Giải Toán 8 Bài 4. Đường Trung Bình Của Tam Giác, Của Hình Thang

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 8› Giải Bài Tập Toán 8› Giải Bài Tập Toán 8 Tập 1› Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang Giải toán 8 Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

§4. Đường trung bình của tarn giác, của hình thang A. Tóm tắt kiến thức Định nghĩa Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác hình 1.28a. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang hình 1.28b. A A B a) b) Hình 1.28 Tính chất Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=^-AC . Gọi o là giao điểm của BD với AM. Chứng minh rằng: o là trung điểm của AM. OD = -BD. 4 Giải, a) Gọi E là trung điểm của CD thì AD = DE = EC (vì AD = ị AC) 3 Xét ADBC có MB = MC, DE = EC nên ME là đường trung bình, do đó ME // BD và ME = ị BD (định lí 2). 2 Xét AAME có OD // ME và AD = DE nên OA = OM (định lí 1). b) Ta có OD là đường trung bình của AAME nên OD = -^-ME . Mặt khác ME = y BD (chứng minh trên) nên OD - BD . Nhận xét: Điểm mấu chốt trong lời giải trên là vẽ điểm phụ E (E là trung điểm của CD). Nhờ có điểm E mà ta có thể vận dụng các định lí 1 và định lí 2 để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng hoặc chứng minh hai đường thẳng song song. Nói chung, khi trong hình đã có trung điểm của một đoạn thẳng, ta có thể vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng khác để có thể vận dụng định lí đường trung bình của tam giác hoặc của hình thang. Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi N là trung điểm của BC và o là một điểm bất kì trên cạnh AD. Trên tia NO lấy điểm p sao cho o là trung điểm của NP. Gọi H là hình chiếu của p trên đường thẳng AD. Chứng minh rang PH = . Giải. Phân tích: Biểu thức — chính là nửa tổng của hai đáy. Điều này gợi ý cho ta vẽ đường phụ là đường trung bình của hình thang. Gọi M là trung điểm của AD. Khi đó MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra MN// AB và MN = ^B^CD (định lí 4). AHOP và AMON có: OP = ON (gt) HOP = MON (đối đỉnh). Do đó AHOP = AMON Hình 1.30 Do AB ± AD nên MN ± AD (cạnh huyền, góc nhọn). ÁR 4- CD Suy ra PH = MN, dẫn tới' PH = c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 20. Hướng dẫh: Chứng minh IK // BC rồi dùng định lí 1 để suy ra X - 10cm. Bài 21. Hướng dẫn: CD là đường trung bình của AOAB, dùng định lí 2 để suy ra AB = 6cm. Bài 22. Lời giải. Xét ADBC có DE = EB; MB = MC nên EM là đường trung bình, suy ra EM // CD (định lí 2). Xét AAEM có DI // EM và AD = DE nên AI = IM (định lí 1). 23. Hướng dẫn: Chứng minh MP được X = 5dm. Bài 24. Lời giải. Vẽ AH ± xy; BK ± xy; CI ± xy Ta được AH // BK // CI. Xét hình thang ABKH có CI//AH// ] c _ 20 "ì — 1 1 ì ? 1 1 • n 12 "1 X H I K y IK // NQ rồi dùng định lí 3 tính B Hình 1.31 và CA = CB nên IH = IK (định lí 3). Do đó CI là đường trung bình nên CI = AH + BK 2 12 + 20 2 = 16 (cm). Bài 25. Lời giải. Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình nên EF // AB. Xét AABD có EK là đường trung bình nên EK // AB. Qua điểm E có EK và EF cùng song song với AB nên theo tiêu đề Ơ-Clit thì E, K, F thẳng hàng. Nhận xét: Trong một hình thang, các trung điểm của hai cạnh bên và hai đường chéo luôn thẳng hàng. Bài 26. Lời giải. Xét hình thang ABFE có CD là đường trung bình AB + EF 8 + 16 nên CD = 3 = ——— = 12 (cm). 2 2 CD + GH 2 Xét hình thang CDHG có EF là đường trung bình nên EF = CD + AB „ _ nrzCD AB Suy ra EF < —— + —— 2 2 Bài. 28. Lời giải, a) Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình nên EF // AB // CD. Xét AADC có EK // CD và EA = ED I A 6 B D Hình 1.34 nên KA = KC. Xét AABD có EI // AB và EA = ED nên BI = ID. b) EI là đường trung bình của AABD DC EK là đường trung bình của AADC nên EK = —7^ = 5 (cm). 2 IK = EK-EI = -^-^ = 5-3 = 2 (cm). 2 2 D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi H là trung điểm của ẠD. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BH, cắt tia này tại K, cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của CD. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Trên DA và DC lấy các điểm M và N sao cho DM = DN. Tia BM cắt AC tại E. Gọi E là trung điểm của CE, chứng minh rằng: ADAN = ADBM; AN 1 DF. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng MN cắt BD và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng AOHK cân. Cho hình thang ABCD, hai đáy AB và CD không bằng nhau. Gọi p, Q lần lượt là trung điểm của BD và AC. Chứng minh rằng: PQ//AB//CD; PQ bằng nửa hiệu hãi đáy. Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD gấp đôi đáy nhỏ AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng MN cắt BD và AC lần lượt tại p và Q. Chứng minh rằng MP = PQ = QN. Lời giải, hưởng dẫn, đáp sô Xét AABM có H là trực tâm nên MH 1 AB. Suy ra MH // AC (vì cùng vuông góc VỚI AB). Xét A DAC có MH // AC và HA = HD nên MD = MC. a) Tam giác ABC vuông cân tại A nên B = c = 45°. Các tam giác ADB và ADC vuông cân, suy ra DA - DB = DC. ADAN = ADBM (c.g.c). b) Gọi H là giao điểm của BE với AN. Xét AADN vuông tại D, A ta có A + N = 90° . Mặt khác, Aị = B) = 90° (cặp góc tương ứng của hai tam giác tương' ứng bằng nhau). Suy ra ỒỊ + N = 90°, do đó BHN = 90° => AN ± BE. Xét AEBC có DF là đường trung bình nên DF // BE, do đó AN 1 DF (vì AN 1 BE). Gọi I là trung điểm của CD. Ta có IM // AC và IM =4^; IN//BDvà IN = ^. 2 2 Vì AC = BD nên IM = IN. Do đó AIMN cân, suy ra Ml = N|. Ta có OHK = Ni, OKH = Mi (cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song). Suy ra OHK = OKH . Vậy AOKH cân. Nhận xét: Ta sẽ hoàn toàn bế tắc nếu không vẽ điểm phụ I. Trong đề bài đã có hai trung điểm của hai cạnh nhưng chưa có đường trung bình của tam giác. Vì vậy ta cần vẽ thêm trung điểm của cạnh thứ ba để vận dụng được định lí đường trung bình của tam giác. a) Gọi M là trung điểm của AD. Xét AADC có MQ là đường trung bình nên MQ // CD. (1) Xét AABD có MP là đường trung bình nên MP // AB do đó MP // CD. (2) Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-Clit ta có A B ba điểm M, p, Q thẳng hàng, do đó PQ // AB // CD. b) Tacó MQ = -^, MP=4^. 2 2 p. un UD _ CD AB Do đó MQ - MP = — —- 2 2 u„.. CD-AB hay PQ = . Hình 1.38 Ta chứng minh được p là trung điểm của BD; Q là trung điểm của AC. AR Ta có MP = ON = ~ . 2 Theo câu b của bài 4 ta có CD-AB _ 2AB-AB _ AB Do đó MP = PQ = QN (= 2 “ 2 “ 2 ■

