Giới Hạn Của Dãy Số Olympic Toán - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (15 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Ôn thi Đại học - Cao đẳng
>>
3. Toán học

Giới hạn của dãy số Olympic Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.12 KB, 15 trang )

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ1.1. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực1. 1.1. Định nghĩa dãy số:1.1.1.1. Định nghĩa: Hàm số u : N* → Rn → u ( n)Gọi là dãy số thực1.1.1.2. Ví dụ1.1.2. Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực { un } , được gọi là1.1.2.1. Bị chặn trên: Nếu tồn tại số thực M sao cho un ≤ M , ∀n1.1.2.2. Bị chặn dưới: Nếu tồn tại số thực N sao cho un ≥ N , ∀n1.1.2.3. Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.1.1.2.4. Ví dụ:12n n1.1.2.4.2. { 3 }1.1.2.4.1. 1.1.2.4.3. { (−1) .n}1.1.3. Dãy số đơn điệuDãy số thực { un } , được gọi là1.1.3.1. Tăng nếu un ≤ un +1 , ∀n1.1.3.2. Tăng nghiêm ngặt nếu un < un +1 , ∀n1.1.3.4. Giảm nếu un ≥ un +1 , ∀n1.1.3.5. Giảm nghiêm ngặt nếu un > un +1 , ∀n1.1.4. Dãy con1.1.4.1. Định nghĩa: Từ một dãy số thực lấy ra một dãy có một số số hạng nằmtrong đó gọi là một dãy con.n1.1.4.2. Ví dụ: dãy { (−1) } ta lập được hai dãy con là:1,1,1,1,1,……. và -1,-1,-1,…….1.1.5. Định nghĩa giới hạn của dãy số: Tham khảo các sách* Chú ý: Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không có giới hạn đượcgọi là dãy phân kì6. Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn dãy nếu có là duy nhất.1.2. Một số tính chất đơn giản của giới hạn.1.2.1. Định lý 1: Dãy số thực { un } hội tụ thì bị chặnnn* Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Xét dãy { (−1) }1.2.2. Định lý 2: Nếu dãy số thực { un } hội tụ và có giới hạn l thì mọi dãy con củanó đều hội tụ và có giới hạn l.1un = l và a là một số thực1.2.3. Định lý 3: Giả sử limn →∞a. Nếu l > a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n ≥ N ⇒ un > ab. Nếu l< a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n ≥ N ⇒ un < aun = l và lim vn = m và un ≤ vn , ∀n thì l ≤ m1.2.4. Định lý 4: Nếu limn →∞n →∞* Chú ý:a. Định lý 4 vẫn đúng nếu thay điều kiện “ un ≤ vn , ∀n ” bởi điều kiện“ un ≤ vn kể từ một chỉ số n0 nào đó trở đi ”.b. Nếu un < vn , ∀n thì vẫn có thể xảy ra l = m. (phân tích cho sinh viên)un = l và a là một số thực* Hệ quả: Giả sử limn →∞a. Nếu un ≤ a, ∀n thì l ≤ ab. Nếu un ≥ a, ∀n thì l ≥ aun =1.2.5. Định lý 5: Cho ba dãy: { un } , { vn } , { w n } thỏa mãn un ≤ vn ≤ w n , ∀n và limn →∞lim vn = l thì lim w n = ln →∞n →∞un =* Chú ý: Cho ba dãy: { un } , { vn } , { w n } thỏa mãn un < vn 1an = 1.2.6.1. limn →∞1.2.6.2. Khi a là một số thực dương thì limn →∞1.2.6.3. limn →∞( n) =1( a ) =1nn1.2.6.4. Nếu dãy { xn } hội tụ và thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ 1 và giả thiết tồn tại limn →∞x1.x2 ...xn = lim xnthì: limn →∞n →∞1.2.6.5. Nếu dãy { xn } thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ 1 và giả thiết tồn tại limn →∞xn +1n →∞ xnlim n xn = limn →∞1.2.8. Cấp số cộng1.2.8.1. Định nghĩa1.2.8.2. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.1.2.8.3. Các tính chất của cấp số cộng.1.2.9. Cấp số nhân1.2.9.1. Định nghĩa1.2.9.2. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.1.2.9.3. Các tính chất của cấp số nhân.1.2.9.4. Tổng vô hạn của một cấp số nhân lùi3xn +1thì:xnxn +1xnBÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ BÌNH LUẬNBài1. Cho dãy số {an} với an =a + a + ..... + a , với n căna. Chứng minh rằng dãy {an} đơn điệu tăng và bị chặn trênanb. Tìm limn →∞Bình luậna.+ Chỉ ra a2 > a1. Thật vậy a2 = a + a1 > a = a1+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ak > ak-1. Ta phải chứng minh mệnhđề đúng với n = k +1, nghĩa là ta phải chứng minh ak+1 > ak. Thật vậy:ak+1 = a + ak > a + ak −1 = ak+ {an} là dãy đơn điệu tăng+ a1 = a < a+1+ Giả sử ak < a+1. Ta phải chứng minh ak+1< a+1. Thật vậy:ak+1 = a + ak < 2a + 1 < a 2 + 2a + 1 = a+1b. Dãy {an} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn+ Giả sử….+g=1 + 1 + 4a2Bài2. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau:11  1++ ... +÷2n 111  1+ ... +b. bn = -2 n + 1 +  +÷2n 1a. an = -2 n + Bình luận11  1++ ... +÷< 2 n2n 1+ {an} là dãy giảm và bị chặn dưới ( an > 2( n + 1 − n − 1 ) > -2+ Ta có bất đẳng thức 2( n + 1 − 1) < + Câu b tương tựBài 3. Cho c > 2, xét {an} được xác định theo công thức truy hồia1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1Chứng minh {an} là dãy tăng nghiêm ngặtBình luận:+ Với c > 2 và từ giả thiết a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1, ta chứng minh được ak > 4với ∀k ≥ 1, k ∈ N . Thật vậy-Với n = 1, a1 = c 2 > 4 , mệnh đề đúng với n = 1.4- Giả sử mệnh đề đúng với n = k , k ≥ 1, k ∈ N , nghĩa là ak > 4 , ta chứng minh mệnh2đề đúng với n = k +1, thật vậy ak +1 = (ak − c) > 4 ⇔ ak − c > 2* Trường hợp 1: ak − c > 2 ⇔ ak > 4 (luôn đúng- đpcm)* Trường hợp 2: ak − c < −2 ⇔ ak < c − 2 < 0 (vô lí). Ta có điều phải chứng minh+ Ta sẽ chứng minh dãy tăng nghiêm ngặt. Thật vậy- Với n = 2, ta có a2 = (c 2 − c) 2 = c 2 (c − 1) 2 > c 2 = a1+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 2 , k ∈ N , nghĩa là ak +1 = (ak − c) 2 > ak , ta phảichứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , k ∈ N , nghĩa là ta phải chứng minhak + 2 = (ak +1 − c) 2 > ak +1 . Thật vậyak + 2 − ak +1 = (ak +1 − c) 2 − (ak − c) 2 = (ak +1 − ak )(a k +1 + ak − 2c ) > 0 ( do ak +1 > ak > c 2 > c )Bài4. Giả sử {an} là dãy thỏa mãn điều kiện0 < an < 1, an(1-an+1) >1, với n∈N4Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy đó.Bình luận:( an ) =+ Dãy bị chặn, chuyển qua giới hạn ta được limn →∞12Bài5. Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy được xác định bởi biểu thứca1 = 0, an+1 = 6 + an , n ≥ 1Bình luận:+ Dãy tăng, chỉ ra bị chặn trên bởi 3.( an ) = 3+ Chuyển qua giới hạn ta được limn →∞Bài6. Cho ( an ) xác định: a1 = 0, a2 =112, an+1 = ( 1 + an + an −1 ) , n > 123Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nóBình luậnBài7. Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau1 11+ 2 + ... + 2với n∈N22 3n1 11b. yn = 1 + 2 + 3 + ... + nvới n∈N2 3n111++ ... +c. zn =n(n + 1)(n + 1)( n + 2)(2n − 1)2na. xn = 1 +với n∈NBình luậnBài8. Cho p∈N, a > 0, a1 > 0. định nghĩa dãy{an} như sauan+1=1a  ( p − 1)an + p −1 pan anTìm limn →∞5với n∈NBình luậnBài9. Dãy {an} được cho theo công thức truy hồia1=2 , an+1 =2 + anvới n∈NChứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nóBình luậnBài10. Dãy {an} được cho theo công thức truy hồia1= 1, an+1 =2(2a n + 1)an + 3với n∈NChứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nóBình luậnBài11. Tìm các hàng số c > 0 sao cho dãy {an} được xác định bởi công thức truyhồicc + an2, an+1 =22limanlà hội tụ. Trong trường hợp đó hãy tìma1 =với n∈Nn →∞Bình luậnBài12. Cho a > 0 cố định, xét dãy {an} được xác địnhan2 + 3aa1 > 0, an+1 = an 23an + avới n∈NTìm tất cả các giá trị của a 1 sao cho dãy trên hội tụ và trong trường hợp đóhãy tìm giới hạn của dãy.Bình luậnBài13. Cho dãy {an} được xác địnhan+1 =14 − 3a nvới n ≥1Tìm các giá trị của a1 để dãy trên hội tụ và trong trường hợp đó hãy tìm giớihạn của dãy.Bình luậnBài14. Cho a > 0, b > 0, dãy {an} được xác định bởi0 < a1 < b, an+1 =ab 2 + an2a +1với n ≥ 1anTìm limn →∞Bình luậnBài15. Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} được cho bởi công thức truy hồia1 = 2, an+1 =2+13+và tìm giới hạn của dãy.61anvới n ≥ 1Bình luậnBài16. Dãy {an} được cho bởi công thức truy hồia1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + an−1 với n ≥ 2Chứng minh dãy trên tăng nghiêm ngặt, bị chặn. Tìm giới hạn của dãyBình luậnBài17. Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} vớin + 1  2 2 2 232n +++...+an = n +1 ÷ với n ≥ 12 1 2 3n Bình luậnBài18. Giả sử có dãy bị chặn {an} thỏa mãn1323an+2 ≤ an +1 + an với n ≥ 1Chứng minh rằng dãy trên hội tụBình luậnBài19. Tínhn 21 + 22 + ... + n 2a. limn →∞b. limn →∞(2−32)() (2 − 5 2 ...2 − 2 n +1 2)1 111++ ... +÷n  1+ 33+ 52n − 1 + 2n + 1 2n  1+ 2+ ... + 2d. lim÷2n →∞ n + 1n +2n +n2nnn  n+ 3+ ... + 3e. lim÷3n →∞ n + 1n +2n +nc. limn →∞Bình luậnBài20. Tính1 1 2n −1 a + ÷ +  a + ÷ + .... +  a +a. lim÷n →∞ nn nn 222 với a∈Ran + an2 + ... + ank − kb. limn →∞an − 1với an ≠1 với mọi n và lim an = 1, k là số nguyên dươngn →∞ 111++ ... +c. lim÷n →∞ 1.2.32.3.4n(n + 1)(n + 1) k 3 −13k =0 k + 12 2  21−1−... 1 −e. lim÷÷÷n →∞ 2.3  3.4   (n + 1)(n + 2) nd. lim∏n →∞7k 3 + 6k 2 + 11k + 5(k + 3)!k =1ng. lim∑n →∞Bình luậnBài21. Cho a > 0, b > 0, xét dãy {an} cho bởiaba1 =a 2 + b2aan −1, an =a 2 + an2−1, với n ≥ 2anTìm số hạng thứ n của dãy và tính limn →∞Bình luậnBài22. Cho dãy truy hồi được định nghĩa bởian −1 + 3, với n ≥ 24Tìm số hạng thứ n của dãy và tính lim ana1 = 0, an =n →∞Bình luậnBài23. Xét sự hội tụ của dãy cho bởi công thứca1 = a, an = 1 +ban-1, với n ≥ 2Bình luậnBài24. Cho a∈{1,2,3,...,9}, hãy tínhlimn →∞a + aa + ..... + aa....a( n số hạng)10nBình luậnBài25. Cho p1, p2, ...,pk và a1, a2, .....,ak là các số dương, tínhlimn →∞p1a1n +1 + p2 a2n +1 + ..... + pk akn +1p1a1n + p2 a2n + .... + pk aknBình luậnBài26. Cho a1, a2, ....., ap là các số dương, tính limn →∞na1n + a2n + ... + a nppBình luậnp1 pBài27. Cho a1, a2, ....., ap là các số dương, tính lim  ∑ n ak ÷n →∞ p k =1Bình luậnkn −11Bài28. Cho a∈(0;1). Hãy tính: lim∑a + ÷n →∞nk =0 Bình luậnBài29. Tínha. lim n 2sin 2n →∞n 2014n 2014+ cos 2n +1n +11b. lim ( n + 1 + n cos n ) 2 n + n cos nn →∞8n klimc. n→∞ ∑  1 + 2 − 1÷÷nk =0 2n k 3 1 + 3 − 1÷d. lim∑n →∞÷nk =0 Bình luậnBài30. Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng khác không, hãy tính 111 lim ++ ... +÷n →∞ a aan an +1  1 2 a2 a3Bình luậnBài31. Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng dương, hãy tính1 111++ ... +n  a1 + a2a2 + a3an + an +1limn →∞Bình luậnBài32. Tínhna. limn →∞(n)e −11n2nb. lim e + e + ..... + en →∞nnnBình luậnBài33. Tính1 111 ++ ... +1 +÷n23nn a2an lima++...+b. n→∞ n +1 ÷a 2n a. limn →∞1 (k + 1)!(k + n)! k !++ ... +÷k +1 n 1!n! 1  111 ++ ... +d. lim÷n →∞n nn +12n c. limn →∞1k + 2k + ... + n kn →∞n k +11 + 1.a + 2.a 2 + ... + n.a ng. limn →∞n.a k +1n 1 k1 + 2k + ... + n k ) −(h. limn →∞  n kk + 1 e. limBình luậnan = a. Tìm lim 1  a1 + a2 + a3 + ... + an ÷Bài34. Giả sử limn →∞n →∞n293n÷÷Bình luậnan = a. Tìm lim  an + an −1 + ... + an1−1 ÷Bài35. Giả sử limn →∞n →∞22  1Bình luậnan = a. TìmBài36. Giả sử limn →∞aaaaan1+ n −1 + ... +a. lim÷n →∞ 1.22.3n.( n + 1) a n −1nn −11b. lim − 1 + ... + (−1)n −1 ÷n →∞122Bình luậnBài37. Tìm giới hạn của dãy {an}, trong đóan =  1 +1 2 n1 + 2 ÷.... 1 + 2 ÷2 ÷n  n   n Bình luậnBài38. Cho dãy {an} được xác định như saua1 =1, an= n(an-1 +1), n ≥ 2. Tínhn1lim ∏  1 + ÷n →∞ak k =1 Bình luậnBài39. Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như saua1= a, a2 = b, an+1 =n −11an + an-1, ), n ≥ 2nnanTìm limn →∞Bình luậnBài40. Cho dãy {an} được xác định như saua1 =1, a2 =2, an+1 = n(an + an-1), n ≥ 2.Tìm anBình luậnBài41. Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như saua1= a, a2 = b, an+1 =12n − 1an-1 +an,2n2nanTìm limn →∞Bình luậnBài42. Cho {an} được xác định như saua1= 2, an+1= 3an + 8a 2n + 1Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đóBình luận10n ≥ 2.12Bài43. Cho {an} được xác định như sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an-1 - an,Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đóBình luậnBài44. Cho dãy {an} được xác định như saua1 =1, a2 =2, an+1- an + an-1 – 1 = 0, n ≥ 3.Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đóBình luậnBài45. Cho dãy {an} được xác định như saua1 = 2, a2 = 3, an+1= 3an - 2an-1 , n ≥ 1.Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đóBình luận1Bài46. Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 = a + an , n ≥ 1.n +1Tính a2014Bình luậnBài47. Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 =31an +1 − an , n ≥ 1.22anTìm limn →∞Bình luậnanBài48. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an+1 = a 2 + 1 , n ≥ 1.nanTìm limn →∞Bình luậnBài49. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 =11 2, ak = ak-1+ ak −1 , k ≥ 1.2nanTìm limn →∞Bình luậnBài50. Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an =an −1+ (−1) n , n ≥ 1.20142anTìm limn →∞Bình luậnBài51. Cho dãy {an} được xác định như sau a1 a2a + + ... + n ÷an +1  a2 a3a1 = 1, 2014an+1 = an2 +2014an , n ≥ 1. Tìm limn →∞Bình luậnBài52. Cho dãy số thực { un } với số hạng tổng quát:un =1111+++ ... +1.2 2.3 3.4n(n + 1)11unTìm limn →∞Bình luận:u1 = 10Bài53. Cho dãy số thực { un } xác định bởi: 5unun +1 = n + 1un +1 1< , ∀n ≥ 101/ Chứng minh rằngun22/ Từ đó suy ra dãy { un } hội tụ và tìm giới hạn của nóBình luậnBài54. Cho dãy số thực { un }u1 = 10thỏa mãn unun +1 = 5 + 31/ Chứng minh rằng dãy số { vn } xác định bởi vn = un −15là một cấp số nhân lùi vô4hạn.2/ Từ đó suy ra rằng dãy { un } hội tụ và tìm giới hạn của nó.Bình luậnu1un +1 = (1 − a)un + bBài55. Cho dãy số thực { un } xác định bởi: Trong đó a,b là hai số cho trước, 0 < a < 1.un =Chứng minh rằng limn →∞baBình luận:+ Đặt vn = un −bvn = 0.và chứng minh rằng vn +1 = (1 − a)vn . Từ đó suy ra limn →∞aBài56. Tìm giới hạn các dãy cho bởi các công thức truy hồi sau:1/ xn = a + xn −1 , n > 1 với x1 = a , a ≥ 0Bình luận:+ Bằng quy nạp chứng minh được: xn < xn +1 .+ Chứng minh bằng quy nạp xn < a + 1xn = b ⇒ b ≥ a .+ Đặt limn →∞2+ Từ xn = a + xn −1 chuyển qua giới hạn hai vế ta được b 2 = a + b .+ Lý luận để tìm được b =2/ xn +1 =1 + 1 + 4a2xn + xn −1, trong đó x1 = 0, x2 = 1.2Bình luận:12+ Ta có x2 =x1 + x0x +x, x3 = 2 122x2 − x1,k≥22k − 2 1 1(−1) n − 2 + Cộng vế với vế ta có: xn − x1 = ( x2 − x1 ) 1 − + 2 − .... + n − 2 2 2 22 x2 − x1x−x− (−1) n − 2 . 2 n − 21+ xn =33.22xn =+ Kết luận: limn →∞311 x2Bài57. Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn = + n −1 , trong đó x1 = .222k −2+ Từ đó ta chứng minh được bằng quy nạp: xk − xk −1 = (−1) .Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn.Bình luận:+ Chỉ ra xn > 0, ∀n+ Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn < xn +1 và xn < 1, ∀nxn = a .+ Đặt limn →∞1 xn2−11 a2+a=+ .chuyển qua giới hạn hai vế ta được222 2+ Lý luận để tìm được a = 1xn −1xoBài 58. Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn =, trong đó x1 =, x0 > 02 + xn −12 + x0+ Từ xn =tùy ý.Bình luận:+ Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy { xn } giảm và bị chặn dưới bởi 0, do đóxn = a , a ≥ 0.tồn tại giới hạn limn →∞xn −1achuyển qua giới hạn hai vế ta được a =.2 + xn −12+a+ Kết luận a = 0.5 + xn2−1xx=()Bài 59. Cho dãy số thực n xác định: n, trong đó x0 > 5 tùy ý.2 xn −1+ Từ xn =Bình luận:+ Chứng minh bằng quy nạp các số hạng của dãy { xn } đều là các số dương.1 5+ xn −1 ÷ ≥ 5, ∀n2  xn −1+ Ta có xn = + Xét ( xn − xn −1 ) với chứng minh trên xn ≥ 5, ∀n ta được dãy { xn } giảm+ Mặt khác dãy { xn } bị chặn dưới bởi 5 nên có giới hạn.13xn = a .+ Đặt limn →∞+ Từ xn =5 + xn2−115chuyển qua giới hạn hai vế ta được a =  + a ÷2 xn −12a+ Kết luận a = 5.Bài60. Cho hai dãy { xn } và{ yn } vớix1 = a, y1 = b, xn +1 = xn yn , yn+1 =xn + yn, ∀n ≥ 12Chứng tỏ rằng hai dãy trên có cùng giới hạnBình luận:+ Từ giả thiết xn +1 = xn yn suy ra xn ≥ 0, yn ≥ 0, n = 1, 2,...xn + ynx + yn≥ xn yn = xn +1 , mà xn +1 = xn yn ≥ xn2 = xn , yn +1 = n≤ yn .22+ Như vậy: xn ≤ yn ≤ y1 = b, yn ≥ xn ≥ x1 = a+ Do đó tồn tại lim xn = A , lim xn = B+ yn +1 =n →∞n →∞+ Chuyển qua giới hạn của đẳng thức yn +1 =xn + ynta được A = B.21 + 22 + 33 + ... + n nn →∞nnBài61. Tìm limBình luận:1 + 22 + 33 + .... + n nnnnnn1 + n 2 + n3 + ... + n nn n +1 − n n n − 1 nn== n .