Giải Một Số Phương Trình Vi Phân Thường Cấp 2 đơn Giản

Có thể bạn quan tâm

Khi giải các bài toán biên bằng phương pháp tách biến ta gặp phải một số phương trình vi phân thường cấp $2$ :

+) phương trình với hệ số hằng

$x^{,,}(t)+2bx^{,}(t)+cx(t)=0$ , $\;\;\;(1)$

+) phương trình Euler

$t^2x^{,,}(t)+2btx(t)+cx(t)=0$ , $\;\;\;(2)$

trong đó $b, c$ là các hằng số thực.

Để giải hai loại phương trình trên (tìm nghiệm tổng quát hay tất cả các nghiệm) ta lưu ý:

+) tập tất cả các nghiệm của phương trình vi phân cấp $2$ lập thành không gian véc-tơ hai chiều trên trường thực,

+) ta chỉ cần tìm hai nghiệm đặc biệt độc lập tuyến tính $x_1(t), x_2(t)$ nghĩa là

nếu $\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)=0, \forall t,$ thì $\alpha=\beta=0$ ( $\alpha, \beta\in\mathbb R$ ).

Cũng cần lưu ý rằng ta đi tìm nghiệm $x(t)$ là hàm có giá trị là số thực!

Vấn đề làm thế nào để tìm được nghiệm đặc biệt hay định dạng nghiệm đặc biệt cụ thể là gì?

Với loại phương trình hệ số hằng, từ gợi ý phương trình $x^{,}(t)=x(t)$ có nghiệm $x(t)=e^t$ , ta tìm nghiệm đặc biệt dạng

$x(t)=e^{\lambda t}$ .

Thay vào $(1)$ ta thu được phương trình (được gọi là phương trình đặc trưng):

$\lambda^2+2b\lambda+c=0$ . $\;\;\;(3)$

Ta sẽ gặp một trong các tình huống sau:

+) $(3)$ có hai nghiệm thực phân biệt $\lambda_1, \lambda_2$ khi

$b^2-c>0$ .

Lúc này dễ dàng có hai nghiệm độc lập tuyến tính

$x_1(t)=e^{\lambda_1t}, x_2(t)=e^{\lambda_2t}$ .

+) $(3)$ có hai nghiệm thực trùng nhau $\lambda_1=\lambda_2=-b$ khi

$b^2=c$ .

Lúc này ta mới có một nghiệm

$x_1(t)=e^{-bt}$ .

Lưu ý $x_1^{,}(t)+bx_1(t)=0$ nghiệm còn lại

$x_2(t)=tx_1(t)=te^{-bt}$ .

+) $(3)$ có hai nghiệm phức $\lambda_{1, 2}=\alpha\pm i\beta, \alpha, \beta\in\mathbb R, \beta\not=0$ khi

$b^2-c<0$ .

Khi đó $e^{\lambda_{1, 2}t}$ thỏa mãn phương trình $(1)$ . Nhưng các hàm này có giá trị không là số thực! Tuy nhiên cần lưu ý $(1)$ là phương trình thuần nhất nên có tính chất “chồng chất nghiệm” nghĩa là tổ hợp tuyến tính các nghiệm cũng là nghiệm. Ta có hai nghiệm giá trị thực: