Giáo Trình Cơ Học Lượng Tử (phần Phi Tương đối Tính) - 123doc

Định nghĩa 1: X được gọi là một không gian vector trên T hay đơn giản là không gian nếu trong X xác định hai phép toán là phép cộng các phần tử của X và phép nhân các phần tử của X với m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Trần Thái Hoa

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Phần phi tương đối tính

(Lưu hành nội bộ)

HÀ NỘI 2017

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Phần phi tương đối tính

Giáo trình dùng cho sinh viên ngành Vật lý

HÀ NỘI 2017

Đây là bài giảng môn cơ học lượng tử mà tôi đã dùng từ năm 1978 để giảng dạy cho sinh viên Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Năm 1993, cuốn sách được Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 in roneo thành 2 tập dưới tên “Giáo trình cơ học lượng tử”.

Năm 2005, cuốn sách được Nhà xuất bản Đại học Sư phạm xuất bản dưới tên “Cơ học lượng tử”.

Cuốn sách này so với các cuốn đã được xuất bản từ trước có nhiều thay đổi hơn Nhiều lỗi in ấn, chính tả được sửa chữa Một số chương và mục mới được đưa thêm vào Các lớp bài tập được bổ xung phong phú hơn, được giải đầy đủ hơn và đặc biệt phương pháp giải các lớp bài tập này được làm nổi bật hơn.

Giáo trình này được dùng cho sinh viên ngành vật lý, học viên cao học ngành vật lý, nhà nghiên cứu vật lý và giáo viên dạy vật lý.

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

+ Chuẩn của một vector trong không gian Hilbert: |ψ|

+ Tích vô hướng của hai vector: (ϕ1(q), ϕ2(q)) =

b

Z

a

ϕ∗1(q)ϕ2(q)dq + Liên hợp phức của hàm ψ(q): ψ∗(q)

+ Liên hợp Hermite của toán tử ˆF : ˆ F+

+ đpcm: điều phải chứng minh

Lời nói đầu i

Một số kí hiệu viết tắt ii

Mục lục iii

Chương 1 KHÔNG GIAN VECTOR VÀ TOÁN TỬ 7 1.1 Không gian vector 7

1.2 Toán tử và ma trận 12

1.3 Các bài toán giá trị riêng 19

1.4 Các tính chất của toán tử tuyến tính và Hermite 22

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 26

Chương 2 HỆ TIÊN ĐỀ THỨ NHẤT CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 31 2.1 Lưỡng tính sóng hạt của chuyển động vật chất 31

2.2 Hàm sóng của một hệ lượng tử 34

2.3 Nguyên lí chồng chất các trạng thái 35

2.4 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 37

2.5 Xác suất các trạng thái lượng tử 38

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 40

Chương 3 HỆ TIÊN ĐỀ THỨ HAI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 45 3.1 Các đại lượng động lực và các toán tử 45

3.2 Phép đo đồng thời hai đại lượng vật lý 49

3.3 Nguyên lí bất định và các hệ thức ước lượng độ bất định 50

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 55

Chương 4 CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 61

4.1 Dạng các toán tử trong hệ toạ độ Descartes 61

4.2 Dạng của các toán tử trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ trụ 65

4.3 Các tính chất của các toán tử moment xung lượng 68

4.4 Hàm riêng và trị riêng của các toán tử moment xung lượng 69

4.5 Cộng moment 74

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 76

Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH SCHR ¨ ODINGER CÁC HỆ LƯỢNG TỬ ĐƠN GIẢN 77 5.1 Phương trình Schr¨odinger cho một hạt 77

5.2 Phương trình liên tục 80

5.3 Các bài toán một chiều kinh điển 82

5.4 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường 90

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 94

Chương 6 SỰ TIẾN TRIỂN THEO THỜI GIAN CỦA CÁC TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ 101 6.1 Các trạng thái dừng Sự tiến triển của các trạng thái lượng tử 101

6.2 Phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử 103

6.3 Định lí Ehrenfest 104

6.4 Các tích phân chuyển động và định luật bảo toàn 106

BÀI TẬP CHƯƠNG 6 112

Chương 7 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 117 7.1 Các biểu diễn khác nhau của các vector trạng thái 117

