Giáo Trình Hướng Dẫn Cách Vận Dụng Toán Tử Divergence Trong ...

Nếu F là trường chất lỏng thì thông lượng chính là lượng chất lỏng đi qua mặt cong S theo hướng pháp vectơ n trong một đơn vị thời gian.. • Giả sử Ω là miền đóng nằm gọn trong miền D và

Nếu F là trường chất lỏng thì thông lượng chính là lượng chất lỏng đi qua mặt cong S theo hướng pháp vectơ n

trong một đơn vị thời gian

• Cho trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} Trường vô hướng

div F =

z

Z y

Y x

X

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

(6.4.2)

gọi là divergence (nguồn) của trường vectơ F

Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 1, -1)

Ta có

div F = y + z + x và div F(A) = 1 + 1 - 1 = 2

Định lý Cho F, G là các trường vectơ và u là trường vô hướng Divergence có các tính

chất sau đây

1 div (F + G) = div F + div G

2 div (u F) = u div F + <grad u, F>

Chứng minh

Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng

• Giả sử Ω là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng

mảnh, định hướng theo pháp vectơ ngoài n Khi đó công thức Ostrogradski được viết lại

ở dạng vectơ như sau

S

dS

, n

Ω

dV

Chọn Ω là hình cầu đóng tâm A, bán kính ε Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung bình của tích phân bội ba suy ra

div F(A) = ∫∫< >

→

V

1

Theo công thức trên, nguồn của trường vectơ F tại điểm A là lượng chất lỏng đi ra từ

điểm A theo hướng của trường vectơ F

• Cho trường vectơ (D, F ) và điểm A ∈ D Nếu div F(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm

nguồn Nếu div F(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm thủng

Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx}

Ta có div F = y + z + x

div F(1, 0, 0) = 1 > 0 điểm (1, 0, 0) là điểm nguồn

div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 điểm (-1, 0, 0) là điểm thủng

Γ

n

S

Đ5 Hoàn lưu

• Cho trường vectơ (D, F ) và đường cong Γ kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D,

định hướng theo vectơ tiếp xúc T Tích phân đường loại hai

K = ∫

Γ

>

<F , T ds = ∫

Γ

+ +Ydy Zdz

gọi là hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong kín Γ

Nếu F là trường chất lỏng thì hoàn lưu là công

dịch chuyển một đơn vị khối lượng chất lỏng dọc

theo đường cong Γ theo hướng vectơ T

• Cho trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} Trường vectơ











∂

∂

ư

∂

∂

z

Y y

Z











∂

∂

ư

∂

∂

x

Z z

X











∂

∂

ư

∂

∂

y

X x

Y

gọi là rotation (xoáy) của trường vectơ F

Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và điểm A(1, 0, -1)

Ta có

rot F = {z, x, y} và rot F(A) = {-1, 1, 0}

Định lý Cho F, G là các trường vectơ và u là trường vô hướng Rotation có các tính chất

sau đây

1 rot (F + G) = rot F + rot G

2 rot (u F) = u rot F + [grad u, F]

Chứng minh

Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng

• Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hướng theo pháp

vectơ n và có biên là đường cong kín Γ trơn từng khúc, định hướng theo vectơ tiếp xúc T

phù hợp với hướng pháp vectơ n Khi đó công thức Stokes viết lại ở dạng vectơ như sau

∫

Γ

>

<F , T ds = ∫∫< >

S

dS

, n

Chọn S là nửa mặt cầu tâm A, bán kính ε Từ công thức (6.5.3) và định lý về trị trung

bình của tích phân mặt loại hai suy ra

< rot F, n >(A) = ∫

Γ

→

ε < , >ds S

1 lim

Theo công thức trên, cường độ của trường vectơ rot F theo hướng pháp vectơ n tại điểm

A là công tự quay của điểm A theo hướng trục quay n

Γ

• Cho trường vectơ (D, F ) và điểm A ∈ D Nếu < rot F, n >(A) > 0 thì điểm A gọi là

điểm xoáy thuận Nếu < rot F, n >(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy nghịch

Ví dụ Cho trường vectơ F = {xy, yz, zx} và n = {x, y, z}

Ta có rot F = {z, x, y} và < rot F, n > = zx + xy + yz

< rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 điểm (1, 0, 1) là điểm xoáy thuận

< rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 điểm (1, 0, -1) là điểm xoáy nghịch

Định lý Cho trường vectơ <D, F > và điểm A ∈ D

1 Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | đạt được khi và chỉ khi n // rot F

2 Min | < rot F, n >(A) | = 0 đạt được khi và chỉ khi n ⊥ rot F

Chứng minh

• Theo kết quả trên thì cường độ xoáy có trị tuyệt đối lớn nhất theo hướng đồng phương

với vectơ rot F và có trị tuyệt đối bé nhất theo hướng vuông góc với vectơ rot F

Đ6 Toán tử Hamilton

• Vectơ tượng trưng

∇ = x

∂

∂ i +

y

∂

∂ j +

z

∂

∂ k

(6.6.1)

với x

∂

∂ , y

∂

∂

và z

∂

∂ tương ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là

toán tử Hamilton

• Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận được các trường grad, div và rot đ~

nói ở các mục trên như sau

1 Tích của vectơ ∇ với trường vô hướng u là trường vectơ grad u

∇u = (

x

∂

∂ i +

y

∂

∂ j +

z

∂

∂ k)u =

x

u

∂

∂ i +

y

u

∂

∂ j +

z

u

∂

2 Tích vô hướng của vectơ ∇ với trường vectơ F là trường vô hướng div F

∇F = (

x

∂

∂ i +

y

∂

∂ j +

z

∂

∂ k)(Xi + Yj + Zk) =

x

X

∂

∂ + y

Y

∂

∂ + z

Z

∂

∂

(6.6.3)

3 Tích có hướng của vectơ ∇ với trường vectơ F là trường vectơ rot F

.

∇ìF = (

x

∂

∂ i +

y

∂

∂ j +

z

∂

∂ k) ì (Xi + Yj + Zk)











∂

∂

ư

∂

∂

z

Y y

Z











∂

∂

ư

∂

∂

x

Z z

X











∂

∂

ư

∂

∂

y

X x

Y

• Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận được các toán tử vi phân cấp hai

4 Với mọi trường vô hướng (D, u) thuộc lớp C2

div (grad u) = div (

x

u

∂

∂

i +

y

u

∂

∂

j +

z

u

∂

∂

k) =

2

2

x

u

∂

∂ + 2

2

y

u

∂

∂ + 2

2

z

u

∂

∂ = ∆u (6.6.5) Toán tử

∆ =

2

2

x

∂

∂ i +

2

2

y

∂

∂ j +

2

2

z

∂

∂ k

gọi là toán tử Laplace

Tức là ∆u = div (grad u) = ∇(∇u) = ∇2u

5 Với mọi trường vô hướng (D, u) thuộc lớp C2

rot (grad u) = rot (

x

u

∂

∂ i +

y

u

∂

∂ j +

z

u

∂

Tức là rot (grad u) = ∇ì∇u = 0

6 Với mọi trường vectơ (D, F ) thuộc lớp C2

div (rot F) = div



















∂

∂

ư

∂

∂

z

Y y

Z











∂

∂

ư

∂

∂

x

Z z

X

j +



















∂

∂

ư

∂

∂

k

y

X x

Y

= 0 (6.6.7)

Tức là div (rot F) = ∇(∇ ì F) = 0

7 Với mọi trường vectơ (D, F ) thuộc lớp C2

rot (rot F) = rot



















∂

∂

ư

∂

∂

z

Y y











∂

∂

ư

∂

∂

x

Z z



















∂

∂

ư

∂

y

X x

Y

Đ7 Trường thế

• Trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trường thế nếu có trường vô hướng

(D, u) sao cho F = grad u Tức là

X = x

u

∂

∂

Y = y

u

∂

∂

Z = z

u

∂

∂

(6.7.1)

Từ định nghĩa suy ra nếu trường vectơ F là trường thế thì

Chúng ta sẽ chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng

Định lý Trường vectơ (D, F ) là trường thế khi và chỉ khi rot F = 0

Chứng minh

Điều kiện cần suy ra từ công thức (6.7.2) Chúng ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử rot F = 0

Khi đó với mọi đường cong Γ kín, trơn từng khúc và nằm gọn trong miền D

∫

Γ

+ +Ydy Zdz

S

dS ,n F

với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hướng theo

pháp vectơ n là đường cong Γ

Suy ra với mọi A, M ∈ D tích phân

AM

Zdz Ydy Xdx

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Cố định điểm A ∈ D và đặt

AM

Zdz Ydy

Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên miền D Kiểm tra trực tiếp ta có

grad u = F

Từ đó suy ra trường vectơ F là trường thế và hàm u là hàm thế vị của nó

• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường thế như sau

1 Trong trường thế không có điểm xoáy

rot F = 0

2 Hoàn lưu dọc theo đường cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không

K = ∫

Γ

>

<F , T ds = ∫∫< >

S

dS ,n F

3 Công dịch chuyển bằng thế vị điểm cuối trừ đi thế vị điểm đầu

MN

ds

, T

MN

Zdz Ydy

MN

du = u(N) - u(M) (6.7.4)

u(N) u(M)

Đ8 Trường ống

• Trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trường ống nếu có trường vectơ (D, G )

với G = {X1, Y1, Z1} sao cho F = rot G Tức là

X =

z

Y y

∂

∂

ư

∂

∂

Y =

x

Z z

∂

∂

ư

∂

∂

Z =

y

X x

∂

∂

ư

∂

∂

(6.8.1)

Trường vectơ G gọi là trường thế vị của trường vectơ F

Từ định nghĩa suy ra nếu F là trường ống thì

Có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng Tức là chúng ta có kết quả sau đây

Định lý Trường vectơ (D, F ) là trường ống khi và chỉ khi div F = 0

• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường ống như sau

1 Trong trường ống không có điểm nguồn

div F = 0

2 Thông lượng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không

Φ = ∫∫< >

S

dS

, n

Ω

dV

3 Thông lượng đi qua các mặt cắt của một luồng là như nhau

Giả sử S là mặt trụ kín như hình bên

S = S0 + S1 + S2

Trong đó S định hướng theo pháp vecto ngoài n

S0 định hướng theo pháp vecto n 0 ngược hướng

với trường vectơ F, S1 định hướng theo pháp

vecto n 1 cùng hướng với trường vectơ F S2

định hướng theo pháp vecto n 2 vuông góc với

trường vectơ F

Theo tính chất của trường ống và tính cộng tính của tích phân

0 = ∫∫< >

S

dS

, n

F = ∫∫< >

0

S

dS ,n 0

F + ∫∫< >

1

S

dS ,n 1

F + ∫∫< >

2

S

dS ,n 2 F

Từ đó suy ra

1

S

dS ,n 1

F = -∫∫< >

0

S

dS ,n 0

F = ∫∫< >

0

S

dS ,n 1 F

Hay nói cách khác thông lượng của trường ống đi qua các mặt cắt là một hằng số

• Trường vectơ (D, F ) gọi là trường điều hoà nếu nó vừa là trường thế và vừa là trường

ống Tức là có trường vô hướng (D, u ) và trường vectơ (D, G ) sao cho

F

n 0

S

0

S

n 2

S

1

n 1

∆u = div (grad u) = div (rot G) = 0 (6.8.5) Tức là hàm thế vị của trường điều hoà là hàm điều hoà

• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường ống như sau

1 Trong trường điều hoà không có điểm xoáy, điểm nguồn

rot F = 0 và div F = 0

2 Hoàn lưu dọc theo đường cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không

K = ∫

Γ

>

<F , T ds = 0

3 Thông lượng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không

Φ = ∫∫< >

S

dS

, n F

Bài tập chương 6

1 Tìm đạo hàm tại điểm A theo hướng vectơ e của trường vô hướng u = xy - z2

a A(1, 2, 3) và e{1, 1, 1} b A(1, 1, 0) và e{0, 1, 1}

c A(1, 0, 1) và e là hướng phân giác trong của góc Oxy

2 Cho trường vô hướng u = x2 + y2 - z2

a Tìm độ lớn và hướng của vectơ grad u tại điểm A(1, - 2, 1)

b Tìm góc giữa grad u(1, 1, 1) và grad u(1, -1, 0)

c Tìm điểm M sao cho grad u(M) đồng phương với trục Oy

3 Cho trường bán kính r = x2 +y2+z2

a Tìm

e

∂

r

1

và grad r2

c Tìm grad f(r) với hàm f là hàm có đạo hàm liên tục

4 Tìm Divergence của các trường vectơ F tại điểm A sau đây

a F = {xy, yz, zx} và A(1, 1, 2) b F = {xy2, yz2, zx2} và A(-2, 0, 1)

c F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} và A(0, 1, 2)

4 Tìm Rotation của các trường vectơ F tại điểm A sau đây

a F = {x2y, y2z, z2x} và A(2, -1, 1) b F = {yz, zx, xy} và A(1, 3, 2)

c F = {x2 + y2, y2 + z2, z2 + x2} và A(-2, 3, 1)

6 Chứng minh các đẳng thức sau đây

a div (F ì G) = F rot G - G rot F b rot (rot F) = grad (div F) - ∆ F

7 Cho (D, u) và (D, v) là các trường vô hướng, r = x2 +y2+z2 là trường bán kính,

còn hàm f là hàm có đạo hàm liên tục H~y tính

a div (grad f(r)) b div (u grad v) c rot (grad rf(r))

8 Tính thông lượng của trường vectơ F qua mặt cong S

a F = {x, y, z} qua phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất

b F = {xy, yz, zx} qua phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất

c F = {xy, yz, zx} qua phần mặt parabole z = x2 + y2 và 0 ≤ z ≤ 1

d F = {x, y, z} qua mặt cong kín z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1

e F = {x3, y3, z3} qua mặt cong kín x2 + y2 + z2 = 1

f F = {xy2, x2y, z} qua mặt cong kín z = 4 - x2 - y2 và 0 ≤ z ≤ 4

9 Tính hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong Γ

a F = {x, y, z} theo đường xoắn ốc x = a cost, y = a sint, z = bt với t ∈ [0, π/2]

b F = {xy, yz, zx} theo đoạn thẳng nối hai điểm A(a, 1, 1) và B(2, 4, 8)

c F = {-y, x, 0} theo đường cong kín (x - 2)2 + y2 = 1 và z = 0

d F = {x3, y3, z3} theo đường cong kín x2 + y2 + z2 = 1 và x + y + z = 1

e F = {xy2, x2y, z} theo đường cong kín z = x2 + y2 và z = x + y

Chương 7

Phương trình truyền sóng

Đ1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

• Cho miền D ⊂ 32 và các hàm a, b, c : D → 3 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với hai biến độc lập có dạng như sau

a(x, y) 2

2

x

u

∂

∂ + 2b(x, y)

y x

u

2

∂

∂

∂ + c(x, y) 2

2

y

u

∂

∂ = F(x, y, u,

x

u

∂

∂ , y

u

∂

∂ ) (7.1.1)

Kí hiệu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) với (x, y) ∈ D

1 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) > 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng hyperbole

2 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) = 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng parabole

3 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) < 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng ellipse

