Giải Toán 10 SGK Nâng Cao Chương 4 Bài 1 Bất đẳng Thức Và ...

YOMEDIA Trang chủ Toán nâng cao Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức ADMICRO NONE

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 nâng cao Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Đại số 10 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn.

ATNETWORK

Bài 1 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 2 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 3 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 4 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 5 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 6 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 7 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 8 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 9 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 10 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 11 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 12 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 13 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Bài 1 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{{a - b}}{{ab}} > 0\) (vì a - b > 0 và ab > 0)

Vậy \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

Bài 2 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác, khi đó ta có nửa chu vi của tam giác đó là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

Ta có:

\(p - a = \frac{{a + b + c - 2a}}{2} = \frac{{b + c - a}}{2}\)

Vì b + c > a (bđt tam giác) nên p > a

Chứng minh tương tự ta có p > b và p > c.

Bài 3 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0

⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c

Bài 4 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \) (không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,\left( {a \ge 0} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử ta có \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2000} + \sqrt {2003} \,\,\left( 1 \right)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2000} + \sqrt {2005} } \right)^2} < {\left( {\sqrt {2000} + \sqrt {2003} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \\ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003\\ \Leftrightarrow 2000.2005 < \left( {2000 + 2} \right)\left( {2005 - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6\left( {ld} \right) \end{array}\)

Vậy \(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2000} + \sqrt {2003} \)

Câu b:

Giả sử ta có \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \le \sqrt a + \sqrt {a + 6} \left( {a \ge 0} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} } \right)^2} \le {\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 6} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {a + 6} \right)} \le 2a + 6 + 2\sqrt {a\left( {a + 6} \right)} \\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) \le a\left( {a + 6} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \Leftrightarrow 8 \le 0 \end{array}\)

Vì \(8 \le 0\) là vô lý nên \(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \left( {a \ge 0} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Bài 5 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Hướng dẫn giải:

Với a > 0, b > 0 ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{4}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \end{array} (ld)\)

Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Bài 6 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a3 + b3 ≥ ab(a + b)

⇔ (a + b)(a2 - ab + b2) – ab(a + b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a = b

Bài 7 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l} {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2.a.\frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\left( {ld} \right) \end{array}\)

Vậy a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l} {a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}\\ \Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0\left( {ld} \right) \end{array}\)

Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b

Bài 8 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

\(\begin{array}{l} a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right) \Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\left( 1 \right)\\ b < a + c \Rightarrow {b^2} < bc + bc\,\,\left( 2 \right)\\ c < a + b \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\left( 3 \right) \end{array}\)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Bài 9 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì \(\frac{{a + b}}{2}.\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{a + b}}{2}.\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}\\ \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3}\\ \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a + b} \right) \ge 0\left( {ld} \right) \end{array}\)

Vậy \(\frac{{a + b}}{2}.\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}\)

Bài 10 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng, nếu \(x \ge y \ge 0\) thì \(\frac{x}{{1 + x}} \ge \frac{y}{{1 + y}}\)

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \(\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} \le \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với \(x \ge y \ge 0\), ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{x}{{1 + x}} \ge \frac{y}{{1 + y}} \Leftrightarrow x\left( {1 + y} \right) \ge y\left( {1 + x} \right)\\ \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \end{array}\)

Điều này đúng với giả thiệt

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu b:

Vì \(\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| + \left| b \right|\) nên theo câu a ta có:

\(\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} \le \frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} = \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} \le \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| + }} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0.

Bài 11 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le - 2\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\) là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} = 2\)

Câu b:

Nếu a, b là hai số trái dấu thì \( - \frac{a}{b}; - \frac{b}{a}\) là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\( - \frac{a}{b} + \left( { - \frac{b}{a}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le - 2\)

Bài 12 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3 ≤ x ≤ 5

Hướng dẫn giải:

Vì −3 ≤ x ≤ 5 nên x + 3 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0

Hai số không âm nên x + 3và 5 – x có tổng là: (x + 3) + (5 – x) = 8 không đổi

Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1

Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.

Vì f(x) ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất của f(x) = 0 khi x = −3 hoặc x = 5

Bài 13 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}}\) với x > 1

Hướng dẫn giải:

Vì x > 1 nên x - 1 và \(\frac{2}{{x - 1}}\) là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}} = 1 + \left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{x - a}} \ge 1 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{2}{{x - 1}}} = 1 + 2\sqrt 2 \)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là \(1 + 2\sqrt 2 \) tại \(x = 1 + \sqrt 2 \)

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.

NONE

Tư liệu nổi bật tuần

• Phương pháp quy nạp - Bài tập áp dụng và Vận dụng thực tế đầy đủ nhất

  12/07/2023 422

• Giải quyết bài toán Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp bằng phương pháp lập sơ đồ hay nhất

  12/07/2023 301

• Công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn và bài tập áp dụng Toán 9 chi tiết nhất

  11/07/2023 271

• Công thức và bài tập áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán lớp 9 đầy đủ nhất

  11/07/2023 231

• Tổng hợp công thức và bài tập tính thể tích các dạng khối lăng trụ hay nhất

  10/07/2023 377

• 10 bài toán chuyên đề Tổ hợp - Rời rạc dành cho HSG lớp 9 và thi lên 10 chuyên

  14/12/2022 1259

• Phương pháp giải hai bài toán về phân số Toán 6

  14/04/2022 991

• Phương pháp tính toán với số thập phân Toán 6

  14/04/2022 803
• Xem thêm

ADSENSE TRACNGHIEM Bộ đề thi nổi bật UREKA × Xem online ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

Toán 10

Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 10 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Toán 10 CTST

Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 10

Ngữ văn 10

Ngữ Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 10 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 10 Cánh Diều

Soạn Văn 10 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 10 Chân Trời Sáng tạo

Soạn Văn 10 Cánh Diều

Văn mẫu 10

Tiếng Anh 10

Giải Tiếng Anh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải Tiếng Anh 10 CTST

Giải Tiếng Anh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CTST

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 CD

Giải Sách bài tập Tiếng Anh 10

Vật lý 10

Vật lý 10 Kết Nối Tri Thức

Vật lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Lý 10 CTST

Giải bài tập Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Vật Lý 10

Hoá học 10

Hóa học 10 Kết Nối Tri Thức

Hóa học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Hóa học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Hóa 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Hóa 10 CTST

Giải bài tập Hóa 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Hóa 10

Sinh học 10

Sinh học 10 Kết Nối Tri Thức

Sinh học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh 10 Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập Sinh 10 CTST

Giải bài tập Sinh 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Sinh học 10

Lịch sử 10

Lịch Sử 10 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 10 Chân Trời Sáng Tạo

Lịch Sử 10 Cánh Diều

Giải bài tập Lịch Sử 10 KNTT

Giải bài tập Lịch Sử 10 CTST

Giải bài tập Lịch Sử 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Lịch sử 10

Địa lý 10

Địa Lý 10 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 10 Chân Trời Sáng Tạo

Địa Lý 10 Cánh Diều

Giải bài tập Địa Lý 10 KNTT

Giải bài tập Địa Lý 10 CTST

Giải bài tập Địa Lý 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Địa lý 10

GDKT & PL 10

GDKT & PL 10 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 10 Chân Trời Sáng Tạo

GDKT & PL 10 Cánh Diều

Giải bài tập GDKT & PL 10 KNTT

Giải bài tập GDKT & PL 10 CTST

Giải bài tập GDKT & PL 10 CD

Trắc nghiệm GDKT & PL 10

Công nghệ 10

Công nghệ 10 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 10 Chân Trời Sáng Tạo

Công nghệ 10 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 10 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 10 CTST

Giải bài tập Công nghệ 10 CD

Trắc nghiệm Công nghệ 10

Tin học 10

Tin học 10 Kết Nối Tri Thức

Tin học 10 Chân Trời Sáng Tạo

Tin học 10 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 10 KNTT

Giải bài tập Tin học 10 CTST

Giải bài tập Tin học 10 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 10

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 10

Tư liệu lớp 10

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi giữa HK1 lớp 10

Đề thi giữa HK2 lớp 10

Đề thi HK1 lớp 10

Đề thi HK2 lớp 10

Đề cương HK1 lớp 10

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tập hợp

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 1: Mệnh đề

Soạn bài Ra-ma buộc tội - Ngữ văn 10 Tập 1 Cánh Diều

Soạn bài Chữ người tử tù - Nguyễn Tuân - Ngữ văn 10 KNTT

Soạn bài Thần Trụ Trời - Ngữ văn 10 CTST

Văn mẫu về Cảm xúc mùa thu (Thu hứng)

Văn mẫu về Bình Ngô đại cáo

Văn mẫu về Chữ người tử tù

Văn mẫu về Tây Tiến

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>