7.2 Các biểu diễn khác nhau của các toán tử 120

7.3 Phép biến đổi Unite 122

7.4 Biểu diễn Schr¨odinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác 124 7.5 Biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hoà 127

BÀI TẬP CHƯƠNG 7 129

Chương 8 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 133 8.1 Các tính chất tổng quát của chuyển động trong trường xuyên tâm 133 8.2 Chuyển động của hạt mang điện trong trường Coulomb 136

8.3 Nguyên tử Hydro và các ion tương tự Hydro 141

8.4 Rotator 143

8.5 Dòng điện trong nguyên tử Hydro 145

BÀI TẬP CHƯƠNG 8 148

Chương 9 SPIN CỦA CÁC HẠT CƠ BẢN 151 9.1 Sự kiện thực nghiệm về tồn tại spin của electron 151

9.2 Toán tử spin của electron 153

9.3 Spin của các hạt cơ bản 156

9.4 Những tính chất của moment xung lượng toàn phần 157

9.5 Hiệu ứng Zeemann 159

BÀI TẬP CHƯƠNG 9 162

Chương 10 HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT 165 10.1 Nguyên lí đồng nhất 165

10.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 166

10.3 Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu 167

BÀI TẬP CHƯƠNG 10 168

Chương 11 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG 169

11.1 Đặt vấn đề 169

11.2 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến 170

11.3 Nhiễu loạn khi có suy biến 175

11.4 Hiệu ứng Stark đối với nguyên tử Hydro 176

BÀI TẬP CHƯƠNG 11 179

Chương 12 LÝ THUYẾT CHUYỂN LƯỢNG TỬ 187 12.1 Xác suất chuyển lượng tử 187

12.2 Thuyết bức xạ của Einstein 189

12.3 Xác suất chuyển của nguyên tử trong trường điện từ 191

12.4 Tính các hệ số Einstein 193

12.5 Quy tắc lọc lựa 194

Chương 13 LÝ THUYẾT TÁN XẠ 197 13.1 Định nghĩa các tiết diện hiệu dụng 197

13.2 Biên độ tán xạ 198

13.3 Phép gần đúng Born 200

13.4 Phương pháp sóng riêng phần 201

13.5 Hai quá trình tán xạ 204

VECTOR VÀ TOÁN TỬ

1.1 Không gian vector

Chúng ta kí hiệu X là tập hợp chứa ít nhất một phần tử Thí dụ, tập hợp các

vector trong không gian thông thường, tập hợp các hàm số liên tục, tập hợp các

số thực hay phức, Trường hợp các số thực ta kí hiệu là R, còn tập hợp các số phức ta kí hiệu là C Khi không nói rõ là tập số thực hay phức, ta sẽ kí hiệu là T

Định nghĩa 1: X được gọi là một không gian vector trên T (hay đơn giản là

không gian) nếu trong X xác định hai phép toán là phép cộng các phần tử của X

và phép nhân các phần tử của X với một vô hướng của T , thoả mãn 8 tiên đề sau:

1 x + y = y + x với ∀x, y ∈ X,

2 x + (y + z) = (x + y) + z với ∀x, y, z ∈ X,

3 Tồn tại phần tử 0 ∈ X sao cho với ∀x ∈ X : x + 0 = 0 + x = x,

4 Tồn tại phần tử đối (−x) ∈ X của phần tử x ∈ X sao cho:

x + (−x) = (−x) + x = 0,

5 1x = x với ∀x ∈ X, 1 là phần tử đơn vị của tập số T,

6 a(bx) = (ab)x với ∀x ∈ X và a, b ∈ T,

7 (a + b)x = ax + bx với ∀x ∈ X và ∀a, b ∈ T,

8 a(x + y) = ax + ay với ∀x, y ∈ X và a ∈ T.

Các phần tử x, y, z ∈ X được gọi là các vector của không gian này.

Ví dụ 1:

1 Tập hợp các vector thông thường là một không gian trên R.

2 Tập các hàm số biến thực (phức) là một không gian trên R (C).

Định nghĩa 2: Cho hệ n vector x1, x2, , x n = {x n } ∈ X, vector

y = a1x1+ a2x2+ · · · + a n x n (y ∈ X, các a i ∈ T ) (1.1)

được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vector x1, x2, , x n

Nếu a1x1 + a2x2 + · · · + a n x n = 0 và tồn tại ít nhất một trong các hệ số

a1, a2, , a n khác 0 thì hệ {x n} được gọi là phụ thuộc tuyến tính Trường hợp

ngược lại nếu ∀a i = 0 thì hệ vector trên được gọi là độc lập tuyến tính

Từ (1.2) ta thấy rằng có thể khai triển một vector bất kì theo hệ các vector

x1, x2, , x p một cách duy nhất Người ta gọi hệ này là một cơ sở của không gian

X Các hệ số a1, a2, , a p trong khai triển lúc đó được gọi là các thành phần hoặc

các toạ độ của vector x (trong hệ cơ sở x1, x2, , x p đã cho)

c Trong không gian X có thể có nhiều hệ cơ sở Các hệ cơ sở của X đều có

số vertor bằng nhau và bằng p Người ta gọi p là số chiều của không gian X và kí hiệu dimX = p.

d Bộ phận X0 của không gian X thoả mãn 8 tiên đề về không gian vector là một không gian vector, được gọi là không gian con của X Người ta chứng minh rằng dim X0 6 dim X Nếu dim X0 = p thì X0 ≡ X.

Định nghĩa 3: Trong một không gian, người ta định nghĩa tích vô hướng của

hai vector, là một số, kí hiệu (x, y) ∈ T

Có nhiều cách định nghĩa tích vô hướng của hai vector, ở đây ta sẽ đưa ra hai

định nghĩa, một cho một không gian có chiều hữu hạn (dim X = n) và một cho không gian các hàm số (dim X = ∞).

(1) X là một không gian vector (dim X = n); x, y ∈ X tương ứng có các toạ

độ trong một cơ sở nào đó là (a1, a2, , a n ) và (b1, b2, , b n) Có thể định nghĩa tích

vô hướng của hai vector này như sau:

(x, y) = a∗1b1+ a∗2b2+ · · · + a∗n b n ∈ C, (1.3)

a∗i là liên hợp phức của a i , i = 1, 2, , n.

(2) F (q) là không gian các hàm số của tập hợp các biến q, ta định nghĩa tích

vô hướng của hai hàm ϕ(q) và ψ(q) dưới dạng:

(ϕ, ψ) =

Z

ϕ∗(q)ψ(q)dq ∈ C (1.4)

Tích phân (1.4) lấy khắp miền biến thiên của các biến số, dq là tích các vi

phân của các biến

Định nghĩa 4:

Cho X là một không gian vector và x, y ∈ X.

a Người ta nói các vector x và y là trực giao nhau nếu (x, y) = 0.

b Nếu x ≡ y,

(x, x) = |a1|2+ |a2|2+ · · · + |a n|2 > 0hoặc trường hợp các hàm số

c Nếu X0 là tập hợp các vector trực giao nhau từng đôi, thì ta gọi X0 là tập

trực giao, ngoài ra các vector còn được chuẩn hoá về đơn vị thì X0 là tập trực

chuẩn, lúc đó x l , x m ∈ X0 trực chuẩn thì:

(x l , x m ) = δ lm

Nếu không có một vector nào ngoài X0 trực giao với tất cả các vector của X0,

nghĩa là nếu (x0, x) = 0 với ∀x ∈ X0 và x0 ∈ X / 0 thì x0 = 0, ta nói X0 là tập trựcgiao đủ

Chú ý 2: Có thể chứng minh dễ dàng rằng các tích vô hướng (1.3) và (1.4)

thoả mãn 4 tính chất sau (các tiên đề của tích vô hướng)

1 (x, y) = (y, x)∗

2 (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

3 (x, αy) = α(x, y)

4 (x, x) > 0 nếu x 6= 0, (x, x) = 0 nếu x = 0.

Chú ý 3: Xét không gian F (q) các hàm số liên tục của các biến q Các hàm

ϕ(q) thỏa mãn điều kiện:

được gọi là phép chuẩn hoá hàm ϕ về đơn vị Hàm đã được chuẩn hoá theo (1.6)

có thể sai khác một thừa số có modul bằng đơn vị

Hơn nữa, để (1.6) thực hiện thì khi q → ∞ phải có ϕ → 0 Người ta đã chứng minh rằng, khi (1.6) hội tụ thì các phần tử (các hàm số) của không gian F (q) có thể đánh số bằng các số tự nhiên: {ϕ n } = ϕ1, ϕ2, , ϕ n , , ϕ∞

Ta gọi các hàm ϕ i ∈ F (q) thoả mãn (1.6) là các hàm ứng với phổ rời rạc.

Trường hợp (1.6) không được thực hiện, nghĩa là

Z

|ϕ|2dq = ∞ thì các hàm

của không gian này không được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số

cho nó bằng chỉ số f : ϕ f ∈ F (q), trong đó f trải từ f0 đến ∞ một cách liên tục

Ta gọi các hàm ϕ f ∈ F (q) là các hàm ứng với phổ liên tục.

Đối với trường hợp phổ liên tục, người ta chuẩn hoá ϕ f về hàm delta δ Hàm

này đầu tiên do P Dirac đưa ra, sau đó S.L Xobolev và L Schwartz xây dựng về

mặt toán học Hàm δ một biến được định nghĩa như sau:

x=x i , các x i là nghiệm của phương trình ϕ(x) = 0.

Hàm δ có nhiều biểu diễn tường minh Một trong các biễu diễn như thế được

Định nghĩa 5: Một không gian vector với chuẩn (1.5) được gọi là không gian

tiền Hilbert (hay không gian Unite)

Thật vậy, dễ dàng chứng minh được (y2, y1) = 0 Giả sử ta có hệ các

vec-tor {y1, y2, , y m−1 } là hệ trực giao Ta đi tính tích vô hướng (y m , y k) với chú ý

(e l , y k ) = |y k |δ lk , y k = |y k |e k với k, l = 1, 2, , (m − 1): (y m , y k) = (x m, yk) −

(x m , e m−1 )(e m−1 , y k ) − − (xm, ek )(e k, yk) − − (x m , e1)(e1, y k) = 0 (đpcm)

Phương pháp chuyển hệ độc lập tuyến tính {x n } thành hệ trực chuẩn {e n}được gọi là phương pháp trực chuẩn hoá Gramm - Schmidt.

Định nghĩa 6: Không gian tiền Hilbert có một hệ cơ sở trực chuẩn đủ được

gọi là không gian Hilbert

Chú ý 5: Trong không gian Hilbert X, vector x bất kì của nó có thể khai

triển theo hệ cơ sở trực chuẩn đủ {e n}:

(1.12) chứng tỏ rằng |a k|2 có tính chất như một phân bố và ta sẽ gọi một cách

tương ứng |a k|2 là xác suất tìm thấy thành phần thứ k của x Lí luận này hoàn

toàn áp dụng cho trường hợp phổ liên tục

1.2 Toán tử và ma trận

Cho không gian X, dimX = p và không gian Y , dimY = q.

Định nghĩa 7:

a Một phép toán nào đó, biến phần tử x ∈ X thành phần tử y ∈ Y được gọi

là một ánh xạ Kí hiệu phép toán này là ˆF , phép toán biến x → y được viết như

Từ đây về sau chúng ta sẽ sử dụng các ánh xạ tuyến tính.

Trong X cho hệ cơ sở {e p }(1) và trong Y cho hệ cơ sở {f q}(2) nào đó Phéptoán ˆF biến các phần tử của hệ (1) thành các phần tử tương ứng của Y , các phần

tử này lại được khai triển theo hệ (2)

a Hai ánh xạ gọi là bằng nhau (viết ˆF = ˆ G) nếu ˆ F x = ˆ Gx với ∀x ∈ X.

b Chúng ta định nghĩa tổng và tích của hai ánh xạ và tích của một ánh xạvới một số bởi các hệ thức:

Nói chung ˆF ˆ G 6= ˆ G ˆ F , trường hợp ngược lại ˆ F ˆ G = ˆ G ˆ F , ta nói ˆ F và ˆ G giao

hoán với nhau

c Ánh xạ không 0 và ánh xạ đơn vị ˆI là các ánh xạ:

0x = 0 và ˆ Ix = x với ∀x ∈ X, 0 ∈ X (1.21)

d Nếu tồn tại một ánh xạ ˆF−1 sao cho ˆF x = y mà ˆ F−1y = x thì ˆ F−1 gọi làánh xạ ngược của ˆF Những ánh xạ có ánh xạ ngược được gọi là ánh xạ không kì

dị

Từ định nghĩa ánh xạ ngược, ta suy ra:

ˆ

Nếu ta lấy không gian Y là không gian X (hai cơ sở không nhất thiết trùng

nhau), thì ánh xạ ˆF được gọi là phép biến đổi tuyến tính Nếu chúng ta luôn giả

thiết rằng Y ≡ X (hai cơ sở lấy trùng nhau), thì ánh xạ ˆ F sẽ được gọi là toán tử

(dấu (+) chỉ phép toán vừa lấy liên hợp phức vừa chuyển vị trí i ↔ j của phần tử

F ij để tạo thành phần tử F ji∗) tương ứng là các phần tử của toán tử ˆF+ Phần tử

F ij+ thu được bằng cách vừa chuyển vị vừa lấy liên hợp phức của phần tử F ij được

gọi là phần tử liên hợp của phần tử F ij Tương ứng với điều đó, toán tử ˆF+ đượcgọi là toán tử liên hợp của toán tử ˆF (và ngược lại).

Nếu xảy ra đẳng thức

F ij = F ij+, tức là

(x i , ˆ F x j) = ( ˆF x i , x j) hayˆ

thì toán tử ˆF được gọi là toán tử tự liên hợp hay là toán tử Hermite.

b Nếu toán tử ˆF không kì dị và

ˆ

F+ = ˆF−1 hay ˆF ˆ F+ = ˆF+F = Iˆ (1.26)thì toán tử ˆF được gọi là toán tử Unite.

c Giả sử T = R (tập số thực), ˆ F+ = ˆF c (c là phép chuyển vị) Nếu

ˆ

F c = ˆF−1 hay ˆF c F = ˆˆ F ˆ F c = I, (1.27)thì ˆF được gọi là toán tử trực giao.

Ví dụ 2:

Trong không gian X các hàm biến thực ϕ(x) thoả mãn điều kiện toàn phương

khả tích (liên tục, đơn trị, hữu hạn ở khắp nơi và tiến đến 0 ở vô cùng) thì

(1) Toán tử ˆp x = −i~ d

dx là toán tử Hermite.

(2) Toán tử nhân với hàm số thực f (x) nào đó là toán tử Hermite.

Chúng ta chứng minh (1) Thật vậy, muốn chứng minh một toán tử ˆF nào đó

Hermite, cần phải chứng minh

Bảng (1.29) được gọi là ma trận A của toán tử ˆ F (trong các cơ sở (1) và (2)

cho trước) Các số A ij ở dòng i, cột j của bảng được gọi là phần tử (i, j) của A.

Các ma trận của các toán tử tuân theo một số phép toán mà các phép toántrên các ma trận sẽ phải phụ thuộc vào các phép toán trang bị cho các toán tửtương ứng đã được nêu ở định nghĩa 8 và định nghĩa 9

Giả sử A và B là hai ma trận của hai toán tử tương ứng ˆ F và ˆ G trong cơ sở

(1) và (2) cho trước ở trên Các biểu thức sau viết cho i = 1, 2,

Từ đây suy ra các phép toán trên các ma trận:

(1’) Hai toán tử bằng nhau thì ma trận tương ứng bằng nhau và nếu A = B

thì

A ij = B ij (i = 1, 2, , q; j = 1, 2, , p)

(2’) Phép cộng hai toán tử tương ứng với phép cộng hai ma trận Ở đây

(A + B) ij là phần tử (i, j) của ma trận tổng (A + B) Vậy

(A + B) ij = A ij + B ij (3’) Tương tự như vậy ma trận aA có các phần tử:

(aA) ij = aA ij Bây giờ ta giả thiết ngoài X và Y ở trên còn không gian thứ ba là Z (dim Z =

m) với hệ cơ sở {t m}(3) tương ứng

Giả sử ˆG biến phần tử x ∈ X thành phần tử y ∈ Y , trong cơ sở (1) và (2) cho

trước nó có ma trận B Đến lượt ˆ F lại biến phần tử y ∈ Y thành phần tử z ∈ Z,

và trong cơ sở (2) và (3) cho trước nó có ma trận A.