Các bài học tiếp theo

• Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang
• Bài 6. Đối xứng trục
• Bài 7. Hình bình hành
• Bài 8. Đối xứng tâm
• Bài 9. Hình chữ nhật
• Bài 10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
• Bài 11. Hình thoi
• Bài 12. Hình vuông
• Ôn tập chương I
• Bài 1. Đa giác. Đa giác đều

Các bài học trước

• Bài 3. Hình thang cân
• Bài 2. Hình thang
• Bài 1. Tứ giác
• Ôn tập chương II
• Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
• Bài 8. Phép chia các phân thức đại số
• Bài 7. Phép nhân các phân thức đại số
• Bài 6. Phép trừ các phân thức đại số
• Bài 5. Phép cộng các phân thức đại số
• Bài 4. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Tham Khảo Thêm

• Giải Bài Tập Toán 8 Tập 1(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 8 Tập 2
• Giải Bài Tập Toán Lớp 8 - Tập 1
• Giải Bài Tập Toán Lớp 8 - Tập 2
• Giải Toán 8 - Tập 1
• Giải Toán 8 - Tập 2
• Sách Giáo Khoa - Toán 8 Tập 1
• Sách Giáo Khoa - Toán 8 Tập 2

Giải Bài Tập Toán 8 Tập 1

• Phần Đại Số
• Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
• Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức
• Bài 2. Nhân da thức với đa thức
• Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
• Bài 4. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
• Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
• Bài 6.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
• Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (tiếp)
• Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
• Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
• Bài 10. Chia đơn thức cho đơn thức
• Bài 11. Chia đa thức cho đơn thức
• Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
• Ôn tập chương I
• Chương II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
• Bài 1. Phân thức đại số
• Bài 2. Tính chất cơ bản của phân thức
• Bài 3. Rút gọn phân thức
• Bài 4. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
• Bài 5. Phép cộng các phân thức đại số
• Bài 6. Phép trừ các phân thức đại số
• Bài 7. Phép nhân các phân thức đại số
• Bài 8. Phép chia các phân thức đại số
• Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
• Ôn tập chương II
• Phần Hình Học
• Chương I. TỨ GIÁC
• Bài 1. Tứ giác
• Bài 2. Hình thang
• Bài 3. Hình thang cân
• Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang(Đang xem)
• Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang
• Bài 6. Đối xứng trục
• Bài 7. Hình bình hành
• Bài 8. Đối xứng tâm
• Bài 9. Hình chữ nhật
• Bài 10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
• Bài 11. Hình thoi
• Bài 12. Hình vuông
• Ôn tập chương I
• Chương II. ĐA GIÁC. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
• Bài 1. Đa giác. Đa giác đều
• Bài 2. Diện tích hình chữ nhật
• Bài 3. Diện tích tam giác
• Bài 4. Diện tích hình thang
• Bài 5. Diện tích hình thoi
• Bài 6. Diện tích đa giác
• Ôn tập chương II