Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Bài Tập Và Các Dạng Toán

Số lượt đọc bài viết: 27.152

Toán học lớp 11 bao gồm nhiều chủ đề trọng tâm, trong đó nổi bật là chuyên đề giới hạn của dãy số. Vậy cần nắm gì về lý thuyết giới hạn của dãy số toán 11? Các dạng toán giới hạn của dãy số? Bài tập giới hạn của dãy số có lời giải? Hay tính giới hạn của dãy số chứa căn thức?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này nhé!

MỤC LỤC

• Tìm hiểu dãy số có giới hạn 0 là gì?
  • Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
  • Một số dãy số có giới hạn 0
• Tìm hiểu giới hạn hữu hạn của dãy số là gì?
  • Định nghĩa Giới hạn hữu hạn của dãy số
  • Một số định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
• Tìm hiểu giới hạn vô cực của dãy số là gì?
  • Dãy số có giới hạn \(+\infty\)
  • Dãy số có giới hạn \(-\infty\)
• Mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
• Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Các dạng toán về giới hạn của dãy số
  • Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức
  • Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
  • Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức
  • Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ
  • Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ

Tìm hiểu dãy số có giới hạn 0 là gì?

Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

Dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: \(lim_{u_{n}} = 0\)

Nói một cách ngắn gọn, \(lim_{u_{n}} = 0\) nếu \(\left | u_{n} \right |\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Từ định nghĩa suy ra rằng:

• \(lim_{u_{n}} = lim\left | u_{n} \right | = 0\)
• Dãy số không đổi \(u_{n}\) với \(u_{n} = 0\) có giới hạn là 0
• Dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn 0 nếu \(u_{n}\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là nó đủ lớn.

Một số dãy số có giới hạn 0

Tìm hiểu giới hạn hữu hạn của dãy số là gì?

Định nghĩa Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói rằng dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn là số thực L nếu lim (\(u_{n}\) – L) = 0

• Kí hiệu: \(lim_{u_{n}} = L\) khi và chỉ khi khoảng cách \(\left | u_{n} – L \right |\) trên trục số thực từ điểm \(u_{n}\) đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.
• Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn

Một số định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

• Định lí 1:

Giả sử \(lim_{u_{n}} = L\). Khi đó:

\(lim\left | u_{n} \right | = \left | L \right |\) và \(lim \sqrt[3]{u_{n}} = \sqrt[3]{L}\)

Nếu \(u_{n} \geq 0\) với mọi n thì \(L \geq 0\) và \(lim\sqrt{u_{n}} = \sqrt{L}\)

• Định lí 2:

Giả sử \(lim\, u_{n} = L,\, lim\, v_{n} = M\) và c là một hằng số. Khi đó:

• \(lim(u_{n} + v_{n}) = L + M\)
• \(lim(u_{n} – v_{n}) = L – M\)
• \(lim(u_{n}v_{n}) = LM\)
• \(lim(cu_{n}) = cL\)
• \(lim(\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{L}{M}\, (M\neq 0)\)

Tìm hiểu giới hạn vô cực của dãy số là gì?

Dãy số có giới hạn \(+\infty\)

• Dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn \(+\infty\) nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
• Kí hiệu: \(lim\, u_{n} = +\infty\)

Dãy số có giới hạn \(-\infty\)

• Dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn \(-\infty\) nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
• Kí hiệu: \(lim\, u_{n} = -\infty\)

Mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1

Nếu \(lim\, u_{n} = \pm \infty ,\, lim\, v_{n} = \pm \infty\) thì \(lim(u_{n}v_{n})\) được cho trong bảng sau:

Quy tắc 2

Nếu \(lim\, u_{n} = \pm \infty ,\, lim\, v_{n} = L \neq 0\) thì \(lim(u_{n}v_{n})\) được cho trong bảng sau:

Quy tắc 3

Nếu \(lim\, u_{n} = L \neq 0,\, v_{n} > 0\) hoặc \(v_{n} < 0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(lim\frac{u_{n}}{v_{n}}\) được cho trong bảng sau:

Các dạng toán về giới hạn của dãy số

Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức

Ví dụ 1: Tính \(lim(n^{3} – 2n + 1)\)

Cách giải

Ta có:

\(n^{3} – 2n + 1 = n^{3}(1 – \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})\)

Vì \(lim\, n^{3} = +\infty\) và \(lim\, (1 – \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = 1 > 0\) nên theo quy tắc 2 ta có

\(lim(n^{3} – 2n + 1) = +\infty\) 

Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ 2: Cho dãy số (\(u_{n}\)) được xác định bởi \(u_{1} = 1,\, u_{n+1} = \frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}\) với mọi \(n\geq 1\). Biết dãy số (\(u_{n}\)) có giới hạn hữu hạn, tính \(lim_{u_{n}}\).

Cách giải

Đặt \(lim\, u_{n} = L \geq 0\)

Ta có:

\(lim\, u_{n+1} = lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n} + 3}\) hay \(L = \frac{2(2L + 1)}{L + 3}\)

\(\Rightarrow L^{2} – L – 2 = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} L = 2 \\ L = -1\, (L) \end{array}\right.\)

Vậy \(lim\, u_{n} = 2\)

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

• Phương pháp:

• • Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

• • • Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.
    • Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

• • Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng tính giới hạn của dãy số hữu tỷ

Ví dụ 3: Tính \(lim (\sqrt{n^{2} + 2n} – n)\)

Cách giải

Ta có:

\(lim (\sqrt{n^{2} + 2n} – n) = lim\frac{(\sqrt{n^2 + 2n} + n)(\sqrt{n^2 + 2n} -n)}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\)

\(=lim\frac{n^2 + 2n – n^2}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\)

\(= lim\frac{2n}{(\sqrt{n^2 + 2n} +n)}\)

\(= lim\frac{2}{(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1)}\)

\(= \frac{2}{1 + 1} = 1\)

Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

• Quy tắc nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng ±∞.
• Nếu như bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng với hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu.
• Nếu như bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.
• Điều này rất cần thiết để giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ trắc nghiệm. Bởi với một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức.

Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ

Tương tự tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất, cũng tương tự như giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này qua cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Qua đó có thể hoàn toàn tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm.

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề giới hạn dãy số. Nếu có bất cứ câu hỏi hay thắc mắc gì liên quan đến chủ đề giới hạn của dãy số, đừng quên để lại câu hỏi bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!.

Xem thêm >>> Lim là gì? Phương pháp tính và Bài tập về giới hạn 

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

4/5 - (2 bình chọn) Please follow and like us: