Giải Toán 12 Bài 2. Cực Trị Của Hàm Số

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích› Bài 2. Cực trị của hàm số Giải toán 12 Bài 2. Cực trị của hàm số

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

§2. cực TRỊ CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CĂN BẢN KHÁI NIỆM cực ĐẠI, cực TIỂU Định nghĩa: Cho hàm sô' y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -oo; b là +=o) và điểm Xo e (a; b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi X e (x0 - h; Xo + h) và X * x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi X e (x0 - h; Xo + h) và X * Xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM so CÓ cực TRỊ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0), với h > 0. Nếu f '(x0) > 0 trên khoảng (x0 - h; Xo) và f '(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). X Xo - h Xo Xo + h f'(x) + - f(x) — * f(CĐ) X Xo - h Xo Xo + h f'(x) - + f(x) ~ —• f(CT) — Nếu f '(X) 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì Xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). QUY TẮC TÌM cực TRỊ Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 - h; x0 + h) với h > 0. Khi đó: a) Nếu f '(x0) = 0; f "(x0) > 0 thì Xo là điểm cực tiểu; b) Nếu f "(Xo) = 0; f "(x0) < 0 thì Xo là điểm cực đại. Các quy tắc tìm cực trị Quy tấc I: 1. Tìm tập xác định. Tính f(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc II: 1. Tìm tập xác định. Tính f '(x). Giải phương trình f '(x) = 0 và kí hiệu X, (i = 1, 2...) là các nghiệm của nó. Tính f "(x) và f "(Xj). Dựa vào dấu của f "(x,) suy ra tính chất cực trị của điểm Xị. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm sô sau: b) y = x4 + 2x2 - 3; d) y = x3(l - X)2 e) y = ựx2 - X + 1 a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; X = 2 (y = -54) x = -3 (ỹ = 71) 2 +00 a) Tập xác định: D = K y' = 6x2 + 6x - 36; y' = 0 Bảng biến thiên: X ■ 71 +00 -co -—- -54 Hàm sô' đạt cực đại tại X = -3 và yCĐ =71. Hàm sô' đạt cực tiểu tại X = 2 và yCT = -54. b) Tập xác định: D = K y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1); y' = 0 X = 0 (y = -3) Bảng biến thiên: -00 • 0 +00 ■ +x +x Hàm sô' có điểm cực tiểu tại X = 0 và yCT = -3. Tập xác định: D = R \ |0| X2 -1 ;y' = 0x2—l = 0 y' = i X X Bảng biến thiên: X = 1 (y = 2) X = -1 (ý =-2) —X +x +x —X "^-00 Hàm sô' đạt cực đại tại X = -1, yCB = -2 Hàm sô' đạt cực tiểu tại X = 1, yCT = 2. Tập xác định: D = R • y' = 3x2(1 - X)2 - 2x3(1 - x) = x2(l - x)(3 - 5x) X = 1 (y = 0) y' = 0 Ci- 3125 Bang biến thiên: X —00 0 3 5 1 +x y' + 0 + 0 — 0 + y 00 108 +x 312ơ 0 —- 108 Hàm sô đạt cực đại tại X - - , ycw = ----- - 5 3125 _ ; y' = 0 X = ị (y = ệ 2ựx2 - X +1 2 2 y' = Hàm số đạt cực tiểu tại X = 1, y 0, Vx e K nên tập xác định: D - X 2x-l Bảng biến thiên: X — X 1 2 + x y' — 0 + y +x 73 » +0Õ * 2 \]3 Hàm sô đạt cực tiểu tại X = , yCT = 2 2. Áp dụng quy tắc II. hãy tìm các diêm cực trị cùa các hàm sô sau: a) y = X4 - 2x2 +1: b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = X5 - x:l - 2x + 1. Ố^íảl Tập xác định: D = X y' = 4x:i - 4x = 4x(x2 - 1) y' = 0 X = 0 (y = 1) X = ±1 (y = 0) y" = 12x2 - 4 y"(0) = -4 0, hàm số đạt cực tiếu tại hai điểm X = ±1, ycT = 0. Tập xác định: D = X y' = 2cos2x - 1; y' = 0 cos2x = 77 cos2x - COS 77 o‘2x=±7 + k2x, k e z 2 3 3 X = ± — + kx, k e z 6 y" = —4sin2x Với X = 77 + k^ ta CÓ: y"(-77 + kĩi). = -4sin77 =5-2-73 <0 6 6 3 Hàm sô' đạt cực đại tại các điểm X - — + kn, k e X 6 71 71 - 7Ĩ /77 /X Với X = - — + kx ta có: ỵ”(- — + kn) = -4sin(— 77 ) = 2 V3 >0 6 ‘ 6 3 Hàm sô dạt cực tiếu tại các điểm X - - — + kĩt. k e z. 6 Tập xác định: D = R y' = cosx - sinx; y' = 0 sinx = Cosx tanx = 1 = tan — X = — + kx, k e z 4 4 y" = -sinx - cosx Với k = 2m (m 6 Z) ta có: ý"( — + 2mx) = -sin — - COS — - - yfỉ < 0 . 4 4 4 Hàm sô dạt cực dại tại các điếm X = — + 2mn, m e X • • 4 Với k = 2m + 1 (m e X) ta có: y"( — + (2m + l)x) = sin + COS-y = V2 > 0 • 4 4 4 Hàm só' đạt cực tiểu tại các điểm X = — + (2m + 1)71; m e X. .4 Tập xác định: D = ÍK y' = 5x4 - 3x2 - 2; y' = 0 0 X2 = 1 X = ±1 y" = 20x:ì - 6x y"(l) = 14 > 0. Do đó hàm sô đạt cực tiểu tại X = 1 y''(-l) = -14 < 0. Do đó hàm sô' đạt cực đại tại X = -1. 3. Chứng minh hàm só y = 77 không có đạo hàm tại X = 0 nhưng ván đạt cực tiêu tại điẽm đỏ. ốỊíảí Tập xác định: D = K. Đặt f(x) = y]\x\ . f(x)-f(0) 1 Ta có: lim - = lim—— = lim-^5 = + y x-0' X X .«■ X X->" x/x Vậy hàm sô' không có đạo hàm tại X = 0. Ị 1 v ,, ■Tx; X > 0 7-x; X < 0 y’ > 0 Vx > 0 py' < 0 Vx < 0 Jàr>0 =1 y -1 -H-t: X < 0 í2(_x) Bảng biến thiên: X —00 1 +00 Y' - 1 + y 0 4. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại X = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị cúa tham sô’ m hàm số y = X3 - mx? - 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Ta có y' = 3x2 - 2mx - 2 A' = m2 + 6 > 0 Vm e R nên phương trình / = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Do đó hàm sô' luôn có một cực đại và một cực tiểu. 5. Tìm a và b đế’ các cực trị cúa hàm sô’ y - Ị a3x3 + 2axz - 9x + b đều lằ những sô dương và 5 1 Xu = - — là điềm cực đại. 9 (sỊiải * Với a = 0 thì hàm số y = —9x + b không có cực trị ycr = y(- -7-) = y( 1) = + 2a-9 + b= -—— + b > 0 b > —— 5a 3 5 5 ii) Với a > 0 ta có: loại. > nhận. 5 ,x , . , 9 5 81 xo = - — là diêm cực đại nên - — = - — a = — 9 5a 9 25 và ycT = y( —) = -7- + — - — + b > 0 b > 777 a 3a a a 243 6. Xác định giá trị cùa tham sô’ m đế hàm só y = * + nlx + 1 đạt cực đại tại X = 2. X + m tfiai Tập xác định: D = R \ Ị-mì X-,, 1 X’ + 2mx + m2 - 1 Cách 1. y = — ■■■--„ (x + m) Nếu y đạt cực đại tại X = 2 thì y(2) = 0 » m2 + 4m + 3 = Oom = -l vm = -3 X = 0 X = 2 Vậy a = 5 . . 36 b > 77 5 hoặc 81 25 400 243 i) Với m = -1 ta có: y' = 7—77: y' = 0 (x - 1)- Khi m = -1 hàm số không đạt cực đại tại X = 2. ii) Với m = -3 ta có y' = X -6x + 8 (x - 3)2 , y' = 0 Vậy với m - -3 thì hàm sô' đạt cực đại tại X = 2. Cácli 2. Ta có thể sử dụng dấu hiệu II m = -1 y đạt cực đại tại X = 2 => y'(2) = 0 « 2 m — -3 (x + mý* m = -1 => y"(2) = 2 > 0 => Hàm sô' đạt cực tiểu tại X = 2 : m = -3 => y"(2) = -2 Hàm sô' đạt cực đại tại X = 2 Vậy m = -3 thỏa yêu cầu bài toán. c. 1. 2. BÀI TẬP LÀM THÊM Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10: Tùy theo a hãy tìm cực trị của hàm số: a) y = X3 - 2ax2 + a2x; b) y = X + —. X b) y = x’ + 2x2 - 3; 3. Cho hàm sô’ y = X3 - mx2 + (m2 - m + l)x + 1. Xác định m để hàm sô’ 3 4. đạt cực tiểu tại X = 1. Định m để hàm sô’ y = 2x3 - 3(2m + l)x2 + 6m(m + l)x + 1 đạt cực dại, cực tiêu tại XI, X2. Chứng minh rằng khi đó X2 - XI không phụ thuộc vàó m. Đớp số: XI = m: X2 = m + 1. 5. Chứng minh rằng hàm sô’ y - X" + 2x + rn X' + 2 luôn luón có một cực đại và một cực tiểu.

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Bài tập trắc nghiệm
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Các bài học trước

• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2. Cực trị của hàm số(Đang xem)
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Bài tập trắc nghiệm
• Chươmg II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập cuối năm