Giải Phương Trình Tổ Hợp Và Chỉnh Hợp

Để giải phương trình tổ hợp và chỉnh hợp thì trước tiên các bạn cần nhớ được công thức tính chỉnh hợp và công thức tính tổ hợp. Bên cạnh đó phải chú ý tới điều kiện để tồn tại chỉnh hợp và tổ hợp.

Công thức hoán vị

$P_n=n!=1.2.3.4…n$ với $n\geq 1$

Công thức chỉnh hợp

$A^k_n=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Công thức tổ hợp

$C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Xem thêm bài giảng:

• Giải phương trình hoán vị và chỉnh hợp
• Cách phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp
• 02 bài toán tìm số áp dụng chỉnh hợp, tổ hợp hay gặp
• Bài tập về quy tắc cộng và quy tắc nhân P1
• Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton – P1

Sau đây chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một vài ví dụ về giải các phương trình tổ hợp và chỉnh hợp.

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: $A^3_n+5A^2_n=2(n+15)$

A. 0 $\hspace{2cm}$ B. 1 $\hspace{2cm}$ C. 2 $\hspace{2cm}$ D. 3

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 3, n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-3)!}+5.\dfrac{n!}{(n-2)!}=2n+30$

<=> $\dfrac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{(n-3)!}+\dfrac{5(n-2)!(n-1)n}{(n-20!}-2n-30=0$

<=> $(n-2)(n-1)n+5(n-1)n-2n-30=0$

<=> $n^3-3n^2+2n+5n^2-7n-30=0$

<=> $n^3+2n^2-5n-30=0$

<=> $n=3$

Chỉ có duy nhất một giá trị của n. Vậy ta chọn đáp án B

Câu 2: Cho số tự nhiên n thỏa mãn: $A^{10}_n+A^9_n=9A^8_n$. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. n là số nguyên tố $\hspace{2cm}$ B. n là số chẵnC. n là hợp số $\hspace{3cm}$ D. n là số chính phương

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 10; n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-10)!}+\dfrac{n!}{(n-9)!}= 9.\dfrac{n!}{(n-8)!}$

$\dfrac{1}{(n-10)!}+\dfrac{1}{(n-9)!}= 9.\dfrac{1}{(n-8)!}$

$\dfrac{1}{(n-10)!}+\dfrac{1}{(n-10)!(n-9)}= 9.\dfrac{1}{(n-10)!(n-9)(n-8)}$

<=> $\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{n-9}=\dfrac{1}{(n-9)(n-8)}$

<=> $(n-9)(n-8)+n-8=9$

<=> $n^2-16n+55=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=5 (loại)\\n=11 (thỏa mãn) \end{array}\right.$

Ta thấy giá trị $n=11$ là một số nguyên tố. Vậy chọn đáp án A

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: $A^3_n-2C^4_n=3A^2_n$

A. 0 $\hspace{2cm}$ B. 1 $\hspace{2cm}$ C. 2 $\hspace{2cm}$ D. 3

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 4; n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-3)!}-2.\dfrac{n!}{4!(n-4)!}= 3.\dfrac{n!}{(n-2)!}$

<=>$\dfrac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{(n-3)!}-\dfrac{2(n-4)!(n-3)(n-2)(n-1)n}{24(n-4)!}= \dfrac{3(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}$

<=> $(n-2)(n-1)n-\dfrac{(n-3)(n-2)(n-1)n}{12}= 3(n-1)n$

<=> $n-2-\dfrac{(n-3)(n-2)}{12}= 3$

<=> $12n-24-n^2+5n-6=36$

<=> $n^2-17n+66=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=6\\n=11 \end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Có 2 giá trị của n thỏa mãn điều kiện. Vậy ta chọn đáp án C

Bài giảng trên thầy đã gửi tới các bạn một vài ví dụ về giải các phương trình tổ hợp và chỉnh hợp. Tuy chỉ với 3 ví dụ nhưng các bạn đã có phương pháp để giải những bài toán dạng phương trình như này. Thầy sẽ tiếp tục gửi tới các bạn những phương trình về tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị nữa. Hãy theo dõi blog của thầy nhé.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