Giải Phương Trình Căn 2 ( Sin X + Cos X ) - 1 = Sin Xcos X. - Tự Học 365

Có thể bạn quan tâm

LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM 50000+ CÂU HỎI

DÀNH CHO MỌI LỚP 6 ĐẾN 12

TRUY CẬP NGAY XEM CHI TIẾT

Giải phương trình căn 2 ( sin x + cos x ) - 1 = sin xcos x.

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x\cos x.\)

A. \(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k\pi } \right\}\) B. \(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi } \right\}\) C. \(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\alpha - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right\}\) D. \(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\alpha - \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right\}\)

Đáp án đúng: B

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

\(\sqrt 2 \left( {\sin x + cosx} \right) - 1 = \sin x.cosx\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt ,\(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\) Phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt 2 t - 1 = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = - 1 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \,\,\,\,\,\left( {Voi\,\,\sin \alpha = - 1 + \sqrt 2 } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) Vậy \(S = \left\{ {\alpha - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) với \(\sin \alpha = - 1 + \sqrt 2 \).