Toán Lớp 8 Nâng Cao - Hình Học - 08. Đường Trung Bìml

HOẠT ĐỘNGGV

HOẠT ĐỘNGHS

GHIBẢNG

* Dẫn dắt:

Ở lớp 4, chúng ta đã học về số trung bình cộng rồi đúng ko? -> vâng. Một bạn nhắc lại cho cô công thức tính trung bình cộng ?

Vậy trong đại số có số trung bình cộng. Trong hình học cũng vậy. Nhưng không phải gọi là số trung bình cộng nữa mà gọi là đường trung bình. Để hiểu rõ hơn đường trung bình là gì, có tính chất thế nào, chúng ta sẽ đến với bài học ngày hôm nay: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH trong tam giác và hình thang.

1. Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác.

- Trong tam giác có 3 đường trung bình.

Định lý 1: (Tính chất)

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Nghĩa là:

DABC có:

D la trung diem ABü E la trung diem AC ý

þ

=> DE la duong trung binh cua D

Suyra:DEBC; DE = 1 BC.

2

- Đường thẳng nối trung điểm hai

cạnh được gọi là đường trung bình

của tam giác

=> Ghi bảng.

Như vậy 1 tam giác có bao nhiêu

- Có 3 đường.

đường trung bình?

Vẽ tam giác ABC có cạnh BC = 8

ô. Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ

- HS lên bảng vẽ và

đường trung bình DE cắt các

đo được DE -> 4 ô.

cạnh AB và AC và đo độ dài DE.

- Các con quan sát đường thảng DE

- Song song

có quan hệ gì với cạnh BC.

- Còn về độ dài đường trung bình DE

- Bằng 1 nửa

với độ dài BC.

=> Như vậy Đường trung bình của

tam giác thì song song với cạnh thứ

ba và bằng nửa cạnh ấy.

→ Tính chất đường trung bình.

CM định lý 1:

Có2yếutốcầnchứngminh// vàcạnhtỉlệ1/2.Ởđâygtcho

DE//BC;DE=1/2BC

yếu tố trung điểm => về cạnh =>

Ưu tiên cạnh trước.

2 hướngđi

Đangchứngminhcạnh=>g-c-g hoặcc-g-c.

Nhưngnếug-c-g=>phảichứng minhGócFDC=DCB=>DF//BC

(Đang cần=> loại) Vậy c-g-c

Còn yếu tố DE//BC.

← Hai góc ở vị trí đặc biệt

←Góc FDC=DCB do có

∆DFC=CDB

Lấy DF = 2DE

với F∈ DE

Lây F là trung điểm BC

CM DF=BC

CM DE=BF=FC

∆DFC=CDB

CM tam giác

(C-G-C)

bằng nhau.

DC chung

DB=CF

BDC=DCF

∆ADE=EFC

2 cặp có

AE=EC

AD=DB Cần

CF=DB

đang CM cạnh => cần

yếu tốc góc

∆ADE=CEF

∠A=∠E1và

∠AED=∠C

2 góc tại E đối đỉnh và 2

DE//BC

cặp cạnh = nhau (HS tự chỉ

ra)

(Đang cần CM

=> Hướng này loại)

Vậy điều ngược lại có đúng không?

Chẳng hạn nếu chúng ta có đường thẳng DE đi qua trung điểm D của AB và song song với BC. Vậy liệu E là trung điểm của AB haykhông?

Đây chính là nội dung định lý 2: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

èCó

a. Định lý 2: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Nghĩa là: DABC có

D la trung diem ABü DEBCý.

þ

=> E la trung diemAC

CM:

Có những cách nào CM E là trung điểm ← AE=EC ← Tam giác bằng nhau; trung gian.

ðChưa thấy tam giác bằng nhau? Hay đường trung gian? Nếu E là trung điểm AC thì DE chính là đường gì của tam giác?

=> Đường trung bình.

Chúng ta có 1 phương pháp chứng minh là: Trùng khít.

Tức là:Gọi E' là trung điểm cạnh AC. Ta chứng minh E≡E' =>DE≡DE'.

Elàtrungđiểm

Ta chứng minh E≡E'.

=>DE≡DE'E≡E'

Chứngminh2đườngthẳngDE≡DE' trùngnhaucócáccách?

1/Cùng//;⊥vớiđường thứ3

2/ 2 đường thẳng đặc biệt

trongtamgiáccân/đều.Tiên đềơclit haycùng//

MàDE//BCDE'//BC(T/c

=>Sửdụngcách1DE//BCđườngtrungbình)

DE là đường trung bình

2. Đường trung bình của hình thang

a. Định nghĩa: là đoạn thẳng nốitrung điểm hai cạnh bên của hìnhthang

b. Định lí 3 (Tínhchất)

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

Nghĩa là: Cho hình thang ABCD có:

E la trung diem ADü F la trung diem BC ý

þ

Þ EF la duong trung binh cua hinhthang

Suyra:EFAB DC; EF = AB +DC

2

Tiếp theo ta đến với khái niệm đường

trung bình trong hình thang.