Phần tử z có thể khai triển theo (3) Thành ra toán tử tích ( ˆ F ˆ G) biến phần

tử x ∈ X thành phần tử z ∈ Z Trong cơ sở (1) và (3) xác định, toán tử này có

Chú ý 6:

a Phép nhân ma trận nói chung không giao hoán

b Phần tử (i, j) của tích AB là tổng của những tích của các phần tử ở dòng

i của A và cột j của B tương ứng với nhau.

c Số cột của A phải bằng số dòng của B.

Giả thiết rằng X ≡ Y ≡ Z Tương ứng với điều ấy p = q = m, và từ đây trở

đi, ta sẽ chỉ nghiên cứu các ma trận vuông và chỉ xét các toán tử tuyến tính

Định nghĩa 11:

a Ma trận 0 là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.

b Ma trận đơn vị I là ma trận có các phần tử là δ ij (tức là các phần tử trênđường chéo chính bằng đơn vị, còn tất cả các phần tử khác đều bằng 0)

c Định thức của ma trận A = (a ij ) (detA = |a ij|) là định thức lập từ các phần

tử của ma trận A

detA =

a11 a12 a 1p

a21 a22 a 2p

a p1 a p2 a pp

(1.31)

d Ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu A−1 có cùng cấp và thoả mãn

điều kiện A−1A = AA−1 = I

Gọi P ji là phần phụ đại số của phần tử A ji của ma trận A (là kết quả việc

nhân (−1)i+j với ma trận cấp (n − 1) thu được từ ma trận A sau khi xóa đi dòng

j và cột i chứa phần tử A ji):

(A−1)ij = P ji

e Ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu A c là ma trận nhận được từ A

nếu đổi dòng thành cột và ngược lại

(A c)ij = a ji (1.33)

g Ma trận liên hợp phức của ma trận A, kí hiệu A∗ là ma trận nhận được từ

A khi lấy liên hợp phức tất cả các phần tử của A

(A∗)ij = (a ij)∗ (1.34)

h Ma trận liên hợp của ma trận A, kí hiệu A+ là ma trận nhận được từ A

sau khi chuyển vị và lấy liên hợp phức

Chú ý 8:

a Trong mỗi cơ sở xác định của không gian vector thì mỗi toán tử đều có một

ma trận tương ứng và ngược lại Ta nói ma trận tương ứng là biểu diễn của toán

tử trong cơ sở đã cho

b Trong không gian X vector x có các thành phần a1, a2, , a p xác định nào

đó trong một cơ sở cho trước, ta nói ma trận cột:

Việc chuẩn hoá vector x theo (x, x) = 1 đưa đến việc chuẩn hoá ma trận cột

biểu diễn của nó theo biểu thức:

(x)+(x) = 1 (1.43)

c Biểu thức (1.17) có thể viết dưới dạng ma trận:

(y) = A(x), trong đó (y) là ma trận cột biểu diễn của vector y ∈ Y còn (x) là ma trận cột biểu diễn của vector x ∈ X, còn A là ma trận biểu diễn của toán tử ˆ F (trong các cơ sở

(1) và (2) cho trước)

1.3 Các bài toán giá trị riêng

Ở mục này ta giả thiết X ≡ Y, p = q và lấy cơ sở (2) trùng với cơ sở (1) Biểu

thức (1.17) được viết dưới dạng ma trận:

Trong đó A = (A ij) là ma trận của toán tử ˆF ; (x) và (y) là các ma trận cột

(có ngoặc đơn) của các vector tương ứng x và y (không ngoặc đơn) trong hệ cơ sở

(1) (và (2))

