x2 = 15 (thoả mãn)

Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong một giờ của người đó là 15 sản phẩm

III.3.3.Ví dụ 3: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ

đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm thảm, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm thảm ?

Bài giải

Gọi số tấm thảm mà phân xưởng dự định dệt mỗi ngày là x(tấm thảm, xN*) Thời gian phân xưởng phải hoàn thành kế hoạch là 3000

x (ngày) Trong 8 ngày đầu phân xưởng dệt được 8x (tấm thảm)

Trong những ngày còn lại, mỗi ngày phân xưởng dệt được x + 10 (tấm thảm)

Số ngày cần thiết để phân xưởng dệt hết số tấm thảm còn lại là 3000 8

10

x x



thảm)

Phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày, ta có phương trình:

3000 3000 8

2 8 10

x



 Hay x2 + 50x – 15000 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 100(thoả mãn); x2 = -150(loại)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt 100 tấm thảm

III.3.4.Bài tập tự luyện:

Bài 1: Đồng lúa của xã Đại Đồng rộng hơn đồng lúa của xã Bình Minh là 12ha Trong vụ thu hoạch, xã Đại Đồng thu hoạch được 1470 tấn thóc, còn xã Bình Minh thu được 1440 tấn thóc Tuy nhiên, năng suất lúa ở xã Bình Minh cao hơn

ở xã Đại Đồng là 1 tạ/ha Tính năng suất lúa ở mỗi xã?