[Giải Tích III] Phương Trình Vi Phân Cấp 2 đặc Biệt - {Epsilon + Bit}'s Blog

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn một số dạng phương trình vi phân cấp 2 đặc biệt, hay – khó và cách giải của chúng.

1. Phương trình Cauchy – Euler

$x^2y''+axy'+by=0$

Cách giải: Đặt $|x| = e^t \Rightarrow t = \ln|x|$ , thì ta có $dt = \dfrac{dx}{x}$

$y'=\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}.\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}.\dfrac{dy}{dt}$

$y'' =\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}.\dfrac{dy}{dt}\right) = -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{x} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{dt}{dx} = -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d^2y}{dt^2}$

Thay vào phương trình đã cho ta có: $\dfrac{d^2y}{dt^2} + (a-1)\dfrac{dy}{dt} +by = 0$ . Đây là phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng đã biết cách giải.

Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau:

1. $x^2y''+5xy'+13y=0$

2. $(2x+1)^2y''-4(2x+1)y'+8y=-8x-4$

3. $x^4y''+2x^2y'+n^2y=0$ . Gợi ý: Đặt $x = \dfrac{n}{t}$ .

2. Phương trình đưa về phương trình hệ số hằng

Dạng 1.

Phương trình:

$y''+p(x)y'+q(x)y=0 \qquad (1)$

Với điều kiện nào của phép đổi biến $t = \varphi(x)$ thì đưa được (1) về phương trình với hệ số hằng?

Với phép đổi biến trên thì ta có:

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}.\dfrac{dt}{dx} = \varphi'.\dfrac{dy}{dt}$

$y'' = \dfrac{d}{dx}\left(\varphi' .\dfrac{dy}{dt}\right) = \varphi''.\dfrac{dy}{dt} + \varphi'.\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{dt}{dx} = \varphi''.\dfrac{dy}{dt} + (\varphi')^2.\dfrac{d^2y}{dt^2}$

Thay vào phương trình (1) ta có:

$\dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{p\varphi'+\varphi''}{(\varphi')^2}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{q}{(\varphi')^2}y=0 \qquad (1')$

Theo đó, để (1′) là phương trình với hệ số hằng khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{q}{(\varphi')^2} = a\\ \\ \dfrac{p\varphi'+\varphi''}{(\varphi')^2}=b \end{matrix}\right. \qquad (a, b =const)$

Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau:

1. $2xy''+y'-2y=0$

2. $(1+x^2)^2y''+2x(1+x^2)y'+y=0$

Dạng 2.

Phương trình:

$y''+p(x)y'+q(x)y=0 \qquad (2)$

Với điều kiện nào của phép đổi biến $y=z.\alpha(x)$ thì đưa được phương trình (2) về một phương trình khuyết $y'$ . Và khi nào thì phương trình này là phương trình hệ số hằng?