Phương trình (1.44) và (1.13) là hoàn toàn tương đương nhau Như vậy nếu

trong không gian X cho một hệ cơ sở xác định thì các ma trận cột của một vector

và ma trận của một toán tử sẽ hoàn toàn được xác định Bởi vậy các phát biểu ởsau cho toán tử là bao gồm cả cho ma trận của toán tử, cho vector là bao gồm cảcho ma trận cột các toạ độ của vector Giả sử cho toán tử ˆF , phương trình:

ˆ

không phải thoả mãn với ∀x ∈ X và ∀f ∈ T , mà chỉ với f nào đó và một lớp x nào

đó Phương trình (1.45) gọi là phương trình cho giá trị riêng (trị riêng) và vectorriêng (hoặc hàm riêng) của toán tử ˆF

Tập hợp những giá trị riêng của toán tử ˆF gọi là phổ của toán tử ˆ F Trường

hợp f có những giá trị rời rạc, ta gọi phổ của ˆ F là rời rạc Trường hợp f có các

giá trị liên tục, ta gọi phổ của ˆF là liên tục Phổ của ˆ F còn có thể vừa rời rạc, vừa

liên tục từng khoảng

Vector tương ứng với phổ rời rạc được đánh số bằng các số nguyên, gọi là các

số lượng tử Trường hợp phổ liên tục, các vector riêng phụ thuộc vào các giá trị f

của ˆF ; coi như một thông số, chẳng hạn x f (~ r, t) = x(f, ~ r, t).

Nếu ứng với một giá trị riêng chỉ có một vector riêng, ta nói phổ toán tử không

suy biến Ngược lại, ứng với một giá trị riêng có s > 2 vector riêng độc lập tuyến tính, ta gọi phổ của toán tử suy biến bội s.

Định lí: Tổ hợp tuyến tính tuỳ ý của s vector riêng độc lập tuyến tính ứng

với cùng trị riêng f của toán tử tuyến tính ˆ F cũng là một vector riêng ứng với trị

riêng f của toán tử ấy.

Hệ phương trình (1.47) với các nghiệm a i ∈ C là hệ tuyến tính thuần nhất.

Để hệ có nghiệm không tầm thường, thì:

= det(A − If ) = 0 (1.48)

Phương trình (1.48) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình(1.44), đôi khi còn được gọi là phương trình thế kỉ Nó là phương trình bậc p của

f Trong trường số phức C, (1.48) có p nghiệm: f1, f2, , f p Thay f k vào (1.47) ta

sẽ tìm được vector riêng (x) f k ứng với trị riêng f k

Ví dụ 3:

a) Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆp x = −i~ d

dx trong lớp các hàm số

toàn phương khả tích biến x.

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của ˆp x

ˆxϕ = −i~ dϕ

dx = p x ϕ

Phương trình vi phân này có nghiệm ϕ = Ae~i p x x Hàm này thoả mãn điều

kiện liên tục (hàm sơ cấp), đơn trị (hàm số mũ) với ∀p x Ta xét điều kiện hữu

hạn của hàm này Đặt p x = ~(a − ib) ∈ C, ϕ = Ae iax e bx Nhân tử e bx → ∞ khi

x → ±∞, còn nhân tử e iax có modul bằng đơn vị Thành thử để ϕ hữu hạn phải đặt b = 0 Vậy phổ của ˆ p x là thực và liên tục

b) Tìm các vector riêng và các giá trị riêng của ma trận cấp hai:

−λ −i

i −λ

... c? ?học cổ điển chỗ học lượng tử cho tiên đốn có tính chất xác suất

Nó cho phép tính xác suất tác động đối tượng vi mô lên đối tượng

vĩ mô điều kiện vĩ mô xác định

Môn Cơ học. .. hạt, bị vật chấthấp thụ phát xạ lượng riêng biệt - lượng tử hay photon Nănglượng xung lượng photon xác định hệ thức:

hạt có khối lượng m, lượng E xung lượng ~ p với sóng phẳng đơn sắc... củahạt nhân, nguyên tử Các kết rút từ tiên đốn đãđược thực nghiệm kiểm chứng đắn Nhiều ngành khoa học khác hìnhthành sở mơn Cơ học lượng tử

2.2 Hàm sóng hệ lượng tử< /b>

Ta