Giao Trinh Bai Tap Chương 6 Cơ Lượng Tử - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (14 trang)

Trang chủ

Luận Văn - Báo Cáo

Kinh tế - Thương mại

Giao trinh bai tap chương 6 cơ lượng tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.96 MB, 14 trang )

Nội dungCơ sởCơ Học Lượng TửLê Quang Nguyênwww4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen1.2.3.4.5.Lưỡng tính sóng-hạt của vật chấtPhương trình SchrödingerHạt trong giếng thế vô hạn một chiềuHệ thức bất định HeisenbergKính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm(STM)1a. Giả thuyết De Broglie1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chấta.b.c.d.e.f.• Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.• Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tínhsóng-hạt?• De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng làsóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie)của một hạt có động lượng p là:Giả thuyết De BroglieVí dụKiểm chứngỨng dụngBản chất của sóng vậtchấtBài tậpλ=Louis De Broglie1892-1987hp1b. Ví dụ 21b. Ví dụ 1• Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khốilượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s.• Voi Dumbo khối lượng1000 kg, bay với vận tốc10 m/s sẽ có bước sóngDe Broglie là bao nhiêu?h 6,626 × 10−34 J ⋅ sλ = = −9= 3,313 × 10−23 mp 10 kg × 0,020m sh 6,626 × 10−34 J ⋅ sλ= == 6,626 × 10−38 m3p 10 kg × 10m s• Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sátđược.• Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.• Bước sóng này quá nhỏđể có thể quan sát được.1b. Ví dụ 31c. Kiểm chứng thực nghiệm 1• Một electron trong mạch điện hay trongnguyên tử có động năng trung bình vào khoảng1 eV, có bước sóng De Broglie bằng:• Davisson và Germer, 1927: electron có thểnhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia Xvậy.• Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuântheo định luật Bragg.• Bước sóng electron đo được phù hợp với giảthuyết De Broglie.h6,626 × 10−34 J ⋅ sλ==2mK2 × 9,11 ⋅ 10−31 kg × 1,6 ⋅ 10−19 J() (= 10−9 m = 10Å• Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyêntử nên có thể quan sát được.• Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng.)1c. Kiểm chứng thực nghiệm 21c. Kiểm chứng thực nghiệm 3• G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạtrên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròntương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinhthể.• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên haikhe.ElectronTia X1c. Kiểm chứng thực nghiệm 41d. Ứng dụng của sóng De Broglie• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thaycho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2triệu lần.• Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùngđể tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự nhưnhiễu xạ tia X.• Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnhchụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBMAlmaden Research Center).1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1• Giao thoa của sóng electron trên hệ hai khe:100 electrons3000 electrons70 000 electronsCàng nhiều hạt, quy luậtsóng càng rõ.Nơi hạt đến nhiềucũng là nơi có cườngđộ sóng lớn.1e. Bản chất của sóng De Broglie − 3• Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta còn có:Ψ ( x , y, z ) = Ψ ⋅ Ψ*2• Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gianV, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó:∫ Ψ ( x , y , z ) dV = 12V• Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vậtchất.1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2• Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất.• Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thìtỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.• Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z)của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanhvị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tíchdV là:dP = Ψ ( x , y , z ) dV2• |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).1f. Bài tập 1• Hình bên cho thấy sóngdừng trong một lò vi ba,màu xám là nơi sóng điệntừ bằng không, còn màutrắng và đen là nơi sóngcực đại.• Hãy so sánh mật độ photonở các vị trí A, B và C trên củcà-rốt.1f. Bài tập 21f. Bài tập 1Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảngtừ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xácsuất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớnnhất?• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷlệ với bình phương biên độsóng vật chất (sóng điện từđối với photon).• Biên độ sóng cực đại ở A vàC,• do đó mật độ photon cũngcực đại ở A và C.• Mật độ xác suất:• w = A2sin2(πx/L)• Cực trị của w đượccho bởi:• sin(πx/L)cos(πx/L) =0• πx/L = 0, π/2, π• x = 0, L/2, L• w cực đại ứng với x =L/2.