- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số›
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp Giải toán 11 Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. KIẾN THỨC CĂN BẢN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC .Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0 (a * 0) (1) trong đó a, b là các hằng số, t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a ta đưa phương trình (1) vể phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÔÌ VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 + bt + c = 0 (a * 0) trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI SINX VÀ cosx asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 * 0) Cách giải thứ nhất: Chia hai vế phương trình cho Va2 + b2 ta được: a b . c , cos X + , sinx = , Va2 +b2 Va2 + b2 Va2 +b2 Đặt , a =CQS(p thì , b =sin<p * V^Tb^ Đưa phương trình về dạng: COSXCOSỌ + sinxsincp - , c hay cos(x - ọ) = -. c = Điều kiện có nghiêm: c A = a + b - c2 > 0 7a2+b2 7a2+b2 Va2 + b2 _ . ,, c Gọi a là cung sao cho cosa = Va2 +b2 Ta có: cos(x -ọ) = cosa X = ọ ± a + k2rc , X Cách giải thứ hai: Dùng ẩn phụ t = tan (x * 71 + k2n) Trước hết xem X = 7T + k2n có là nghiêm không. Nếu có ta nhận đó là một nghiêm. Nêu X = 71 + k27t không là nghiêm thì đặt t = tan ~ . 1-t2 Giải phương trình cơ bản tan-| = ti; tan-|= t2 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải phương trình: sin2x - s1nx = 0. ốịíài sin2x - sinx = 0 sinx(sinx - 1) = 0 2. Giải các phương trình: a) 2cos2x - 3cosx +1=0; a) Đặt t = cosx; -1 < t < 1 Ta có 2t2 - 3t + 1 = 0 sin X = 0 sinx = 1 X = kĩt X = 7- + k2n. 2 b) 2sin2x + V2sin4x = 0. (k e Z) Ốịlải 't = 1 cosx = 1 1 1 t = - cosx = — 2 L 2 L X = k2ĩi X = ±-^ + k2rc. 3 (k e Z) b) 2sin2x + 72 sin4x = 0 2sin2x(l + 72 cos2x) = 0 sin2x = 0 cos2x = - 72 x = k-. 2' X = ±—- + krc. 8 (k e Z) 3. Giải các phương trình: a) sin2 - 2cos^ + 2 = 0; 2 2 2tan2x + 3tanx +1=0; b) 8cos2x + 2sinx -7 = 0; tanx - 2cotx +1=0. Ốjiải a) sin24-2cos^ + 2 = 0 1 - cos2^-2cos^ + 2 = 0 cos2^ + 2cos; 2 2 2 2 2 í cos^ = l ^ = k2rc X = k4ĩt (k G Z) cos^ = -3 (loại) ỵ ’ ‘b) 8cos2x + 2sinx - 7 = 0 8(1 - sin2x) + 2sinx -7 = 0 8sin2x - 2sinx - 1 = 0 sin x = 4 2 sin X = - - L' X = -^ + k2n; X = + k2ji 6 6 X = arcsin I - 4 I + k2ĩi; X = n - arcsin (k e Z) + k2n tan X = -1 c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 X = - — + kĩt, 4 tan X = — X = arctan -4 + krr. 2. 't = 1 tan X = 1 t =-2 tan X = -2 L X = -7 + krt 4 X = arctan (-2) + krt 4. Giải các phương trinh: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; (k e Z) c) sin2x + sin2x - 2cosJx = 4 ; 2 tan X = 1 2tan2x + tanx - 3 = 0 tan X = — 3 ! X = — + kĩi 4 X = arctan (-1) (k G Z) + k?t b) Ta có với cosx = 0 thì sin2x = 1 nên giá trị X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 ta được 3tan2x - 4tanx + 5 = 2( 1 + tan2x) tan2x - 4tanx + 3 = 0 tan X = 1 tan X = 3 X = -7 + krc 4 (k e Z) X = arctan 3 + kn Đặt t = tanx ta có phương trình t - — + l = 0t2 + t- 2 = 0 t b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; 2cos2x - 3 Ự3 Sin2x - 4sin2x = -4. íìiẰi Ta có với COSX = 0 thì sin2x = 1 nên giá tri X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 được Ta có với sin2x + sin2x - 2cos2x = Ậ sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = — 2 Giá trị X mà cox = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho COS2X * 0 ta được: 2tan2x + 4tanx -4=1 + tan2x o tan X + 4tanx -5 = 0 it tan X = 1 tan X = -5 X = — + kn 4 ' (k e Z) 6cos2x - 6 73 sinxcosx = 0 cosx (cosx - 73 sinx) = 0 cos X = 0 71 1 X = — + ktt 2 X = — + kĩt 2 /- ° cos X - 73 sin X = 0 r , • ^3 tan X = -— 3 X = — + kít. 6 Giải các phương trình a) cosx - 73sinx= 72; b) 3sin3x - 4cos3x = 5; c) 2sinx + 2cosx - 72 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 ỐịiẢl a) Chia hai vế