Giải Phương Trình Sin 4x - Cos 4x = 1 + 4 2 Sin X - Dp - Tự Học 365

Lời giải của Tự Học 365

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích có chứa nhân tử \(\cos x - \sin x\).

- Giải phương trình tích, đưa một phương trình thành phần về dạng \(\sin A - \cos B =  - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A =  - 1\\\cos B = 1\end{array} \right.\).

- Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau đó kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin 4x - \cos 4x = 1 + 4\sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 4x - \left( {1 + \cos 4x} \right) = 4\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x - 2{\cos ^2}2x = 4\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 4\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 4\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 4\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos x - \sin x} \right)\left[ {\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \cos x\\\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos 3x} \right] =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\\sin x - \cos 3x =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\\left\{ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x \in \emptyset \end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn D.