Các con quan sát, đây là hình ảnh cái

thang có 3 bậc, khoảng cách giữa các

- bằng nhau.

bậc thang ntn với nhau?

- Vậy E là gì của AD? F là gì của BC?

- trung điểm

Khi đó ta nói EF là đường trung bình

- là đoạn thẳng nối

của hình thang ABCD.

trung điểm hai cạnh

Vậy cũng như tam giác đường trung

bên của hình thang.

bình của hình thang là gì?

=> Ghi bảng.

Vẽ hình thang ABCD có đáy bé 4

ô; đáy lớn 8 ô.

Các con đã biết các bậc thang thì như

thế nào với nhau?

-song song

Vậy đoạn thẳng EF và cho cô biết EF

có quan hệ gì với AB; DC ?

-song song

- Yêu cầu 1 HS lên bảng đo độ dài

- HS lên bảng đếm ô

EF theo ô vuông trên bảng.

→ 6 ô.

- Các con có nhận xét gì về độ dài

đường trung bình EF với độ dài 2 đáy

- Trung bình cộng

của hình thang.

=> Như vậy Đường trung bình của

hình thang thì song song với hai đáy

và bằng nửa tổng hai đáy.

CM định lý 3:

GV gợi ý: Cách chứng minh.

+ Đến bước kẻ thêm hình. Về nhà HS làm nốt.

Cũnggiốngvớitamgiác.CóEF//AB//DC

2yếutốcầnchứngminh//EF=1/2(AB+DC)

vàcạnhtỉlệ1/2.Ởđâygt

choyếutốtrungđiểm=>

vềcạnh=>ƯutiêncạnhAB+DC=xEF=x+y

trước.EF=1/2xx=AB/2; y=DC/2 Có2hướngđi:(Nốiđoạnthẳng)(Chiađoạn thẳng) Với cách 1:Nối.

GstrênDClấyKsaochoLây K làgd

CK=ABcủaAFvàKhó

DC

=>Cầncm:EF=DK/2và

EF//DK

DK=DC+ABEF//DK;

=>ChứngminhEFlàđườngEF=DK/2

trungbìnhtamgiácADK=> F∈AK.

ChứngminhthẳnghànglàEFlàđườngtrungbìnhADK khóhơnnênthayvìtalấyKCK=AB←FlàtrungđiểmAK←

trênDCđểCK=ABTasẽlấyAF=FK

K là giao điểm của AF và AC

rồichứngminhCK=AB∆AFB=KFC (g-c-g)

Dangcầnchứngminh2cặp cạnh=nhau=>THG-C-G

ChúýgiảthiếtABCDlàhìnhHSgiải

thangquyết

Tương tự với tam giác, ta có định lý đảo lại:

Nếu đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì???

Cách chứng minh hoàn toàn tương tự với tam giác, các con về nhà CM.

-> Đi qua trung điểm cạnh bên còn lại.

c. Định lý 2: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Nghĩa là : Cho hình thang ABCD có:

D la trung diemADü

DE//AB//DCý

þ

Þ E la trung diem BC

Mở rộng: Cho hình thang ABCD có M;N;P;Q lần lượt là trung điểm AD; BC; AC;BD.

Chứng minh M;N;P;Q thẳng hàng.

Mở rộng: Cho hình thang ABCD có M;N;P;Q lần lượt là trung điểm AD; BC; AC;BD. Ta có: M; N; P ; Q thẳng hàng.

ðĐường thẳng nối hai trung điểm của 2 đường chéo cũng // với 2 đáy

CM

C/M thẳng hàng:

2 đường thẳng trùngnhau:

+ Cùng //;vuônggóc.M;N;P;Qthẳnghàng

+ 2 đường thẳng đặc biệt trong tam giác trùng nhau.

Các điểm cùng thuộc đường đặcbiệt.

ðChọn cách 2 đường thẳng trùng nhau. (liên quan đến đường trung bình => Song song)

MN≡MP

Cùng // DC

MN//DCMP//DC

MNlàđgTBcủaMPlàđườngTBcủa hìnhthangtamgiácADC

NM≡NQ

Cùng //AB

HS tự làm

3. Ứng dụng

Như vậy với công cụ đường

* Chứng minh song song

trung bình, chúng ta có thể

* Chứng minh Đoạn thẳng

ứng dụng làm cách dạng BT

bằng nhau, trung điểm, tỉ lệ

hình học nào?

đoạn thẳng.

* Tính độ dài đoạn thẳng

A. Chứng minh song

song

Cùngvuônggóc/ĐườngtrungGóc ở vịtrí

Cùngsongsongvớibìnhđặcbiệt

đường thẳng T3

TrongtamTronghình giácthang

Nối 2 trung điểm