• Giả sử ánh xạ

Φ : D → Ω, (x, y) → (ξ, η) với J(x, y) =

x y y

η

∂

∂

ξ

ư

∂

η

∂

∂

(7.1.2)

là phép đổi biến từ miền D vào miền Ω

Theo công thức đạo hàm hàm hợp

x

u

∂

∂ =

x

u x

u

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ ξ

∂

, y

u

∂

∂ =

y

u y

u

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ ξ

∂

2 2

x

u

∂

∂

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

x

u x

u x

u x x

u 2 x

u

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ

∂ ξ

∂ +













∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

η

∂

∂

ξ η

∂

∂

∂ +













∂

ξ ξ

∂

y x

u

2

∂

∂

∂ =

y x

u y x

u y x

u x

y y x

u y x

2

2 2

2

2

∂

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

∂

ξ

∂ ξ

∂ +

∂

η

∂

∂

η

∂ η

∂

∂ +













∂

η

∂

∂

ξ +

∂

η

∂

∂

ξ η

∂

∂

∂ +

∂

ξ

∂

ξ ξ

∂

2 2

y

u

∂

∂

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

y

u y

u y

u y y

u 2 y

u

∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

ξ

∂ ξ

∂ +













∂

η

∂ η

∂

∂ +

∂

η

∂

∂

ξ η

∂

∂

∂ +













∂

ξ ξ

∂ Thay vào phương trình (7.1.1) nhận được

a1(ξ, η) 2u2

ξ

∂ + 2b1(ξ, η)

η

∂

∂

∂2u

+ c1(ξ, η) 2u2

η

∂

∂ = F1(ξ, η, u,

ξ

∂u , η

∂

∂u ) Trong đó

a1(ξ, η) = a(x, y)

2

x









∂

ξ + 2b(x, y)

y

ξ

∂

ξ + c(x, y) 2

y









∂ ξ

.

b1(ξ, η) = a(x, y)

y

ξ

∂

ξ











∂

η

∂

∂

ξ +

∂

η

∂

∂

ξ

x y y

η

∂

∂

η

∂

c1(ξ, η) = a(x, y)

2

x









∂

η

∂

+ 2b(x, y)

y

η

∂

∂

η

∂

+ c(x, y)

2

y









∂

η

∂

Suy ra

∆1(ξ, η) = 2

1

b - a1c1 = ∆(x, y)J2(x, y) Tức là chúng ta có định lý sau đây

Định lý Phép đổi biến không suy biến không làm thay đổi dạng của phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính cấp 2

• Nếu ξ và η là các nghiệm riêng độc lập của phương trình

a(x, y)

2

x









∂

ϕ

∂

+ 2b(x, y)

y

ϕ

∂

∂

ϕ

∂

+ c(x, y)

2

y









∂

ϕ

∂

thì a1(x, y) = b1(x, y) = c1(x, y) = 0 Khi đó phương trình (7.1.1) có dạng chính tắc

η

∂

∂

∂2u

= F1(ξ, η, u, ∂uξ,

η

∂∂u)

Giả sử ϕ(x, y) là một nghiệm riêng không tầm thường của phương trình (7.1.3) Chúng

ta có (ϕx , ϕy) ≠ (0, 0) không giảm tổng quát có thể xem ϕy ≠ 0 Khi đó phương trình

ϕ(x, y) = C xác định hàm ẩn y = y(x) có đạo hàm y’(x) = - ϕx / ϕy

Thay vào phương trình (7.1.3) nhận được phương trình vi phân

a(x, y)y’2 - 2b(x, y)y’ + c(x, y) = 0 với a(x, y) ≠ 0 (7.1.4)

gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (7.1.1)

1 Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) > 0 thì phương trình (7.1.4) có nghiệm thực

) y , x ( a

) y , x ( ) y , x ( b

+ C

Đổi biến

ξ + η = y - ∫ ư ∆ dx

) y , x ( a

) y , x ( ) y , x ( b

và ξ - η = y - ∫ + ∆ dx

) y , x ( a

) y , x ( ) y , x ( b

Đưa về dạng chính tắc của phương trình hyperbole

2

2u ξ

∂ -

2

2u η

∂

∂ = F

2(ξ, η, u,

ξ

∂u, η

∂

2 Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) = 0 thì phương trình (7.1.4) có nghiệm kép