• Câu trả lời đúng là(b).(a) L/4(b) L/2(c) 3L/4(d) L1f. Bài tập 31f. Trả lời bài tập 2HàmsóngMật độxác suấtL/2Bước sóng De Broglie của một electron đượctăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế Ubằng:(a)h2meeU(b)hmeeU(c)2h2meeU(d)h2 meeU1f. Trả lời bài tập 3• Động năng của electron sau khi tăng tốc:K=2p= eU2me• Suy ra động lượng: p = 2meeU• Vậy bước sóng De Broglie là:λ=2. Phương trình Schrödingera. Phương trìnhSchrödinger tổng quátb. Phương trìnhSchrödinger dừngc. Hàm sóng của hạt tự doh2meeU• Câu trả lời đúng là (a).Erwin Schrödinger1887-19612a. Phương trình Schrödinger tổng quát2b. Phương trình Schrödinger dừng• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m,chuyển động trong trường có thế năngU(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổngquát:• Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gianthì nghiệm của phương trình Schrödinger cóthể viết dưới dạng:∂Ψ  ℏ2iℏ=−∆ +U Ψ∂t  2mi = −1• trong đó ħ = h/2π, và Δ là Laplacian:∂2∂2∂2∆= 2 + 2 + 2∂x ∂y ∂zΨ ( x , y , z ,t ) = eE−i tℏΦ( x , y,z )• với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàmsóng dừng, thỏa phương trình Schrödingerdừng: ℏ2 − 2m ∆ + U  Φ = E Φ∆Φ +2m(E −U )Φ = 0ℏ22c. Hàm sóng của hạt tự do − 1• Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tựdo chuyển động theo dọc trục x:E−i tℏΨ = Ae• với E bây giờ là động năng của hạt. Phươngtrình này có nghiệm tổng quát là:k=2mE p=ℏ2ℏ3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiềua.b.c.d.• Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất:Ψ =e∂ 2Φ 2m+EΦ = 0∂x 2 ℏ2Φ = Aeikx + Be −ikx2c. Hàm sóng của hạt tự do − 2Giếng thế vô hạn một chiềuNăng lượng bị lượng tử hóaHàm sóngBài tập⋅ Aepi xℏ− i (ωt −kx )= Aeω=−i( Et − px )ℏEℏk=pℏ• là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tầnsố góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợpvới giả thuyết De Broglie:λ=2π h=k p3a. Giếng thế vô hạn một chiều• Hạt chuyển động tronggiếng thế vô hạn mộtchiều có thế năng xácđịnh bởi : 0 0< x ɶ h∆y ⋅ ∆p y >ɶ hp = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s )= 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s∆z ⋅ ∆pz >ɶ h• Độ bất định động lượng:• Không thể xác định được chính xác đồng thờitọa độ và động lượng của các vi hạt.• Không thể xác định quỹ đạo vi hạt.∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10−26 kg.m sh∆x >ɶ= 2,4 × 10−8 m = 24nm∆p x• Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử !4b. Ví dụ 24b. Ví dụ 3• Electron trong nguyên tử có Δx ~ kích thướccủa nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp.• Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bayvới vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độchính xác là 1,5 %. Tìm Δx.• Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độbất định về vị trí của quả banh:h 6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s∆px >ɶ== 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s−90,1 ⋅ 10 m∆x• Electron trong nguyên tử có động năng vàokhoảng 1 eV, do đó có động lượng :()(px = 2mK = 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J= 5,4 × 10−25 kg. m s• Δp ~ 10 p !)∆x >ɶ 3 × 10−32 m• Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫnxác định được chính xác đồng thời vị trí vàđộng lượng.4b. Ví dụ 44c. Bất định của thời gian và năng lượng• Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sónghình sin có động lượng rất gần nhau.• Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn),• thì bó sóng càng hẹp (Δx nhỏ).• Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái;• ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạngthái đó.• Giữa chúng có hệ thức:∆t ⋅ ∆E >ɶ h• Độ bất định năng lượng của một trạng tháicàng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đócàng ngắn.• Do đó một bó sóng không thể tồn tại lâu.4d. Hiệu ứng đường ngầm – 14d. Hiệu ứng đường ngầm – 2• Xét một hạt bị giam trong giếng thế có độ sâu U.• Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tạitrong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U .• Trong khoảng thời gian đó độ bất định nănglượng của hạt là :∆E >ɶhh==U∆t h U• Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâugiếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế!ΔEUE4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3• Hiệu ứng cũng xảy ra đốivới một rào thế (haytường thế). Hạt có thểchui qua rào dù có nănglượng nhỏ hơn chiều caocủa rào thế.• Xác suất vượt rào (hệ sốtruyền qua) là:5. Scanning Tunneling MicroscopeU0E0a 2aD ≈ exp −2m (U0 − E )  ℏ• Minh họa.xKhi quét trên bềmặt mẫu đầukim được kéolên hay hạ xuốngthấp để giữ chodòng e- chuingầm không đổi.Độ cao của đầukim được hiểnthị trên mànhình, đó chính làhình ảnh bề mặtmẫu.Minh họa