phương trình cho FW =■ 2 ta được: d) X - arctan (-5) + kn 2cos2x - 6 73 sinxcosx - 4sin2x + 4 = 0 (k e Z) 72 — cosx 2 —— sinx = —— cosxcos 77 - sin 77 sinx = 2 2 3 3 2 , , Tt ■> _ 72 7t COS (X + 7- ) = = COS — 3 2 4 n 71 , l.n. X + — = — + k2rc n 71 l.o_ X + — = + k2n. (k e Z) 3 4 71 - _ + k2rt 12 7- , X = - 7-7 + k2-t. 12 (k e Z) Chia hai vế phương trình cho ^32 + (-4)2 = 5 ta được 4 — sin 3x - — cos3x = 1 sin3xcosa - sinacos3x = 1 5 5 (trong đó cosa = Ệ và sincx = 4 ) 5 Ta có: sin(3x - a) = sin^ 3x - a = -^ + k27t X = 7 + -r + k^7,keZ 2 2 6 3 3 2 72 sin X + ^ = 72 . 7t = — = sin — 6 o sin Ị X + 71 _ 7t , X + — = 77 + k2ĩt 6 ,71 5ĩt . X + — = —- + k2n 4 6 X = --777 + k2rc 12 _ 771 , , X = -777 + k2z 12 (k e Z) Ta có 2sinx + 2cosx - 72 = 0 2(sinx + cosx) = 72 7t Chia hai vế phương trình cho Võ2 + 122 = 13 ta được 5 12 —-cos2x + — sin2x = 1 cos2xcosa + sin2xsina = 1 13 13 12 (trong đó cosa = —- và sina = —) 13 13 Ta có: cos(2x - a) = 1 2x - a = k2n X = — + kĩi, k e z 2 6. Giải các phương trình sau: tan(2x + 1 )tan(3x - 1) = 1; tanx + tan I X + I = 1. ốjiài Điều kiện cos(2x + 1) * 0, cos(3x - 1) * 0 tan(2x + l)tan(3x - 1) = 0 sin(2x + l)sin(3x - 1) = cos(2x + l)cos(3x - 1) cos(2x + l)cos(3x - 1) - sin(2x + l)sin(3x - 1) = 0 COS [(2x + 1) + (3x -1)] = 0 cos5x = 0 5x = ỊỊ + krc 2 x = ^- + k^,k e z 10 5 Điều kiện cosx * 0; cos(x + 4 tanx + tan(x + y) = 1 tanx + —— = 1 4 1 - tan X tanx - tan2x + tanx +1 = 1- tanx o tan2x - 3tanx = 0 tanx(tanx - 3) = 0 o tan X = 0 tan X = 3 X = kĩi X = arctan 3 + kĩi (k e Z). c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải các phương trình sau: a) 6cos2x + 5sinx -7 = 0; b) cos2x + 3sinx = 2; c) 1 + cosx + cos2x = 0; d) tan3x - 3tan2x - 2tanx + 4 = 0. •’Htíớnỹ ỉẫn Đặt t = sinx; t = —; t = — ; 3 Đặt t = cosx; t = 0; t = - — ; 2 Giải các phương trình sau: Đặt t = sinx; t = 1; t = — 2 Đặt t = tanx; t = 1; t = 1 +V5 a) sin2 X + 3tanzx + 4(tanx + cotx) -1=0; b) 2cos: 6x , , - 8x . + 1 = 3cos-^-; c) sinBx + COS8X = ^Xcos22x. 16 •Hướng dẫn ' 9 1 71 Áp dụng công thức: 1 + cot2x = , đặt t = tanx + cotx, X = -y + kn, k e z sin2 X 4 Đặt t = cos^ (|t| < 1). 5 Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta được: 4t2 - 6t2 - 3t + 5 = 0 có nghiệm t = 1 sin8x + COS8X = (sin4x + cos4x)2 - 2sin4xcos4x = 11 Đặt t = sin22x (0 < t < 1). 3. Giải các phương trình sau: ■ vsm X + cos x; - ZSU1 xcus X fl-ịsin22xì -ịsin4 2x = 1-sin2 2x + ịsin42x <2 ) 8 8 sinx + cosx = 72 sin7x; sinx + cosx = cos2x; 1 + sinx + cosx + sinxcosx = 0; 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. •Hưởng dẫn Áp dụng kết quả: sinx + cosx = 72 sin^x + Áp dụng công thức nhân đôi: cos2x = COS2X - sin2x Đưa phương trình về tích: (sinx + cosx)(l + sinx - cosx) =' 0 Đưa về tích: (1 + sinx)(l + cosx) = 0 Đưa về tích (sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0.
Các bài học tiếp theo
- Ôn tập chương I
- Bài 1. Quy tắc đếm
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Ôn tập chương II
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
Các bài học trước
- Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 1. Hàm số lượng giác
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số(Đang xem)
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Bài 1. Hàm số lượng giác
- Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp(Đang xem)
- Ôn tập chương I
- Chương II. Tổ hợp - Xác suất
- Bài 1. Quy tắc đếm
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Ôn tập chương II
- Chương III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 4. Cấp số nhân
- Ôn tập chương III
- Chương IV. Giới hạn
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Bài 2. Giới hạn của hàm số
- Bài 3. Hàm số liên tục
- Ôn tập chương IV
- Chương V. Đạo hàm
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V
- Ôn tập cuối năm
